mathématiques i - Concours Centrale

MATHÉMATIQUES I
Filière MP
MATHÉMATIQUES I
Définitions
∞
Si f est une fonction de classe C définie sur un ouvert Ω ⊂ IR et à valeurs réelp
les, on notera, pour p ≥ 1 , f = f o f .. o f p fois, fonction définie sur le sous2
p–1
domaine de Ω défini par {x ∈ Ω f (x) ∈ Ω, f (x) ∈ Ω, …, f
( x) ∈ Ω} . On appelle
p -cycle de f un ensemble de p éléments { x 0,…x p – 1} ⊂ Ω tel que
f ( x 0) = x 1 ,… , f ( x p – 2) = x p – 1 , f ( x p – 1) = x 0 . On appelle multiplicateur du cycle
la quantité
p
( f )′ ( x 0 ) = f ′( x 0 ) f ′( x 1 )…f ′( x p – 1 ) .
Un point x ∈ Ω est dit p -périodique s’il est élément d’un p -cycle ; un point
1 - périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d’un point périodique x 0 est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n’est autre que le
p
multiplicateur de x 0 comme point fixe de f . Le cycle (ou le point p -périodique)
sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur
absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à 1 , égale à 0 , égale à
1 ou strictement supérieure à 1 .
2
On pourra être amené à utiliser un théorème de fonctions implicites dans IR .
On pourra alors admettre le résultat suivant :
2
1
Théorème : Soit Ω un ouvert de IR , F:Ω → IR une fonction de classe C , et
( x 0, y 0 ) un point de Ω , tels que
∂F
F ( x 0, y 0) = 0, ------- ( x 0, y 0) ≠ 0 .
∂y
Alors il existe ε , η > 0 tels que si on pose I = ]x 0 – ε, x 0 + ε[ ,
J = ] y 0 – η, y 0 + η[ , l’ouvert V = I × J est inclus dans Ω et il existe une
1
fonction g : ]x 0 – ε, x 0 + ε[ → ] y 0 – η, y 0 + η[ de classe C telle que :
∀( x, y) ∈ V , F ( x, y) = 0 ⇔ y = g( x) .
Le thème général du problème est l’étude globale de la méthode de Newton
appliquée aux polynômes.
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Partie I - La méthode de Newton pour les polynômes réels
P : IR → IR
une
fonction
polynomiale
non
constante
et
Ω = { x ∈ IR P′ ( x ) ≠ 0 } . Si x ∈ Ω , on définit N P ( x ) comme étant l’abscisse de
l’intersection de la tangente en (x, P(x)) au graphe de P avec l’axe des x .
Soit
I.A - Montrer que :
P( x)
∀ x ∈ Ω , N P ( x ) = x – ------------- .
P′( x)
I.B I.B.1)
Si x ∈ Ω , calculer N′ P ( x ) .
I.B.2)
Soit a un nombre réel.
Montrer que si P(a) = 0 , P′(a) ≠ 0 alors a est un point fixe super attractif de N P .
Si a est un zéro d’ordre p ≥ 2 de P montrer que N P peut se prolonger par continuité en a qui devient un point fixe attractif de N P de multiplicateur 1 – 1 ⁄ p .
Si x ∈ Ω , on dira que la suite de Newton de x par P est bien définie si l’on peut
définir une suite ( x n ) telle que x 0 = x et :
∀n ∈ IN , x n ∈ Ω et x n + 1 = N P ( x n ) .
Dans ce cas, cette suite ( x n ) sera la suite de Newton de x par P .
I.C - Montrer que si la suite de Newton de x par P est bien définie et converge
vers a ∈ IR alors P(a) = 0 .
I.D - Soit réciproquement a ∈ IR un zéro de P .
I.D.1)
Montrer l’existence de ε > 0 tel que si y – a < ε alors la suite de Newton
de y par P est bien définie et converge vers a .
On appelle I(a) le plus grand intervalle contenant a et formé de points dont la
suite de Newton par P converge vers a .
I.D.2)
Montrer que c’est un intervalle ouvert ; on l’appelle le bassin immédiat
de a .
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I.E _
I.E.1)
On suppose que P a au moins deux racines réelles. Soit a le plus petit
_
zéro de P ; on suppose que ξ , le plus petit zéro de P′ vérifie ξ > a et que P′′ ne
_
s’annule pas sur ] – ∞ , ξ [ . Montrer que le bassin immédiat de a est égal à
] – ∞, ξ [ .
I.E.2)
On suppose que le bassin immédiat du zéro a de P est de la forme
]α, β[ , α, β ∈ IR .
Montrer successivement que N P ( ]α, β[ ) ⊂ ]α, β[ , que P(α)P′(α)P(β)P′(β) ≠ 0 , et
enfin que N P(α) = β , N P(β) = α . Ce 2 - cycle peut-il être attractif ?
I.F - Les hypothèses de la question I.E.2 étant toujours vérifiées, montrer que le
bassin immédiat de a contient un zéro de P″ .
I.G - On suppose P de degré d ≥ 2 possédant d zéros distincts. Montrer que N P
attire tout zéro de P″ vers un zéro de P .
Partie II - Étude algébrique
Soit P un polynôme de C
I [ X ] de degré d (on note d° ( P ) = d ) . Dans cette partie
la dérivation est à prendre au sens de la dérivation formelle des polynômes ou
plus généralement des fractions rationnelles et N P est la fraction rationnelle
P( X )
N P( X ) = X – --------------- .
P′( X )
II.A - Montrer que si P a d zéros distincts alors R = N P vérifie

Q
I [ X ], PGCD ( Q, S ) = 1, d° ( Q ) = d, d° ( S ) = d – 1
 R = ----, Q, S ∈ C
S
(*) 
 et R possède d points fixes super attractifs

(Un point fixe super attractif de R est un point z ∈ C
I tel que R( z) = z ,
R′( z) = 0 ).
II.B - Soit réciproquement R une fraction rationnelle vérifiant ( ∗ ) . Montrer
qu’il existe P ∈ C
I [ X ] , de degré d , possédant d zéros distincts, tel que R = N P .
II.C - Deux fractions rationnelles f , g sont dites semblables s’il existe une simiI , a ≠ 0 ) telle que si D, D′ désignent les domaines de
litude T (z) = az + b ( a, b ∈ C
I de l’ensemble des
définition de f , g (c’est-à-dire le complémentaire dans C
pôles) alors T ( D) = D′ et
∀ z ∈ D′ , f ( z) = T
–1
o g o T ( z) .
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Si a, b ∈ C
I , a ≠ 0 et si T ( z) = az + b montrer que N P o T est semblable à N P .
2
2
II.D - Déterminer N P pour P( X ) = X , P( X ) = X – 1 : montrer que si P est un
z
1
polynôme de degré 2 alors N P est semblable à z a --- ou bien à z a --z- + -----.
2
2
2z
II.E - Pour m ∈ C
I on définit
3
2
P m( z) = z + ( m – 1 )z – m = ( z – 1 ) ( z + z + m ), N m( z) = N P ( z)
m
Montrer que si P est un polynôme de degré 3 alors soit N P est semblable à
2z
z a ------ soit il existe m ∈ C
I tel que N P est semblable à N m .
3
II.F - Quel est l’intérêt des résultats des deux questions précédentes pour
l’étude des suites de Newton par les polynômes de degré ≤ 3 ?
Partie III - Étude analytique du cas cubique réel
Dans cette partie on suppose m ∈ IR , on garde les notations du II.E et on s’intéresse au comportement des suites de Newton des nombres réels par P m .
III.A III.A.1) Montrer que P m a trois zéros (complexes) distincts si et seulement si
m ≠ –2 , m ≠ 1 ⁄ 4 .
III.A.2) On suppose m > 1 : montrer que la suite de Newton de tout réel x par
P m est définie et converge vers un réel à préciser.
III.B III.B.1) Montrer que si m′ < 1 ⁄ 4 , m′ ≠ – 2 alors P m′ possède trois zéros réels distincts, soient :
– 1 + 1 – 4m′
– 1 – 1 – 4m′
1 , a m′ = ------------------------------------- , b m′ = ------------------------------------- .
2
2
Si de plus m′ < 0 , montrer qu’il existe m ∈ ]0, 1 ⁄ 4 [ tel que N m′ soit semblable à
Nm .
III.B.2) On supposera désormais dans cette partie que m ∈ [ 0, 1 ⁄ 4 [ . P m possède alors trois zéros réels distincts, soient :
– 1 + 1 – 4m
– 1 – 1 – 4m
1 , a m = ----------------------------------- , b m = ----------------------------------- .
2
2
±
1–m
III.B.3) On pose x 0 = ± -------------- et on désigne par ]α(m), β(m)[ le bassin immé3
diat de a m . Montrer que la fonction x a N′ m(x) est strictement décroissante
+
sur ]x 0, a m [ et strictement croissante sur ]0, x 0 [ .
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III.B.4) Montrer que la fonction M m = N m o N m est définie sur un intervalle
-
+
-
+
-
+
+
-
]x 1, x 1 [ ⊂ ]x 0, x 0 [ où N m( x 1) = x 0 , N m( x 1 ) = x 0 .
-
+
On désigne par ξ , ξ le plus petit et le plus grand zéro de M′ m . Montrer que la
- fonction M′ m est strictement décroissante sur ]x 1, ξ [ et strictement croissante
+ +
sur ]ξ , x 1 [ .
- +
III.B.5) Montrer que l’intervalle [ ξ , ξ ] est inclus dans le bassin immédiat
de a m .
III.B.6) Déduire de III.B.4 et III.B.5 que {α(m),β(m)} est le seul 2 - cycle de N m .
1
III.B.7) Montrer que α(0) = – β(0) et en déduire que α(0) = – ------.
5
III.B.8) On pose F(m, x) = M m(x) – x . Si u est un réel, un développement limité
à l’ordre 1 de la fonction
1
m a F (m,– ------- + um)
5
peut être obtenu grâce à un logiciel de calcul formel. On trouve :
–7 5
 35u + 25
---------------------- m + o(m) .

2
En déduire, avec toutes les justifications nécessaires, un développement limité
à l’ordre 1 de α en 0 .
III.C III.C.1) Montrer qu’il existe une et une seule valeur m 0 de m ∈ IR telle que 0
–3
soit 2 -périodique pour N m . Donner une valeur approchée à 10 près par défaut
de m 0 en indiquant l’algorithme utilisé.
III.C.2) Montrer qu’il existe η > 0 tel que si m – m 0 < η alors N m admet un
cycle attractif d’ordre 2 qui attire 0 .
••• FIN •••
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