Extrait 5 ( PDF 1 539 Ko)

Exercice M-27 Avec calculatrice 6 points
 15 mn
Kiné – Manip’radio
 20 mn
Ergothérapie
 35 mn
Audioprothèse - Orthoptie
☺ ☺ ☺
La grêle se forme dans les cumulo-nimbus situés entre 1000 et 10 000 m d’altitude où la
température atteint -40°c. Le grêlon tombe lorsqu’il n’est plus maintenu au sein du
nuage. Au sol sa vitesse peut atteindre 160 km / h. On étudie la chute d’un grêlon de
masse 13 g qui tombe d’un point d’altitude 1500 m sans vitesse initiale, et qui peut être
assimilé à une sphère de diamètre 3,0 cm. Le point O sera pris comme origine d’un axe
Oz orienté positivement vers le bas. L’accélération de la pesanteur est considérée
comme constante à la valeur g
0
= 9,80 m.s
-2
. On donne masse volumique de l’air ρ = 1,3
kg.m
-3
.
Déterminer les équations horaires donnant la vitesse et la position du centre d’inertie
G du grêlon en chute libre.
Calculer la vitesse du grêlon lorsqu’il atteint le sol. Commenter.
Le grêlon est soumis à la poussée d’Archimède F
A
et la force de frottement fluide F
proportionnelle au carré de la vitesse telle que F = kv². Par une analyse dimensionnelle,
déterminer l’unité du coefficient k dans le système international.
Donner l’expression de la valeur de la poussée d’Archimède. La calculer et la
comparer au poids.
En fonction de la réponse précédente, établir l’équation différentielle du
mouvement. Montrer qu’elle peut s’écrire sous la forme = A – B.v².
Exprimer littéralement la valeur de la vitesse limite atteinte par le grêlon dans ce cas
de chute en fonction de A et B. Sachant que A = 9,80 m.s
-2
et B = 1,56.10
-2
m, calculer
la valeur de la vitesse limite. Comparer au résultat de la question 2.

Exercice M-37 Avec calculatrice 7 points
 20 mn
Kiné – Manip’radio
 24 mn
Ergothérapie
 40 mn
Audioprothèse - Orthoptie
☺ ☺
Un projectile est lancé dans le champ de pesanteur terrestre uniforme avec un vecteur
vitesse v
0
faisant un angle α avec l’horizontale passant par le point de lancement O.
Etablir l’équation de la trajectoire dans le repère (0 ; x , y) tel que v
0
et g soient dans
ce plan.
Exprimer, en fonction de α, g et v
0
, la portée horizontale P. Pour quelle valeur de α
cette portée est-elle maximale ? Exprimer cette portée maximale P
max
en fonction de v
0
et g.
Exprimer, en fonction de α, g et v
0
la flèche, c’est-à-dire l’altitude H du sommet de
la trajectoire. Pour quelle valeur de α cette altitude H est-elle maximale ? Exprimer
cette valeur maximale H
max
en fonction de v
0
et g.
On veut atteindre le point B de coordonnées (P
max
/2 ; H
max
/2), la vitesse v
0
étant fixée.
Montrer qu’il y a deux angles de tir α
1
et α
2
permettant d’atteindre ce point B.
Proposer une méthode qualitative afin de déterminer ces deux angles.
Données : cos
-2
α = 1 + tan
2
α .
Sur un plan incliné d’un angle α par rapport au plan horizontal, on lance un solide
ponctuel, mobile sans frottement, avec une vitesse v
0
faisant un angle  avec la droite
horizontale appartenant au plan incliné et passant par le point de lancement O.
Etablir l’équation de la trajectoire en fonction de α, β, v
0
et g, dans le repère Oxy
indiqué.
Le solide revient sur l’axe Ox en un point O
1
. Donner l’expression de la distance
[OO
1
] en fonction de v
0
, α, β et g.

Exercice M-128 Avec calculatrice 4 points
 11 mn
Kiné – Manip’radio
 15 mn
Ergothérapie
 35 mn
Audioprothèse - Orthoptie
Donnée : g = 9,81 m.s
-2
Un solide s de masse m peut se déplacer, sans frottement, le long d'une tige horizontale
T. Un ressort élastique, à spires non jointives, de constante de raideur k et de longueur
au repos ℓ
0
= 10 cm est accroché au solide S de centre d'inertie G. La deuxième
extrémité du ressort est accrochée au point fixe I (cf schéma 2). On note O la position
de G telle que [IO] soit orthogonal à T. On note [IO] = L = 6 cm ; [IG] = ℓ et x =  .
Faire le bilan des forces appliquées au solide S. Pour cela on dessinera deux
schémas clairs correspondant à deux situations que l'on précisera.
En choisissant comme niveau de référence Ep = 0, exprimer l'énergie potentielle du
système { solide + ressort } en fonction de k, ℓ
0
, L et x.
En déduire les positions d'équilibre du système, correspondant aux valeurs
minimales de l'énergie potentielle. Faire l'application numérique.

Exercice M-126 Avec calculatrice 13 points
 43 mn
Kiné – Manip’radio
 49 mn
(Ergothérapie)
 85 mn
Audioprothèse - Orthoptie
Il est demandé les expressions littérales simplifiées et ordonnées avant toute
application numérique. Les notations doivent être scrupuleusement respectées.
Un véhicule à moteur se déplace le long du chemin rectiligne ABCD (voir figure). La
portion AB est horizontale, la portion BCD est inclinée d'un angle α par rapport à
l’horizontale.
On considère deux solides ponctuels S et S', de même masse m = 100 g.
Le solide S est attaché à la paroi intérieure du véhicule par un ressort de raideur k = 10
N.m
-1
, de longueur à vide ℓ
0
= 80 cm. S peut se déplacer sans frottement le long d'une
tige rigide, fixée au véhicule, parallèle à son vecteur vitesse. L’ensemble constitue un
pendule élastique (S). Le solide S' est attaché au plafond du véhicule par un ressort
identique au précédent. L'ensemble constitue un pendule élastique (S').
Un fil MN fixé à l'intérieur du véhicule, perpendiculaire au plancher de celui-ci,
rerésente la « verticale » du véhicule.
On prendra: g = 10 m.s
-2
et sin α = 0,20
PORTION AB DU CHEMIN :
Sur la portion AB du chemin, le véhicule freine de façon uniforme. Le vecteur
accélération  de son centre d’inertie a pour norme a = 2,0 m.s
-2
.
Etude du pendule (S) :
Représenter les forces appliquées au solide S.
Calculer la longueur (en centimètres) du ressort de (S).
Etude du pendule (S') :
Représenter les forces appliquées au solide S' ainsi que le vecteur m.
Calculer l'angle d'inclinaison θ du ressort avec la verticale.

m. =  +  où  est la composition sur l’axe normal du vecteur  .
m. =   -   = m. + 
d’après (2)    = m.
α
+ 
or cosα =  = mg. cosα
 = m.
α
+ mg. cosα    = mg.[
α
αα
α
+ cosα
αα
α ] (4)
La discontinuité dans l’intensité de la réaction du support est D telle que, d’après (3)
et (4) :