INF 321 Programmation fonctionnelle, typage, isomorphisme de
INF 321
Programmation fonctionnelle, typage,
isomorphisme de Curry-Howard
Eric Goubault
Cours 9
28 juin 2012
1
Dans le dernier ´
episode...
On a vu:
Validation
Syst`emes de preuve en logique
On va voir:
Retour sur la programmation fonctionnelle (Caml, Haskell...)!
Strat´egies d’´evaluation (eager/lazy)
Typage et isomorphisme de Curry-Howard
En fait c’est un cours sur la r´ecursivit´e, les r´ef´erences, et la preuve
de programmes, revisit´ees dans les langages fonctionnels! C’est
aussi l’occasion de voir une nouvelle s´emantique, op´erationnelle,
des langages de programmation
2
Dans le dernier ´
episode...
On a vu:
Validation
Syst`emes de preuve en logique
On va voir:
Retour sur la programmation fonctionnelle (Caml, Haskell...)!
Strat´egies d’´evaluation (eager/lazy)
Typage et isomorphisme de Curry-Howard
En fait c’est un cours sur la r´ecursivit´e, les r´ef´erences, et la preuve
de programmes, revisit´ees dans les langages fonctionnels! C’est
aussi l’occasion de voir une nouvelle s´emantique, op´erationnelle,
des langages de programmation
3
Mais avant cela...
Comment d´
efinit-on la signature d’un mod`
ele ou
d’une th´
eorie?
C’est un ensemble de fonctions et de pr´edicats choisis pour
une th´eorie ou un mod`ele donn´e
Exemple donn´e la derni`ere fois: pour d´efinir la th´eorie des
groupes, il est naturel de prendre comme signature:
fonctions: ∗(l’op´eration de groupe), −1(l’inversion) et 1
(l’unit´e du groupe)
pr´edicats: = (´egalit´e)
Mais on pourrait aussi ne prendre que ∗,−1et = (pas l’unit´e
donc) et ´ecrire juste en plus des axiomes classiques:
∀x,y x ∗x−1=y∗y−1
∀x,y x ∗(y∗y−1) = x
4
Pour les mod`
eles...
Encore plus de choix possible d’une certaine fa¸con
Exemple: les nombres r´eels
Peut ˆetre vu comme un groupe additif, donc avec comme
signature +, −(oppos´e, unaire) et 0
Peut ˆetre vu comme un corps, donc avec +, −,∗et 0 et 1
Peut ˆetre vu comme un corps totalement ordonn´e
archim´edien, donc avec +, −,∗, 0 et 1 et comme pr´edicats =
comme pr´ec´edemment mais aussi ≤
etc.
Tout d´epend de ce que l’on veut “observer”
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
1
/
78
100%
