mathématiques i - Concours Centrale

MATHÉMATIQUES I
Concours Centrale-Supélec 2000 1/5
MATHÉMATIQUES I Filière MP
Définitions
Si est une fonction de classe définie sur un ouvert et à valeurs réel-
les, on notera, pour , fois, fonction définie sur le sous-
domaine de défini par . On appelle
-cycle de un ensemble de éléments tel que
. On appelle multiplicateur du cycle
la quantité
.
Un point est dit -périodique s’il est élément d’un -cycle ; un point
périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d’un point périodi-
que est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n’est autre que le
multiplicateur de comme point fixe de . Le cycle (ou le point -périodique)
sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur
absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à , égale à , égale à
ou strictement supérieure à .
On pourra être amené à utiliser un théorème de fonctions implicites dans .
On pourra alors admettre le résultat suivant :
Théorème : Soit un ouvert de , une fonction de classe , et
un point de , tels que
.
Alors il existe , tels que si on pose ,
, l’ouvert est inclus dans et il existe une
fonction : de classe telle que :
.
Le thème général du problème est l’étude globale de la méthode de Newton
appliquée aux polynômes.
fC
∞ΩIR⊂
p1≥fpff.. f oo=p
ΩxΩ fx() Ω∈∈ f2x() Ω…fp1– x() Ω∈,,∈{, }
pf p
x0…xp1– {, } Ω⊂
fx
0
() x1 ,… fx
p2–
(),xp1– fx
p1–
(),x0 ===
fp
()′x0 () f′x0 ()f′x1 ()…f′xp1– ()=
xΩ∈ pp
1-
x0x0fpp
10
11
IR 2
ΩIR 2F:ΩIR→C1
x0y0 ,() Ω
Fx
0y0
(,) 0F∂y∂
-------x0y0
(,)0≠,=
εη0>I]x0ε x0ε[+,–=
J]y0η–y0η[+,=VIJ×=Ω
g]x0ε–x0ε[+,]y0η–y0η[+,→ C1
xy(,)∀V∈ Fxy(,),0y⇔gx()==

Concours Centrale-Supélec 2000 2/5
Filière MP
MATHÉMATIQUES I Filière MP
Partie I - La méthode de Newton pour les polynômes réels
Soit une fonction polynomiale non constante et
. Si , on définit comme étant l’abscisse de
l’intersection de la tangente en au graphe de avec l’axe des .
I.A - Montrer que :
.
I.B -
I.B.1) Si , calculer .
I.B.2) Soit un nombre réel.
Montrer que si , alors est un point fixe super attractif de .
Si est un zéro d’ordre de montrer que peut se prolonger par con-
tinuité en qui devient un point fixe attractif de de multiplicateur .
Si , on dira que la suite de Newton de par est bien définie si l’on peut
définir une suite telle que et :
et .
Dans ce cas, cette suite sera la suite de Newton de par .
I.C - Montrer que si la suite de Newton de par est bien définie et converge
vers alors .
I.D - Soit réciproquement un zéro de .
I.D.1) Montrer l’existence de tel que si alors la suite de Newton
de par est bien définie et converge vers .
On appelle le plus grand intervalle contenant et formé de points dont la
suite de Newton par converge vers .
I.D.2) Montrer que c’est un intervalle ouvert ; on l’appelle le bassin immédiat
de .
P : IR IR→
ΩxIR P′x() 0≠∈{}=xΩ∈
NPx()
x Px()(, ) Px
xΩ , N∈∀ Px() xPx()
P′x()
-------------
–=
xΩ∈ N′Px()
a
Pa() 0= P′a() 0≠aN
P
ap2≥PN
P
aN
P11p⁄–
xΩ∈ xP
xn () x0x=
nIN xnΩ∈,∈∀ xn1+ NPxn
()=
xn
() xP
xP
aIR∈Pa() 0=
aIR∈P
ε0>
ya–ε<
yP a
Ia() a
Pa
a

MATHÉMATIQUES I Filière MP
Concours Centrale-Supélec 2000 3/5
I.E -
I.E.1) On suppose que a au moins deux racines réelles. Soit le plus petit
zéro de ; on suppose que , le plus petit zéro de vérifie et que ne
s’annule pas sur . Montrer que le bassin immédiat de est égal à
.
I.E.2) On suppose que le bassin immédiat du zéro de est de la forme
, .
Montrer successivement que , que , et
enfin que , . Ce - cycle peut-il être attractif ?
I.F - Les hypothèses de la question I.E.2 étant toujours vérifiées, montrer que le
bassin immédiat de contient un zéro de .
I.G - On suppose de degré possédant zéros distincts. Montrer que
attire tout zéro de vers un zéro de .
Partie II - Étude algébrique
Soit un polynôme de de degré (on note ) . Dans cette partie
la dérivation est à prendre au sens de la dérivation formelle des polynômes ou
plus généralement des fractions rationnelles et est la fraction rationnelle
.
II.A - Montrer que si a zéros distincts alors vérifie
(Un point fixe super attractif de est un point tel que ,
).
II.B - Soit réciproquement une fraction rationnelle vérifiant . Montrer
qu’il existe , de degré , possédant zéros distincts, tel que .
II.C - Deux fractions rationnelles , sont dites semblables s’il existe une simi-
litude ( ) telle que si désignent les domaines de
définition de , (c’est-à-dire le complémentaire dans de l’ensemble des
pôles) alors et
, .
P
a_
Pξ
P
′ξa_ >P′′
]∞ ξ [,–
a_
]∞–ξ [,
aP
]αβ[,αβ,IR∈
NP]αβ[,()]αβ[,⊂
Pα()P′α()Pβ()P′β() 0≠
NPα() β=NPβ() α=2
aP″
Pd2≥dN
P
P″P
PICX[] dd°P() d=
NP
NPX() XPX()
P′X()
---------------
–=
Pd RN
P
=
RQ
S
---- , = QS,ICX[]∈PGCD Q S,()1=d°Q() d=d°S() d1–=,,,
et R possède d points fixes super attractifs
(*)
RzIC∈Rz() z=
R′z() 0=
R
∗ ()
PICX[]∈dd RN
P
=
fg
Tz() az b+= ab,IC∈a0≠, DD′,
fg IC
T D() D′=
z∀D′∈ fz() T1– gTz()oo=

MATHÉMATIQUES I Filière MP
Concours Centrale-Supélec 2000 4/5
Si et si montrer que est semblable à .
II.D - Déterminer pour , : montrer que si est un
polynôme de degré 2 alors est semblable à ou bien à .
II.E - Pour on définit
Montrer que si est un polynôme de degré 3 alors soit est semblable à
soit il existe tel que est semblable à .
II.F - Quel est l’intérêt des résultats des deux questions précédentes pour
l’étude des suites de Newton par les polynômes de degré ?
Partie III - Étude analytique du cas cubique réel
Dans cette partie on suppose , on garde les notations du II.E et on s’inté-
resse au comportement des suites de Newton des nombres réels par .
III.A -
III.A.1) Montrer que a trois zéros (complexes) distincts si et seulement si
, .
III.A.2) On suppose : montrer que la suite de Newton de tout réel par
est définie et converge vers un réel à préciser.
III.B -
III.B.1) Montrer que si , alors possède trois zéros réels dis-
tincts, soient :
, , .
Si de plus , montrer qu’il existe tel que soit semblable à
.
III.B.2) On supposera désormais dans cette partie que . pos-
sède alors trois zéros réels distincts, soient :
, , .
III.B.3) On pose et on désigne par le bassin immé-
diat de . Montrer que la fonction est strictement décroissante
sur et strictement croissante sur .
ab,IC∈a0≠, Tz() az b+= NPToNP
NPPX() X2 =PX() X21–= P
NPzz
2
---
azz
2
---1
2z
------
+a
mIC∈
Pmz() z3m1–()zm z1–()z2zm++()=–+= Nmz() NPmz()=,
PN
P
z2z
3
------
amIC∈NPNm
3≤
mIR∈Pm
Pm
m2–≠
m14⁄≠
m1>x
Pm
m′14⁄< m′2–≠Pm′
1am′1–14m′–+ 2
-------------------------------------
=bm′1–14m′–– 2
-------------------------------------
=
m′0<m]0 1 4⁄[,∈ Nm′
Nm
m014⁄[,[∈ Pm
1am1–14m–+ 2
-----------------------------------
=bm1–14m–– 2
-----------------------------------
=
x0 ±1m–
3
--------------±=
]αm()βm()[,
amxN′mx()a
]x0
-am[,]0 x0 +[,

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Concours Centrale-Supélec 2000 5/5
III.B.4) Montrer que la fonction est définie sur un intervalle
où , .
On désigne par , le plus petit et le plus grand zéro de . Montrer que la
fonction est strictement décroissante sur et strictement croissante
sur .
III.B.5) Montrer que l’intervalle est inclus dans le bassin immédiat
de .
III.B.6) Déduire de III.B.4 et III.B.5 que est le seul - cycle de .
III.B.7) Montrer que et en déduire que .
III.B.8) On pose . Si est un réel, un développement limité
à l’ordre de la fonction
peut être obtenu grâce à un logiciel de calcul formel. On trouve :
.
En déduire, avec toutes les justifications nécessaires, un développement limité
à l’ordre de en .
III.C -
III.C.1) Montrer qu’il existe une et une seule valeur de telle que 0
soit -périodique pour . Donner une valeur approchée à près par défaut
de en indiquant l’algorithme utilisé.
III.C.2) Montrer qu’il existe tel que si alors admet un
cycle attractif d’ordre qui attire .
••• FIN •••
MmNmNm o=
]x1
-x1 +[,]x0 -x0 +[,⊂ Nmx1 -
() x0
+
=Nmx1
+
() x0
-
=
ξ-ξ+M′m
M′m]x1
-ξ-[,
]ξ+x1
+[,ξ-ξ+
,[]
amαm()βm(){,} 2Nm
α0() β–0()=α0() 1
5
-------
–=
Fm x,()Mmx() x–= u
1
mFm1
5
-------
–um+(, )a
35u25 7 5–2
----------------------
+
mom()+
1α0
m0mIR∈
2Nm10 3–
m0η0>mm
0
–η< Nm
20