chapitre i : generalites sur les ecoulements dans les milieux poreux

Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
CHAPITRE I : GENERALITES SUR LES ECOULEMENTS DANS
LES MILIEUX POREUX
1. Introduction
Les paramètres qui conditionnent les écoulements dans les sols saturés sont la
gravité et les forces de frottement au niveau des grains. Ces paramètres sont dus
essentiellement à la viscosité, tandis que les écoulements dans les sols non saturés
mettent en jeu les interactions entre les trois phases : solide, liquide et gazeuse. En
plus de la gravité et des forces de friction, il existe en effet des forces de surface
importantes qui interviennent au niveau des interfaces eau- air- solide. Ces dernières
sont généralement fonction des degrés de saturation en eau et en air, de la nature des
liaisons chimiques, de la température et de la pression. (Bolt, 1960; Gulin, 1969 cités
par Didier et al, 1995).
La description quantitative du processus d’écoulement devient très complexe, en
allant d’un milieu saturé à un milieu non saturé, à cause des variations de l’état
hydrique du sol pendant l’écoulement. Ces variations impliquent des relations
complexes entre les différents paramètres de l’écoulement. En conséquence, la
formulation et la solution des problèmes d’écoulement en non saturé nécessitent très
souvent des méthodes d’analyse basées sur des approches expérimentales et sur la
modélisation des résultats d’essais.
Dans cette partie, nous définirons les variables et les paramètres fondamentaux
nécessaires pour la description des transferts hydriques dans les milieux poreux. Nous
présenterons ensuite les équations régissant les écoulements en non saturé.
2. Généralités sur les milieux poreux
2.1. Définition du milieu poreux
Un milieu poreux est usuellement défini comme étant un milieu solide contenant
des pores; les pores sont des espaces vides pouvant être interconnectés ou séparés.
Pour qu’une phase fluide puisse percoler dans un milieu poreux donné, au moins une
partie de sa porosité doit être constituée de pores interconnectés. Ces pores, dont les
formes et les dimensions sont d’une grande diversité, constituent les réseaux poreux
qui offrent un grand nombre de possibilités au cheminement d’un fluide. La porosité
interconnectée est formée de deux portions principales : des cellules ou chambres
poreuses (pore body) reliées par d’étroites canalisations appelées les gorges des pores
ou canalicules (pore throat). Cet espace est illustré sur la figure 1.1.
Lachgueur K._______________________________________________________ 17
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
Figure 1.1 : Aspect de l’espace poreux (Dana, 1999)
2.2 L’eau dans les milieux poreux
2.2.1 Etat énergétique
Comme la phase liquide se déplace très lentement dans les pores, son énergie
cinétique peut être négligée. C’est donc l’énergie potentielle due aux interactions
entre le solide et les composants dissous dans l’eau qui détermine l’état et le
mouvement de l’eau dans un milieu polyphasique. Si la seule action extérieure au
système sol est la pesanteur, le potentiel total de l’eau liquide (ΨT) se décompose en
un potentiel gravitaire (Ψg noté aussi z) et un potentiel chimique (Ψw) (Masrouri,
1996) :
ψ T = ψ g +ψ W
Buckingham(1907) (cité par Sayad Gaidi C.,2003) a montré, à partir d’une étude
thermodynamique, que le potentiel chimique de l’eau peut être décomposé en une
somme de potentiels indépendants. L’importance de chacun de ces potentiels varie en
fonction de plusieurs facteurs, parmi lesquels la nature du milieu, sa composition
chimique, les conditions de pression et de température et la salinité de l’eau. Pour un
système isotrope et sans effets d’hystérésis, on a :
ψ W = ψ +ψ 0 +ψ p +ψ a +ψ t
Avec :
Ψ : potentiel matriciel appelé aussi potentiel capillaire qui introduit l’interaction entre
l’eau et la phase solide (forces capillaires + forces d’adsorption) ;
Ψ0 : potentiel osmotique traduisant l’influence des solutés ;
ΨP : potentiel de pression (phénomène de retrait ou de gonflement,…) ;
Ψa : potentiel pneumatique exercé par la phase gazeuse sur l’eau dans le sol ;
Ψt : contribution anthropique de la température.
Lachgueur K._______________________________________________________ 18
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
2.2.2 Différents types d’eau dans le sol
2.2.2.1 Sols saturés
Dans les sols saturés, l’eau remplit tous les vides entre les particules. Si l’on
exclut l’eau qui entre dans la composition des minéraux (eau de constitution), il est
nécessaire de distinguer l’eau liée, qui est attachée à la surface des particules solides
par des forces d’interaction moléculaire de nature essentiellement électrique, et l’eau
libre, qui peut se déplacer entre les particules sous l’effet des forces de pesanteur ou
des gradients de pression.
L’eau liée est attachée aux particules de la fraction la plus fine des sols, qui sont
en quasi- totalité de nature argileuse. Ces particules portent à leur surface des charges
électriques négatives. Le champ électrique créé par ces charges oriente les molécules
dipolaires de l’eau au voisinage de la particule (les ions H+ du dipôle H+-OH- sont
attirées vers la surface). L’interaction électrique entre l’eau et les particules argileuses
décroît rapidement quand on s’éloigne de la particule (fig.1.2). Les premières couches
de molécules d’eau (eau adsorbée ou hygroscopique) sont fortement liées et ne se
déplacent pratiquement pas par rapport à la particule. Leur densité peut atteindre 1.5
fois celle de l’eau pure et leur viscosité est très forte. Les couches suivantes sont plus
faiblement liées mais ont un comportement visqueux différent de celui de l’eau libre,
qui font qu’elles participent peu aux écoulements à l’intérieur du sol.
La couche d’eau « adsorbée » est la couche des molécules d’eau liées de façon
presque rigide à la particule. L’épaisseur de cette couche varie avec la nature du
minéral argileux et avec la nature des cations. Elle est de l’ordre de 50 A° (0.005 µm)
et dépend peu des dimensions de la particule.
L’eau pelliculaire est l’eau qui entoure la couche d’eau adsorbée. Ses propriétés
physiques et mécaniques sont influencées par le champ électrique de la particule.
L’épaisseur de la couche d’eau liée est de 0.1 µm. La zone de transition entre l’eau
liée et l’eau libre peut s’étendre jusqu'à 0.4 à 0.5 µm de la surface de la particule. Le
volume de cette eau vient en déduction du volume des pores pour le calcul de la
porosité efficace.
L’eau libre est celle qui est en dehors du champ d’attraction des particules et
peut donc se déplacer sous l’effet de la gravité ou des gradients de pression.
L’importance dans le sol de l’eau liée dépend de la surface des particules sur laquelle
les molécules d’eau peuvent s’adsorber. La température d’étuvage (105°C) permet
d’éliminer pour l’essentiel l’eau libre, qui est considérée comme l’eau du sol.
2.2.2.2 Sols non saturés
Dans les sols non saturés coexistent trois phases et l’on observe en général que
l’eau « mouille » la surface des particules, c’est à dire la recouvre tandis que l’air est
plutôt situé au milieu des pores. Suivant le degré de saturation du sol, nous
distinguons trois modes d’interaction entre les phases :
Lachgueur K._______________________________________________________ 19
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
Figure 1.2 : Différents types d’eau à la surface d’une particule d’argile
(Palubarinova- Kochina, 1962, cité par Sayad Gaidi C., 2003)
Sol quasi saturé : la phase liquide est continue et l’eau peut circuler sous
l’influence de la pesanteur. La phase gazeuse est discontinue et ne se déplace pas de
façon autonome. Les sols sont « quasi saturés » pour des degrés de saturation
supérieurs à 85 %.
Sol à la saturation d’équilibre : la phase liquide est encore continue mais l’eau ne
peut plus se déplacer sous la seule influence de la pesanteur. La phase gazeuse est
également continue, mais ne circule pas en général.
Sol faiblement saturé : l’eau entoure les particules et occupe des volumes
discontinus à leurs points de contact sous forme de ménisque. La phase liquide est
toujours continue par l’intermédiaire des pellicules d’eau adsorbée mais ne se déplace
que très lentement. La phase gazeuse est continue, mais généralement immobile.
L’évaporation de l’eau à l’intérieur des pores du sol peut devenir un phénomène
important.
2.3 Paramètres hydrodynamiques d’un milieu poreux
2.3.1 Conductivité hydraulique K (θ )
Le coefficient de conductivité hydraulique K d’un matériau représente son
aptitude à laisser circuler l’eau à travers lui, cette conductivité hydraulique est définie
comme le facteur de proportionnalité, relions le flux q (débit par unité de surface) au
gradient de potentiel φ induisant l’écoulement tel que :
−q
Κ (θ ) =
gradφ
Dans le cas du mouvement de l’eau en absence de l’effet thermique et
osmotique, le potentiel φ de l’eau dans le sol non saturé se réduit à la somme de deux
termes :
− potentiel matriciel ψ .
− potentiel gravitaire Z, qui représente l’action de la pesanteur,
soit :
φ = ψ + (− Ζ )
Lachgueur K._______________________________________________________ 20
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
Si l’effet gravitaire devient négligeable par apport aux effets capillaires, le
potentiel de l’eau sera au potentiel matriciel :
Si l’effet gravitaire devient négligeable par apport aux effets capillaires, le
potentiel de l’eau sera égal au potentiel matriciel:
φ =ψ .
Le coefficient de la conductivité hydraulique Κ (φ ) dépend fortement de la
concentration en eau et aussi de l’histoire de la variation de cette concentration, et par
conséquent de la succion.
Si le milieu est saturé, ce coefficient est égal au coefficient de perméabilité
classique de Darcy.
Si le milieu est anisotrope, K revêt la forme d’un tenseur.
Du point de vue théorique, Κ (θ) peut être exprimée sous la forme :
Κ (θ) = Κ g .f w .Κ rw (θ)
Κ g : Perméabilité intrinsèque (m2).
f w : Fluidité de l’eau définie par : f w =
ρ w .g
(m-1.s-1)
µw
Ou : µ w : est le coefficient de viscosité dynamique de l’eau (kg.m-1.s-1);
ρ w : La masse volumique de l’eau (kg.m-3);
K rw : représente la perméabilité relative de l’eau, elle varie de 0 pour un sol
complètement sec à 1 pour un sol ayant un degré de saturation égal à 100%.
2.3.2 Diffusivité D
La diffusivité a été initialement définie par Childs & Collis-George, 1948, (citée
par Abou-Bekr; 1995) sous la forme :
∂ψ
D(θ) = Κ (θ)
∂θ
Il est important de noter que le terme de la diffusivité n’implique pas un
déplacement d’eau par diffusion moléculaire dans les pores, et qu’il n y a analogie
formelle entre la première loi de Fick et l’équation de l’écoulement que lorsqu’on
reste dans un plans horizontal.
L’introduction de la diffusivité simplifie le traitement mathématique des équations
décrivant la circulation horizontale.
Cependant, la relation D (θ) est très fortement influencée par l’effet de l’hystérésis
sur la relation ψ(θ ) (Didier et al ; 1996).
Notons aussi que la diffusivité dépend non seulement de la concentration en eau
mais aussi de son gradient.
Enfin la diffusivité est liée aussi à la géométrie du milieu poreux, la nature de
l’interaction entre le fluide et la matrice solide, aux conditions initiales et aux
conditions limites de l’écoulement (Didier et al ; 1996).
Lachgueur K._______________________________________________________ 21
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
La loi de Fick s’écrit :
J a = − Da
∂C
∂y
J a : Flux massique d’air a travers une surface unité du sol (M/L2T) ;
Da : Coefficient de transmission d’air à travers le sol (L2/T) ;
C : Concentration d’air exprimé comme la masse d’air par unité de volume (M/L2).
En géotechnique on utilise une forme modifiée de la loi de Fick :
J a = − Da
∂C ∂U a
.
∂y ∂U a
J a = − Da
∂U a ∂C
∂y∂U a
J a = −D*a
Avec :
∂C
∂U a
D * a = Da
∂U a
∂y
2.3.3 Coefficient d’emmagasinement
La coefficient d’emmagasinent spécifique d’un matériau représente sa capacité à
libérer ou emmagasiner de l’eau sous l’effet d’une variation de la charge hydraulique.
C’est le volume d’eau libéré ou emmagasiné par un volume unitaire de ce matériau
pour une variation unitaire de charge hydraulique, il a la dimension de l’inverse d’une
longueur [L-1].
2.4 Quelques notions relatives au processus d’écoulement dans les sols non
saturés
2.4.1 Tension superficielle
Les interactions entre les différentes phases dans un sol non saturé sont
contrôlées par leurs tensions superficielles : tension superficielle entre l’air et l’eau
«σae», tension superficielle entre le solide et l’eau «σse» et tension superficielle entre
le solide et l’air « σsa », généralement séparés par une mince couche, dite superficielle.
La tension superficielle est une force agissant le long de la tangente à l’interface et
dans la direction qui diminue l’aire de l’interface (Kaviany, 1991). Elle a les
dimensions d’une force par unité de longueur. Il est préférable de parler de tension
interfaciale plutôt que de tension superficielle, le premier terme ayant l’avantage de
mieux suggérer l’existence d’une deuxième phase du contact de l’eau (Houpeurt,
1974).
Si les trois phases sont en contact (fig.1.3). L’angle de raccordement « θ » appelé aussi angle de contact- de l’interface de l’eau avec le solide est donné par la loi
de Young :
Lachgueur K._______________________________________________________ 22
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
σ sa − σ se
σ ae
Si ce rapport est supérieur ou égal à « 1 », aucun état d’équilibre ne sera
possible. Dans ce cas, le liquide va indéfiniment s’étaler sur la paroi solide. Ceci
conduit au concept de « mouillabilité » d’un solide par un liquide donné. Le produit
(q. s. cos ae) est appelé « tension d’adhésion ». Cette dernière va déterminer lequel
des fluides mouillera préférentiellement la surface solide, i.e., y adhérera et s’étalera
(Bear, 1988).
cos θ =
Pour θ < 90°, l’eau mouille la surface et est appelée « phase mouillante ».
Pour une « phase non mouillante », nous avons θ > 90° .Dans le cas d’une tension
d’adhésion nulle, les deux phases auront la même tendance à s’étaler sur la surface
solide.
σae
Air, a
Eau, e
σsa
θ
σse
Solide, s
Figure 1.3 : Tension superficielle (Bear, 1988)
2.4.2 Succion
Le terme succion que l’on trouve dans la littérature sous les appellations «
pression capillaire » ou « pression interstitielle négative », a été défini par Croney et
Colman (1961) comme étant le déficit de pression, en dessous de la pression
atmosphérique, mesuré dans un échantillon de sol ne subissant pas de pression
externe. L’unité normale de la pression interstitielle négative est le pascal (Pa).
Du point de vue énergétique, elle représente un potentiel négatif exprimée en
terme de hauteur d’eau appelé «potentiel capillaire », noté (Ψ), qui s’écrit sous la
forme suivante :
u − uw
ψ= a
[m]
γw
Avec :
ua: pression de l’air [kPa];
uw : pression de l’eau [kPa];
γw : poids volumique de l’eau [kN/m3].
Dans la plus part des cas, ua = Patm, Ψ s’écrit sous la forme :
− uw
ψ=
γw
Toutefois, compte tenu de l’amplitude très grande des variations de la succion,
Schofield (1935) a proposé l’utilisation du symbole pF (potentiel of free energy), qu’il
Lachgueur K._______________________________________________________ 23
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
a défini comme le logarithme du potentiel capillaire Ψ exprimé en centimètres de
colonne d’eau :
pF = log(ψ )
2.4.3 Humidité relative
L’humidité relative est définie comme la pression partielle de la vapeur d’eau
rapportée à la pression de la vapeur d’eau saturante. Elle est exprimée en pourcents
(%). La relation entre l’humidité relative et le potentiel capillaire correspondant est
indépendante du sol. Elle est définie par l’une des relations fondamentales de la
thermodynamique, la loi de Kelvin, dont l’expression est la suivante :
Ψ=
ua − u w
γw
Où
=
RT
ln H
gM
H= P
P0
Avec :
ua : pression de l’air [kPa] ;
uw : pression de l’eau [kPa] ;
H : humidité relative [%] ;
P : pression partielle de la vapeur d’eau dans l’atmosphère ;
P0 : pression de vapeur saturante, elle dépend de la température (Tableau 1.1);
P0 (cmHg)
0,92
1,75
9,25
T (°C )
10
20
50
Tableau.1.1 : Relation pression de vapeur saturante / température (Sayad Gaidi C., 2003)
Avec
M : masse molaire de l’eau (M = 18,016 g.mol-1) ;
g : l’accélération due à la pesanteur ( g = 9,81 m.s-2 ) ;
R : la constante molaire des gaz (R = 8,3143 J.mol-1.K-1) ;
T : la température en ° Kelvin [°K].
Une humidité relative donnée impose aux échantillons de sol une succion
donnée, selon les valeurs du tableau.1.2 ; il lui correspond une teneur en eau d’autant
plus forte que l’attraction exercée par le sol sur l’eau est importante, donc que le sol
est plastique. En fait, on constate que les succions deviennent très importantes en
dessous de 99% d’humidité relative. A de telles valeurs de succion, l’expérience
montre que les pores intergranulaires des sables propres sont complètement désaturés,
et que seules les interactions eau – argile dans les sols fins assez plastiques sont
capables de retenir de l’eau. La relation de Kelvin intervient évidemment dans
l’évaporation des sols et dans les transferts d’eau sous forme de vapeur au sein de la
phase gazeuse du sol qui en résultent.
Lachgueur K._______________________________________________________ 24
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
Pression interstitielle négative (MPa )
0
10-2
10-1
1
70
126
221
316
Humidité relative ( % )
100
99,999
99,927
99,277
60
40
20
10
Tableau.1.2 : Relation succion / humidité relative (T= 20°C)( Sayad Gaidi C., 2003)
2.4.4 Chemin de drainage- humidification
Ce sont des chemins dans lesquels le paramètre moteur essentiel est la pression
interstitielle négative, en l’absence de contrainte extérieure. De nombreux
phénomènes réels suivent des chemins de drainage ou d’humidification : retraitgonflement des sols à faible profondeur lors de variation du niveau de la nappe
phréatique, géotechnique routière,…
Dans sa thèse, Taibi (1994) a représenté le chemin de drainage- humidification
pour un limon d’Orly, sur cinq graphiques ; dont [-uw-e], [pF-Sr], [pF-ω], [ω-e] et
[ω-Sr], les résultats obtenus se présentent sur la figure 1.4.
La représentation dans le plan [-uw - w] est appelée « courbe de rétention » ou
« courbe caractéristique », l’augmentation de succion est associée à une diminution
de la teneur en eau et du volume de l’échantillon. La forme de la courbe de rétention
est affectée par la structure du sol principalement pour les faibles valeurs de -uw. Dans
un sol sableux, la taille des pores est relativement grande, et la courbe de rétention
présente une variation très rapide de la succion pour les faibles teneurs en eau. En
revanche, pour les argiles, la distribution des pores est beaucoup plus continue et la
courbe de rétention est plus graduelle. Par ailleurs, la courbe de rétention n’est pas
unique. Cette relation est différente selon que l’on se trouve en drainage ou en
humidification. Quand un sol partiellement humide commence à se drainer, ou quand
un sol partiellement sec commence à s’humidifier, la relation entre la succion et la
teneur en eau suit certaines courbes intermédiaires en passant de la branche de
drainage vers la branche d’humidification et inversement (fig.1.5). Ces chemins sont
appelés courbes de passage et les variations cycliques d’état hydrique qui existent
dans un élément de sol conduisent à une relation w= f(-uw) très compliquée (Hillel,
1988, Klute and Heermann, 1974, Klute and al., 1964). Les possibilités de passage
d’une branche à l’autre sont appelées phénomènes d’hystérésis.
Ce phénomène d’hystérésis est attribué à plusieurs facteurs (Musy et Soutter,
1991 ; Ed Diny, 1993 ; Fleureau et al, 1993). Parmi ceux- ci :
• La présence d’air piégé qui tend à réduire la teneur en eau du sol sur chemin
d’humidification.
• L’angle de contact solide- eau- air : En effet le rayon de courbure est plus grand
pour un ménisque qui avance que pour un ménisque qui recule.
Lachgueur K._______________________________________________________ 25
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
• La non- uniformité géométrique des pores qui aboutit à l’effet appelé « bouteille
d’encre » : durant le drainage, les vides restent remplis d’eau jusqu’à ce que la
succion soit suffisamment grande pour que le seuil le plus petit des pores se désature,
alors que pendant l’humidification les vides se remplissent d’eau pour une succion
plus faible puisque celle ci correspond au seuil le plus grand des pores.
• Le phénomène de retrait affectant la phase solide sous l’effet de l’augmentation de
la pression interstitielle négative est un comportement plastique dans le domaine
saturé ou quasi saturé, par conséquent, ce phénomène de retrait n’est par réversible
d’où l’hystérésis observé dans le plan [-uw – e].
Figure 1.4 : Représentation globale du chemin de drainage- humification (Taibi, 1994)
Lachgueur K._______________________________________________________ 26
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
Figure 1.5 : Courbe de rétention; à droite les courbes de passage intermédiaires décrivant
les phénomènes d’hystérésis (Hillel, 1988)
2.5 Equations générales de l’écoulement
2.5.1 Ecoulement de l’eau en milieu saturé
La loi dynamique qui décrit l’écoulement dans le milieu saturé est la loi de
Darcy. En milieu homogène et anisotrope, et pour un fluide incompressible, cette loi
s’écrit :
→
→
q = − K * grad H
Où :
→
q : Flux d’eau (m/s)
K : Le tenseur de perméabilité (m/s)
→
grad H : Le gradient de la charge hydraulique (-).
La perméabilité représente la constante de proportionnalité entre le débit et le
gradient hydraulique dans la loi de Darcy. Elle représente l’effet de la résistance à
l’écoulement de l’eau dû aux forces de frottement.
Lorsque le sol est homogène et anisotrope, les valeurs de la perméabilité varient
selon chaque axe dans un système référentiel Oxyz et on l’exprime par un tenseur
d’ordre 02, symétrique :
⎡
⎤
⎢k xx k xy k xz⎥
K =⎢k yx k yy k yz ⎥
⎢k
⎥
⎣ zx k zy k zz ⎦
Le tableau 1.3 illustre la perméabilité de plusieurs matériaux en fonction de
leurs textures (De Marsily, 1981). La distinction entre le domaine perméable et
imperméable est fixée à 10-9 m/s.
Lachgueur K._______________________________________________________ 27
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
Texture
Graviers sans éléments fins
Sables non argileux et graviers
Sables fins et argileux
Argiles franches
Perméabilité (m/s)
10-2
10-2 à 10-5
10-5 à 10-9
10-9 à 10-13
Tableau 1.3 : Perméabilités à saturation pour différents matériaux,
(De Marsily, 1981)
2.5.2 Ecoulement de l’eau en milieu non saturé
Les processus d’écoulement dans les milieux non saturés sont en général
compliqués et difficiles à décrire car ils mettent en jeu des interactions entre trois
phases : le sol, l’eau et l’air.
Il existe trois approches pour décrire l’écoulement en milieu non saturé (Sayad
gaidi C. 2003) :
La première approche est issue de la thermodynamique des processus
irréversibles ou de la mécanique des milieux continus. Elle considère le mélange soleau- air comme une mixture polyphasique (chaque phase est considérée intimement
liée à l’autre) et les équations recherchées permettent de définir les transferts globaux.
Cette approche est complète et satisfaisante. Cependant, elle conduit à une série
d’équations assez complexe mais reste la seule méthode qui permet d’analyser les
différentes possibilités de transfert.
La deuxième approche, dite de mécanique des fluides, considère que le milieu est
formé d’un squelette fixe et deux phases, l’une mouillante (l’eau) et l’autre non
mouillante (l’air). C’est une approche d’écoulement biphasique dans laquelle les
équations de transferts sont déterminées indépendamment pour chacune de ces phases.
C’est généralement la méthode utilisée par les pétroliers et aussi par les physiciens des
sols pour les écoulements dans les milieux poreux confinés.
La troisième approche, dite de physique du sol néglige complètement
l’écoulement de la phase air et considère que l’air présent dans le sol est constamment
et partout à la pression atmosphérique. Il s’agit d’une approche monophasique de
transfert dans laquelle les seules forces agissant sur l’écoulement de la phase liquide
sont la gravité et les forces de tension superficielle créées au niveau des interfaces
eau- air (capillarité).
Cette méthode a été utilisée par de nombreux chercheurs en physique des sols
(Philip, 1957 ; Gardner, 1958 ; …..).
Lachgueur K._______________________________________________________ 28
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
* Mise en équation (Approche monophasique)
L’équation générale des écoulements en milieu non saturé provient de la
combinaison d’une équation d’équilibre, une équation de conservation, une loi de
comportement et les conditions aux limites.
Jz+
∂Jz
∂z
∂z
Jx +
S*
z
Jy+
Jy
y
x
∂Jy
∂y
∂y
∂Jy
∂y
∂y
dz
dx
Jx
Jz
dy
Figure 1.6 : Ecoulement à travers un volume élémentaire de sol
Considérons un élément infinitésimal cubique de dimensions dx, dy et dz (figure
1.6). J étant le flux massique (masse par unité de surface mouillée par unité de temps),
S* en est la source.
L’équation de conservation de la masse s’écrit ainsi :
∂ Jz
∂ Jx
∂ Jy
dx (n Sw dy dz) dt +
dy (n Sw dx dy) dt +
dz (n Sw dx dy) dt
∂z
∂x
∂y
∂
+ (n Sw ρw) dx dy dz dt + S * = 0
∂t
Sw : le degré de saturation en eau de l’échantillon.
n Sw dx dy dz : volume de l’eau dans l’échantillon.
Si on considère que :
⎛ Vx ⎞
⎛ Jx ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜
J = ρw Vw ou bien ⎜ Jy ⎟ = ρw ⎜ Vy ⎟⎟
⎟
⎜
⎜ Jz ⎟
⎜ Vz ⎟
⎠
⎝
⎝ ⎠
Et S*= 0.
Lachgueur K._______________________________________________________ 29
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
L’équation de conservation devient :
⎛ ∂Vx ∂Vy ∂Vz ⎞
∂
⎜⎜
⎟⎟ n Sw + (n Sw ρw) = 0
+
+
∂y
∂z ⎠
∂t
⎝ ∂x
Elle peut s’écrire aussi comme suit :
∂
(n Sw ρw) + n Sw ρw div Vw = 0
∂t
Si on admet que :
Vrw = n Sw (Vw - Vs )
Vrw étant la vitesse relative du liquide par rapport au squelette solide.
Vw est la vitesse absolue du liquide.
Vs est la vitesse du squelette solide.
De cette équation on fait sortir Vw :
Vw =
Vrw + n Sw Vs
n Sw
Donc on obtient ceci :
∂
(n Sw ρw) + n Sw ρw div Vs + ρw div Vrw = 0
∂t
(I)
Par analogie avec l’équation de conservation de la masse de liquide, celle concernant
le solide s’écrit :
∂
[(1 - n) ρs] + (1 − n) ρs div Vs = 0
∂t
Si on considère que les grains solides sont incompressibles, on aura :
− ρs
∂n
∂n
= (1 - n) div Vs
+ (1 − n) ρs div Vs = 0 ⇔
∂t
∂t
Le développement de l’équation (I) conduit à l’écriture suivante :
n Sw ∂ t ρw + n ρw ∂ t Sw + ρw Sw ∂ t n + n Sw ρw div Vs + ρw div Vrw =0
Avec ∂t =
∂
∂t
Lachgueur K._______________________________________________________ 30
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
Si on divise l’équation par ρw on obtient :
n Sw
∂t ρw
+ n ∂t Sw + Sw div Vs + div Vrw = 0
ρw
Cette équation est appelée Equation de Richards.
On peut poser :
∂t ρw
ρw
B= n ∂t Sw
A= n Sw
C= Sw div Vs
Trois cas particuliers possibles peuvent être distingués :
1er cas : liquide incompressible → A=0
Sol saturé (Sw =1) → B=0
Squelette incompressible → C=0 (pas de réarrangement des grains)
L’équation de Richards devient :
div Vrw = 0, avec Vrw = - K grad h
On obtient donc :
∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h
K( 2 + 2 + 2 ) = 0 c' est l' équation de Laplace.
∂z
∂x
∂y
2ème cas : liquide incompressible → A=0
Sol non saturé → B≠0
Squelette incompressible → C=0
L’équation de Richards s’écrit :
∂ t (nS w ) + div Vrw = 0 ou bien ∂ t θ + div Vrw = 0 (θ = n Sw)
3ème cas : liquide compressible → A≠0
Sol saturé → B=0
Squelette incompressible → C=0
L’équation de Richards s’écrit :
n Sw
∂t ρw
+ n ∂t Sw + div Vrw = 0
ρw
Le cas général le plus affronté est celui d’un milieu poreux non saturé
déformable.
Lachgueur K._______________________________________________________ 31
Chapitre 1_______________
Généralités sur les écoulements dans les milieux poreux
En sachant ce qui suit :
∂ tρw
∂U w
1 ∂ ρ w ∂U w
=
= βw
(βw étant la compressibilité de l’eau),
ρw
ρ w ∂U w ∂t
∂t
L’équation de Richards devient :
∂S w ∂U w
n (Sw. β w +
)
+ Sw div Vs + div (K w grad h) = 0 .
∂U w ∂t
∂S
n (Sw. β w + w ) : est appelé coefficient d’emmagasinement.
∂U w
La résolution de l’équation de Richards, suivant des conditions initiales et des
conditions aux limites, permet la prédiction de la répartition spatio-temporelle de
l’humidité dans le milieu poreux. La courbe de répartition de la teneur en eau à
l’instant t peut permettre d’évaluer la quantité d’eau pénétrée ou extraite, selon le cas,
dans le milieu poreux. Cette résolution est possible dés que les relations Sr(-uw)
et k(-uw), définies en termes de relations phénoménologiques, sont connues dans
l’intervalle de variation des teneurs en eau.
3. Conclusion
Durant ces dernières décennies, de notables améliorations ont été apportées à
l’étude de l’hydrodynamique des milieux poreux.
Nous avons défini les variables et les principaux paramètres qui caractérisent
l’état hydrique d’un sol et leur importance dans la description de l’écoulement dans un
milieu poreux non saturé.
Nous avons établi les équations de l’écoulement dans un milieu poreux, dont la
résolution nécessite la connaissance des relations phénoménologiques du sol :
relations entre la conductivité hydraulique et la succion ou la teneur en eau. En
revanche, il se trouve que ces relations ne peuvent être déduites à partir des propriétés
fondamentales du sol, mais qu’elles doivent être déterminées à partir de mesures
expérimentales.
Ainsi, le deuxième chapitre fera l’objet d’une synthèse bibliographique des
techniques de détermination expérimentale des relations entre les paramètres
hydrodynamiques d’un milieu poreux dans la plage des variations de sa teneur en eau.
Lachgueur K._______________________________________________________ 32