Comportement sismique des ossatures en éléments industrialisés
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L ES É DITIONS DU CERIB Comportement sismique des ossatures en éléments industrialisés en béton : justifications pour l’application de l’Eurocode 8 Seismic behavior of precast concrete frames background for the application to Eurocode 8 Produits Systèmes 145.E issn 0249-6224 ean 9782857552253 AdC/AL/CV/MA PO 098 / Produits - Systèmes Comportement sismique des ossatures en éléments industrialisés en béton : justifications pour l’application de l’Eurocode 8 Seismic behavior of precast concrete frames background for the application to Eurocode 8 Réf. 145.E Juin 2009 par André de CHEFDEBIEN Adel LACHIHAB Céline VINOT Études et Recherches © CERIB – 28 Épernon 145.E – juin 2009 - ISSN 0249-6224 – EAN 9782857552253 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. 2 Études et Recherches SOMMAIRE Introduction ................................................................................................ 5 1. Synthèse du retour d’expérience du comportement des structures en éléments préfabriqués soumises à un séisme ............................................................. 7 1.1. Analyse des défauts de comportement constatés ....................................................7 1.2. Projet européen : ECOLEADER – Seismic behaviour of reinforced concrete industrial buildings .........................................................................................................9 1.3. Comportement lors du séisme du Frioul [20] ........................................................13 2. Justification des valeurs de coefficient de comportement et de la rigidité forfaitaire ............................................................................................ 15 2.1. Méthodologie de vérification par la méthode push-over ; prise en compte de l’amortissement hystérétique .............................................................................15 2.2. Application de la méthode à un poteau de 6 m et comparaisons avec les calculs élastiques .......................................................................................................20 2.3. Comparaisons avec les résultats des essais ECOLEADER ......................................24 2.4. Étude paramétrée de la demande en ductilité .....................................................32 3. Méthode d’analyse modale appliquée aux bâtiments avec mezzanine ................ 35 3.1. Bâtiments avec mezzanine ...............................................................................35 3.2. Équilibre dynamique........................................................................................35 3.3. Valeurs maximales par mode ............................................................................37 3.4. Valeurs maximales de la réponse totale..............................................................37 4. Influence sur le comportement sismique d’une ossature de la présence d’un joint de dilatation ......................................................................................... 41 4.1. Modélisation de la structure ................................................................................41 4.2. Modélisation du comportement du joint de dilatation .............................................42 4.3. Simulation par la méthode des éléments finis ........................................................43 4.4. Conclusion .......................................................................................................50 3 Études et Recherches 5. Étude du comportement tridimensionnel des bâtiments à toitures souples ........... 51 5.1. Modèle de bâtiment ..........................................................................................51 5.2. Résultats ...........................................................................................................53 5.3. Conclusion .......................................................................................................55 6. Conclusions générales ............................................................................ 56 Bibliographie ............................................................................................ 57 Annexe 1 – Modélisation du béton armé ....................................................... 59 Annexe II – Exemple bâtiment industriel .......................................................... 67 Annexe III – Essais Ecoleader – Résultats calcul élastique pour le poteau « équivalent » .......................................................................... 69 Annexe IV – Résultats de l’étude paramétrée ................................................... 70 4 Études et Recherches Introduction Le domaine d’application de l’Eurocode 8 comprend explicitement les ossatures à composants industrialisés en béton encastrés en pied et rotulés en tête, cependant, certains paramètres de calcul ne sont pas fixés et l’influence de dispositions constructives courantes sur le comportement n’est pas précisée. La présente étude s’est attachée à traiter des différents points permettant une application sans ambiguïté de l’Eurocode 8 pour la plupart des bâtiments construits selon ce procédé d’ossatures. Les résultats, en particulier en ce qui concerne la mise en œuvre des méthodes simplifiées de calcul, ont été introduits dans le DTU 23.3 « ossatures en éléments industrialisés en béton », ainsi que dans un guide d’application de l’Eurocode 8. Le rapport qui suit comporte cinq parties, regroupant les justifications, analyses et calculs qui ont permis l’établissement de ces documents d’application : - synthèse du retour d’expérience du comportement des structures en éléments préfabriqués soumises à un séisme ; - justification des valeurs de coefficients de comportement et de rigidité ; - méthode d’analyse modale appliquée aux structures avec mezzanine ; - influence de la présence d’un joint de dilatation sur le comportement sismique d’une ossature ; - étude du comportement tridimensionnel des bâtiments à toitures souples. 5 Études et Recherches 6 Études et Recherches 1. Synthèse du retour d’expérience du comportement des structures en éléments préfabriqués soumises à un séisme L’observation du comportement des structures en éléments préfabriqués lors des différents séismes a démontré l’importance d’une conception attentive des détails pour ce type de structure. La très grande majorité des effondrements sont dus au fait de mauvaises conceptions des liaisons et/ou du non-respect des dispositions constructives. Le chapitre qui suit présente les éléments recueillis à la suite des principaux séismes impliquant des structures préfabriquées ainsi que les essais significatifs effectués. mauvais ancrage de ces armatures transversales (retour à 90°) qui s’ouvrent lors du séisme (figures 1, 2). Sous l’effet de l’action sismique, des phénomènes de ruine sont apparus en partie courante de poteau (figure 3). Des arrêts de barre inadaptés combinés à des aciers transversaux inefficaces ont favorisé l’apparition d’une région de faiblesse dans le poteau. 1.1. Analyse des défauts de comportement constatés Différentes causes conduisent à la ruine de ce type de structure, notamment : − une ductilité insuffisante des rotules plastiques en pied de poteaux ; − une mauvaise conception des liaisons poteau poutre. Figure 1 ductilité insuffisante des rotules plastiques en pieds de poteaux (séisme d’Izmit, Turquie – 1999) 1.1.1. Pieds de poteaux Dans ces structures, les poteaux doivent être capables de développer des rotules plastiques à leur base sans qu’apparaissent de ruptures fragiles, de ruptures d’adhérence ou de perte de confinement du béton. Les différentes missions qui ont lieu sur le terrain suite aux séismes ont permis de mettre en évidence des problèmes de conception récurrents au niveau de ce type de structures, qui ont pour conséquence la ruine partielle ou totale de la structure. Il s’agit notamment de l’absence ou de l’inefficacité des armatures transversales qui conduitsent une ductilité insuffisante du poteau et favorise le flambement des aciers longitudinaux et l’écrasement prématuré du béton. Ce défaut est généralement lié au Figure 2 ductilité insuffisante des rotules plastiques en pieds de poteaux (séisme d’Izmit, Turquie – 1999) 7 Études et Recherches Figure 3 ruine en partie courante (séisme d’Izmit, Turquie – 1999) 1.1.2. Liaison poteaux-poutres Des liaisons poteaux-poutres d’ossatures en éléments préfabriqués ont rompu lors de séismes à cause de montages défectueux. Selon le type de liaisons, différentes causes de ruptures ont été constatées, notamment le cisaillement des poteaux au sommet des remplissages trop rigides et solidaires de la structure (figure 4). Le sous-dimensionnement des broches des liaisons poteaux-poutres associé à une mise en œuvre incorrecte du mortier de blocage (remplissage inadapté ou insuffisant des fourreaux) a conduit, sous l’effet de l’action sismique, à un pivotement des poutres sur leur appui et au final à leur chute. En chutant, les poutres ont ponctuellement endommagé des éléments de la structure. Des défauts de conception des broches ont également été constatés lors des séismes de Northridge et d’Izmit (figures 5 et 6). La figure 7 illustre la perte partielle d’appui d’une poutre de toiture du fait d’un fourreau mal liaisonné à la poutre. Figure 5 rupture due à un frettage insuffisant des broches dans le poteau (séisme de Northridge –1994) Figure 6 rupture de l’ancrage des broches entraînant la rupture de la liaison (séisme d’Izmit, Turquie – 1999) Figure 4 cisaillement du poteau – remplissage rigide et solidaire de la structure (séisme d’Izmit, Turquie – 1999) Figure 7 mauvaise liaison des fourreaux aux poutres (séisme d’Izmit, Turquie – 1999) 8 Études et Recherches 1.2. Projet européen : ECOLEADER – Seismic behaviour of reinforced concrete industrial buildings [21][22] Le principal but de ce projet était de contrôler la fiabilité des recommandations de l’Eurocode 8 pour la conception de bâtiments industriels en éléments préfabriqués en béton armé. Ce projet a également permis de mettre en évidence un comportement équivalent des structures préfabriquées par rapport aux structures coulées en place à un seul niveau, vis-à-vis d’une sollicitation sismique. Cette étude a été menée en deux temps, tout d’abord un volet de modélisation numérique et dans un second temps une phase expérimentale. 1.2.1. Analyses numériques Dans un premier temps une analyse non linéaire a été appliquée dans le cadre d’un calcul probabiliste basé sur l’application de la méthode de Monte-Carlo. Celle-ci a permis de déterminer les valeurs représentatives des capacités de dissipation d’énergie des deux structures. Les valeurs obtenues par l’analyse statistique montrent que les structures préfabriquées présentent une même capacité de réponse aux séismes que les structures coulées en place. La vérification expérimentale de ces résultats théoriques a été faite au moyen d’essais pseudo-dynamiques sur des structures grandeur réelle. Les principaux résultats des essais sont présentés ci-après. 1.2.2. Essais pseudo dynamiques Les essais présentés ont été effectués afin de comparer le comportement sous séisme d’une structure préfabriquée et d’une structure coulée en place, ces deux structures étant dimensionnées selon les prescriptions de l’Eurocode 8. Les deux prototypes ont été dimensionnés pour résister à un même effort tranchant à la base et pour une charge à rupture de 27 kN/m2. Pour les deux maquettes, les toitures sont réalisées avec des dalles alvéolées préfabriquées de 150 mm de haut avec présence d’une dalle collaborante rapportée et d’un chaînage périphérique continu. Tous les éléments de la structure (y compris les liaisons) ont été dimensionnés pour respecter les prescriptions de l’EC8. La figure 8 présente les plans de la structure préfabriquée. Liaisons poteau-poutre Pour la structure en éléments béton préfabriqués les liaisons poteau poutre sont des liaisons brochées (broches de diamètre 26 mm) avec présence d’un néoprène de dimension 400 x 250 mm2 et d’épaisseur 6 mm (cf. figure 9). Structure préfabriquée Béton C40/50 Acier B500H Poteaux Hauteur 5m Dimensions 300 x 450 mm2 Armatures 8 Ø 16 Armatures transversales Ø 6 tous les 150 mm en dehors des zones critiques Soit un ratio volumique ωwd = 0,066 Ø 6 tous les 50 mm en zones critiques (sur 1m de longueur en pied de poteau au-delà de l’encuvement) soit un ratio volumique ωwd = 0,2 Longueur 4m Dimensions 300 x 600 mm2 Poutres Tableau 1 principales caractéristiques du corps d’épreuve préfabriqué 9 Études et Recherches Figure 8 plan de la structure 10 Études et Recherches Figure 9 détails de la liaison poteaupoutre structure préfabriquée Figure 10 sections des poteaux Figure 11 géométrie des poteaux et détails des armatures transversales 11 Études et Recherches Armatures transversales dans les poteaux : la hauteur de la zone critique avec cadres resserrés est de un mètre soit 1/5 de la hauteur libre du poteau. Ce niveau est représentatif de l’état ultime, les éléments de la structure devraient entrer en phase de plastification avec apparition de fissures permanentes et de déformations résiduelles. Action sismique L’action sismique appliquée a été calculée à partir d’un accélérogramme généré artificiellement et compatible avec le spectre de type 2 défini par l’Eurocode et un sol de type B (dépôts raides de sable, de gravier ou d’argile surconsolidée). Les deux prototypes ont été soumis à trois essais avec des niveaux d’accélérations différents. • 1er niveau : ag = 0,36 g (3,53 m/s2) pour la structure préfabriquée et 0,32 g (3,13 m/s2) pour la structure coulée en place, ce qui correspond à 1/3 du niveau maximum admissible pour la structure. Ce niveau d’accélération est représentatif de la limite de service de la structure, qui devrait rester dans sa phase élastique sans présenter de dommages importants. • 2e niveau : ag = 0,72 g (7,06 m/s2) pour la structure préfabriquée et 0,67 g (6,27 m/s2) pour la structure coulée en place, ce qui correspond à 2/3 du niveau maximum admissible pour la structure. Figure 12 prototype préfabriqué à la fin du 3ème essai 12 • 3e niveau : ag = 1,08 g (10,6 m/s2) pour la structure préfabriquée et 0,8 g (7,84 m/s2) pour la structure coulée en place. Le but de cet essai est d’amener la structure au maximum de ces possibilités. Principaux résultats Structure en éléments préfabriqués : Lors de la première sollicitation, il a été constaté des déplacements entre 90 et 120 mm. Les fissures observées pour les déplacements maximums se sont refermées lors de la phase de décharge. Lors de la seconde étape, les déplacements enregistrés ont atteint 180 à 200 mm, après décharge un déplacement résiduel de 25 mm a été constaté, indiquant l’apparition de phénomènes irréversibles. Il n’est pas apparu de dommages décisifs. Lors du troisième essai, les déplacements ont atteint 450 mm, limite en déplacement des vérins, d’où l’arrêt de l’essai (figures 12 et 13). Études et Recherches Figure 13 liaison poteau poutre à la fin du 3ème essai Comparaison des dispositions constructives du DTU 23.3 et retenues pour l’essai Lors de ces inspections, il a été constaté que les structures n’avaient subi aucun dommage notable. • Broches : - effort résistant total : 300 kN ; - effort vertical total : 720 kN ; - effort de dimensionnement des broches selon le DTU : 300 x γRd x 3 = 1 080 kN (γRd = 1,2) ; - effort résistant des broches (fyk = 400 MPa) 8 (Π 262/4) 0,4 = 1 700 kN (+ 57 %). Parmi ces bâtiments, 25 avaient été exécutés par SPAV Prefabbricati et présentaient les caractéristiques suivantes : - 8 bâtiments de surface comprise entre 500 et 2 000 m2, à ossatures poteaux 40 x 40 cm2 associés soit à des poutres V précontraintes, soit à des poutres T ou I en béton armé ; - 4 bâtiments avec des poteaux de sections 40 x 60 cm2 associés à des poutres T en béton armé ou I en béton précontraint pour des surfaces totales comprises entre 1 200 à 3 000 m2 ; - enfin 10 bâtiments avec des ossatures poteaux 60 x 60 cm 2 essentiellement associés à des poutres I en béton précontraint ; il est à noter la surface de 22 200 m2 de l’un de ces bâtiments. • Néoprène d’appui des poutres : - déplacement de calcul : 200 mm ; - appui : 200 mm ; - épaisseur mini selon le DTU : 200 x 1,2 x 200/5 000 = 9,6 mm à comparer aux 6 mm mis en place pour l’essai. Les dispositions constructives adoptées pour ces essais sont voisines des dispositions retenues dans le DTU 23.3 « ossatures en éléments industrialisés en béton ». 1.3. Comportement lors du séisme du Frioul [20] En 1976, suite au séisme dans la région du Frioul, 39 des bâtiments industriels les plus « importants » à ossatures préfabriquées construits par SPAV Prefabbricati et Beton Friuli entre 1972 et 1976 ont été inspectés afin d’évaluer les dégâts. La majorité de ces bâtiments présentaient des éléments de toiture en béton armé ou béton précontraint. Quatre d’entre eux avaient une toiture en éléments coques. En ce qui concerne les bâtiments construits par Béton Friuli : la majorité des bâtiments présentaient des poteaux de dimensions 60 x 60 cm2 (9 bâtiments sur 14) associées à des poutres en béton précontraint de 6 à 18 mètres de long. Les niveaux d’accélération relevés lors de ce séisme se situaient entre 0,22 g et 0,32 g. 13 Études et Recherches 14 Études et Recherches 2. Justification des valeurs de coefficient de comportement et de la rigidité forfaitaire 2.1. Méthodologie de vérification par la méthode push-over ; prise en compte de l’amortissement hystérétique terme de force horizontale F (ou d’accélération spectrale F/M) est directement accessible sur cette courbe. 2.1.1. Rappel sur l’analyse push-over pour un système à un degré de liberté Nous présentons ici une procédure qui permet de modéliser la réponse inélastique d’un système à un degré de liberté en utilisant une modélisation élastique avec prise en compte d’un amortissement visqueux équivalent, ce dernier étant calculé à partir d’une modélisation non linéaire du système [8][9][12][20][24]. On considère un système formé par un poteau encastré en pied et une masse en tête représentant la descente de charge et l’action sismique verticale. Il s’agit de déterminer la valeur de la demande en déplacement en prenant en compte l’amortissement du système dans sa phase de réponse inélastique. Le calcul est basé sur l’utilisation conjointe du spectre de réponse élastique et de la courbe de capacité du système (obtenue grâce à une analyse de type push over – annexe B de la NF EN 1998-1). M Courbe de capacité au format force-déplacement Déplacement (m) H A = F/M (ms2) Déplacement imposé : d Principe de la méthode Force (N) Comme le montre la figure 14, la méthode push-over, appelée aussi poussée progressive, consiste à étudier la variation de l’effort tranchant au pied du poteau (opposé de la réaction latérale) en fonction du déplacement imposé (d) en tête de ce dernier. Le comportement non linéaire des matériaux béton et acier ainsi que l’effet du second ordre (effet P - Δ) sont pris en compte dans l’analyse. La capacité maximale de la structure en 2.1.2. Réponse dynamique non linéaire d’un système à un degré de liberté Courbe de capacité au format accélération-déplacement Déplacement (m) Figure 14 poussée progressive pour un système à 1 degré de liberté 15 Études et Recherches Figure 15 représentation sous forme accélération déplacement du spectre de réponse élastique et de la courbe de capacité du système Spectre de réponse élastique Le spectre de réponse élastique pour les composantes horizontales de l’action sismique est défini par les expressions suivantes [2] § 3.2.2.2. ≤ 5 ≤ 5# ⎡ ⎤ 5 (η − )⎥ 4 F (5 ) = B H 4⎢ + 5 ⎥⎦ # ⎣⎢ 5# ≤ 5 ≤ 5$ 4 F (5 ) = B H 4η 5$ ≤ 5 ≤ 5% ⎡5 ⎤ 4 F (5 ) = B H 4η ⎢ $ ⎥ ⎣5 ⎦ 5% ≤ 5 ≤ T ⎡5 5 ⎤ 4 F (5 ) = B H 4η ⎢ $ % ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎣ ⎦ avec : - Se(T) : spectre de réponse élastique ; - T : période de vibration ; - ag : accélération du sol ; - TB : limite inférieure des périodes correspondant au palier d’accélération spectrale constante ; - TC : limite supérieure des périodes correspondant au palier d’accélération spectrale constante ; - TD : valeur définissant le début de la branche à déplacement spectral constant ; - S : paramètre du sol ; - η : coefficient de correction de l’amortissement (la valeur de référence est η = 1 pour 5 % d’amortissement visqueux). Il se calcule comme suit : η= 16 + ξ FGG et ξeff est le coefficient d’amortissement exprimé en pourcentage. Valeur de l’amortissement global équivalent L’amortissement ξeff à utiliser pour le calcul de la valeur du spectre de réponse élastique correspond à l’amortissement qui apparaît lorsque la structure entre dans sa phase inélastique. Il est modélisé comme une combinaison d’un amortissement visqueux et hystérétique [5][6][8][12][24]. ξ FGG = λξ IZTU + λ est un facteur qui prend en compte l’erreur commise lorsque l’on approche la réponse hystérétique par une courbe bilinéaire élastoplastique. λ varie entre 0,3 et 1. Ce facteur sera calé à partir des résultats des essais cycliques [13] sur un poteau de hauteur 2,67 m et de section 300 x 300 mm2. La valeur de 5 correspond à l’amortissement « visqueux » inhérent aux structures en béton armé fissuré. Amortissement hystérétique La méthode la plus utilisée pour définir l’amortissement hystérétique équivalent consiste à égaliser l’énergie absorbée dans un cycle de chargement du système non linéaire et du système linéaire équivalent soumis à des oscillations harmoniques entretenues [6][8][12][20][24]. En se basant sur ce concept, il est possible de démontrer que la valeur d’amortissement visqueux équivalent est : Force Études et Recherches fy (1 + AMA Ak fy Force 1 fy ES ED k k fy (1 + AMA 1 1 uy um Déformation uy um Déformation a) Comportement bilinéaire &% π & 4 ξIZTU = avec : - ED : énergie dissipée par amortissement hystérétique ; - &T = , TFD6N : énergie de déformation élastique (énergie du pendule élastique). La courbe figure 16 montre un exemple de calcul de ξhyst lorsque le comportement est bilinéaire. Dans ce cas ξhyst s’écrit en fonction de la ductilité μ = um/uy et du coefficient α comme suit : ξIZTU = (μ − )( − α ) π μ( + αμ − α ) Pour un comportement élasto-plastique parfait α = 0, d’où : 5FR = 5V μ ξIZTU = μ − π μ (b) Amortissement hystérétique équivalent Figure 16 amortissement hystérétique pour un comportement bilinéaire • Initialisation du processus - Calcul de la période propre de la structure à partir de la valeur de la rigidité initiale. - Connaissant la période propre, calcul du spectre de réponse élastique pour une valeur arbitraire de l’amortissement ξeff = 5 % (correspond au point noté 0 sur la courbe de la figure 17). - Détermination de la demande en déplacement δ0 qui correspond à cet amortissement. • Seconde étape - Calcul de la nouvelle rigidité keff à partir de la courbe de capacité (pente de la courbe entre le point d’origine et le point de déplacement δ0 (cf. figure 17)). - Détermination de la période correspondante Teff compatible avec le déplacement et de la nouvelle valeur de l’amortissement visqueux ξeff (1) (cf. figure 17). • Troisième étape Procédure de calcul Afin de calculer la demande en déplacement de la structure (avec prise en compte de l’amortissement), la procédure itérative suivante est utilisée. - Initiation d’un nouveau cycle en utilisant comme valeurs d’entrée les valeurs déterminées lors de l’étape précédente. La procédure est répétée jusqu’à obtenir la convergence du système. 17 Études et Recherches Figure 17 représentation des différentes étapes de la procédure de calcul 2.1.3. Calage du coefficient λ par comparaisons avec les essais cycliques Des essais cycliques ont été réalisés au JRC d’Ispra [18] sur des poteaux : - hauteur : 2,93 m ; - section 300 x 300 mm2 ; - élancement égal à 68 ; - effort normal réduit égal à 7 % (cf. figures 18 et 19). Ces essais nous ont permis de calculer la dissipation d’énergie par cycle de chargement. Ainsi, en comparant les résultats des essais avec ceux obtenus avec les simulations par la méthode des éléments finis, il est possible de caler le coefficient λ qui intervient dans le calcul de l’amortissement total. Ce coefficient est défini comme étant le rapport entre l’énergie dissipée simulée et l’énergie dissipée mesurée lors de l’essai : λ = Un modèle de Menegoto-Pinto modifié est utilisé pour l’acier, les paramètres sont choisis de façon à obtenir un comportement élasto-plastique parfait : - module d’élasticité E = 200 000 MPa ; - contrainte limite d’élasticité σe = 550 MPa ; -déformation de rupture εsr = 10 %. Un effort vertical correspondant à un effort normal réduit de 7 % a été appliqué en tête du poteau : P = -143 kN Le descriptif de la modélisation par éléments finis est donné dans l’annexe 2. &% (&TTBJ) &% ($BMDVM) La simulation de l’énergie dissipée par cycle de chargement a été réalisée en utilisant le modèle à fibres de Castem. Pour modéliser le comportement du béton, le modèle de Hognestad en compression 18 est couplé avec un modèle adoucissant linéaire en traction (Guedes et al. 1994 [9]). Les propriétés du béton confiné sont différentes de celles du béton non confiné. En effet, le confinement a pour effet d’augmenter la contrainte fcm ainsi que les déformations εc1 et εcu1 (cf. tableau 2). Béton non confiné Béton confiné fcm 48 MPa 63 MPa fctm (traction) 0 MPa 0 MPa εc1 0,23 % 0,509 % εcu1 0,35 % 1,11 % Tableau 2 propriétés des bétons confinés et non confinés Études et Recherches Figure 18 schéma du dispositif de chargement sur un poteau 0 1 2 3 4 5 6 7 Figure 19 chargement cyclique appliqué au poteau Figure 20 comparaison énergie dissipée essai/énergie dissipée calculée 19 Études et Recherches Le rapport entre les valeurs des énergies (simulation/essai) varie entre 0,6 et 0,72. La valeur moyenne est 0,65 avec un écart type de 0,05. C’est cette valeur moyenne qui a été retenue pour le facteur λ. 2.2. Application de la méthode à un poteau de 6 m et comparaisons avec les calculs élastiques Dans cette section, la méthode push-over avec prise en compte de l’amortissement hystérétique est appliquée à une structure type équivalente à un pendule inversé de hauteur 6 m. Le caractère non-linéaire des matériaux acier et béton ainsi que le confinement dû aux aciers transversaux du poteau sont pris en compte dans la modélisation. Les résultats des simulations sont comparés à ceux obtenus lors d’un calcul élastique en prenant un coefficient de comportement égal à 4,5. 2.2.1. Modélisation par éléments finis Le maillage de la section transversale du poteau est décomposé en trois parties : béton confiné, béton non confiné et armatures (cf. figure 21). Les propriétés du béton confiné sont différentes de celles du béton non confiné (cf. tableau 3). Un effort vertical correspondant à un effort normal réduit de 5 % a été appliqué en tête du poteau, soit : P = - 480,77 kN Béton confiné Figure 21 maillage de la section du poteau (500 x 500 mm2, 8 x HA15,5) Béton non confiné Acier Béton non confiné Béton confiné fcm 48 MPa 56 MPa fctm (traction) 0 MPa 0 MPa εc1 0,23 % 0,37 % εcu1 0,35 % 0,75 % Tableau 3 propriétés des bétons confinés et non confinés 2.2.2. Chargement monotone : courbe de capacité La courbe de variation de l’effort tranchant en pied du poteau en fonction du déplacement horizontal imposé en tête (courbe de capacité) est tracée sur la figure 22. Cette courbe présente un pic de l’effort tranchant pour un déplacement proche de 0,13 m. Ce pic correspond au début de plastification des aciers longitudinaux. Ceci se produit plus tôt et de façon plus importante quand on intègre les effets P - Δ. Figure 22 variation de l’effort tranchant au pied du poteau en fonction du déplacement horizontal imposé en tête (courbe de capacité) 20 Études et Recherches La capacité maximale de la structure en termes de force horizontale est directement accessible sur cette courbe de comportement non linéaire. 2.2.3. Chargement cyclique : calcul de l’amortissement hystérétique Afin de simuler la dissipation d’énergie due à l’amortissement hystérétique, un chargement cyclique a été appliqué à la structure précédente. Pour chaque niveau de chargement d, trois cycles ont été considérés (cf. figure 23). Un exemple de comportement de la structure pour un niveau de chargement de 0,1 m est tracé sur la figure 24. Cette dernière montre qu’à partir du troisième cycle, la boucle d’hystérésis se stabilise. Cette stabilisation à l’échelle globale de la sec- tion s’accompagne d’une stabilisation du comportement des aciers. En effet, comme le montre la figure 25, la déformation plastique dans l’acier extrême cesse d’augmenter après trois cycles. Les boucles d’hystérésis stabilisées pour les différents niveaux de chargement considérés sont tracées sur la figure 26. Cette courbe (figure 26) nous a permis d’évaluer l’énergie dissipée par cycle de chargement (ED) ainsi que l’énergie élastique ES en fonction du niveau de chargement. Par conséquent, il est possible de déterminer la valeur de l’amortissement hystérétique : ξhyst = 1 ED . 4π E S pour chaque niveau de chargement d (cf. figure 27). La variation de ξhyst ainsi que la variation de la déformation dans les aciers extrêmes en Figure 23 chargement cyclique en déplacement : le niveau de chargement (dmax) varie entre 0,01 et 0,18 m Figure 24 stabilisation de la boucle d’hystérésis après trois cycles de chargement – Niveau de chargement 0,1 m 21 Études et Recherches Figure 25 comportement cyclique de l’acier extrême pour un niveau de chargement de 0,1 m Figure 26 boucles d’hystérésis pour différents niveaux de chargement cyclique Figure 27 exemple de calcul de l’amortissement hystérétique pour un niveau de chargement donné (ici 0,1 m) 22 Études et Recherches Figure 28 amortissement hystérétique et déformation dans les aciers extrêmes en fonction du niveau de chargement cyclique Plastification de l'acier fonction de d sont tracées sur la figure 28. À partir de cette courbe, on constate que la valeur de ξhyst présente un palier avant le début de plastification des aciers, au-delà, ξhyst croît linéairement en fonction de d. La valeur de l’amortissement avant plastification des aciers correspond à l’énergie dissipée par fissuration du béton. Cette valeur est donnée à titre d’illustration et n’a pas d’influence sur la valeur de l’amortissement à introduire dans le spectre de réponse. En effet, le déplacement maximum permettant de dimensionner une structure vis-à-vis du chargement sismique dépasse la limite élastique des aciers. Il est donc judicieux de calibrer l’amortissement à introduire après plastification des aciers, c’est ce qui a été fait lors de la détermination du coefficient d’ajustement λ à partir des essais cycliques sur un poteau. (cf. § 2.3.1.). 2.2.4. Détermination du point de fonctionnement (acible,dcible) et comparaison avec les calculs élastiques Les périodes TB, TC et TD ainsi que le paramètre du sol S et l’accélération ag pour le calcul du spectre élastique sont donnés dans le tableau 4. La méthode itérative décrite dans au paragraphe 2.1.2. pour la détermination du déplacement et de l’accélération cibles avec prise en compte de l’amortissement hystérétique a été utilisée. La figure 29 TB (s) 0,1 TC (s) 0,6 TD (s) 1,5 S 1,6 ag (ms-2) 1,6 Tableau 4 paramètres du spectre élastique montre le nombre d’itérations nécessaires pour que la procédure converge. L’amortissement total équivalent à introduire dans le spectre de réponse est : ξeff = ξhyst + 5 Le facteur λ vaut 0,65. La valeur de l’amortissement hystérétique équivalent est 0,65 x 23 % ; soit un amortissement total de 20 % (= 5% + 0,65 x 23 %). Les valeurs du déplacement et de l’accélération cibles sont : - (dcible) : 0,11 m ; - (acible) : 0,726 ms-2. Par ailleurs, le calcul à partir d’un modèle élastique linéaire pour une rigidité de flexion égale à 50 % de la rigidité brute de la section de béton, avec un spectre élastique (5 % d’amortissement) et un coefficient de comportement unité (q = 1) donne les résultats suivants (voir annexe) : - déplacement cible : 0,12 m ; - accélération cible : 3,206 ms-2. Ainsi, le coefficient de comportement défini comme étant le rapport entre les accélérations cibles obtenues par les deux spectres de réponse est égal à : R = = 23 Études et Recherches Figure 29 convergence de la méthode pour le calcul du déplacement cible et de l’amortissement hystérétique Figure 30 calcul du déplacement cible et de l’amortissement hystérétique) 2.3. Comparaisons avec les résultats des essais ECOLEADER 2.3.1. Description du prototype de l’essai Des essais pseudo-dynamiques sur un cas de bâtiment industriel à ossatures préfabriqués ont été réalisés au JRC d’Ispra dans le cadre du projet européen ECOLEADER [16]. Le schéma du bâtiment est présenté dans la figure 8 (§ 1.2.). La section transversale des poteaux est présentée dans la figure 10. La valeur de la charge verticale est égale à 90 kN pour les poteaux 1, 2, 5 et 6 et 24 180 kN pour les deux poteaux 3 et 4, soit pour la structure un élancement de 77 et un effort normal réduit moyen de 3 %. 2.3.2. Essais pseudodynamiques Le signal imposé à la structure est issu d’un accélérogramme artificiel compatible avec le spectre de type 1 de l’Eurocode 8, pour un sol de catégorie B (cf. figure 31 extraite de [16]). La richesse de l’accélérogramme utilisé (figure 31) permet de comparer directement les essais pseudo-dynamiques et les simulations « push over » utilisant le spectre de calage. Le signal a été imposé avec des accélérations maximales croissantes de 0,36 g, 0,72 g et 1,08 g. La réponse de la structure est illustrée sur les figures 32, 33, 34. Études et Recherches Figures 31 accélérogramme et spectre de réponse associé utilisés dans les essais pseudodynamiques d’après [16] 25 Études et Recherches Figure 32 réponse de la structure pour une accélération maximale de 0,36 g 26 Études et Recherches Figure 33 réponse de la structure pour une accélération maximale de 0,72 g 27 Études et Recherches Figure 34 réponse de la structure pour une accélération maximale de 1,08 g 28 Études et Recherches 2.3.3. Modélisation par éléments finis de l’essai En raison de la présence de l’articulation, il suffit d’imposer une égalité entre les déplacements latéraux des têtes des deux poteaux équivalents pour modéliser la barre rigide. P/2 P/2 Le modèle éléments finis qui a été adopté est schématisé dans la figure 35. La structure est modélisée par : - deux poteaux équivalents encastrés en pied ; un poteau équivalent aux deux poteaux chargés à 180 kN (poteaux 3 et 4 de l’essai cf. figure 8) et un poteau équivalent aux quatre poteaux chargés à 90 kN (poteaux 1, 2, 5 et 6 de l’essai) cf. figure 8 ; la charge verticale appliquée à chacun des deux poteaux équivalents est égale à 360 kN (= 2 x 180 = 4 x 90 kN), soit une charge totale de 720 kN ; - une barre rigide articulée de part et d’autre et reliant les têtes des deux poteaux équivalents. Déplacement d 5m A Barre rigide A B B Réaction à l'encastrement R A-A Les caractéristiques du béton sont données dans le tableau 5. Les propriétés de l’acier sont : - module d’élasticité : E = 200 000 MPa ; - contrainte limite d’élasticité : σe = 550 MPa ; - déformation de rupture εsr = 7,5 %. B-B Lors de l’essai, la force axiale appliquée P est induite par un système de vérin fixé au sol et lié au toit de la structure. La direction de l’effort normal évolue avec l’inclinaison de la structure, de sorte que l’effort normal, l’effort de cisaillement et le moment à la section du pied du poteau soient : / = 1 DPT ϕ ≅ 1 7 = ) − 1 TJO ϕ ≅ ) − 1E I . = )I Afin de prendre en compte cette mobilité de la force P, les valeurs des efforts résistants horizontaux calculés, H, pour un déplacement d et une force verticale (fixe) sont majorées par : 1E I Figure 35 modèles représentant les essais pseudodynamiques du projet ECOLEADER 29 Études et Recherches Tout comme pour le cas du poteau de la section précédente (poteau 6 m), la valeur de ξhyst présente un palier avant le début de plastification des aciers et croît linéairement en fonction de d au-delà. P d H J h N=P Figure 36 prise en compte de l’inclinaison de la force verticale Tableau 5 propriétés des bétons confinés et non confinés V = H - Pd/h Béton non confiné Béton confiné fcm 48 MPa 76 MPa fctm (traction) 0 MPa 0 MPa εc1 0,23 % 0,78 % εcu1 0,35 % 1,59 % 2.3.4. Résultats des simulations et comparaisons Calcul avec la méthode statique équivalente Différents niveaux de chargement cyclique ont été appliqués à la structure équivalente. Pour chaque niveau, l’amortissement hystérétique équivalent a été représenté figure 37. Le spectre élastique a été calculé pour deux valeurs de l’accélération ag = 0,36 g et ag = 0,72 g. Les périodes TB, TC et TD ainsi que le paramètre du sol S utilisés pour le calcul des deux spectres élastiques sont respectivement de : - TB (s) : 0,15 - TC (s) : 0,5 - TD (s) : 2,0 -S : 1,2. Rappelons que l’amortissement total effectif (ξeff) à introduire dans le spectre élastique s’écrit comme la somme entre l’amortissement visqueux inhérent au béton armé fissuré (pris forfaitairement égal à 5 %) et l‘amortissement hystérétique ξhyst corrigé par le facteur : λ ξ FGG = + λξ IZTU À titre indicatif, afin d’étudier l’influence de la prise en compte de l’amortissement visqueux initial (= 5 %), nous avons effectué un calcul avec et sans amortissement visqueux initial. Pour le calcul du déplacement et de l’accélération spectrale cibles (dcible, acible) avec : ξ FGG = + λξ IZTU les résultats pour une accélération de 0,36 g (respectivement 0,72 g) sont tracés sur la figure 38 (respectivement figure 39). Plastification de l'acier Rupture de la structure Figure 37 courbe de variation de l’amortissement hystérétique en fonction du niveau de chargement cycliquee 30 Études et Recherches Figure 38 résultats pour 0,36 g (calcul avec 5 % d’amortissement visqueux) Figure 39 résultats pour 0,72 g (calcul avec 5 % d’amortissement visqueux) 0,36 g Essai 0,72 g Simulation (avec 5 %) Simulation (sans 5 %) ξ FGG = + λξ IZTU ξ FGG = λξ IZTU Essai Simulation (avec 5 %) Simulation (sans 5 %) ξ FGG = + λξ IZTU ξ FGG = λξ IZTU Force maximale M.acible (kN) 280 kN 264 kN 279 kN 320 kN 294 kN 301 kN Déplacement maximal dcible (mm) 102 mm 109 mm 124 mm 213 mm 208 mm 230 mm Valeur de l’amortissement effectif ξeff - 13 % 10 % - 27 % 23 % Un récapitulatif des résultats des simulations et des comparaisons avec les résultats des essais est donné dans le tableau 6. Ce tableau montre que : - les prédictions de la méthode statique équivalente avec 5 % d’amortissement visqueux : sont proches des résultats des essais pseudo-dynamiques pour les deux niveaux de chargement 0,36 g et 0,72 g : L’erreur relative est inférieure à 6 % pour les déplacements et est inférieure à 8 % pour les forces. - le calcul avec : ξ FGG = + λξ IZTU ξ FGG = λξ IZTU Tableau 7 comparaisons essais/simulations 31 Études et Recherches donne des déplacements supérieurs de 10 à 20 % aux valeurs mesurées, les forces maximales sont représentatives des valeurs relevées lors des essais. 30 secondes reproduit en deux heures environ), les valeurs des déplacements obtenus lors des essais sont légèrement surévaluées, par phénomène de fluage, par rapport à un séisme réel. Calcul avec un modèle élastique La méthode de calcul à partir d’un modèle élastique avec une rigidité forfaitaire égale à 50 % de la rigidité brute a été appliquée à un poteau équivalent représentant l’ensemble des poteaux. Section du poteau équivalent : - hauteur h : 450 mm ; - largueur b : 6 x 300 mm ; - masse en tête : 73,4 t. Le calcul avec un spectre élastique (5 % d’amortissement) et un coefficient de comportement unité (q = 1) a donné les résultats suivants (voir annexe 2) : - pour 0,36 g : dmax = 96 mm (erreur relative par rapport aux résultats de l’essai inférieur à 6 %) ; - pour 0,72 g : dmax = 190 mm (erreur relative par rapport aux résultats de l’essai inférieur à 10 %). Ainsi, ces comparaisons montrent que la valeur de la rigidité élastique forfaitaire permet de prédire le déplacement maximum avec une assez bonne précision. Compte tenu de la dilatation du temps inhérente aux essais pseudo-dynamiques (un séisme de 2.4. Étude paramétrée de la demande en ductilité Afin de déterminer l’adéquation des prescriptions prévues dans le futur DTU « Ossatures en éléments industrialisés en béton » vis-à-vis des coefficients de comportement, une étude paramétrée a été effectuée en faisant varier : - l’élancement des poteaux de 90 à 120 ; - le pourcentage d’armatures longitudinales de 1 % à 2,1 % ; - l’effort normal réduit en tête de 5 % à 25 %. Les taux d’armatures transversales de confinement sont toujours fixés au minimum prescrit par l’EC8-1 pour la classe de ductilité considérée (DCM ou DCH). Le calcul de la ductilité maximale en déplacement est effectué à l’aide d’un modèle élasto-plastique équivalent (figure 40). On calcule dans un premier temps la réponse non linéaire avec 2nd ordre de la structure ; le déplacement maximum est 6.0E+04 Effort horizontal en tête (mm) 5.0E+04 Fr 4.0E+04 Fy,equ Fu 3.0E+04 flèche 1er ordre 2nd ordre 2.0E+04 plastification 1.0E+04 équiv . élasto - plastique dy,equ Figure 40 calcul de la ductilité maximale en déplacement 32 du 0.0E+00 0 50 100 150 200 Flèche (mm) 250 300 350 400 Études et Recherches obtenu lorsque la résistance de la section est épuisée ou lorsque l’effort horizontal résistant avec effet du 2nd ordre est inférieur de 20 % à l’effort horizontal résistant maximum. Le modèle élasto-plastique est équivalent en énergie à la courbe ainsi délimitée ; le coefficient de ductilité en déplacement est donné par : μd = du/dy,équiv. Le coefficient maximum utilisable pour la structure est : RNBY 2.4.1. Cas des poteaux de classe DCM Le détail des résultats obtenus est donné en annexe 4, la figure suivante présente l’évolution du rapport μd/qmax en fonction du taux de chargement des poteaux. La sécurité par rapport à la demande en ductilité est supérieure ou égale à 1,2 en tout point. Cas des poteaux de section carrée – flexion déviée LI = NJO R 1 Avec : -q0 = 3 pour la classe de ductilité DCM et les éléments précontraints, q0 = 4 pour la classe de ductilité DCH ; -k : rigidité forfaitaire du poteau (inertie x 0,5 en BA ; inertie x 0,75 en BP) ; -h : hauteur du poteau ; -P : charge verticale en combinaison sismique. Le coefficient 1,1 est prévu pour apporter un bénéfice aux ossatures conçues, fabriquées et mises en œuvre sous assurance de la qualité. Les périodes propres des structures visées sont toujours au-delà de Tc, aussi vérifiet’on dans l’exploitation : μd > qmax. Des calculs complémentaires ont été effectués sur un poteau de classe DCM, d’élancement égal à 104 (section 500 x 500 mm, hauteur 7 500 mm, béton C50 MPa) et d’effort normal réduit égal à 5 % dans le but de comparer le comportement selon les directions principales du poteau et selon une diagonale. Les résultats obtenus montrent que la ductilité équivalente n’est pas diminuée. Il y a lieu, par contre, de vérifier la résistance selon la diagonale, car la clause forfaitaire 5.4.3.2.1 (2) de l’EC8-1 qui consiste à réduire de 30 % la résistance en flexion selon une direction principale pour obtenir la résistance en flexion déviée n’est du côté de la sécurité que lorsque les armatures qui assurent la résistance se trouvent dans les μdéquiv / max q 3.5 Marge sur q 3.0 2.5 2.0 μdéquiv / max q 1.5 1.0 4.00% 9.00% 14.00% 19.00% Chargement relatif 24.00% 29.00% Figure 41 évolution d/q en fonction du taux de chargement 33 Études et Recherches 4.0E+04 Figure 42 section carrée - comparaison des courbes effort – déplacement selon les axes principaux (90°) et selon les diagonales (45°) ; le pourcentage indique la part d’acier dans les angles par rapport à la part totale d’acier de la section (4 armatures dans les angles et 4 armatures au milieu de chaque côté) Effort horizontal en tête (mm) 3.5E+04 3.0E+04 2.5E+04 2.0E+04 90° - 50% réf. 90° - 50% équiv. 45° - 50% 45° - 50% équiv. 45° - 80% 45° - 100% 45° - 100% équiv. 1.5E+04 1.0E+04 5.0E+03 0.0E+00 0 50 100 150 200 angles du poteau ; en d’autres termes, pour garantir qu’un poteau de section carré tiendra vis-à-vis d’un effort sismique selon une direction quelconque dans le plan, il faut s’assurer que le poteau résiste à un effort majoré de 30 % selon les directions principales avec seulement des armatures dans les angles (voir figure 42). 2.4.2. Cas des poteaux de classe DCH Le détail des résultats obtenus est donné en annexe 4, la marge μd/qmax est d’autant plus importante que les poteaux sont chargés et que le pourcentage d’armatures longitudinales est faible (le cas d’un poteau peu chargé avec un pourcentage d’armatures élevé n’est cependant pas réaliste), ainsi on passe d’une marge de sécurité de 1,13 dans un cas extrême, à 1,70 pour des cas plus réalistes. 2.4.3. Cas des poteaux en béton précontraint Comme précédemment, le détail des résultats obtenus est donné en annexe 4, dans tous les cas étudiés le rapport μd/qmax est supérieur à 1,25 avec : kh ) P q0 = 3 (le coefficient 0,85 prend en compte qmax = min(1 . 1 q0 0.85 ; 0 . 3 34 250 300 350 400 450 Flèche (mm) le passage d’un amortissement de 5 à 2 %). Les différentes études réalisées montrent la pertinence des modèles utilisés qui s’accordent correctement en force et en déplacement avec les résultats expérimentaux disponibles (cycliques et pseudo-dynamiques), l’adéquation des hypothèses de calcul proposées dans le cadre d’une analyse par la méthode des forces latérale en terme de rigidité forfaitaire et de coefficient de comportement. Enfin différentes les études paramétrées réalisées sur de nombreux cas montrent que les valeurs de coefficient de comportement proposées sont toujours en deçà des réserves de ductilité disponibles. Études et Recherches 3. Méthode d’analyse modale appliquée aux bâtiments avec mezzanine poteau supportant la toiture avec E le module d’Young ; I le moment d’inertie de la section. Dans cette section, nous allons développer une méthode de prédiction de la réponse sismique maximale en termes de déplacements et de forces d’un système à plusieurs degrés de liberté, notamment pour les bâtiments avec mezzanine. En effet, les bâtiments avec mezzanine peuvent être modélisés par un système à deux degrés de liberté correspondant à un pendule avec deux masses : une masse appliquée à la toiture et une masse appliquée à la mezzanine. Les deux degrés de liberté de l’oscillateur sont les déplacements latéraux des deux masses u1 et u2. 3.2. Équilibre dynamique L’équation de l’équilibre dynamique d’un oscillateur amorti à n degré de liberté s’écrit sous la forme matricielle suivante : En utilisant conjointement le spectre de réponse du séisme et les modes propres du système à 2 degrés de liberté, il est possible de déduire la réponse maximale totale par combinaison des réponses maximales par mode. Ceci en terme de déplacement et en terme de force. && + $V& + ,V = 1U .V , est la matrice de rigidité du système. . est la matrice de masse. $ est la matrice l’amortissement. Les détails de cette méthode d’analyse modale sont exposés dans les paragraphes qui suivent. 1U est la force sollicitant l’oscillateur. En repère mobile, le bâtiment voit un effort correspondant à l’accélération d’entraînement : 3.1. Bâtiments avec mezzanine 1U = .ΔBU Les bâtiments avec mezzanine seront modélisés par le pendule à deux degrés de liberté (figure 43), où : - E.I représente la rigidité en flexion du (1) où Δ est un vecteur permettant de mobiliser les degrés de liberté correspondant au séisme d’intensité a(t). u2 Rotule Poutre 2 E.I u1 Barre rigide BM L Poutre 3 δ. E.I Poutre 1 γ. E.I AL Figure 43 oscillateur équivalent pour les bâtiments avec mezzanine 35 Études et Recherches En ce qui concerne l’oscillateur considéré, la matrice de rigidité s’écrit sous la forme : , ⎞ ⎛, ⎟⎟ , = ⎜⎜ ⎝ , , ⎠ − (− + α ) α γ ⎛ ⎞ (− + α ) α ⎟+δ + γ ⎜ + ⎟ ⎜ ( ) ( ) ( ) − + α α − γ + γ ⎝ ⎠ α (− + α )(− γ + α (− + α )) = − (− + α )γ (− + α ) α (− γ + α (− + γ )) (− + α )γ – (− + α ) α (− γ + α (− + γ )) – γ (− + α ) (− γ + α (− + γ )) Les coefficients Kij(i,j = 1,2) se calculent de la manière suivante : ∫ , JK = Y∈TUSVDUVSF &*Y ΨJ h h Y ΨK h h Y EY Ψi (x) (i = 1,2) est la fonction de forme relative au nœud i : Y (-α (α ( − α)+ α - Ψ1 (x) = (− + α )+ γ)+ Y (Y ( − γ )− γ + α (− + γ))) (− + α )α (− γ + α (− + γ )) si x dans poutre 1 (- − Y ) (- α(− α (− + γ )+ α (− + γ )− γ)− -Y (− + α ) γ + Y (− + α)γ) si x dans poutre 2 - (− + α) α (− γ + α (− + γ )) − Y (Y − -α ) si x dans poutre 3 - α Y (Y − -α ) si x dans poutre 1 - (− + α )α (− γ + α (− + γ )) Ψ2 (x) = (Y − -α)(- (− + α )α + (Y − -α )(Y + - (− + α ))γ) - (− + α) (− γ + α (− + γ )) si x dans poutre 2 0 si x dans poutre 3 La matrice de masse . s’écrit de la manière suivante : ⎞ . = . ⎛β ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ Ainsi les deux pulsations propres, ω1 et ω2 , du pendule s’obtiennent en résolvant le système suivant : ) ( EFU , − X .* = où la fonction det (.) est le déterminant d’une matrice et * est la matrice unitaire 2 x 2. D’où : X = , + β, − , + β, − β ,, + β , X = .β , + β, + , + β, − β,, + β , .β À chaque valeur propre ωi est associé un vecteur propre %J , solution de l’équation : (, − X J ) . * %J = Les vecteurs propres sont donc définis à une constante multiplicative près par : ⎛ − , + β, + , + β , − β, , + β , ⎞ ⎜ ⎟ % = ⎜ ⎟ β , ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 36 5 ⎛ − , + β, − , + β, − β , , + β , ⎞ ⎜ ⎟ % = ⎜ ⎟ β , ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 Études et Recherches Fonctions de forme 10 9 8 7 6 H (m) 5 4 3 2 Ψ1 ( x) Ψ2 ( x ) 1 Figure 44 exemple de fonctions de forme Ψ1 (x) et Ψ2 (x) 0 La matrice de rigidité n’est pas diagonale, il existe donc un couplage dans le système d’équations (1). Afin de découpler les inconnues, nous allons définir les quantités suivantes : - masse généralisée : 5 NJ = %J .%J 5 %J ,%J Le déplacement maximal et l’effort maximal dans le mode i sont alors donnés par : - facteur de participation modal : -J = 5 %J .% ( = ) ⎧6J NBY = - J %J 4 E X J ξJ ⎪ ⎨ ⎪⎩' J NBY = - J .J %J 4 B X J ξJ 5 5 %J .Δ On note Sd(w,ξ) le spectre de réponse en déplacement d’un oscillateur à 1 degré de liberté soumis au chargement a(t) et l’accélération spectrale, Sa(w,ξ), définie par : 4 B (X ξ ) = X 4 E (X ξ ) - raideur généralisée : LJ = 3.3. Valeurs maximales par mode %J .Δ NJ ( ) - chargement généralisé : 5 5 QJ = %J 1 = %J .ΔBU = - J NJ BU En utilisant la propriété d’orthogonalité des modes propres et en faisant l’hypothèse que les modes propres possèdent les mêmes propriétés d’orthogonalité par rapport à la matrice d’amortissement que par rapport aux matrices de masse et de raideur, alors l’équation de l’équilibre dynamique (1) se simplifie en : && U + ξ X V& U + X V U = V J J J J J J Q J U NJ = - J BU Note : la démonstration est immédiate en effectuant le changement de variable ui (t) = Liq(t), i = 1,2 dans l’équation 2. 3.4. Valeurs maximales de la réponse totale L’utilisation du spectre de réponse ne permet d’accéder qu’à la valeur maximale de la réponse dans chaque mode. Ces maximas ne se produisent pas tous au même instant et il se pose alors le problème du cumul des réponses modales. i = 1,2 avec par analogie avec un oscillateur simple à 1 degré de liberté : 5 ξJ = %J $%J NJ X J X J = LJ NJ Soit 3 le vecteur contenant les réponses modales maximales d’une quantité donnée (déplacement en un point, effort, contrainte dans un élément…), de composantes rj, une enveloppe de la réponse maximale pour l’ensemble des modes est obtenue en 37 Études et Recherches effectuant la somme des valeurs maximales des réponses modales. S ≤ / ∑S K Toutefois cette approche peut être trop conservative et peut conduire à une surestimation importante de la réponse. On lui préfère la règle de cumul, dite quadratique qui exprime la réponse maximale sous la forme : / / ∑ ∑ ρ SS 5 3 = 3 13 = J = K = JK J K où ρij, élément de la matrice 1 , représente le coefficient de corrélation entre les modes i et j. Il dépend des pulsations propres (ωi, ωj) et des pourcentages d’amortissement critique (ξi , ξj) des deux modes. La formulation de ρij est donnée par : ρij = ( 2 ωi ( ) 8 ξiξ jωiω j ωiξi + ω jξ j ωiω j − 2 ωj )+ 2 ( 2 4 ξiξ j ωi + 2 ωj )ω ω i j ( 2 2 + 4 ξi + ξ j )ω ω 2 i 2 j Les combinaisons modales données dans l’équation précédente sont basées sur des propriétés statistiques de la sollicitation et ne sont valables que sous ces hypothèses. La sollicitation doit, en particulier, être un bruit blanc non filtré et les modes propres ne doivent pas posséder de fréquences trop élevées. Ceci exclut en particulier tous les modes qui ne sont pas amplifiés par la sollicitation, dits modes de corps rigide. Dans la pratique on effectue généralement une combinaison quadratique simple, valable lorsque les deux premières périodes propres ne sont pas trop proches : 3 = / ∑S J = J Le tableau 8 présente une comparaison de la méthode modale et de la méthode simplifiée en utilisant la formule de Rayleigh pour le calcul de la période propre. La formule de Rayleigh part de l’hypothèse que la première période propre d’une structure peut être approchée à partir du calcul de la déflexion en tête lorsque le bâtiment est soumis à une accélération horizontale égale à la gravité. 38 Études et Recherches Hauteur mezzanine L1 = 5 m Hauteur totale L2 9 m Masse en tête M2 100 000 kg Rigidité poteau EI 8,74 E + 08 Nm2 Rapport masse mezzanine/tête M1/M2 1,5 1,5 2 3 T1 1,36 1,16 1,19 1,26 d1 0,108 0,057 0,063 0,073 d2 0,158 0,145 0,158 0,183 F0 284 314 307 559 359 525 457 534 F1 161 599 223 980 285 219 394 417 F2 148 864 194 412 207 049 228 459 M0 2 264 037 2 148 022 2 394 347 2 861 444 T1 1,48 1,31 1,38 1,53 d1 0,163 0,161 0,171 0,185 F0 270 188 305 984 346 883 412 643 F1 145 486 139 084 182 570 257 902 F2 124 702 166 901 164 313 154 741 M0 2 140 724 2 197 525 2 391 668 2 682 182 delta F0 - 5,0 % - 0,5 % - 3,5 % - 9,8 % delta M0 - 5,4 % 2,3 % - 0,1 % - 6,3 % delta T1 8,7 % 12,9 % 15,9 % 20,7 % Calcul modal 1ère période propre Déplacement max. mezzanine Déplacement max. tête Effort horizontal max. en pied Effort horizontal max. mezzanine Effort horizontal max. tête Moment max. en pied Calcul simplifié Période propre formule de Rayleigh Déplacement max. en tête Effort horizontal max. en pied Effort horizontal max. mezzanine Effort horizontal max. tête Moment max. en pied Ratio effort horizontal max. en pied Ratio moment max. en pied Ratio 1ère période propre 10 10 9 9 8 8 7 7 Poteau 2 6 H (m) H (m) 6 5 3 3 1 0 5 4 4 2 Modes propres normalisés à 1 Poteau 1 Mode I 2 Mode II 1 0 - 1,50 - 1,00 - 0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 Tableau 8 comparaison de la méthode modale et de la méthode simplifiée sur un exemple Spectre utilisé : sol de type D ; zone 2b : TB = 0.1 s ; TC = 0.6 s ; TD = 1.5 s ; S = 1.6 ; a = 1,6 m/s² 39 Études et Recherches Les simulations précédentes montrent que lorsque le rapport entre la masse de la mezzanine et la masse de la toiture reste inférieure à 1,5, l’erreur sur la période fondamentale et sur les efforts sismiques calculés reste faible. Cette limite M2/M1 ≤ 1,5 a été introduite dans le DTU 23.3 pour l’application de la formule simplifiée du Rayleigh. 40 Études et Recherches 4. Influence sur le comportement sismique d’une ossature de la présence d’un joint de dilatation L’objectif de ce paragraphe est d’étudier l’influence de la présence d’un joint de dilatation sur le comportement sismique des ossatures industrielles. Pour ce faire, nous avons considéré un système formé par deux poteaux articulés et reliés en tête par une barre rigide. Par la suite, nous avons comparé la réponse sismique du système avec et sans joint de dilatation. La réponse sismique du système est déterminée en effectuant des calculs transitoires par la méthode des éléments finis. L’accélérogramme utilisé est compatible avec le spectre de réponse de type 1A de l’Eurocode 8. Le chargement appliqué est le suivant : Une force verticale 1 = .H 1. (respectivement 1 = . H ) due au poids propre de la masse M1 en tête du poteau 1 (respectivement M2 en tête du poteau 2). H étant l’accélération de la pesanteur. Une force horizontale 'U = −.B 4 U 2. (respectivement ' U = −. B 4 U ) 4.1. Modélisation de la structure due à l’action de l’accélération sismique du sol B 4 U sur la masse M1 (respectivement M2 ). 4.1.1. Structure sans joint de dilatation 4.1.2. Prise en compte du joint de dilatation dans la structure La structure est constituée de deux poteaux reliés en tête par une barre rigide (cf. figure 45). En raison de la présence des articulations, il suffit d’imposer une égalité des déplacements des têtes des deux poteaux pour modéliser la barre rigide. Le joint de dilatation se trouve dans la liaison entre le poteau 2 et la barre rigide. Du fait que la barre est infiniment rigide et reliée par une articulation aux têtes des deux poteaux, le joint peut être modélisé par un élément (ou plusieurs éléments) 1 = . H 1 = .H 'U = −.B 4 U 7m Barre rigide Poteau 1 ' U = −. B 4 U Poteau 2 Figure 45 schéma de la structure sans joint de dilatation 41 Études et Recherches massif(s) reliant les têtes des poteaux. Les dimensions de l’élément sont données sur la figure 46. 4.2. Modélisation du comportement du joint de dilatation Le joint de dilatation est constitué par un assemblage broché dont le fourreau est rempli de bitume. Ce dernier est un matériau viscoélastique et thermoplastique. Ses propriétés mécaniques dépendent de la température et de la durée de sollicitation. Il est utilisé dans les joints de dilatation mais surtout dans les couches de roulement des chaussées (enrobés bitumineux). 4.2.1. Modélisation des bitumes La figure 47 permet d’identifier simplement les principaux types de comportement des bitumes en fonction de l’amplitude de la déformation (ε) et de la température T, pour une vitesse de déformation fixée. Le modèle que nous avons considéré pour modéliser le comportement du joint de dilatation est celui de Huet (1963) [10] et Huet-Sayegh (1965) [17]. Ce modèle fut initialement proposé pour modéliser le comportement viscoélastique des liants et des enrobés bitumineux. Il s’agit d’un modèle analogique constitué d’un assemblage d’un ressort de rigidité E∞ (qui représente le module instantané) et de deux éléments à fluage parabolique (J1(t) = ath et J2(t) = btk) montés en série (cf. figure 48). Élément modélisant le joint de dilatation Barre rigide Joint de dilatation A Figure 46 prise en compte du joint de dilatation dans la structure : deux cas ont été considérés h = 0,1 m et h = 0,9 m Figure 47 classes de comportement des bitumes en fonction de la déformation et de la température d’après [1][14]. 42 A-A A h 7m Poteau 1 Poteau 2 d = 0,1 m b = 2 x 0,05 m = 0,1 m Études et Recherches Le modèle de Huet (1963) [10] a également un spectre continu, c’est-à-dire qu’ils peuvent être représentés par une infinité d’éléments de Kelvin-Voïgt en série ou d’éléments de Maxwell en parallèle. L’expression du module complexe est la suivante : & ω = &∞ Figure 48 représentation du modèle de Huet (1963) [10] + δ (Jωτ) + (Jωτ) −L −I avec − i : nombre complexe défini par i2 = -1 ; − ω : pulsation ; ω = 2πf (f : fréquence) ; − h, k : exposants tels que 0 < k < h < 1 ; − δ : constante sans dimension ; − τ : temps caractéristique. La valeur du temps caractéristique τ varie uniquement avec la température et elle tient compte du Principe d’Équivalence Temps (ou fréquence) Température (cf. [1][10][14][15][17]). L’évolution de τ peut-être approchée par une loi de la forme : τ(T) = aT τ0 - τ0 est la valeur de τ pour une température de référence Ts ; - aT dépend de la température T et vaut 1 pour T = Ts. (cf. [1][10][14][15][17]). Aucune expression analytique de la fonction de relaxation R(.) n’est disponible. Lorsque E0 = 0 (modèle de Huet (1963)), la fonction de fluage J(.) est donnée par : L I ⎞ ⎛ U U ⎟ ⎜ τ τ +δ +U = ⎜ + δ ⎟ ΓI + ⎟ ΓL + &∞ ⎜ ⎝ ⎠ ( ) Γ(.)est la fonction définie par : ∞ ΓO = ∫U O − − U F EU ( ) Paramètres δ k h E∞ (MPa) Log τ0 (Ts = 10 °C) Bitume 50/70 2,5 0,20 0,56 2 000 - 3 795 Tableau 9 paramètres du modèle de HuetSayegh (1965) [17] pour le bitume 50/70 avec n > 0 ou Re(n) > 0. Les cinq constantes (δ, k, h, E∞ et τ) doivent être obtenues par procédé d’optimisation à partir des résultats d’essais expérimentaux de détermination du module complexe. Les résultats de calibrage des paramètres pour le bitume 50/70 (bitume semi-dur) sont donnés dans le tableau 9. 4.3. Simulation par la méthode des éléments finis 4.3.1. Chargement sismique La forme du spectre élastique normalisé est donnée sur la figure 49. Ce spectre correspond au spectre de type 1A de l’EC8. L’accélérogramme synthétique généré par CASTEM 2000 est réalisé à partir de ce spectre (cf. figure 50). Figure 49 spectre de réponse normalisé de l’accélérogramme artificiel comparé avec le spectre de réponse normalisé de type 1A de l’EC8 43 Études et Recherches Figure 50 accélérogramme synthétique normalisé utilisé dans les simulations 4.3.2. Calculs transitoires Les poteaux en béton armé sont modélisés par des éléments poutre de Timoshenko combiné avec le modèle à fibres de Castem 2000. Le joint de dilatation est modélisé par un élément fini massif de type PYR6 (Pyramide à six nœuds). Le modèle de Huet (1963) a été utilisé pour modéliser le comportement du joint de dilatation. Les valeurs des paramètres du modèle du Huet calibrées sur le bitume 50/70 sont données dans le tableau 9. Le niveau de chargement sismique a été fixé à 0,72 g. Les calculs transitoires ont été effectués sur trois structures différentes. Pour chaque structure, nous avons considéré deux joints de dimensions différentes : un premier calcul avec un joint de hauteur 0,9 m et un deuxième avec un joint de hauteur 0,1 m (cf. figure 51). Structure I 2 Section (mm ) Tableau 10 caractéristiques des trois structures considérées 44 Le modèle de Hognestad en compression a été utilisé pour modéliser le comportement du béton. Les propriétés des bétons confinés et non confinés sont données dans le tableau 11. Les résultats des calculs des fréquences propres des trois structures sont indiqués dans le tableau 12. Ce tableau montre que la structure avec joint de dilatation possède deux fréquences Structure II Structure III Poteau 1 Poteau 2 Poteau 1 Poteau 2 Poteau 1 Poteau 2 500 x 500 600 x 600 500 x 500 500 x 500 500 x 500 500 x 500 Acier longitudinal (1 %) φ 19,9 mm φ 23,9 mm φ 19,9 mm φ 19,9 mm φ 19,9 mm φ 19,9 mm Masse en tête (Effort normal réduit) 61 162 kg (η = 5 %) 88 073 kg (η = 5 %) Béton non confiné Tableau 11 propriétés des bétons confiné et non confiné Le tableau 10 présente les caractéristiques des poteaux des trois structures considérées (section, aciers longitudinaux et effort normal réduit). Le modèle de Menegoto-Pinto modifié est utilisé pour l’acier, les paramètres sont choisis de façon à obtenir un comportement élasto-plastique parfait : 1. module d’élasticité : E = 200 000 MPa 2. contrainte limite d’élasticité : σe = 550 MPa 3. déformation de rupture : εsr = 10 %. 73 394 kg (η = 6 %) 36 697 kg (η = 3 %) 97 859 kg (η = 8 %) 36 697 kg (η = 3 %) Béton confiné Poteau 500 x 500 Poteau 600 x 600 fcm 48 MPa 77 MPa 75 MPa fctm (traction) 0 MPa 0 MPa 0 MPa εc1 0,23 % 0,532 % 0,498 % εcu1 0,35 % 1 176 % 1 041 % Études et Recherches Cas d’un joint de hauteur 0,9 m Cas d’un joint de hauteur 0,1 m Figure 51 déplacement relatif entre les deux poteaux pour les trois structures étudiées. Intensité du séisme appliqué 0,72 g Structure I Fréquence propre de la structure avec un joint de dilatation de hauteur 0,9 m Fréquence propre de la structure avec un joint de dilatation de hauteur 0,1 m Fréquence propre de la structure sans joint de dilatation Fréquence fondamentale des poteaux isolés Rapport des fréquences fondamentales des deux poteaux isolés Structure II Structure III Mode 1 Mode 2 Mode 1 Mode 2 Mode 1 Mode 2 0,854 Hz 9,301 Hz 0,812 Hz 11,289 Hz 0,734 Hz 10,81 Hz Mode 1 Mode 2 Mode 1 Mode 2 Mode 1 Mode 2 0,854 Hz 3,816 Hz 0,811 Hz 4,612 Hz 0,732 Hz 4,423 Hz 0,854 Hz 0,812 Hz 0,735 Hz Poteau 1 Poteau 2 Poteau 1 Poteau 2 Poteau 1 Poteau 2 0,770 Hz 0,908 Hz 0,71 Hz 0,995 Hz 0,609 Hz 0,995 Hz 1,18 1,41 1,63 Tableau 12 calcul des fréquences propres des structures sans et avec joint de dilatation et comparaison avec les fréquences propres des poteaux isolés 45 Études et Recherches propres : une première dont la valeur est très proche de celle calculée avec la même structure mais sans joint de dilatation (i.e. de l’ordre de 0,7 - 0,9 Hz) et une deuxième dont la valeur est plus importante (de l’ordre de 10 Hz pour un joint de hauteur 0,1 m) et qui traduit une fluctuation « rapide » qui vient s’ajouter à la réponse globale de la structure sans joint de dilatation. Le séisme étant appliqué suivant la direction x, nous avons tracé sur la figure 51 le déplacement relatif suivant cette direction des têtes des deux poteaux (δx = x1 - x2) pour les trois structures étudiées. Cette courbe montre que le déplacement relatif dépend de la structure étudiée. En particulier, δx dépend du rapport entre les fréquences propres des poteaux isolés. En effet, lorsque les fréquences propres des deux poteaux de la structure sont proches, le déplacement relatif est faible (cas de la structure I, rapport = 1,18 cf. tableau 10). À l’inverse, lorsque le rapport est assez important, la valeur de δx augmente. Toutefois, la valeur maximale de δx est de l’ordre de 4 mm (valeur assez modérée) pour la structure III qui possède le rapport le plus important entre fréquences propres (rapport = 1,63). Un exemple de variation des déplacements des têtes des deux poteaux en fonction du temps est tracé sur la figure 52 (structure III). Cette courbe montre que la valeur du déplacement relatif δx reste faible par rapport aux déplacements absolus. Nous avons donc conclu que le joint de dilatation n’a pas beaucoup d’influence sur les déplacements des têtes des poteaux. Figure 52 déplacement en tête des deux poteaux avec prise en compte du joint de dilatation pour la structure III. Intensité du séisme appliqué 0,72 g ; hauteur du joint 0,1 m 46 Les courbes d’évolution de l’effort tranchant en pied de structure sans et avec présence de joint de dilatation sont tracées sur la figure 53. On constate que comme le cas des déplacements en tête, l’effet du joint de dilatation est faible pour les structures I et II. Pour la structure III, l’écart entre les calculs avec et sans joint de dilatation est un plus important. Toutefois il reste faible par rapport à l’ordre de grandeur des efforts. Signalons que pour la structure III sans joint de dilatation, les calculs transitoires par éléments finis ont divergé pour à partir de t = 10 s. C’est pour cette raison que nous avons considéré une quatrième structure possédant un pourcentage d’armatures longitudinales plus important. Le tableau 12 présente les caractéristiques des deux poteaux de cette structure. Les fréquences propres de cette structure sans et avec joint de dilatation sont données dans le tableau 13. Les résultats des calculs des déplacements relatifs dans le cas où la structure possède un joint de dilatation comparé avec les calculs dans le cas où les poteaux sont libres (sans joint sans barre rigide) sont donnés sur la figure 55. Études et Recherches Figure 53 effet du joint de dilatation sur l’effort tranchant au pied des trois structures étudiées : cas d’un joint de hauteur 0,9 m 47 Études et Recherches Figure 54 effet du joint de dilatation sur l’effort tranchant au pied des trois structures étudiées : cas d’un joint de hauteur 0,1 m 48 Études et Recherches Structure IV 2 Poteau 1 Poteau 2 Section (mm ) 500 x 500 500 x 500 Acier longitudinal (1,5 %) φ 24,43 mm φ 24,43 mm Masse en tête (Effort normal réduit) 73 394 kg (η = 6 %) 36 697 kg (η = 3 %) Tableau 12 Caractéristiques d’une quatrième structure ; avec une hauteur de joint de 0.1/4 = 0,025 m Structure IV Fréquence propre de la structure avec un joint de dilatation de hauteur 0,05 m Mode 1 Mode 2 0,819 Hz 3,376 Hz Fréquence propre de la structure sans joint de dilatation Fréquence fondamentale des poteaux isolés Rapport des fréquences fondamentales des deux poteaux isolés 0,822 Hz Poteau 1 Poteau 1 0,720 Hz 0,995 Hz 1,39 Tableau 13 calcul des fréquences propres de la 4ème structure sans et avec joint de dilatation et comparaison avec les fréquences propres des poteaux isolés Figure 55 déplacement en tête des deux poteaux avec prise en compte du joint de dilatation pour la structure IV. Intensité du séisme appliqué 0,72 g. Hauteur du joint 0,025 m Figure 56 effet du joint de dilatation sur l’effort tranchant au pied de la structure IV : cas d’un joint de hauteur 0,025 m 49 Études et Recherches 4.4. Conclusion Cette étude constitue une première approche de modélisation des effets du joint de dilatation sur le comportement sismique des ossatures industrielles préfabriquées. Malgré l’importance de la magnitude du séisme considéré (ag = 0,72 g), les résultats des simulations sur les structures considérées montrent que les déplacements relatifs entre les deux poteaux restent faibles (< 2,6 cm) et les efforts tranchants aux pieds des poteaux d’une structure avec joint de dilatation reste très proche de ceux obtenus avec une structure sans joint de dilatation. 50 Ceci montre que l’effet du joint de dilatation sur la réponse sismique des structures considérées en terme de déplacements et de forces est faible et peut être négligé. Toutefois, des études complémentaires doivent êtres menées sur des structures ayant des fréquences propres disparates afin d’établir un critère de limitation des effets sismiques du joint de dilatation. Ce critère prendrait en compte les rapports entre les fréquences propres des poteaux de la structure. Une étude plus fine du comportement du joint de dilatation devrait également être menée, en fonction des technologies utilisées. Études et Recherches 5. Étude du comportement tridimensionnel des bâtiments à toitures souples Les bâtiments à toiture souple sont constitués de files de poteaux liaisonnés en tête dans les deux directions par le réseau de poutres porteuses et de pannes. La déformation en parallélogramme de la toiture n’est pas empêchée par des éléments structuraux dans le plan de la toiture. Cette situation peut être rencontrée en particulier lorsque les poteaux de files adjacentes ont des rigidités et/ou des masses associées différentes (files de rive et files courantes par exemple). Les simulations qui suivent ont pour but de quantifier par une analyse numérique temporelle les efforts résultants de cette possible déformation en parallélogramme. 5.1. Modèle de bâtiment La structure choisie est schématisée sur la figure qui suit : On modélise les deux files de rive et les deux files courantes du bâtiment, chaque file reçoit la masse de toiture découlant de la descente de charge. L’objectif est d’estimer les efforts au niveau des liaisons poteau-poutre, lorsque l’action sismique s’exerce perpendiculairement aux poutres porteuses, selon la direction y. Les liaisons poteaux-poutres sont réalisées par des rotules. Rotule 2 Rotule 1 Poteau 3 Poteau 2 Poteau 1 Rotule 3 Poteau 4 Accélération normalisée_ (a/agr) 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Temps (s) Figure 57 accélérogramme synthétique 51 Études et Recherches Spectre de réponse Les poteaux sont modélisés comme précédemment avec CASTEM 2000, un calcul temporel est réalisé, en introduisant un accélérogramme synthétique compatible avec le spectre ci-après : Tb 0.1 s Tc 1.6 s Td 1.5 s S 1.6 A 2 η 0.2 m/s2 Les caractéristiques des sections sont décrites ci-après. Modèle mécanique masse prise en compte/poteau mpc 40 000 kg poteaux sur façade mpf 20 000 kg poteaux angle mpa 10 000 kg masse totale file courante μ tot,1 120 000 kg masse totale file façade μ tot,2 60 000 kg section poteaux A 0.5 m inertie poteaux I 0.00521 m4 hauteur L 8 m coefficient fissuration α 0.5 poteaux courants Rigidité latérale résistance béton fck 50 MPa module élastique Em 037278.E + 06 N/m2 rigidité latérale poteau K 568 815 N/m rigidité latérale file courante ktot,1 2 275 261 N/m rigidité latérale file façade Ktot,2 2 275 261 N/m période propre file courante T1 1.44 s période propre file façade T2 1.02 s Mode fondamentale de vibration poteaux courants armatures dans les angles 4HA 25 armatures milieu des faces 4HA 25 poteaux façade armatures dans les angles 4HA 20 armatures milieu des faces 4HA 20 Caractéristiques poutres poutres de liaison entre poteaux 52 poutre I35-110 S 0.1825 m2 module E 37278E + 06 N/m2 longueur L 20 m Études et Recherches 5.2. Résultats La figure ci après présente les déplacements Uy en tête de poteaux pour les deux files, rive et courantes. On note le léger déphasage consécutif au comportement dynamique différent des files (figure 58). Figure 58 déplacement Uy en fonction du temps Ce déphasage est la cause de déplacements différentiels entre les files centrales (poteaux 2 et 3) et les files de rive (poteaux 1 et 4). La figure suivante illustre ces dépla- cements différentiels en y et consécutivement les déplacements différentiels en x entre les deux rives du bâtiment (attention échelle en x et y différente). Figure 59 déplacement différentiels en tête en fonction du temps On peut représenter l’évolution de la distance entre les poteaux 1 et 2, ou élongation de la poutre 1 au cours du temps : $ ((Ux2 Ux1 ) l)2 (U y2 U y1)2 l Avec : l : distance entre les poteaux 1 et 2 (20 m). 53 Études et Recherches Figure 60 élongation poutre 1 en fonction du temps (m) La figure ci-après présente, pendant la durée du séisme synthétique, l’évolution du rapport élongation de la poutre 1 – effort Figure 61 comportement élongation poutre - effort rotule 54 dans la rotule 1. On retrouve, aux erreurs numériques près, le comportement élastique linéaire de la poutre. Études et Recherches Les efforts longitudinaux dans les différentes poutres, en fonction du temps, sont reproduits ci-après. Les efforts maximaux enregistrés ne dépassent pas 700 N. Figure 62 efforts dans les rotules 5.3. Conclusion Les simulations précédentes mettent en évidence les efforts parasites dans la toiture consécutifs à la souplesse du diaphragme en toiture. Il s’agit d’un cas d’étude parmi la multitude de cas possible, cependant compte tenu de la faible valeur des efforts transversaux obtenus, ces efforts peuvent vraisemblablement être négligés dans la plupart des cas. 55 Études et Recherches 6. Conclusions générales Les études dont les résultats sont rassemblés dans le présent rapport permettent de définir les paramètres de calcul pour la mise en œuvre de méthodes simplifiées en conformité avec l’Eurocode 8, en particulier : - Les coefficients de comportement forfaitaires pour les ossatures à toiture souple ou rigide, ainsi que les rigidités forfaitaires de calcul pour les poteaux. - Les limitations de masses pour les mezzanines, pour application de la méthode de Rayleigh. En outre la mise en œuvre de méthodes de calcul sophistiquées est aussi précisée et documentée. 56 Enfin, le comportement de bâtiments à joints de dilatation viscoélastiques a été étudié, et cette disposition constructive est intégrée dans le DTU 23.3, permettant d’éviter le doublement des poteaux sur joints de dilatation. Sur le plan du retour d’expérience, l’importance des dispositions constructives pour un bon comportement sismique est mise en exergue, ce sujet est également abondamment traité dans le DTU. En guise de conclusion, il convient de rappeler que les points singuliers de chaque bâtiment en font chacun un cas particulier et que le « bon sens de l’ingénieur » doit prévaloir quelle que soit la sophistication des calculs mis en œuvre. Études et Recherches Bibliographie [1] Baaj H. « Comportement à la fatigue des matériaux granulaires traités aux liants hydrocarbonés ». 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Proceedings of 6th U.S. National Conference on Earthquake Engineering, Seattle, EERI, Oakland, California ; 1998. [9] Guedes J., Pegon P. and Pinto A.V. « A fibre/Timoshenko beam element in Castem 2000 ». CEA/DRN/DMT, rapport DMT/94-516 ; 1994. [14] Olard F. « Comportement thermomécanique des enrobés bitumineux à basse température : Relations entre les propriétés du liant et de l’enrobé ». Thèse de Doctorat, Institut National des Sciences Appliquées de Lyon ; 2003. http://csidoc.insa-lyon.fr/these/2003/olard/ these.pdf. [15] Olard F., Di Benedetto H., Dony A., Vaniscote J.C. « Properties of bituminous mixtures at low temperatures and relations with binder characteristics ». 6th International RILEM Symposium on performance Testing and Evaluation of Bituminous Materials, Zurich ; avril 2003. [16] Saisi A.- Toniolo G. « Precast R.C columns under cyclic loading : an experimental programme oriented to EC8 ». Studi e Ricerche, vol. 19 ; 1998. 57 Études et Recherches [17] Sayegh G. « Variation de module de quelques modules purs et bétons bitumineux ». Thèse de Doctorat d’Ingénieur, Paris : Faculté des sciences de l’université de Paris ; Juin 1965. [18] Séisme de Ceyhan – Misis, Turquie 1998. Rapport de mission AFPS. 19] Séisme de Kocaeli – Izmit Turquie 1999. Rapport de mission AFPS. [20] « Séisme du FRIOUL – Bâtiments industriels SPAC PREFABRICATI et BÉTON FRIULI ». Rapport d’expertise ; 1976. [21] Seismic behaviour of reinforced concrete industrial on the cast in situ prototype. Report of the test – 4 July 2003 (ELSA LABORATORY – ISPRA) – rapport Joint Research Center n° EUR 21097 EN ; September 2002. [22] Seismic behaviour of reinforced concrete industrial on the precast prototype. Report of the test – September 2002 (ELSA LABORATORY – ISPRA) – rapport Joint Research Center n° EUR 21096 EN ; April 2003. [23] Seismic design of precast concrete building structures. Bulletin n° 27 fib. [24] « Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings ». ATC-40, vol. 1, Applied Technology Council, Redwood City, California ; 1996. 58 Études et Recherches Annexe 1 – Modélisation du béton armé Modèle béton Béton non confiné (à l’extérieur des étriers) : EN 1992-1-1 § 3.1.5 σD GDN = Lη − η + (L − ) η (3.14) dans laquelle : ηε = εc/εc1 Béton non confiné (à l’extérieur des étriers) εc1 est la déformation au pic de contrainte, telle qu’indiquée dans le tableau 3.1 de la norme NF EN 1992-1-1 : L = & DN × ε D GDN (fcm selon tableau 3.1). L’expression (3.14) vaut pour : < ε D < ε DV PÜ ε DV est la valeur nominale de la déformation ultime. εc1 = 0.7 fcm0,31 < 2,8 εcu1 = 2,8 + 27((98-fcm)/100)4 ‰ si fck > 50 sinon εcu1 = 3,5 ‰. Béton confiné (à l’intérieur des étriers) : EN 1998-2 § Annexe E.2.1 Pour le béton confiné, la méthode suivante peut être utilisée en alternative à celle décrite en § 3.1.9 de l’EN 1992-1-1 : 2004 (voir figure ci-dessous). σD GDND = Y = S = YS S − + Y εD (E.1) (E.2) & DN (E.3) & TFD = GDND ε DD GDND = GDN λ D λ D = + σF GDN − σ F GDN − ⎡ ⎛G ⎞⎤ ε DD = ⎢ + ⎜ DND − ⎟⎥ ⎜ G ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ DN ⎠⎦ (E.6) (E.7) σe est la contrainte de confinement effective agissant dans les deux directions transversales 2 et 3 : (σF = σF = σF ) S ε DD & DN − & TFD Béton confiné (à l’intérieur des étriers) Cette contrainte peut être évaluée sur la base du rapport des armatures de confinement ρw, tel que défini en 6.2.1.2 ou 6.2.1.3 et à leur limite d’élasticité probable fym, de la manière suivante : − pour les cadres rectangulaires ou les bielles/tirants : σ F = αρ X GZN (E.9) (E.4) (E.5) où α est le coefficient d’efficacité du confinement (voir 5.4.3.2.2 de l’EN 1998-1 : 2004). 59 Études et Recherches Déformation ultime du béton εcu,c Il convient que cette déformation corresponde à la première rupture la frette de confinement. À défaut de justification, la déformation peut être prise égale à : ε DVD = + ρ T GZN ε TV (E.10) GDND où : - ρs = ρw pour les spirales circulaires ou les frettes ; - ρs = 2ρw pour les frettes orthogonale ; - εsu = εum est la valeur moyenne de l’allongement de l’acier d’armature à la force maximale (voir 3.2.2.2 de l’EN 1992-1-1 : 2004). Sections rectangulaires : ρw = Asw/(sL b) - sL : espacement longitudinal des frettes ou épingles ; - b : dimension du noyau de béton au nu extérieur de la frette ; - Asw : section totale des armatures de confinement dans la direction considérée. Dans le cas de la disposition de la figure suivante, on obtient : ⎛ BT ⎜ C ⎜ + I T ⎜ I + C ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ BT ⎜ I = ⎜ + C T ⎜ I + C ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ρ X I = ρ X C EN 1998-1 § 5.4.3.2.2 α coefficient d’efficacité du confinement, égal à α = α n . α s, avec : Confinement du noyau béton - pour les sections transversales rectangulaires : αO = − ∑C J C οI ο (5.16a) O ( )( α T = − T Cο − T I ο ) (5.17a) avec : - n : nombre total de barres longitudinales latéralement maintenues par des armatures de confinement ou des épingles ; - bi :distance entre des barres maintenues consécutives (voir figure suivante, également pour bo, ho, s). Modèle acier Modèle de l’EC2-1-1 La valeur de εud à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée est εud = 0,9 εuk. La valeur de (f1/fy)k est donnée dans l’annexe C. Diagramme contraint – déformation simplifiée et diagramme de calcul pour les aciers de béton armé (tendus ou comprimés) 60 Études et Recherches Forme du produit Classe Barres et fils redressés A B Limite caractéristique d’élasticité fyk ou f0,2k MPa C A B C 400 à 600 5,0 Valeur minimale de k = (f1/fy)k ≥ 1,05 ≥ 1,08 ≥ 1,15 < 1,35 ≥ 1,05 ≥ 1,08 ≥ 1,15 < 1,35 10,0 Valeur caractéristique de la déformation relative sous charge maximale εuk (%) ≥ 2,05 ≥ 5,00 ≥ 7,5 ≥ 2,5 ≥ 5,0 ≥ 7,5 10,0 Aptitude au pliage Essai de pliage/dépliage Résistance au cisaillement Propriétés des armatures Exigences ou valeur du fractile (%) Treillis soudés Tolérance maximale Dimension vis-à-vis de nominale de la la masse barre (mm) nominale (barre ≤8 ou fil individuel) >8 (%) 0,3 A fyk (A est l’aire du fil) ± 6,0 ± 4,5 Minimum 5,0 La valeur moyenne de la masse volumique peut être supposée égale à 7 850 kg/m3. - εuk = 3,5 % ; - εud = 3,15 %. La valeur de calcul du module d’élasticité Es peut être supposée égale à 200 GPa. Longueur de rotule plastique Préconisations issues de l’Annexe E de l’EN1998-2 On prendra pour la classe B (dimensionnement en DCM) : - εuk = 5 % ; - fyk = 500 MPa ; - ft = 540 MPa ; soit pour le modèle : - εuk = 5 %; - fyk = 500 MPa; - εud = 4,5 %; - ftd = 536 MPa. On prendra pour la classe C (dimensionnement en DCM ou DCH) : - εuk = 7,5 % ; - fyk = 500 MPa ; - ft = 575 MPa ; soit pour le modèle : - εuk = 7,5 %; - fyk = 500 MPa; - εud = 6,75 %; - ftd = 567 MPa. Pour les aciers de précontrainte conformes à la norme EN 10138-2 (fils) ou EN 10138-3 (torons) : Pour une rotule plastique dont la formation s’effectue à la jonction supérieure ou inférieure d’une pile avec le tablier ou la fondation (fondation ou semelle), avec une armature longitudinale de limite d’élasticité caractéristique fyk (en MPa) et un diamètre de barre dα , la longueur de la rotule plastique Lp peut être prise égale à : - Q = - + GZL EC- (E.19) où L est la distance entre la section de la rotule plastique et la section de moment nul, sous l’effet de l’action sismique. L’estimation ci-dessus de la capacité de rotation plastique est valable pour les piles avec un rapport de portée d’effort tranchant. αT = ≥ E (E.20) 61 Études et Recherches Pour 1,0 ≤ αs < 3,0, il convient de multiplier la capacité de rotation plastique par le coefficient de réduction. ( ) λ αT = αT Les valeurs retenues pour les longueurs de rotules plastiques sont les suivantes : - pour les modélisations par éléments finis avec des éléments de Timoshenko Lp = h hauteur totale de la section. - pour les modélisations par intégration des courbures avec la méthode de Simpson la longueur de rotule plastique est donnée par la formule E19 ci-avant. schéma du dispositif de chargement sur un poteau 62 Comparaison des modélisations avec les résultats d’essai Rappelons que des essais cycliques ont été réalisés au JRC d’Ispra sur des poteaux de hauteur 2,93 m et de section 300 x 300 mm [6] (cf. figures 18 et 19). La figure ci-après montre le dispositif chargement. Ces essais ont été réalisés sur des poteaux avec différentes valeurs de l’effort réduit normal et différents pourcentages d’armatures longitudinales. Le chargement cyclique qui a été imposé se compose de : - trois cycles avec un niveau de chargement constant équivalent à 160 mm Études et Recherches (soit ρw = 1,05 %). Résistance du béton fcm = 52 MPa. (pour le déplacement du vérin de chargement ???) ; - puis des cycles avec des niveaux de chargement croissants (augmentation de 20 mm par cycle jusqu’à la rupture du poteau). Essai B1_1 – B2_1 Effort normal réduit 16 % (N = 327 kN). Pourcentage d’armatures longitudinales 2,26 % (8 φ 18). Armatures transversales cadres HA8/60 mm (ρw = 1,05 %). Résistance du béton fcm = 51 MPa. Trois séries d’essais ont été retenues dans le cadre de notre étude. Essai A3 – A4 Effort normal réduit 7 % (N = 143 kN). Pourcentage d’armatures longitudinales 1.37 % (8 φ 14). Armatures transversales cadres HA5/45 mm (soit ρw = 0,54 %). Résistance du béton fcm = 53 MPa. Modèle par intégration des courbures avec la méthode de Simpson : reproduction de la ductilité des poteaux Les essais précédents ont été modélisés à l’aide d’un outil de calcul sur tableur Excel. Les effets du 2nd ordre ne sont pas pris en compte dans le calcul compte tenu du mode de chargement retenu pour l’essai (force dirigée selon la corde du poteau). Le tableau ci-après présente les hypothèses de calcul pour les essais A3 – A4. Essai A1_1 – A2_1 Effort normal réduit 7 % (N = 143 kN). Pourcentage d’armatures longitudinales 2,26 % (8 φ 18). Armatures transversales cadres HA8/60 mm Section poteau h 300 b 300 Armatures longitudinales ns Ys (mm) 3 22 2 150 3 278 n 8 Astot = ρl 14,0 φl c 10,0 Loi acier (1 ou 2) 1 200 000 Es (MPa) = fykl 530 εsudl 11,00 % γs 1 1,170 K = ft/fyk = εp0 0,00 % 0,00 % εp1 Béton 45 fck 53 fcm γc = 1,3 αcc = 1 φeff = 0 35 fcd Ecm = 36 283 γcE = 1 fct = 0 Rtrac = 4 h0 b0 As (mm2) 462 308 462 1 232 1,37 % Pertes hi - bi 275 137,5 275 137,5 Armatures transversales φw 5 500 fykw 500 fykw 575 fymw εsuw 0,075 s 45 asw 19,6 αn 0,67 αs 0,84 ωw,d 0,156 ρw,b 0,0054 σe 1,8 100,0 % λc fcm,c εc1,c εcu,c fcd,c Confinement (0/1) Précontrainte (Mpa) 1,21 64 0,41 % 0,91 % 49 1 0,0 63 Études et Recherches Les valeurs probables des résistances (acier, béton) sont utilisées (résultats d’essai), un coefficient de sécurité de 1,3 sur le béton est conservé. Les résultats force – déplacement obtenus sont comparés à l’enveloppe des essais cycliques sur les graphes ci-après. Les valeurs issues des simulations sont satisfaisantes tant sur le plan des efforts, des rigidités et de la ductilité. Poteau A3 A4 n = 7 % ros = 1,37 % 45 40 Effort résistant en tête (kN) 35 30 25 simulation jusqu'au pic d'effort 20 enveloppe des essais cycliques 15 enveloppe des essais cycliques 10 5 0 0 50 100 150 200 250 300 Déplacement (mm) Calcul des résultats de calcul avec les résultats d’essais Poteau A3 Poteau A1_1 A2_1 n = 7 % ros = 2,26 % 60 Effort résistant en tête (kN) 50 40 30 simulation jusqu'au pic d'effort enveloppe des essais cycliques 20 enveloppe des essais cycliques 10 0 0 50 100 150 200 Déplacement (mm) 64 250 300 350 Calcul des résultats de calcul avec les résultats d’essais Poteau A1 Études et Recherches Poteau B1_1 B2_1 n = 16 % ros = 2,26 % 70 60 Effort résistant en tête (kN) 50 40 simulation jusqu'au pic d'effort 30 enveloppe des essais cycliques 20 enveloppe des essais cycliques 10 Calcul des résultats de calcul avec les résultats d’essais Poteau B1 0 0 50 100 150 200 250 300 350 Déplacement (mm) Modèle par éléments finis : reproduction de l’amortissement hystérétique La calibration qui suit a été faite à partir des résultats de l’essai A3 décrit ci-avant. Ainsi, par comparaison avec les résultats issus de la modélisation par éléments finis, nous avons pu caler le coefficient λ qui intervient dans le calcul de l’amortissement total. Rappelons que ce coefficient est défini comme étant le rapport entre l’énergie dissipée simulée et l’énergie dissipée mesurée lors de l’essai : λ = &% (&TTBJ) &% ($BMDVM) La simulation de l’énergie dissipée par cycle de chargement a été réalisée en utilisant le modèle à fibre de Castem. Les maillages de la section sont donnés sur la figure ciaprès : La section est composée de : - 8 éléments modélisant les aciers transversaux ; - 28 éléments modélisant le béton nonconfiné ; - 36 éléments modélisant le béton confiné. Le confinement est assuré par des armatures transversales de diamètre 5 mm et espacées de 45 mm. L’effet P - Δ a été pris en compte dans la modélisation (calcul au second ordre). La force horizontale a été corrigée afin de prendre en compte l’effet de l’inclinaison de la charge verticale. Les résultats des simulations ainsi que ceux de l'essai expérimental A3 sont présentés sur la figure suivante. On constate que les prédictions des simulations par la méthode des éléments finis en terme de courbe enveloppe sont proches des résultats des essais. La valeur de l’énergie dissipée (surface de la boucle d’hystérésis) par cycle de chargement est donnée dans le tableau suivant. Maillage de la section du poteau 65 Études et Recherches Résultats des simulations par éléments finis et comparaison avec l’essai A3 Valeur de l’énergie dissipée par cycle de chargement Essai (N.m) Calcul (N.m) 1 9 663,87 13 331,94 0,72 2 8 068,26 12 965,60 0,62 3 7 839,96 13 463,12 0,58 4 9 736,37 15 426,79 0,63 5 11 687,15 17 808,12 0,66 6 13 288,75 18 901,85 0,70 7 13 894,77 21 515,63 0,65 Ce dernier tableau montre que la valeur moyenne du coefficient λ est de 0,65 avec un écart type égale à 0,05. Cette valeur moyenne a été retenue pour λ. 66 &% (&TTBJ) Énergie dissipée Numéro cycle λ = &% ($BMDVM) Études et Recherches Annexe II – Exemple bâtiment industriel Modèle élastique linéaire : calculs par la méthode des forces latérales Section poteaux a 0,5 m Inertie poteaux I 0,00521 m4 Hauteur h 6 m Coef. fissuration α 0,5 Résistance béton fck 50 Coefficient de comportement 1 Vérification selon la formule de Rayleig Em 037278.E+06 N/m Rigidité latérale poteau K 1348303 N/m 2 Rayon fondation R 0,95 m Masse vol. sol ρ 2 200 kg/m3 Vitesse ondes sol vs 300 m/s Module sol G 000198.E+06 N/m2 0,5 N/m2 g 9,81 mg 480769 N dg 0,357 m Tr 1,194 s Texact 1,198 s Tb 0,1 s MPa Module élastique Réduction déf. max q Spectre de réponse Tc 0,6 s Td 0,5 s S 1,6 a 1,6 β 0,2 m/s2 Actions sismiques et déplacement horizontal sd/a 2,004 1,868 FE(N) 157101 146490 Kφ 323352857 Nm/rad ds(m) 0,1165 0,1250 θ 0,06 0,07 K’ 8982024 N/m νdr(m) 0,0078 0,0083 K/K’ 0,15 Rigidité latérale résultante Kres 1172324 Chargement relatif poteaux η 5% Masse toiture M 49008 kg Période rigidité poteau T 1,20 s Période rigidité résultante Tres 1,28 s Rigidité rotation fondation Rigidité latérale fondation N/m 67 Études et Recherches Prédimensionnement des poteaux pour un coefficient de comportement égal à 4,5 Section poteau h 500 b 500 Armatures longitudinales ns Ys (mm) 3 45,75 2 250 3 454,25 n 8 Astot = ρl φl 15,5 c 30 Loi acier (1 ou 2) 1 200000 Es (MPa) = fykl 500 7,50 % εsudl 1 γs 1,1 K = ft/fyk = 0,00 % εp0 εp1 0,00 % Béton 50 fck 58 fcm γc = 1 αcc = 1 φeff = 0 50 fcd Ecm = 37 278 γcE = 1 fct = 0 Rtrac = 4 hi - bi 432 216 432 216 Armatures transversales φw 8 500 fykw 500 fydw 575 fymw εsuw 0,075 s 175 ωsw 0,08 αn 0,67 0,64 αs ωw,d 0,08 ρw 0,0080 σe 2,0 h0 b0 As (mm2) 566 377 566 1510 0,60 % Pertes 100,0 % λc fcm,c εc1,c εcu,c fcd,c Confinement (0/1) Précontrainte (Mpa) 1,22 71 0,42 % 1,08 % 71 1 0,0 Effort horizontal en tête (N) 6.0E+04 5.0E+04 4.0E+04 3.0E+04 flèche 1er ordre 2.0E+04 flèche 2nd ordre flèche 2nd ordre simpl . Série 4 1.0E+04 0.0E+00 0 50 100 Flèche (mm) 68 150 200 250 Études et Recherches Annexe III – Essais Ecoleader – Résultats calcul élastique pour le poteau « équivalent » Caractéristiques du poteau équivalent Section poteaux a Section poteaux b 1,8 m Inertie poteaux I 0,01367 m4 Hauteur h 5 m Coef. fissuration α 0,5 Résistance béton fck 40 MPa Module élastique Em 035220.E+06 N/m2 Rigidité latérale poteau K 0,45 η 2,89 % Masse toiture M 73394 Période rigidité poteau T N/m kg 0,71 Coefficient de comportement sd/a 2,118 FE(N) 1097987 ds(m) 0,1901 θ 0,02 νdr(m) 0,0152 m 5777036 Chargement relatif poteaux Actions sismiques et déplacement horizontal s q 1 Résultats du calcul élastique pour une valeur d’accélération de 0,72 g Vérification selon la formule de Rayleig g 9,81 N/m2 mg 720000 N dg 0,125 m Tr 0,706 s Texact 0,708 s Résultats du calcul élastique pour une valeur d’accélération de 0,36 g Vérification selon la formule de Rayleig N/m2 g 9,81 mg 720000 N dg 0,125 m Tr 0,706 s Texact 0,708 s Spectre de réponse Tb 0,15 s Tc 0,5 s Td 2 s S 1,2 a 3,5316 β 0,2 m/s2 Actions sismiques et déplacement horizontal sd/a 2,118 FE(N) 548993 ds(m) 0,0950 θ 0,02 νdr(m) 0,0076 Spectre de réponse Tb 0,15 s Tc 0,5 s Td 0,2 s S 1,2 a 7,0632 β 0,2 m/s2 69 70 0.121 0.0 0.00% 5.00% 0.81 0.89 20.62 1.00 1.30 4.03 ηN Fu / Fmax Fu / Fy κr/κy Mr/Mu Mu/My μd2 ratio effort normal externe / section béton ratio effort résistant ultime / effort résistant max. ratio effort résistant ultime / effort résistant plastique demande ductilité en courbure rigidité sécante 2nd ordre Fy / dy rigidité sécante 1er ordre Fy / dy rigidité modèle élasto plastique équivalent ductilité modèle élasto plastique équivalent coeff de comportement max effet P Δ coeff de comportement max rigidité section béton sans réduction ratio rigidité équivalente / rigidité section béton 13.81 454 514 703 6.3 5.1 4.4 2004 0.35 1.42 0.67 Ky2 Ky1 Kyéquiv μdéquiv q max P Δ q max KEI ratio K μdéquiv / max q μθutille / μθmax κr/κy utile 0.37% ωw,d P/Ac ηP ratio armatures transversalles ratio mécanique volumique armatures transversalles précontrainte ratio de précontrainte / section béton ductilité max. en courbure moment résistant / moment ultime moment ultime / moment plastique ductilité en déplacement 1.01% ρl armatures longitudinales ρw,b 500 500 6500 90 40 a b h λ fck géométrie hauteur section largueur section hauteur poteau élancement poteau résistance béton Poteaux DCH 1.13 1.00 15.07 656 716 813 5.0 5.1 4.4 2004 0.41 15.07 0.97 1.31 4.26 5.00% 0.87 0.99 0.123 0.0 0.00% 0.38% 1.97% 500 500 6500 90 40 1.70 1.00 9.54 691 809 929 4.3 2.5 2.5 2004 0.46 9.54 1.00 1.25 3.27 10.00% 0.80 0.91 0.123 0.0 0.00% 0.38% 1.97% 500 500 6500 90 40 1.33 1.00 9.54 901 1029 1140 4.0 3.0 3.0 2548 0.45 9.54 1.00 1.25 3.30 10.00% 0.84 0.96 0.123 0.0 0.00% 0.38% 1.97% 500 500 6000 83 40 Études et Recherches Annexe IV – Résultats de l’étude paramétrée 500 500 7500 104 40 500 500 7000 97 40 500 500 7500 104 40 500 500 8000 111 40 500 500 8000 111 40 500 500 6500 90 40 500 500 6500 90 40 500 500 6500 90 40 500 500 7000 97 40 500 500 7500 104 40 500 500 8000 111 40 500 500 7000 97 40 500 500 7500 104 40 500 500 8000 111 40 demande ductilité en courbure rigidité sécante 2nd ordre Fy / dy rigidité sécante 1er ordre Fy / dy rigidité modèle élasto plastique équivalent ductilité modèle élasto plastique équivalent coeff de comportement max effet P Δ coeff de comportement max rigidité section béton sans réduction ratio rigidité équivalente / rigidité section béton ductilité max. en courbure moment résistant / moment ultime moment ultime / moment plastique ductilité en déplacement ratio effort normal externe / section béton ratio effort résistant ultime / effort résistant max. ratio effort résistant ultime / effort résistant plastique 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 6.75 284 335 424 5.07 3.82 3.3 1304 0.33 1.54 0.45 μdéquiv / max q μθutille / μθmax 15.1 1.0 1.3 3.36 15.1 1.0 1.3 3.74 1.26 0.48 1.60 0.75 2.07 11.33 313 357 416 412 458 508 2.40 5.29 1.91 4.38 1.908 3.3 1304 1604 0.35 0.32 4.4 1.0 1.2 1.68 1.97 0.30 2.80 401 511 684 4.32 2.19 2.19 1604 0.43 9.4 1.0 1.2 2.41 1.48 0.36 5.38 228 276 356 4.87 3.35 3.3 1075 0.33 15.1 1.0 1.3 3.04 5.0% 10.0% 5.0% 10.0% 5.0% 0.80 0.96 0.80 0.80 0.80 0.88 1.00 0.90 0.85 0.87 Ky2 Ky1 Kyéquiv μdéquiv q max P Δ q max KEI ratio K κr/κy utile κr/κy Mr/Mu Mu/My μd2 Fu / Fmax Fu / Fy ηN P/Ac ηP 0.08 0 0 0.08 0 0 1.69 0.94 14.22 453 512 613 5.58 5.08 3.3 2004 0.31 15.1 1.0 1.3 4.22 1.72 0.39 3.65 518 636 843 4.38 2.54 2.54 2004 0.42 9.4 1.0 1.2 2.61 1.21 1.00 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 0.08 0 0 11.7 1.0 1.3 3.58 1.27 1.00 1.85 1.00 7.41 485 595 705 4.05 2.19 2.19 1604 0.44 7.4 1.0 1.2 2.78 10.7 1.0 1.3 3.30 4.8 1.0 1.2 2.17 1.45 0.70 1.19 0.96 1.79 0.70 3.39 10.24 3.39 384 295 304 486 343 401 509 365 427 2.76 3.93 3.00 1.91 3.35 1.68 1.908 3.3 1.677 1304 1075 1075 0.39 0.34 0.40 4.8 1.0 1.2 2.18 1.44 1.00 7.42 625 743 844 3.66 2.54 2.54 2004 0.42 7.4 1.0 1.2 2.79 3.1 1.0 1.2 1.82 1.25 1.00 1.39 1.00 12.38 3.07 583 642 642 820 704 879 4.14 2.36 5.08 1.69 3.3 1.693 2004 2004 0.35 0.44 12.4 1.0 1.3 3.65 2.54 1.00 5.37 556 721 838 3.71 1.46 1.46 1604 0.52 5.4 1.0 1.2 2.28 1.68 1.00 2.74 426 579 572 2.14 1.27 1.272 1304 0.44 2.7 1.0 1.2 1.66 2.4 1.0 1.2 1.51 2.4 1.0 1.2 1.51 2.07 1.00 2.15 1.15 2.66 1.15 2.74 2.75 2.75 333 535 409 478 755 614 473 825 669 2.32 2.35 2.53 1.12 1.10 0.95 1.118 1.095 0.954 1075 1604 1304 0.44 0.51 0.51 2.7 1.0 1.2 1.66 3.38 1.11 2.67 320 512 538 2.84 0.84 0.838 1075 0.50 2.4 1.0 1.2 1.61 5.0% 10.0% 10.0% 5.0% 10.0% 10.0% 5.0% 15.0% 15.0% 15.0% 15.0% 20.0% 20.0% 20.0% 0.86 0.81 0.90 0.85 0.87 0.85 0.89 0.97 0.85 0.98 0.97 0.97 0.94 0.89 0.97 0.89 0.99 0.95 0.94 0.95 1.00 1.04 0.85 1.03 1.00 0.97 0.94 0.90 0.08 0 0 11.73 11.73 452 361 507 412 540 444 4.01 4.20 4.38 3.82 3.3 3.3 1604 1304 0.34 0.34 11.7 1.0 1.3 3.60 5.0% 10.0% 5.0% 0.80 0.80 0.89 0.91 0.86 1.01 0.08 0 0 0.08 0 0 500 500 7000 97 40 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 0.25% 500 500 6500 90 40 ωw,d 500 500 6500 90 40 ratio mécanique volumique armatures transversalles précontrainte ratio de précontrainte / section béton 500 500 8000 111 40 1.01% 1.01% 1.01% 1.01% 1.01% 1.01% 1.01% 1.57% 1.57% 1.57% 1.57% 1.57% 1.57% 1.57% 1.57% 1.57% 2.11% 2.11% 2.11% 2.11% 2.11% 2.11% 500 500 7000 97 40 ρw,b 500 500 7000 97 40 armatures longitudinales 500 500 7500 104 40 ratio armatures transversalles 500 500 7500 104 40 a b h λ fck ρl géométrie hauteur section largueur section hauteur poteau élancement poteau résistance béton Poteaux DCM Études et Recherches 71 72 5.00% 0.81 0.89 20.62 1.00 1.30 4.03 ηN Fu / Fmax Fu / Fy κr/κy Mr/Mu Mu/My μd2 ratio effort normal externe / section béton ratio effort résistant ultime / effort résistant max. ratio effort résistant ultime / effort résistant plastique demande ductilité en courbure rigidité sécante 2nd ordre Fy / dy rigidité sécante 1er ordre Fy / dy rigidité modèle élasto plastique équivalent ductilité modèle élasto plastique équivalent coeff de comportement max effet P Δ coeff de comportement max rigidité section béton sans réduction ratio rigidité équivalente / rigidité section béton 13.81 454 514 703 6.3 5.1 4.4 2004 0.35 1.42 0.67 Ky2 Ky1 Kyéquiv μdéquiv q max P Δ q max KEI ratio K μdéquiv / max q μθutille / μθmax κr/κy utile 0.121 0.0 0.00% ratio mécanique volumique armatures transversalles précontrainte ratio de précontrainte / section béton ductilité max. en courbure moment résistant / moment ultime moment ultime / moment plastique ductilité en déplacement 0.37% ρw,b ωw,d P/Ac ηP 1.01% ρl armatures longitudinales ratio armatures transversalles 500 500 6500 90 40 a b h λ fck géométrie hauteur section largueur section hauteur poteau élancement poteau résistance béton Poteaux béton précontraint 1.13 1.00 15.07 656 716 813 5.0 5.1 4.4 2004 0.41 15.07 0.97 1.31 4.26 5.00% 0.87 0.99 0.123 0.0 0.00% 0.38% 1.97% 500 500 6500 90 40 1.70 1.00 9.54 691 809 929 4.3 2.5 2.5 2004 0.46 9.54 1.00 1.25 3.27 10.00% 0.80 0.91 0.123 0.0 0.00% 0.38% 1.97% 500 500 6500 90 40 1.33 1.00 9.54 901 1029 1140 4.0 3.0 3.0 2548 0.45 9.54 1.00 1.25 3.30 10.00% 0.84 0.96 0.123 0.0 0.00% 0.38% 1.97% 500 500 6000 83 40 Études et Recherches Études et Recherches Poteau DCM Sollicitation selon la diagonale Hypothèses de calcul Armatures longitudinales 20 φl c 15 000 Loi acier (1 ou 2) 1 Es (MPa) = 200000 500 fykl εsudl 4,50 % γs 1 1,170 K = ft/fyk = εp0 0,00 % εp1 0,00 % Pertes 100,0 % Armatures transversales φw 8 fykw 500 fydw 500 fymw 575 εsuw 0,05 s 150 asw 50,3 αυ 0,67 ασ 0,70 ωω,δ 0,080 ρω,β 0,0025 σε 0,7 Béton fck fcm γc = αcc = φeff = fcd Ecm = γcE = fct = Rtrac = Section poteau Nombre de points 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h_section Surface 40 48 1,3 1 0 31 35 220 1 0 4 5 Cote yb Largeur 0 26,9 354 680,2 707,1 0 53,7 707 53,7 0 707 250000 λc fcm,c εc1,c εcu,c fcd,c Confinement (0/1) Précontrainte (Mpa) Largeur conf. 0 0 653,4 0 0 1,09 52,47 0,29 % 0,59 % 40 1 0,0 Armatures longitudinales Astot = Nombre 5 Répartition ρde lits angles Lits Nb armatures ys (mm) 1 0,25 42.52691193 2 0 190.2117241 3 0,5 354 4 0 516.895057 5 0,25 664.6 6 7 8 9 n 0,75 Astot = ρl 2513 100 % As (mm2) 628 0 1257 0 628 2513 1,01 % 73 D P A Matériau C Qualité Sécurité Environnement Process Produits Systèmes Développement durable www.cerib.com Centre d’Études et de Recherches de l’Industrie du Béton BP 30059 – Épernon Cedex – France • Tél. 02 37 18 48 00 – Fax 02 37 83 67 39 E-mail [email protected] – www.cerib.com
