Chapitre 10 : Mécanique des fluides 1. Pression hydrostatique • Les fluides regroupent gaz et liquides. • En général, on considère des fluides incompressibles. Ce n’est plus le cas en thermodynamique. • Un objet immergé subit une pression de toutes parts. force normale ! • Par définition : • Unité : Pascal (Pa) F F! .!n = p= A A • Exemples : - punaise F! p1 paire action-réaction pression différentes p1 != p2 p2 −F! - pression atmosphérique : force = poids de l’air p = 1.013 105 Pa = 1013 hPa = 1 atm - vide : p = 0 Pa • Fakir : 2. Effet de la profondeur • Colonne de fluide incompressible en équilibre : V = Ah p0 A Newton selon la verticale : p0 A + mg = pA p0 A + ρgV = pA mg p0 + ρgh = p pA La pression ne dépend que de la profondeur. A B C D pA = pB = pC = pD • Loi de Pascal : toute pression supplémentaire se transmet à tout le fluide. p0 p = p0 + ρgh h p • Vérins hydrauliques : F1 p1 F2 p2 F1 F2 p1 = = = p2 A1 A2 • Estimer l’épaisseur de l’atmosphère si colonne d’air homogène : p0 h= ρg 105 h= ≈ 8 km 1.25 10 3. Mesurer la pression • Manomètre : • Baromètre : vide h h h h hauteur = différence de pressions expérience de Torricelli ph = pl + ρgh p0 = ρgh une pression étalon ! • Expérience de Torricelli h = 760 mm • Anciennes unités : 1 atm = 760 mm de Hg 1 hPa = 1 mb 1 torr = 1/760 atm 4. Principe d’Archimède - Flottabilité • Origine : ! B cube de fluide en équilibre il doit exister une force B qui équilibre mg si cube de métal, les forces sont différentes m!g cette force B provient du fluide environnant ph pg = pd pg pd (pas de force latérale) pb = ph + ρgh (force dirigée vers le haut) B = (pb − ph )A = ρghA = ρgV pb B = ρgV B = poussée d’Archimède = poids du fluide déplacé par l’objet • Coule ou flotte ? bilan des forces : mg − B = (ρ − ρf )gV bois métal ! B m!g m!g ρ < ρf flotte • En surface : ! B ρ > ρf coule volume total = volume immergé + volume émergé ! B mg − B = 0 ρgVtot − ρf gVim = 0 m!g ρ Vim = ρf Vtot • Iceberg : ρeau = 1000 kg/m3 ρglace = 917 kg/m3 Vi = 0.917 Vtot • Bateaux : • Problème du glaçon qui fond : avant après ∆h ? Le niveau d’eau ne varie pas ! • Application : fonte des glaces aux pôles. 5. Dynamique des fluides • Types d’écoulement : - laminaire : la vitesse en chaque point est constante au cours du temps. On peut définir des lignes de courant. - turbulent : la vitesse en chaque point de l’écoulement varie au cours du temps. • Fluide idéal : - écoulement laminaire : vitesse stationnaire en un point - non-visqueux : pas de perte d’énergie - incompressible : densité unique - irrotationnel : pas de tourbillon 6. Equation de continuité • Pipe-line : ∆x2 v2 ∆x1 v1 tranches de fluide : ∆x1 = v1 ∆t m1 = ρA∆x1 ∆x2 = v2 ∆t m2 = ρA∆x2 fluide incompressible : m1 = m2 A1 v1 = A2 v2 • Débit : Av = Q L’équation de continuité est donc une équation de conservation du débit. • Exemples : - bouchons la vitesse augmente dans le rétrécissement ! - seringues section piston > section aiguille vp vs ≈ 100 − 1000 vp vs • Filet du robinet : Les particules d’eau sont en chute libre : v = v0 + gt 7. Equation de Bernoulli ∆x2 • Tranches : z2 v1 z1 ∆x1 travail : W1 = p1 A1 ∆x1 = p1 V W2 = −p2 A2 ∆x2 = −p2 V v2 W1 + W2 = (p1 − p2 )V 1 1 2 énergie cinétique : ∆K = mv2 − mv12 2 2 énergie potentielle : ∆U = mgz2 − mgz1 W = ∆U + ∆K 1 1 2 (p1 − p2 )V = ρV v2 − ρV v12 + ρV gz2 − ρV gz1 2 2 1 2 p + ρv + ρgz = C 2 • Loi de Torricelli : v=0 v Bernoulli : 1 2 ρgh = ρv 2 ! v = 2gh c’est une simple chute libre ! • Effet Venturi Bernoulli simplifié : 1 ∆p = − ρ ∆v 2 2 Une dépression se crée là où le fluide s’écoule rapidement. • Expérience : balle de ping-pong : • Adhésion : flux d’air • Portance des ailes d’avions : F! vh vb < vh p b > ph vb vh vb • Tempêtes et toitures : F! vent vb ≈ vh • Tube de Venturi : v1 p2 v2 p1 v1 < v2 p 1 > p2 v1 p1 aspiration • Application : approcher le vide 10−2 atm • Autre application : sprays 8.Viscosité • Définition : en écoulement laminaire, des couches de fluide de surface S glissent les unes sur les autres : force de frottement entre les couches. ∆z v ∆v gradient de vitesse ∆z v=0 frottement : ∆v Ff = ηS ∆z Les frottements visqueux impliquent une dissipation d’énergie. • Unités de la viscosité : [Pa s] • Valeurs typiques de la viscosité : fluide air eau huile miel verre fondu η [Pa s] ρ [kg/m3 ] 2 10−5 1.25 10−3 0.08 1000 900 103 - 1012 • Loi de Poiseuille : débit dans un tube cylindrique L d profil de vitesse parabolique π ∆p d4 Q= 8 η L • Frottement visqueux : Un objet sphérique placé dans un fluide en écoulement laminaire subit une force. F = 6πηRv • Chute dans un fluide visqueux : vitesse limite loi de Stokes • Turbulence : les tourbillons produisent une chute de pression force de frottement supplémentaire : ρ 2 F = C Av 2 C est le coefficient de résistance qui varie de 0.05 à 1.3 • Nombre de Reynolds : rapport des forces de frottement turbulence/laminaire ρvd Re = η - écoulement laminaire si Re < 1 - écoulement turbulent si Re > 1 • Ronds de fumée : Etna, Sicile. enroulement ! • Autres anneaux : dans l’eau ! PMMH, ESPCI, Paris. dauphins 9. Tension superficielle • Définition : F! F = 2γ" force par unité de longueur • Origine à l’échelle moléculaire : déficit en énergie de cohésion a U γ≈ 2 2a énergie par unité de surface • Valeurs typiques : l’eau a une tension superficielle élevée ! liquid huile eau + savon glycérol eau mercure γ [N/m] 0,021 0,030 0,063 0,072 0,500 l’ajout de savon diminue • Forme idéale des fluides : sphère A volume équivalent, la sphère minimise la... • Instabilité de Plateau-Rayleigh : 4 3 V0 = πR L = n πr = Vn 3 R cylindre 2 λ instabilité gouttes r Un cylindre de liquide se décompose spontanément pour former des goutelettes. Sn n 4πr2 = S0 2πRL 3 r> R 2 condition de Plateau • Expérience du bateau : !γ !γ Objet au repos eau eau+savon !γ !γ F! Déplacement de l’objet eau La tension superficielle peut induire des mouvements. • Objets en surface : punaise vue du dessus vue du dessous • Insectes surfeurs : gerris remigis • Loi de Laplace : forces capillaires = forces de pression 2γ ∆p = R • Bulle de savon : deux interfaces : 4γ ∆p = R • Loi de Laplace généralisée : courbure ∆p = γ ! 1 1 + ! R R " = γC caténoïde : surface à courbure nulle • Adhésion capillaire : chateaux de sable • Contact liquide/solide : forme sphérique flaque • Angle de contact : quelle que soit la taille de la goutte jonction triple : air, liquide, solide air !γ θ liquide solide mouillant : non-mouillant : θ < 90◦ θ > 90◦ interaction forte solide /liquide interaction faible solide/liquide • Exemples typiques : système angle de contact eau/verre 15 eau/parafine 115 mercure/verre 140 • Surfaces superhydrophobes : l’eau “glisse” sur ces surfaces - vêtements imperméables - pare-brises des voitures - etc... • Montée capillaire : !γ θ θ !γ force capillaire = poids de la colonne de liquide 2πRγ cos θ = f = ρgV = ρg πR2 h h m!g 2γ cos θ h= ρgR Loi de Jurin • Remarque : Pour un liquide non-mouillant, le liquide descend dans le tube !