anneaux factoriels Exercice 1 : Exercice 2 : Exercice 3 : Exercice 4

Université Joseph Fourier
Master de Mathématiques, M1, 2015-2016
anneaux factoriels
Exercice 1
:
Soit A un anneau intègre et π1 et π2 deux éléments irréductibles non associés de A.
Quel est le pgcd de π1 et π2 ?
Exercice 2
:
Considérons a, b deux éléments d'un anneau intègre A. On suppose que a et b possèdent
un ppcm m dans A.
1. Montrer qu'il existe d ∈ A tel que ab = md.
2. Montrer que d est un pgcd de a et b.
Exercice 3
:
Soit k un corps de caractéristique nulle et P un polynôme de k[X]. Montrer que P
et P 0 sont premiers entre eux dans k[X] si et seulement si la décomposition de P en
produit d'irréductibles de k[X] ne contient pas de facteurs carrés.
Exercice 4
:
Soit P un polynôme irréductible de Q[X]. Que peut-on dire de la multiplicité de ses
racines dans C ?
Exercice 5
:
Soient P et Q deux polynômes de Z[X], Q unitaire. Montrer que si Q divise P dans
C[X] alors Q divise P dans Z[X].
Exercice 6
:
On considère le sous anneau de C des entiers de Gauss Z[i] = {a + ib; a, b ∈ Z}. On
utilisera l'application norme N : Z[i] → N qui à z ∈ Z[i] associe N (z) = zz = |z|2 .
1. factorialité de l'anneau Z[i] :
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(a) Montrer que pour tout z ∈ C il existe w ∈ Z[i] tel que |z − w|2 ≤ 21 .
(b) En déduire que l'anneau Z[i] est euclidien.
2. nombres premiers de Z irréductibles dans Z[i] :
(a) Quels sont les éléments inversibles de Z[i] ?
(b) Montrer que 2 = −i(1 + i)2 est la décomposition de 2 en produit d'irréductibles de Z[i].
(c) Soit p ∈ Z un entier premier impair.
Montrer que l'anneau quotient Z[i]/(p) est isomorphe à Fp [X]/(X 2 + 1).
En déduire que p est irréductible dans Z[i] si et seulement si p ≡ −1 mod 4.
(d) Soit p ∈ Z premier, avec p ≡ 1 mod 4.
Montrer que si π est un élément irréductible de Z[i] et si π divise p dans Z[i],
alors le produit ππ divise p dans Z.
En déduire que p = N (π).
3. norme des irréductibles de Z[i].
(a) Soit π un élément irréductible de Z[i] non associé à un nombre premier,
montrer que Z ∩ πZ[i] est un idéal premier de Z. On a donc Z ∩ πZ[i] = pZ
où p est un entier premier de Z.
(b) Montrer que p = N (π). En déduire que p = 2 ou p ≡ 1 mod 4.
4. application à la détermination des entiers n qui s'écrivent comme une somme
de deux carrés dans N :
Soit C = {n ∈ N; ∃a ∈ N, ∃b ∈ N n = a2 + b2 }.
(a) Montrer que C est stable par multiplication.
(b) Soit p ∈ N un entier premier. Montrer que p ∈ C si et seulement si p n'est
pas irréductible dans Z[i].
(c) Donner une condition susante pour qu'un entier appartienne à C à l'aide
de sa décomposition en produit d'irréductibles de Z.
Exercice 7
:
[Triplets pythagoriciens]
On note E l'ensemble des triplets d'entiers relatifs (x, y, z) tels que x2 + y 2 = z 2 .
L'objectif de cet exercice est de prouver que E = A où
A = {(d(u2 −v 2 ), 2duv, d(u2 +v 2 )) | (u, v, d) ∈ Z3 }∪{(2duv, d(u2 −v 2 ), d(u2 +v 2 )) | (u, v, d) ∈ Z3 }.
(1)
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1. Montrer que E = ZF où F = {(x, y, z) ∈ Z3 | pgcd(x, y) = 1 et x2 + y 2 = z 2 }.
Soit (x, y, z) ∈ F et considérons ω = x + iy ∈ Z[i].
2. Montrer que ωω = z 2 .
3. Nous allons à présent montrer que ω et ω sont premiers entre eux dans Z[i].
Supposons qu'il existe δ un diviseur irréductible commun de ω et ω dans Z[i].
4. Montrer que δ et δ ne sont pas associés dans Z[i].
5. Montrer que N (δ) divise ω dans Z[i].
6. En déduire une contradiction avec l'appartenance de (x, y, z) à F et conclure.
7. Montrer qu'il existe λ ∈ Z[i]× et α, β ∈ Z[i] tels que ω = λα2 et ω = λ−1 β 2 .
8. En déduire que F ⊂ A et E ⊂ A.
9. Montrer l'égalité (1).
Exercice 8
:
Soit A un anneau factoriel et π un élément irréductible de A.
Pi=d
ai X i
1. On considère l'application f : A[X] → A/(π)[X] qui au polynôme i=0
Pi=d
associe le polynôme i=0 ai X i . Montrer que f est un morphisme d'anneaux.
2. Montrer que A/(π)[X] est un anneau intègre.
Exercice 9
:
Soit A un anneau factoriel dont le corps des fractions est noté K . Soient P et Q deux
polynômes de A[X], Q primitif. Montrer que si Q divise P dans K[X] alors Q divise
P dans A[X].
Exercice 10
:
√
Soit A le sous anneau de C formé des complexes qui s'écrivent a + ib 5 avec a et b
dans Z. Pour tout élément z de a on pose N (z) = zz .
1. Montrer qu'un élément z de A est inversible dans a si et seulement si N (z) = 1.
En déduire l'ensemble A× des inversibles de A.
2. Soit p un nombre premier de Z. Montrer que p est un élément non irréductible
de A si et seulement s'il existe a et b dans Z tels que p = a2 + 5b2 .
Quels sont les éléments irréductibles de A parmi 2, 3, 5, 7, 11, 13 ?
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√
3. Soit v = 1 + i 5. Calculer N (v) et montrer que v est irréductible dans A. En
déduire que l'anneau A n'est pas factoriel.
4. Existe-t-il des idéaux de A qui ne sont pas principaux ?
5. L'idéal 2A est-il un idéal premier de A ?
6. Montrer que I = 2A + vA est un idéal premier de A. L'idéal I est-il principal ?
7. Montrer que 2 et v ont un pgcd mais n'ont pas de ppcm.
Exercice 11
:
Soit k un corps. On considère l'anneau A = k[X, Y, Z, T ]/(XY − ZT ).
1. Montrer que A est un anneau intègre.
2. On considère le morphisme d'anneaux f : k[X, Y, Z, T ] → k[U, T, Y ] déni par
f (P (X, Y, Z, T )) = P (U T, Y, U Y, T )
.
(a) Le morphisme f est-il surjectif ?
(b) Montrer que f se factorise en un morphisme f : A → k[U, T, Y ].
(c) Montrer que le morphisme f est injectif.
3. Montrer que Y est irréductible dans A.
4. L'anneau A est-il factoriel ?
Exercice 12
:
1. Soit C une courbe dans R2 et ω un point de C . On note F l'anneau des fonctions
dénies sur R2 à valeurs dans R, I l'idéal des fonctions de F qui s'annulent sur
C , M l'idéal des fontions de F qui s'annulent en ω . Montrer que l'anneau FC
des fonction dénies sur C à valeurs dans R est isomorphe à F/I et celui Fω des
fonctions de ω dans R à F/M . Noter que M est donc un idéal maximal de F .
2. On se restreint aux fonctions polynômiales de R2 dans R et on travaille avec
l'anneau A = R[X, Y ] car on assimile une fonction polynômiale à un polynôme.
On considère une courbe C de R2 dénie par une équation polynômiale et I
l'idéal de A formé des polynômes qui s'annulent sur C . L'anneau des fonction
polynômiales dénies sur la courbe C est alors par dénition l'anneau A/I .
(a) On considère la courbe C d'équation y 2 − x2 − 2x − 1 = 0.
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i. Montrer que C est la réunion de deux courbes C1 et C2 dont on donnera
des équations.
ii. Pour i = 1, 2 déterminer l'idéal de A des fonctions nulles sur Ci . En
déduire que I = (Y 2 − X 2 − 2X − 1).
iii. L'anneau A/I est-il intègre ?
(b) On considère la courbe C d'équation y 2 + x2 − 1 = 0.
i. Montrer que I = (Y 2 + X 2 − 1).
ii. L'anneau A/I est-il intègre ?
(c) On considère la courbe C d'équation y 2 − x2 − 1 = 0.
i. Montrer que I = (Y 2 − X 2 − 1).
ii. L'anneau A/I est-il intègre ?
3. Soient C1 la courbe d'équation y − x = 0 et C2 celle d'équation y − x − 1 = 0.
Soit C = C1 ∪ C2 . Soient I1 , I2 et I les ideaux de A formés respectivement des
polynômes qui s'annulent sur C1 , C2 et C .
(a) Montrer que la projection p1 : A → A/I1 se factorise par A/I . Quelle interprétation géométrique peut-on donner à cette factorisation ?
(b) On obtient donc un morphime d'anneaux A/I → A/I1 × A/I2 .
Est-ce un isomorphisme ?
4. Reprendre les questions du 3.a,b avec les courbes C1 , C2 et C introduites au 2.a.
Existe-t-il un isomorphime d'anneaux entre A/I et A/I1 × A/I2 ?
Exercice 13
:
On considère l'anneau C des fonctions continues sur l'intervalle ] − 1; 1[.
1. Montrer que l'idéal maximal I des fonctions de C qui s'annulent en 0 n'est pas
de type ni. En déduire que l'anneau C n' est pas noethérien.
2. Donner un ensemble d'idéaux de l'anneau C qui ne possède pas d'élément maximal.
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