Les fluides Les liquides

12
Les fluides
Les liquides
v 7.2
1
Masses volumiques
Hydrogène Azote Oxygène
Air Eau Alcool éthylique
Huile de lin Mercure
ρ (kg m-3)
0.090 0.178 1.43 1.29 1.20 0.95 1000 958 791 930 13600 T
°C 0 0
0
0 20
100
0
100
20
0
0
2
Le principe d'Archimède .1
Un objet immergé dans un fluide subit une poussée vers le haut
égale au poids du fluide déplacé (Archimède, env. 250 AC).
Dérivation:
F
F
F
V
Elément de fluide F, de volume V et
de densité ρF en équilibre:
son poids wF = -mF g = -ρFV g
g = 9.81 m s-2
est équilibré par une poussée égale et
contraire: B = ρFV g.
Si l'on remplace l’élément de fluide de volume V par un corps C
de même volume, le fluide autour ne peut pas s'apercevoir du
changement et continuera à pousser avec force B = ρFV g. 3
Le principe d'Archimède .2
Corps C de densité ρC accroché à une corde
T
F
V
F
Le poids vaut
wC = -mC g = -ρCV g
et la tension T sur la corde
T = - (B - ρCV g) = (ρC - ρF)Vg
Donc, si la densité du corps est plus petite que celle du fluide,
la tension est négative, le corps accélère vers le haut.
4
Ecoulement d'un fluide
Différentes situations d'écoulement peuvent se présenter.
Trajectoire de quelques particule: laminaire turbulent
Ce fluide est-il compressible ?
5
Ecoulement laminaire d'un fluide incompressible Débit d'un fluide dans une canalisation: Q = ΔV/Δt
m3 s-1
S' il n'y a pas de source ou de perte, le débit est constant le
long de la canalisation Q = cte : équation de continuité.
δx
v
Si la vitesse v du fluide est uniforme*,
après un temps δt un élément de
fluide sera déplacé de δx = vδt,
A
donc un volume δV = A vδt.
Le débit vaut donc Q = Av. Dans le cas d'un changement de section A1 → A2, la continuité
permet de calculer le changement de vitesse correspondant:
Q = cte = A1v1 = A2v2 *NB: Si la vitesse n'est pas uniforme, on peut approximer par des valeurs moyennes
6
Ecoulement laminaire d'un fluide incompressible
Le théorème de Bernoulli .1
Il s'agit d'appliquer le principe de conservation de l'énergie
mécanique. Donc pas de conversion en énergie interne, pas
de variation de volume ni frottement:
le fluide est incompressible
écoulement laminaire
régime stationnaire ( v = v(x,y,z) ne dépend pas du temps )
On recherche une formule du type:
Travail + variation E cinétique + variation E potentielle = cte
7
Le théorème de Bernoulli .2
Pb
b
On considère un "tube de courant"
stationnaire, de section A constante,
extrémités à hauteur a et b à pression Pa et Pb.
a
Après un certain temps, sous l'effet de la
différence de pression, le fluide avance de
δx, et d'un volume δV. La résultante des
forces est F = (Pa-Pb)A et le travail valant
W = Fδx = (Pa-Pb)Aδx = (Pa-Pb)δV doit être équivalent au changement de
l'énergie potentielle (Ecinétique = cte car A=cte)
δx
Pa
0
δU = mg (b-a) = ρδV g (b-a) d'où : Pa- Pb = ρ g (b-a)
=>
Pa + ρga = Pb + ρgb 8
Le théorème de Bernoulli .3
Plus généralement, si l'on considère des changements de section
dans le tube de courant, on a aussi des changements de vitesse
des éléments du fluide, donc de l'énergie cinétique par unité
de volume, que l'on incorpore dans le théorème de Bernoulli:
Le long du tube de courant:
P + ρgh + 1/2 ρ v2 = cte
Pression
(force, travail)
U gravitationnelle
par unité de volume
E cinétique
par unité de volume
9
Le théorème de Bernoulli: cas Δv=0
Le manomètre
Patm
b
On considère un "tube de courant"
un peu particulier: la vitesse est nulle.
Il va de l'hauteur a à b. Les pressions
sont P et Patm.
P + ρga = Patm + ρgb
P
a
permet de calculer P à partir
de la différence d'hauteur
P = Patm + ρg(b-a) 10
Le théorème de Bernoulli : cas ΔP=0 Loi de Torricelli
Patm
A1
h
v1
A2
v2
ligne
de courant
Liquide incompressible et non
visqueux. La surface du réservoir
A1 et celle de l'orifice A2<<A1 sont à
l'air libre: pression = Patm On veut déterminer v2,
la vitesse de sortie.
Continuité: A1v1=A2v2
Donc v1= (A2/A1) v2 << v2
Bernoulli:
1
Patm + 0 + "gh = Patm + "v 22 + 0
2
v 2 = 2gh
!
v1 ≈ 0
indépendant de la densité.
11
Le théorème de Bernoulli: cas Δh=0 Le tube de Venturi
ha
a
va
Aa
Un rétrécissement du tube
hb
augmente localement la vitesse du
b
vb
fluide. Les points a et b sont à
la même hauteur:
Ab
1 2
1 2
P
+
"v
=
P
+
Bernoulli: a 2 a b 2 "v b
Continuité: Aava = Abvb
2(Pa " !
Pb )
v
=
On tire la vitesse a
$ A2a '
#& 2 "1)
% Ab (
et on peut calculer le débit Q = vaAa
12
Le théorème de Bernoulli:
vH
P
v
L'aile d'avion
H
b
a
a'
b'
vB
PB
Suivant les deux tubes de fluide, en bas et en haut, on voit que
la vitesse doit être plus grande en haut, car le profil y rend le parcours
de l'air plus long. Les points a et a' sont équivalents en
vitesse et pression:
Pa = Pa' = Patm v a = v a' = v
1 2
1 2
1 2
Patm + "v = PH + "v H = PB + "v B
2
2
2
!
!
1
PB " PH = #( v 2H " v 2B )
2
on néglige la différence
d'hauteur Δh≈0
poussée verticale ≈ (Surface aile)(PB-PH) 13
Ecoulement laminaire d'un fluide visqueux .1
Considérons un fluide entre deux plaques planes.
La force nécessaire à faire glisser une plaque sur l'autre est
analogue à une force de frottement. Il s'agit de la force due
à la viscosité du fluide. On peut l'estimer par: y
F
#v
F = "A
#y
A est la surface des plaques,
Δv est la variation de la vitesse
sur la distance Δy et η est la
!
constante
de viscosité en (Pa s)
ou (kg m-1 s -1).
On peut imaginer des couches du fluide avec des vitesses
distribuées entre 0 (la plaque du bas) et v (vitesse de la
plaque d'en haut). Dans ce cas Δv = v.
14
Ecoulement laminaire d'un fluide visqueux .2
Viscosités en (Pa s)
°C
huile Eau Air
0
5.3
1.79 10-3
1.71 10-5
20
0.99
1.00 10-3
1.81 10-5
100
0.017 0.28 10-3
2.18 10-5
Aussi: P , Poise (de J. L. M. Poiseuille)
10 P = 1 Pa s
15
Ecoulement laminaire dans un tube
Tube cylindrique.
On trouve que l'écoulement se
fait par couches concentriques
avec la vitesse vmax au centre. La vitesse est pratiquement 0 sur les parois. La valeur moyenne
est approximativement
1
v = v max
2
valable pour des tuyaux petits.
v max
Q
=
Av
=
A
Le débit est dans ce cas:
2
La continuité impose que le débit et v sont constants le long du tube.
! à cause du travail effectué pour
Par contre, la pression diminue
contrer la force de viscosité. La chute de pression est la
!
"perte de charge".
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Ecoulement laminaire dans un tube .2
La perte de charge dépend des forces de viscosité. Elle doit
donc dépendre de la vitesse moyenne et de la viscosité η.
Elle doit être proportionnelle à la longueur L du tube.
On s'attend à ce qu'elle soit inversement proportionnelle au rayon R.
8#Lv
L'analyse détaillée donne
"P =
R2
Q.: vérifier cela par analyse dimensionnelle.
La loi de Poiseuille:
"P#R 4
Q=
! 8$L
Résistance à l'écoulement Rf = ΔP/Q
!
8"L
Rf =
Poiseuille ⇒
#R 4
Remarquer que le débit
augmente comme R4 !
analogie électrique
R = V/I
R ~ L/R2
Q.: calculer la Rf totale pour le cas de plusieurs Rf en série ou en parallèle
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Ecoulement laminaire dans un tube .3
La force de viscosité transforme une partie de l'énergie
mécanique en chaleur. Pour maintenir un débit constant,
il faut donc fournir un travail.
La résultante des forces sur une section du tuyau de surface A
dx
vaut F = A(Pb-Pa)
Pa
Pb
Le travail fait pour déplacer le fluide de dx = v dt vaut
dW = F dx = F v dt. En considérant une vitesse moyenne,
on peut déterminer la puissance P nécessaire pour maintenir
l'écoulement:
P =
dW
dt
= vF = vA(Pb " Pa ) = Q(Pb " Pa )
4
2
Cas d'un tuyau cylindrique
"R
#P
longueur L, rayon R, Poiseuille ⇒
P =
8$L
!
18
Viscosimètre de Höppler
On laisse tomber une petite sphère dans un fluide.
Forces: poids W, poussée d'Archimède FA et viscosité Fv.
Quand la vitesse est uniforme, a=0, FA + Fv +W = 0
(cf: parachute).
!
!
On trouve pour une sphère (formule de Stokes)
Fv = "6#$Rv
4
4
"R 3# f g + 6"$Rv % "R 3# sg = 0
3
3
!
où ρf et ρs sont les densités du fluide et de la sphère.
!
En mesurant la vitesse de chute v,
on peut tirer la viscosité:
2 2 #s $ #f
"= R g
9
v
v
19
Ecoulement turbulent
Caractérisé par un comportement chaotique, variable, avec
une dissipation d'énergie plus grande que dans le cas laminaire.
Problème très difficile à traiter théoriquement.
⇒ Approche phénoménologique.
Analyse dimensionnelle: on cherche les grandeurs
qui logiquement doivent servir à décrire le système et
on les combine en tenant compte de leurs [dimensions]
20
Ecoulement turbulent .2
Ecoulement autour d'une sphère:
lignes de courant
v0
!
x
! !
v( x,t)
Paramètres de l'écoulement:
!
v0 = vitesse du fluide, à grande distance, uniforme
η = coefficient de viscosité du fluide
d = diamètre de la sphère
ρ = densité du fluide !
[m s-1]
[kg m-1 s-1]
[m]
[kg m-3]
!
La vitesse au point x et au temps t doit être une fonction
! ! !
v = v( x,t,v 0 ,",d,#)
21
Ecoulement turbulent .3
!
v
On peut déjà former une grandeur sans dimension
v0
Cette grandeur est invariante lors d'un changement d'unités.
On cherche donc à combiner les variables (x, t) et paramètres
(v0, ρ, d, η) de façon a constituer une grandeur sans dimension.
!
Pour la position x, on voit que l'échelle spatiale du problème
est défini par le diamètre d.
De même: l'échelle temporelle du problème est définie par le
temps d'écoulement du fluide autour de la sphère qui est
de l'ordre de τ = d/v0
On prend:
!
!
x " x /d
t "t /#
22
Ecoulement turbulent .4
v0 = vitesse du fluide, à grande distance, uniforme
d = diamètre de la sphère
η = coefficient de viscosité du fluide
ρ = densité du fluide [m s-1]
[m]
[kg m-1 s-1]
[kg m-3]
Essai de combinaison des paramètres:
A B
C
D
A+B%C%3D
C+D
m
m
kg
kg
m
kg
v Ao d B"C# D $ A C C 3D =
Dim s m s m
sA+C
!
On doit annuler toutes les puissances:
A+B-C-3D = 0
C+D = 0
A+C = 0
Seule solution : B= D = A, C = -A avec A arbitraire
23
Ecoulement turbulent .5
On choisit A=1,
v Ao d B"C# D donne
v 0d"
= Re
#
!
est le nombre (c. à d. grandeur sans dimensions) de Reynolds
! que tout écoulement doit être de la forme: On peut supposer
!
!
#x t
&
!
v = v 0 f % , ,R e (
$d "
'
τ = d/v0
NB: si fluide compressible, il faut encore le nombre de Mach:
NMach = v/vson
!
24
Ecoulement turbulent .6
Re indique le type d'écoulement. Ex: cylindre dans un fluide.
Re ≈ 20
tourbillons symétriques
derrière l'obstacle
Re ≈ 100 les tourbillons se détachent alternativement sur les côtés
Re ≈ 104 régime
turbulent très
irrégulier
Re ≈ 106 apparition
du sillage turbulent
25
Nombre de Reynolds
Ecoulement dans un tube de rayon R
2v"R
Re =
#
Dans les tubes on trouve expérimentalement que:
Re < 2000 l'écoulement est laminaire
Re!
> 3000
"
" turbulent
entre 2000 et 3000 il y a oscillation entre les deux
régimes
26
Les liquides
27
Forces de cohésion La cohésion est due aux forces entre les atomes et
molécules. Le corps cherche à se placer dans une
configuration qui dépend de ces forces.
Une lame d'eau et savon tend spontanément à occuper
la surface minimale.
Les gouttes sont sphériques.
L'interaction du liquide avec d'autres corps (p. ex. les
parois du récipient) donne lieu à des phénomènes
de contact (ménisques,...). Le mélange de liquides aussi dépend de ces forces.
Dans l'eau, on peut dissoudre les substance "hydrophiles".
Les "hydrophobes" comme l'huile ne s'accrochent pas
aux molécules d'eau.
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Tension superficielle
cadre
L
lame de
liquide
fil
mobile
F
On produit une lame de liquide
dans un cadre en U délimité par
un fil mobile. On applique une force
sur le fil, jusqu'à l'équilibre.
Dans cette configuration, la lame
a deux surfaces (devant et derrière).
La tension superficielle γ est la force par unité de longueur
qui s'oppose aux augmentations de la surface. Dans le cas de
la figure:
γ = F / 2L
deux faces
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Tension superficielle .2 Loi de Laplace
Pression à l'intérieur d'une petite goutte de rayon R.
Considérons une pression externe nulle.
A l'équilibre, la force FP due à la pression Pint que l'hémisphère
FP
S exerce sur N, doit être égale
et opposée à la force Fs que la surface
N
S exerce sur N.
On a: FP = Pint πR2
et
Fs = γ L = γ 2πR
Pint = 2γ/R
S
Si la pression externe vaut P0 alors
Pint = P0 + 2γ/R
Remarque: dans le cas d'une bulle les effets
des deux surfaces s'additionnent.
Les rayons sont environ les mêmes
Pint = P0 + 4γ/R
30
Angles de contact
La topologie de la région d'interface liquide-solide dépend des
forces liquide-solide et liquide-liquide.
Eau-verre : 0° Hg-verre : 140°
Eau-paraffine 107°
Iodure de méthylène-Pyrex 30°
θ
Le solide "attire" le liquide
plus que le liquide s'attire lui même...
θ
... l'opposé...
31
Capillarité
ménisque
Si θ<90°, le liquide va monter dans
un capillaire. Le solide exerce une force
verticale Fv qui est contrebalancée par le
poids du liquide, w = g ρ V = g ρ π r2 h
h
Loi de Jurin:
Tube de rayon r
liquide de densité ρ
θ
Fs
2"cos#
h=
$gr
!
32
Capillarité .2
0
r
P0
B
α
h
A
R
Loi de Jurin
On considère un point A légèrement en
dessous du ménisque. On assimile l'interface
liquide-air à une petite goutte sphérique de
rayon R = r / cos α
2"
2"
PA = P0 +
= P0 + cos#
R
r
On a aussi:
PA = PB " #gh $ P0 " #gh
!
!
2#cos$ 2#cos&
h="
=
%gr
%gr
h est < 0 quand θ > 90°
h quand r !
33
Modification de l'interface solide - H2O
θ
Goutte d'eau sur une surface
θ
+ imperméabilisant
θ
+ agent mouillant
34