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PCSI 2 Mouvement de particules chargées dans le vide
2016 – 2017 3/5
On considère un proton injecté en A dans le synchrotron où règne un champ magnétique statique et uniforme
est perpendiculaire au champ magnétique conformément à la figure 4.
a) Donner le nom et l’expression vectorielle de la force que subit le proton
soumis au champ magnétique
.
Pour les questions suivantes, on considère que le proton n’est soumis qu’à
cette force.
b) Reproduire la figure 4 sur votre copie afin de représenter la force
magnétique subie par le proton en A. Exprimer la norme de cette force.
c) Montrer que le travail associé à cette force est nul. En déduire que le
mouvement du proton est uniforme.
d) Déterminer le rayon de la trajectoire d’abord en fonction de mp, B0, e et v0,
puis en fonction de B0, e et de la quantité de mouvement p du proton.
e) Quelle est la nature du mouvement du proton après sa sortie de la zone de
champ magnétique ?
f) Effets relativistes
Pour des vitesses approchant la vitesse c de la lumière dans le vide au fur et à mesure de l’augmentation de l’énergie des
particules, il faut prendre en compte les effets relativistes.
On peut montrer que l’on peut garder, pour le rayon de courbure R des particules dans un champ magnétique uniforme en
fonction de leur quantité de mouvement p, l’expression de la question d) à condition de prendre p = γmv avec
, où
v est la vitesse des particules.
De plus, on définit l’énergie E d’une particule par la relation E = Eo + Ec = γmc2, où Eo = mc2 est son énergie au repos et Ec son
énergie cinétique.
Donner alors successivement, pour les protons, les expressions de γ (en fonction de Ec, mp et c), v/c (en fonction de γ), et enfin
R (en fonction de γ, mp, v, e et B).
g) Application numérique
A l’aide des résultats de la question précédente et des données numériques fournies dans le texte, estimer la valeur du champ
magnétique régnant à l’intérieur du LHC.
Les aimants utilisés, de 15 m de long et d’environ 35 tonnes, produisent en leur cœur un champ magnétique environ 200 000
fois plus grand que le champ magnétique terrestre. Le LHC en nécessite 1232.
Réponse :
; B = 5 T.
II On considère une particule de masse m et de charge q > 0 plongée dans un champ électromagnétique stationnaire et uniforme :
.
A t = 0, elle se trouve à l’origine O du repère avec une vitesse initiale :
.
1) Ecrire les équations différentielles satisfaites par les composantes du vecteur vitesse.
2) Déterminer la loi horaire z(t).
3) Intégrer une fois les deux équations restantes, et calculer les constantes d’intégration grâce aux conditions initiales ; on pourra
poser
.
4) En déduire l’équation différentielle du second ordre satisfaite par la coordonnée y.
5) Ecrire la solution générale yo(t) de l’équation précédente sans second membre, puis chercher une solution particulière y1(t) de
l’équation complète sous la forme d’un polynôme du premier degré (loi affine du temps).
6) Ecrire la solution générale y(t) de l’équation de la question 4), et calculer les constantes d’intégration.
7) En déduire la loi x(t).
8) Tracer l’allure de la trajectoire.
Réponse :
€
˙ ˙
y +
ω
2y=−
ω
vo−q2EB
m2t
€
y(t)=vo
ω
cos
ω
t−1
( )
+E
B
ω
sin
ω
t−
ω
t
( )
€
x(t)=vo
ω
sin
ω
t+E
B
ω
1−cos
ω
t
( )