Fonctions numériques Convexité

1
Séquence 8 – MA01
Sommaire
1. Pré-requis
2. Convexité d’une fonction sur un intervalle
3. Synthèse de la séquence
4. Exercices de synthèse
Fonctions numériques
Convexité
Séquence 8
 Introduire graphiquement les notions de fonctions convexes et de fonctions
concaves.
 Établir le lien entre le sens de variation d’une fonction et sa convexité.
 Établir le lien entre le signe de la dérivée seconde d’une fonction et sa convexité.
 Étudier des rendements en Économie en utilisant la convexité.
Objectifs de la séquence
© Cned - Académie en ligne

2
Séquence 8 – MA01
1Pré-requis 1
Fonctions de référence :
dérivées – courbes
1. Fonction
"
carré
"
– Fonction
"
racine carrée
"
Fonction Fonction " carré" Fonction" racine carrée "
cx x :2
rx x :
Ensemble
de définition D] ; [
c
=−∞ +∞ D[0; [
r
=+∞
Fonction dérivée pour tout
x réel cx x ': 2pour tout réel x > 0
rx x ': 1
2
Sens de variation
x
−∞
0+∞
cx '( ) –0+
cx () 0
x 0 +
∞
rx '( ) +
rx ()
0
Courbes
012345
1
–1
2
3
4
5
–1
–2
–3
K
y = 2x–1
y = x2
y = x
y = 0,5x + 0,5
y = 兹x
A
© Cned - Académie en ligne

3
Séquence 8 – MA01
Propriété
Dans un repère orthonormal la courbe représentant la fonction
xx  est la courbe
symétrique, par rapport à la droite d’équation
y = x, de celle représentant la fonction
xx
2
définie sur [0 ; + ∞∞ [ (voir courbes en gras).
La courbe représentant la fonction" racine carrée" est une demi – parabole.
2. Fonction "inverse"
Fonction
Fonction " inverse" Courbe de la fonction " inverse "
ix x :1
01234
1
–1
2
3
–1
–2
–2
–3
K
H
y =–x+2 y = 1/x y = x
y = –x –2
y = 1/x
axe de symétrie
de la courbe
La courbe est une hyperbole
(composée de 2" branches")
Ensemble de
définition D] ;0[]0; [
i
=−∞ ∪ +∞
Fonction
dérivée
ix x ': −1
2
Sens de
variation
x
−∞
0+∞
−1
2
x
––
1
x
Propriété Dans un repère orthonormal la courbe de la fonction
x1
x
 est symétrique par rapport à la
droite d’équation
y = x .
3. Fonction "exp" – Fonction "ln"
Fonction
Fonction " exp " Fonction " ln "
exp : exp( ) xx
x
=eln: ln( )
xx
Ensemble
de défini-
tion
D];[
exp =−∞ +∞ D]0; [
ln =+∞
© Cned - Académie en ligne

4
Séquence 8 – MA01
Fonction
dérivée (exp)':
xx e (ln)':
xx 1
Sens de
variation
x 0 +∞
exp’( x )+
e
x
Courbes
01 2 3
1
–1
2
3
4
5
–1
–2
–2–3 4 5
Hx
y
K
e
e
y = exp(x)
y = In(x)
y = x—1
y = x+1
y = x
axe de
symétrie
de la figure
Propriété Dans un repère orthonormal la courbe représentant la fonction
xx  e est la courbe symé-
trique, par rapport à la droite d’équation
y = x , de celle représentant la fonction xx  ln( ).
Équation d’une tangente
1. Équation générale d’une tangente
On désigne par f une fonction définie sur un intervalle I et par Cf sa courbe
représentative dans un repère du plan. Soit Aa f a (;()) le point d’abscisse a situé
x 0 +∞
ln’( x )+
ln(
x )
B
© Cned - Académie en ligne

5
Séquence 8 – MA01
sur la courbe Cf et TA la tangente en A à la courbe Cf .
Le coefficient directeur de la tangente
TA est le nombre dérivé fa '( ).
Une équation de la tangente
TA est
yfa xafa '( ) ( ) ( ) .=×−+
2. Équation de quelques tangentes particulières
Fonction f Coordonnées de A
Équation de
T
A
fx x ()=2 (1 ; 1)
y = 2 x – 1
fx x ()= (1 ; 1)
y = 0,5 ( x + 1)
fx x ()=e (0 ; 1)
y = x + 1
fx x () ln()= (1 ; 0)
y = x – 1
fx x ()=1 (1 ; 1)
y = – x + 2
3. Positions relatives d’une courbe et d’une
tangente
Pour déterminer la position d’une courbe Cf par rapport à sa tangente en A (au-des-
sus ; en dessous) on peut étudier le signe de la différence dx fx mx p () () ( )=−+
où y = m x + p est l’équation de la tangente en A .
Signe de dx () sur
un intervalle
I
dx ()<0 dx ()=0 dx ()>0
Positions relatives
de
CT
fA
et de
sur l’intervalle
I
Cf
est située en
dessous de
TA
TA
est tangente en
A à la courbe
Cf
Cf
est située au-
dessus de
TA
© Cned - Académie en ligne