Théorème d`Ampère en magnétostatique : (1) D`où par le théorème

Équations de Maxwell – Courants de Conduction et de Déplacement
Théorème d'Ampère en magnétostatique :
∮ B⃗ . d ⃗l = μ . I Int Conduction
(1)
D'où par le théorème de Stokes :
⃗
rot ( ⃗
B )Statique = µ.⃗
J Conduction
(2)
Maxwell a introduit la densité de courant de déplacement JD étendu aux régimes variables :
⃗
∂E
⃗
rot ( ⃗
B )Variable = µ . ε .
∂t
(3)
D'où :
⃗
⃗ ) = µ .⃗
rot ( B
J Déplacement + µ .⃗
J Conduction
La densité de courant de déplacement JD du à la variation du champ électrique E est :
∂⃗
E
⃗
J Déplacement = ε .
∂t
Le courant de déplacement JC du au champ électrique :
⃗
J Conduction = σ . ⃗
E
(4)
(5)
(6)
Le théorème d'Ampère en Statique et Variable devient :
∮ ⃗B . d ⃗l
= μ . ∫ ⃗j . n⃗ . d 2 S + ϵ.μ .∫
S
S
∂⃗
E
. n⃗ . d 2 S
∂t
(7)
Avec :
ϵ0 ≝
1
−1
−1
−1
F.m ou C.V . m
9
36. π . 10
Si le champ électrique E est variable :
E = E 0 . cos ω .t
⃗
Jc = σ.⃗
E
⃗
⃗
J d = ϵ. ω . E
Doù :
Jc
= σ
Jd
ϵ.ω
(8)
(9)
Exemples
Dans le cuivre ces courants de conductions sont très élevés par rapport au courant de déplacement.
Dans le verre les courants de déplacements sont majoritaires.
• Cuivre :
Jc/Jd = 1,1.1012 >> 1
• Sols argileux :
Jc/Jd = 1,8
• Verre :
Jc/Jd = 1,8.10-2 << 1
Jean-Paul Cipria
Agrégation en Sciences - 05/08/2013
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Équations de Maxwell – Courants de Conduction et de Déplacement
OPPH : Onde Plane Progressive et Harmonique
« Soit f(x,y,z,t) la fonction d'onde (f peut être p pression acoustique, v vitesse acoustique,
vecteur E électrique, vecteur B magnétique ....) »
« La surface d'onde est la surface définie par f(x,y,z,t)=cte. A t donné, cela nous donne
donne une relation entre x, y et z définissant la suface d'onde. Une onde plane est une
onde pour laquelle les surfaces d'onde sont des plans. Si on prend l'exemple de
l'acoustique, cela signifie que l'ensemble des points ayant une même pression p1 et une
même vitesse v1 forment un plan. »
Progressive : « f est de la forme f(wt-k.r) avec r le vecteur position (noté souvent OM).
Cela correspond à une onde qui se déplace (progresse) dans la direction de k vecteur
d'onde. On a souvent simplifié f dans le cours en prenant une onde se dirigeant vers +x
ou -x de la forme: f(wt-kx) ou f(wt+kx) (w : oméga). »
Harmonique : la fonction f est la fonction sinusoïdale.
« Une OPPH est donc de la forme : f=A.sin(wt-k.r) ou en complexes : f=A.exp(j(wtk.r)).Remarque : f=cte donne wt-k.r=cte soit k.r=cte à t donné : le plan d'onde est donc
orthogonal au vecteur d'onde k ; ou wt-kx=cte donne kx=cte soit x=cte. »
DLHI : Diélectrique Linéaire Homogène Isotrope
Théorème de Vaschy-Buckingham ou théorème Pi
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Vaschy-Buckingham
« En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham1,2, ou théorème Pi, est un des
théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation
physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités
fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu n - k variables
sans dimension construites à partir des variables originelles. » - Wikipedia
Jean-Paul Cipria
Agrégation en Sciences - 05/08/2013
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