DS N° 1

Année universitaire 2010-2011
S5 - Électromagnétisme dans la matière
Devoir Surveillé numéro 1, mardi 9 novembre 2010, durée 1 heure 30 minutes
Documents non autorisés - calculatrices autorisées mais non nécessaires
1. Propagation d’ondes électromagnétiques dans un conducteur On s’intéresse à la propaga~ où J~ est la densité
tion d’ondes électromagnétiques dans un conducteur vérifiant la loi d’Ohm J~ = γ E,
~
volumique de courant, E le champ électrique et γ la conductivité.
a) Montrer que la conservation de la charge électrique combinée à la loi d’Ohm implique que la densité
volumique de charge ρ, si elle est initialement non nulle, tend vers 0 en chaque point du conducteur.
Donner l’échelle de temps caractéristique τr avec laquelle cette relaxation s’effectue. Dans la suite, on
supposera ρ = 0.
~ et magnétique
b) Rappeler les quatre équations de Maxwell “dans le vide” reliant les champ électrique E
~ aux densités volumiques totales de charge ρ et de courant J.
~
B
c) En utilisant les équations de Maxwell et la loi d’Ohm, établir l’équation de propagation à laquelle obéit
~
le champ électrique E.
d) Montrer que l’équation de propagation obtenue ci-dessus admet des solutions ondes planes de la forme
~ = E~0 ei(~k.~r−ωt) (au cas où l’équation de propagation n’aurait pas été trouvée à la question précédente,
E
on peut néanmoins essayer de répondre à cette question en utilisant la forme simplifiée que prennent les
équations de Maxwell quand on les applique à une onde plane).
e) Etablir la relation de dispersion reliant le nombre d’onde k = ||~k|| à la pulsation ω. Comment cette
relation se simplifie-t-elle dans la limite γ/(0 ω) 1, dite du “bon conducteur”.
f) Montrer que dans cette limite, les ondes électromagnétiques voient leur amplitude décroître exponentiellement avec la distance de propagation. Donner l’expression de “l’épaisseur de peau” δ, distance sur
laquelle l’amplitude est divisée par e.
2. Champ électrique à l’intérieur d’une sphère uniformément chargée On veut calculer le champ
électrique à l’intérieur d’une sphère de centre O et de rayon R et portant une charge totale Q répartie
uniformément dans le volume. Les résultats de cet exercice seront utilisés dans les deux exercices suivants.
~ = f (r)~r où
a) Montrer que pour des raisons de symétrie, le champ en un point M est de la forme E
~
~r = OM . On pourra par exemple considérer des rotations autour de la droite OM .
~ = (Q/4π0 R3 )~r.
b) En utilisant le théorème de Gauss, montrer qu’en un point intérieur à la sphère, on a E
c) Par la même méthode, établir l’expression du champ électrique en un point extérieur à la sphère.
Pouvait-on s’attendre au résultat ?
3. Champ électrique à l’intérieur d’une sphère polarisée uniformément On considère la même
sphère mais portant maintenant une densité volumique de moment dipolaire P~ uniforme.
a) On a vu en cours qu’une distribution de moment dipolaire P~ dans un échantillon matériel était équivalente à une densité volumique de charge ρp et une densité surfacique de charge σp . Rappeler les expressions de ρp et σp en fonction de P~ . Que valent-elles dans le cas de la sphère polarisée uniformément ?
~ .
Pour un point M à la surface de la sphère, on notera θ l’angle entre P~ et OM
b) Rappel du principe de superposition : si la densité volumique de charge ρ1 engendre le champ E~1 et la
densité ρ2 engendre le champ E~2 , quel est le champ engendré par ρ1 + ρ2 ?
c) Expliquer pourquoi la distribution de polarisation uniforme étudiée ici peut être considérée comme la
superposition de deux distributions de charges de densités volumiques ρ0 et −ρ0 contenues dans deux
sphères décalées d’une distance δ suffisamment petite. Donner la relation entre P , ρ0 et δ.
1
d) En utilisant le résultat du 2 b), en déduire l’expression du champ électrique à l’intérieur de la sphère
polarisée uniformément en fonction deP~ .
4. Polarisation atomique On étudie ici la polarisation induite dans un noyau atomique sous l’action
d’un champ électrique, statique ou oscillant, ainsi que la propagation d’une onde électromagnétique dans
une vapeur atomique.
On représente la distribution de charges à l’intérieur de l’atome par la superposition d’une charge ponctuelle
+Ze immobile, représentant le noyau, et d’une distribution de charges répartie uniformément dans une
sphère de rayon a, et de charge totale -Ze, représentant le nuage électronique. On suppose que sous l’action
d’un champ, cette sphère ne se déforme pas, mais que son centre C peut se déplacer par rapport au noyau
~ le vecteur joignant le centre du nuage électronique au centre du noyau.
N . On notera ~r = CN
a) Montrer en utilisant la définition du moment dipolaire que pour le calcul de ce dernier, la contribution
du nuage électronique peut être représentée par une charge -Ze concentrée au centre C de la sphère
contenant le nuage. Donner l’expression du moment dipolaire p~ en fonction de Z, e et ~r.
b) Exprimer la force électrique exercée par le nuage électronique sur le noyau. On utilisera les résultats du
2 b). En l’absence de champ externe, quelle est la position d’équilibre du noyau par rapport au nuage
atomique ? On rappelle que md~v /dt = ΣF~i (l’accélération est égale à la somme des forces appliquées).
c) On applique maintenant un champ externe E~ext à l’atome. Ecrire la condition d’équilibre pour le noyau
soumis à la fois à la force créee par le champ externe et à celle créee par le nuage électronique. En
déduire le moment dipolaire induit et montrer qu’il est proportionnel à E~ext . En déduire l’expression de
la polarisabilité électronique αe définie par la relation p~ = αe E~e xt. On supposera dans la suite que la
polarisabilité électronique représente le mécanisme de polarisation dominant.
d) Rappeler l’expression de la densité volumique de charge équivalente à une distribution volumique de
moment dipolaire P~ . Rappeler l’expression en fonction de P~ du courant de polarisation J~p associé à ρp .
Montrer que J~p et ρp vérifient une équation de conservation.
~ = E~0 ei(~k.~r−ωt) se propage dans une
e) On suppose maintenant qu’une onde électromagnétique plane E
valeur atomique comportant n0 atomes par unité de volume. Cette onde constitue un champ externe
pour les atomes. En utilisant les équations de Maxwell “dans le vide”, montrer que le champ électrique
obéit à une équation de propagation du type
~−
∆E
~
1 ∂E
= S(P~ ).
2
c ∂t2
(1)
où on explicitera la terme de source S(P~ ). L’expression S(P~ ) pourra être simplifiée en remarquant
~ est transverse (de divergence nulle) et que P~ est proportionnel à E.
~ Important : on
que le champ E
supposera qu’il n’y a pas de courant ni de charge libres, uniquement des densités volumiques de charge
et de courant de polarisation ρp et J~p .
~ où χ est appelée la susceptibilité de la vapeur atomique. Exprimer χ en fonction de
f) On pose P~ = 0 χE
αe calculée précédemment.
~ dans l’équation de propagation calculée précédemment, montrer que la
g) En remplaçant P~ par 0 χE
propagation dans la vapeur est similaire à une propagation dans le vide à la différence que l’onde se
déplace à une vitesse v inférieure à la vitesse de la lumière c. Donner l’expression de l’indice de la
vapeur n = c/v.
Rappels
~ =0
~ V
div rot
4F = ∂ 2 F/∂x2 + ∂ 2 F/∂y 2 + ∂ 2 F/∂z 2
Volume (surface) d’une sphère de rayon R : 34 πR3 (4πR2 ).
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