Fonctions numériques Convexité

Séquence 8
Fonctions numériques
Convexité
Objectifs de la séquence
Introduire graphiquement les notions de fonctions convexes et de fonctions
concaves.
Établir le lien entre le sens de variation d’une fonction et sa convexité.
Établir le lien entre le signe de la dérivée seconde d’une fonction et sa convexité.
Étudier des rendements en Économie en utilisant la convexité.
Sommaire
1. Pré-requis
2. Convexité d’une fonction sur un intervalle
3. Synthèse de la séquence
4. Exercices de synthèse
Séquence 8 – MA01
1
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1 Pré-requis
A
Fonctions de référence :
dérivées – courbes
1. Fonction " carré " – Fonction " racine carrée "
Fonction
Ensemble
de définition
Fonction " racine carrée "
c : x x2
r :x x
Dc = ] − ∞ ; + ∞[
Dr = [0 ; + ∞[
pour tout x réel c ': x 2x
Fonction dérivée
x
Sens de variation
Fonction " carré "
−∞
+∞
0
–
c '( x )
pour tout réel x > 0 r ': x 0
x
+
0
+
r '( x )
0
0
y = x2
5
y = 2x–1
4
y=x
y = 0,5x + 0,5
3
Courbes
2
1
–3
–2
–1
0
–1
2
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Séquence 8 – MA01
y = 兹x
K
1
2
2 x
+∞
r (x )
c(x )
1
3
4
5
Dans un repère orthonormal la courbe représentant la fonction x x est la courbe
symétrique, par rapport à la droite d’équation y = x, de celle représentant la fonction
x x 2 définie sur [0 ; + ∞ [ (voir courbes en gras).
Propriété
La courbe représentant la fonction " racine carrée " est une demi – parabole.
2. Fonction " inverse "
Fonction " inverse "
Fonction
i :x Courbe de la fonction " inverse "
1
x
y =–x+2
Ensemble de
définition
y=x
axe de symétrie
de la courbe
2
i ': x −
x
−
1
x2
−∞
1
x
K
y = –x –2
2
+∞
0
–3
–2
1
–1
y = 1/x
0
1
2
3
4
–1
H
–
–
1
x
Propriété
y = 1/x
Di = ] − ∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞ [
Fonction
dérivée
Sens de
variation
3
–2
La courbe est une hyperbole
(composée de 2 " branches ")
1
est symétrique par rapport à la
Dans un repère orthonormal la courbe de la fonction x x
droite d’équation y = x.
3. Fonction " exp " – Fonction " ln "
Fonction
Ensemble
de définition
Fonction " exp "
Fonction " ln "
exp : x exp( x ) = e x
ln : x ln( x )
Dexp = ] − ∞ ; + ∞[
Dln = ]0 ; + ∞[
Séquence 8 – MA01
3
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Fonction
dérivée
(exp)': x e x
x
0
x
+∞
ex
1
x
0
+∞
+
ln’(x)
+
exp’(x)
Sens de
variation
(ln)': x ln(x)
y
5
y=x
axe de
symétrie
de la figure
y = exp(x)
y = x+1
4
3
e
y = x—1
2
Courbes
K
1
–3
–2
–1
y = In(x)
0
1H
2
e 3
4
5
x
–1
–2
x
Dans un repère orthonormal la courbe représentant la fonction x e est la courbe symétrique, par rapport à la droite d’équation y = x, de celle représentant la fonction x ln( x ).
Propriété
B
Équation d’une tangente
1. Équation générale d’une tangente
On désigne par f une fonction définie sur un intervalle I et par Cf sa courbe
représentative dans un repère du plan. Soit A(a ; f (a )) le point d’abscisse a situé
4
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Séquence 8 – MA01
sur la courbe Cf et TA la tangente en A à la courbe Cf .
Le coefficient directeur de la tangente TA est le nombre dérivé f '(a ).
Une équation de la tangente TA est
y = f '(a ) × ( x − a ) + f (a ) .
2. Équation de quelques tangentes particulières
Fonction f
Coordonnées de A
Équation de TA
f (x ) = x 2
(1 ; 1)
y = 2x – 1
f (x ) = x
(1 ; 1)
y = 0,5 (x + 1)
f ( x ) = ex
(0 ; 1)
y=x+1
f ( x ) = ln( x )
(1 ; 0)
y=x–1
(1 ; 1)
y=–x+2
f (x ) =
1
x
3. Positions relatives d’une courbe et d’une
tangente
Pour déterminer la position d’une courbe Cf par rapport à sa tangente en A (au-dessus ; en dessous) on peut étudier le signe de la différence d ( x ) = f ( x ) − (m x + p )
où y = m x + p est l’équation de la tangente en A.
Signe de d ( x ) sur
un intervalle I
Positions relatives
de Cf et de TA
sur l’intervalle I
d (x ) < 0
d (x ) = 0
d (x ) > 0
Cf est située en
dessous de TA
TA est tangente en
A à la courbe Cf
Cf est située audessus de TA
Séquence 8 – MA01
5
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C
Équation d’une parabole
On considère une fonction trinôme f définie sur par f ( x ) = ax 2 + bx + c
(avec a ≠ 0).
La courbe représentative de f est une parabole ᏼ qui a pour équation
y = ax 2 + bx + c .
 b
 b 
S −
; f  – 
 2a 
 2a
Sommet
a<0
Signe de a
a>0
S
Allure de la
parabole ᏼ
S
Concavité
D
La parabole tourne sa concavité
La parabole tourne sa concavité
" vers le bas " car elle est orientée
vers les " ordonnées négatives ".
" vers le haut " car elle est orientée
vers les " ordonnées positives ".
Fonctions dérivées
Fonctions primitives
1. Fonctions dérivées
Fonction
f : x eu ( x )
f : x ln(u ( x ))
Ensemble de
définition
Même ensemble de définition que
la fonction u.
La fonction u doit être définie et strictement
positive.
Dérivée
Soit u une fonction définie et dérivable sur un Soit u une fonction définie, dérivable et stricteintervalle I.
ment positive sur un intervalle I. La fonction
La fonction f est dérivable sur I et on a :
u '( x )
.
f ': x u '( x ) × eu ( x )
f est dérivable sur I et on a : f ': x u(x )
6
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Séquence 8 – MA01
2. Fonctions primitives
Fonction
x x n (n ∈*)
x
x
1 n +1
x
+k
n +1
1
x
x ln x + k
u '( x )
(avec u ( x ) > 0 )
u( x )
x ln(u ( x )) + k
x
Ensemble de définition
des primitives
Fonctions primitives
]0 ; + ∞[
Tout intervalle où
i u ( x ) existe ;
i u ( x ) > 0.
x eax (a ≠ 0 )
1
x eax + k
a
x u '( x ) × eu ( x )
x eu ( x ) + k
Tout intervalle où
u ( x ) existe.
(voir aussi le tableau de primitives de la séquence 6)
Exercice
Soit f la fonction définie sur
dans un repère du plan.
par f ( x ) =
4
x2 + 3
et C sa courbe représentative
Étudier le sens de variation de la fonction f.
En déduire un encadrement de f ( x ).
Déterminer les équations des tangentes à la courbe C aux points A, K, B d’abs-
cisses respectives – 1, 0, 1.
Solution
La fonction dérivée est définie sur
par f '( x ) = −
est du signe de – x.
i croissante sur ] − ∞ ; 0] ;
La fonction f est
i décroissante sur [0 ; + ∞ [.
8x
( x 2 + 3)2
. Cette dérivée
Pour tout x réel on a 0 < f ( x ). D’après l’étude des variations de f on sait
que f est maximale pour x = 0.
4
4
Calculons f (0 ) = . Pour tout x réel on a 0 < f ( x ) ≤ .
3
3
Pour x = – 1on a f ( −1) = 1 et f '( −1) = 0, 5. La tangente en A( −1 ; 1) a pour
équation y = 0, 5( x + 1) + 1, soit y = 0,5x + 1,5 .
Pour x = 0 on a f (0 ) =
y=
4.
3
 4
4
et f '(0 ) = 0. La tangente en K  0 ;  a pour équation
3
 3
Séquence 8 – MA01
7
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Pour x = 1 on a f (1) = 1 et f '(1) = −0, 5. La tangente en B (1 ; 1) a pour équation
y = −0, 5( x − 1) + 1, soit y = −0,5x + 1,5 .
Voir
Exercice
le tracé de la courbe dans le paragraphe 2 du chapitre 2 (exemple 5).
x
et C sa courbe représentative
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) =
x2 +1
dans un repère du plan d’origine O.
Donner, suivant les valeurs de x, le signe de f ( x ).
Étudier le sens de variation de la fonction f.
En déduire un encadrement de f ( x ).
Déterminer les équations des tangentes à la courbe C aux points A, O, B d’abscisses respectives – 1, 0, 1.
Solution
Comme x 2 + 1 > 0 , f ( x ) est du signe de x.
−∞
x
–
Signe de f ( x )
+∞
0
0
+
La fonction dérivée est définie sur
f '( x ) =
1− x 2
( x 2 + 1)2
=
(1− x )(1+ x )
( x 2 + 1)2
par f '( x ) =
1× ( x 2 + 1) − x (2x )
(x 2 +1)2
, soit
.
La dérivée a le même signe que le trinôme (1− x )(1+ x ).
Ainsi f '( x ) = 0 pour x = −1et pour x = 1;
f '( x ) < 0 pour x < −1et pour x > 1; f '( x ) > 0 pour − 1< x < 1.
La fonction f est
i décroissante sur ] − ∞ ; − 1] et sur [1; + ∞[ ;
i croissante sur [−1; 1].
Sur ] −∞ ; 0] la fonction f est négative et sa valeur minimale est égale à
f ( −1) = −0, 5. Ainsi, pour x ≤ 0, on a −0, 5 ≤ f ( x ) ≤ 0.
Sur [0 ; +∞ [ la fonction f est positive et sa valeur maximale est égale à f (1) = 0, 5.
Ainsi, pour x ≥ 0, on a 0 ≤ f ( x ) ≤ 0, 5.
Pour tout x réel on a −0,5 ≤ f ( x ) ≤ 0,5 .
Pour x = – 1 on a f ( −1) = −0, 5 et f '( −1) = 0. La tangente en A( −1 ; − 0, 5) a
pour équation y = −0,5 .
8
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Séquence 8 – MA01
Pour x = 0 on a f (0 ) = 0 et f '(0 ) = 1. La tangente en O (0 ; 0 ) a pour équation
y =x .
Pour x = 1 on a f (1) = 0, 5 et f '(1) = 0. La tangente en B (1 ; 0, 5) a pour équation y = 0,5 .
Voir
Exercice
le tracé de la courbe dans le paragraphe 2 du chapitre 2 (exemple 6).
1
et C sa courbe représentaSoit f la fonction définie sur par f ( x ) = e − x =
x
e
tive dans un repère du plan d’origine O.
Étudier le sens de variation de la fonction f.
Déterminer les équations des tangentes à la courbe C aux points A, K, B
d’abscisses respectives – 1, 0, 1.
Solution
La fonction dérivée est définie sur
par f '( x ) = −e− x .
Pour tout x réel on a f '( x ) < 0, d’où la fonction f est strictement décroissante
sur .
Pour x = – 1 on a f ( −1) = e ; f '( −1) = − e.
La tangente en A (– 1 ; e) a pour équation y = −e( x + 1) + e, soit y = −e × x .
Pour
x = 0 on a f (0 ) = 1 et f '(0 ) = −1.
La tangente en K (0 ; 1) a pour équation
y = − x + 1.
Pour
1
1
x = 1 on a f (1) = e −1 = et f '(1) = −e −1 = − .
e
e
−1
−1
La tangente en B (1 ; e–1) a pour équation y = −e ( x − 1) + e ,
soit
y = −e −1( x − 2) .
Exercice
Solution
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, toutes définies sur
f ( x ) = e −2x + 3
j ( x ) = ln( x 2 − 2x + 2).
f '( x ) = −2e −2x + 3
j '( x ) =
2( x − 1)
2
x − 2x + 2
g ( x ) = ln(1+ e x )
g '( x ) =
ex
1+ e x
.
2
h ( x ) = e − x + x −1
2
h '( x ) = ( −2x + 1) e − x + x −1
.
Séquence 8 – MA01
9
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Exercice
Déterminer une fonction primitive de chacune des fonctions suivantes, toutes
définies sur
Solution
.
f ( x ) = e −2x
j (x ) =
x
e −e
−x
e x + e− x
1+ x 2
2
h ( x ) = (2x − 4 ) e0,5x − 2x +1
.
1
2x
1 u '( x )
=x+ ×
On a g ( x ) = x + ×
où u ( x ) = 1+ x 2.
2
2 1+ x
2 u(x )
On a h ( x ) = 2( x − 2)e
a j (x ) =
e x − e− x
x
e +e
−x
1
D’où F ( x ) = − e −2x ;
2
J ( x ) = ln(e x + e − x ).
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x
1
1
On a f ( x ) = e −2x = − × ( −2)e −2x = − × u '( x ) eu ( x ) où u ( x ) = −2x .
2
2
On
10
g(x ) = x +
Séquence 8 – MA01
0,5x 2 − 2x +1
=
= 2 × u '( x )eu ( x ) où u ( x ) = 0, 5x 2 − 2x + 1.
u '( x )
où u ( x ) = e x + e − x .
u( x )
1
1
G ( x ) = x 2 + ln(1+ x 2 ) ;
2
2
2
H ( x ) = 2 e 0 ,5 x − 2 x + 1 ;
1
2
A
Convexité d’une fonction sur un intervalle
Objectifs
Reconnaître
Obtenir
des inégalités en utilisant la convexité.
Rechercher
Utiliser
B
Activité 1
graphiquement des fonctions convexes, des fonctions concaves.
les points d’inflexion éventuels d’une courbe.
un tableur pour obtenir des encadrements.
Pour débuter
Tangentes et parabole
Partie A
Situer la parabole Ꮿ d’équation y = c ( x ) = x 2 , définie pour tout x réel, par
rapport à sa tangente en K (1 ; 1).
Situer la parabole Ꮿ par rapport à sa tangente en un point quelconque A (a ; a2).
Tracer la parabole Ꮿ et les tangentes aux points d’abscisses a = – 2, a = – 1,
a = 0, a = 1, a = 2.
Soit f la fonction définie, pour tout x réel, par f ( x ) = −c ( x ) = − x 2 et Ꮿf sa
courbe représentative.
Que peut-on dire des courbes Ꮿ et Ꮿf ? Comment se situe la courbe Ꮿf par
rapport à ses tangentes ?
Partie B
Situer la courbe ᏾ d’équation y = r ( x ) =
x , définie pour tout x ≥ 0, par
rapport à sa tangente en K (1 ; 1).
Situer la courbe ᏾ par rapport à sa tangente en un point quelconque
A(a ; a ), avec a > 0.
Tracer la courbe ᏾ et les tangentes aux points d’abscisses a = 1, a = 2, a = 4.
Soit g la fonction définie sur [0 ; + ∞ [ par g ( x ) = −r ( x ) = − x et Ꮿ g sa
courbe représentative.
Séquence 8 – MA01
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Que peut-on dire des courbes ᏾ et Ꮿ g ? Comment se situe la courbe Ꮿ g par
rapport à ses tangentes ?
Activité 2
Tangentes et hyperbole
1
, définie pour x ≠ 0.
x
Situer, sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ , la courbe Ᏼ par rapport à sa tangente en
K (1 ; 1).
Soit Ᏼ l’hyperbole d’équation y = i ( x ) =
Situer, sur l’intervalle ] −∞ ; 0[ , la courbe Ᏼ par rapport à sa tangente en
H (–1 ; – 1).
Situer, sur chacun des intervalles ]0 ; + ∞[ et ] − ∞ ; 0[ ,la courbe Ᏼ par rapport
 1
à sa tangente en un point quelconque A  a ;  , avec a ≠ 0.
 a
Tracer les tangentes à la courbe Ᏼ aux points d’abscisses a = – 2, a = – 1,
1
1
a = − , a = , a = 1, a = 2.
2
2
Activité 3
Tangentes aux courbes des fonctions "exp" et "ln"
Situer la courbe C
exp représentant la fonction"exp" par rapport à sa tangente
en K (0 ; 1).
Situer la courbe C
exp par rapport à sa tangente en un point quelconque
A(a ; ea ).
Tracer la courbe C
exp et les tangentes aux points d’abscisses a = – 1, a = 0,
a = 1.
Situer la courbe C représentant la fonction"ln" par rapport à sa tangente
ln
en H (1 ; 0).
Situer la courbe C par rapport à sa tangente en un point quelconque
ln
A(a ; lna ), avec a > 0.
Tracer, dans le même repère, la courbe C ln et les tangentes aux points d’abs-
cisses a = e −1 , a = 1 , a = e.
Soit h la fonction définie sur ]0 ; + ∞ [ par h ( x ) = − ln x et (C ) sa courbe représentative.
Que peut-on dire des courbes C ln et (C ) ? Comment se situe la courbe (C ) par
rapport à ses tangentes ?
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Séquence 8 – MA01
Cours
C
1. Fonction convexe, fonction concave
a) Notion intuitive de la courbure d’une courbe
15
14
8
7
1
6
2
10
13
11
9
12
5
Considérons le circuit de Formule 1 d’Interlagos à São Paulo au
Brésil. On y voit deux lignes droites et plusieurs virages. Si un
pilote veut rester sur la piste il lui faut, le plus souvent, tourner
son volant, soit vers la gauche, soit vers la droite. On peut noter,
entre autres, un changement de courbure entre les virages 1 et
2, ainsi qu’entre les virages 5 et 6.
4
3
Remarque
Donnons
quelques
exemples mathématiques pour évoquer la" courbure" d’une courbe.
Parmi les vingt grands prix de la
saison 2012 de Formule 1, celui
du Brésil est le seul dont le circuit soit parcouru par les pilotes
dans le sens " anti-horaire"
(sens inverse des aiguilles d’une
montre).
Les courbes représentatives de 4 fonctions, définies sur le même intervalle
[0 ; 1], sont tracées sur la figure 1.
Les 4 fonctions d, f, g et h sont continues et strictement croissantes sur
[0 ; 1]. Par ces 4 fonctions l’image de 0
est 0 et l’image de 1 est 1.
K
1
0,5
0
H
0,5
K
1
0,5
0,5
1
0
K
1
0,5
1
0
K
1
0,5
0,5
0,5
1
0
0,5
1
K
1
0
H
0,5
4 courbes
Courbe de d
Courbe de f
Courbe de g
Courbe de h
Figure 1
Figure 2 a
Figure 2 b
Figure 2 c
Figure 2 d
1
Peut-on dire que les 4 courbes aient la même" allure"? A priori la réponse est
NON.
Figure 2 a
Figure 2 b
Figure 2 c
Figure 2 d
La courbe est un segment Sur un circuit, pour aller de Sur un circuit, pour aller de
de courbure nulle. Sur O à K, il faudrait tourner O à K, il faudrait tourner
un circuit, pas besoin de son volant vers la gauche. son volant vers la droite.
tourner son volant pour
garder sa trajectoire.
Sur un circuit, pour aller de
O à K, il faudrait d’abord
tourner son volant vers la
droite, puis vers la gauche.
On note un changement
de courbure en H.
Séquence 8 – MA01
13
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b) Concave ou convexe ?
Archimède et les " miroirs ardents "
`
Miroir
Miroirs concaves – Archimède
Concave
Convexe
Peinture murale de Giulio Parigi (1571 –
1635) datant de 1600 environ (Galerie des
Offices, Florence, Italie).
© Bridgeman Giraudon
Figure 3
Selon la légende, Archimède (vers –287 ; – 212 ) aurait utilisé des miroirs concaves, appelés
aussi " miroirs ardents ", pour concentrer les rayons du soleil et ainsi enflammer les voiles des
navires romains qui assiégeaient la ville de Syracuse (en Sicile) lors de la seconde guerre punique.
Archimède fut tué, en – 212, lors de ce siège de Syracuse.
Figure 4
Autoportrait dans un miroir convexe
C’est vers 1524 que le peintre italien Il Parmigiano (1503 - 1540),
connu en France sous le nom de " Le Parmesan", a peint son
autoportrait sur un miroir convexe.
Ce tableau se trouve à Vienne au Kunsthistorisches Museum.
Maurits Cornelis ESCHER (1898 – 1972)
Cet artiste hollandais a réalisé, en 1955, une lithographie
intitulée " Concave et Convexe". Vous trouverez
© BPK, Berlin, Dist. RMN/Hermann
Buresch
cette lithographie (et bien d’autres toutes aussi intrigantes…) sur Internet.
La lithographie " Concave et Convexe" est divisée en trois
bandes verticales.
Celle de gauche montre une architecture convexe : tout
est vu d’en haut et notre regard est attiré vers le bas.
Celle de droite montre une architecture concave : tout est vu d’en bas et notre
regard est attiré vers le haut.
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Séquence 8 – MA01
c) Définitions
Dans l’activité 1 on a montré que la parabole ᏼ d’équation y = f ( x ) = x 2 est
située au-dessus de chacune de ses tangentes : la fonction" carré" est dite
convexe sur .
Dans l’activité 3 on a montré que la courbe C exp d’équation y = f ( x ) = e x
est située au-dessus de chacune de ses tangentes : la fonction"exp" est dite
convexe sur .
Dans l’activité 1 on a montré que la courbe Ꮿ d’équation y = f ( x ) = x est
située en dessous de chacune de ses tangentes : la fonction" racine carrée" est
dite concave sur ]0 ; + ∞[.
Dans l’activité 3 on a montré que la courbe C ln d’équation y = f ( x ) = ln x est
située en dessous de chacune de ses tangentes : la fonction"ln" est dite concave
sur ]0 ; + ∞[.
Définition 1
Une fonction f dérivable sur un intervalle I est convexe sur cet intervalle si
sa courbe représentative est située au-dessus de chacune de ses tangentes.
Définition 2
Une fonction f dérivable sur un intervalle I est concave sur I si la fonction
g = – f est convexe sur cet intervalle.
On peut donner une autre définition d’une fonction concave.
Définition 2 bis
Une fonction f dérivable sur un intervalle I est concave sur I si sa courbe
représentative est située en dessous de chacune de ses tangentes.
Remarque
Les mots" au-dessus" et" en dessous" sont à prendre au" sens large".
Quand on dit qu’une courbe est située au-dessus d’une de ses tangentes,
cela signifie qu’aucun point de la courbe ne se trouve strictement en dessous de la tangente. Un point de tangence se trouve à la fois sur la courbe
et sur la tangente.
Séquence 8 – MA01
15
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Étudier la convexité d’une fonction c’est déterminer sur quel(s) intervalle(s)
elle est convexe et sur quel(s) intervalle(s) elle est concave.
d) Fonctions de référence
fonctions x x 2 et x e x sont convexes sur
Les
fonctions x x et x ln x sont concaves sur ]0 ; + ∞[.
La
Cas particulier
.
Les
fonction x 1
est convexe sur ]0 ; + ∞ [ et concave sur ] −∞ ; 0[.
x
fonctions affines sont représentées par des droites (voire des demi-droites
ou des segments). En chaque point d’une droite la tangente est confondue avec
la droite. Une droite se retrouve donc (au sens large) au-dessus et en dessous
de chaque tangente.
Les
Propriété 1
Les seules fonctions qui soient à la fois convexes et concaves sont les
fonctions affines.
e)) All
Allure générale
é é l d
des courbes
b
d
de ffonctions
i
convexes
ou de fonctions concaves
Allure des courbes (sauf fonctions affines)
Fonction
convexe
Fonction
concave
f) Courbes des fonctions convexes (ou concaves) et
tangentes
D’après la définition, si une fonction f est convexe (ou concave) sur un intervalle
I alors on connaît la position de la courbe représentant la fonction f sur I par
rapport à toutes ses tangentes.
16
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Séquence 8 – MA01
Propriété 2
f une fonction convexe sur I et a un réel de I. Pour tout réel x de I
on a : f ( x ) ≥ f '(a ) × ( x − a ) + f (a ) .
Soit
f une fonction concave sur I et a un réel de I. Pour tout réel x de I
on a : f ( x ) ≤ f '(a ) × ( x − a ) + f (a ) .
Soit
Appliquons cette propriété aux deux fonctions de référence" exp" et" ln".
Soit a un réel quelconque. Pour tout x réel on a : e x ≥ ea ( x − a ) + ea . Pour a = 0
on obtient x + 1 ≤ e x .
1
Soit un réel a > 0. Pour tout réel x > 0 on a : ln x ≤ ( x − a ) + lna. Pour a = 1 on
a
obtient ln x ≤ x − 1.
Propriété 3
Pour
tout réel x on a x + 1 ≤ e x .
Pour tout réel x > 0 on a
ln x ≤ x − 1.
Remarque
Voir dans les pré-requis (§A – 3) les tracés des deux courbes C exp et C ln .
Vous avez déjà vu dans la Séquence 4 - exercice V de synthèse - que, pour
tout x réel, x + 1 ≤ e x .
2. Lien entre convexité d’une fonction dérivable
et sens de variation de la fonction dérivée
Récapitulons certains résultats des paragraphes antérieurs.
Séquence 8 – MA01
17
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x e x sur x e x sur x
1
sur ]0 ; + ∞ [
x
x −
x2
sur ]0 ; + ∞ [
x
x x
sur ]0 ; + ∞ [
1
x −
1
x2
sur ] −∞ ; 0[
Croissante
Convexe sur
Convexe
sur ]0 ; + ∞ [
Concave sur ]0 ; + ∞ [
sur ]0 ; + ∞ [
sur ]0 ; + ∞ [
1
x sur ] − ∞ ; 0[
x
Croissante sur
Convexe sur
Décroissante
2 x
1
x
x ln x sur ]0 ; + ∞ [
sur ]0 ; + ∞ [
sur ]0 ; + ∞ [
1
x
Croissante sur
Convexe
x 2x sur La fonction f est …
Décroissante
sur ]0 ; + ∞ [
Concave
Sens de variation de f ’
Décroissante
x x 2 sur
Fonction dérivée f ’
Croissante
Fonction f
Décroissante
sur ] −∞ ; 0[
Concave
sur ]0 ; + ∞ [
Concave sur ] −∞ ; 0[
Ces résultats nous permettent d’émettre une conjecture pour déterminer la
convexité d’une fonction.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
i si f' est croissante sur I alors f semble convexe sur I ;
i si f' est décroissante sur I alors f semble concave sur I .
On admet cette conjecture, ce qui nous permet d’énoncer une propriété.
Propriété 4
f
une
fonction
dérivable
sur
un
Soit
i si f' est croissante sur I alors f est convexe sur I ;
intervalle
I.
i si f' est décroissante sur I alors f est concave sur I .
Exemple 1
On désigne par F une fonction primitive de f sur un intervalle I. Étudier, dans les
trois cas suivants, la convexité de la fonction F sur l’intervalle I.
18
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Séquence 8 – MA01
1) f ( x ) = 2x + 1 avec I = . 2) f ( x ) = − x + 2 avec I = . 3) f ( x ) = x avec
I = ]0 ; + ∞ [.
Solution
La fonction f est affine et croissante sur
donc convexe sur
.
. Toute fonction primitive F de f est
La fonction f est affine et décroissante sur
est donc concave sur
.
. Toute fonction primitive F de f
La fonction f est croissante sur ]0 ; + ∞ [. Toute fonction primitive F de f est
donc convexe sur ]0 ; + ∞ [.
Exemple 2
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par f ( x ) = x ln x − x . Déterminer la fonction
dérivée de f et dire si f est convexe ou concave sur ]0 ; + ∞ [.
Solution
On a f '( x ) = ln x +
La fonction" ln" étant croissante sur
]0 ; + ∞ [ la fonction f est convexe
sur ]0 ; +∞ [.
Exemple 3
Solution
Remarque
x
− 1 d’où f '( x ) = ln x .
x
Soit f la fonction définie sur
de la fonction f.
La fonction f : x x ln x − x est
une primitive de la fonction" ln"
sur ]0 ; + ∞ [ .
par f ( x ) = x 3 − x 2 − 8x + 12. Étudier la convexité
On a f '( x ) = 3x 2 − 2x − 8. Cette dérivée est une fonction trinôme représentée par
1

−2 1
= . Sur l’intervalle  − ∞ ; 
3
6 3

1

la fonction f ' est décroissante et sur l’intervalle  ; + ∞  elle est croissante.
3

une parabole. Son sommet S a pour abscisse −
1

La fonction f est concave sur l’intervalle  − ∞ ;  et convexe sur l’intervalle
3

1

;
+
∞
.
 3

La propriété 4, associée aux formules de dérivation (u + v )' = u '+ v ' et
(k v )' = k v ', nous permet de déterminer la convexité des fonctions u + v et k v
connaissant la convexité des fonctions u et v.
Supposons que l’on ait f = u + v et que les deux fonctions u et v soient convexes
sur un même intervalle I.
Séquence 8 – MA01
19
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Les deux fonctions u ' et v ' sont donc croissantes sur cet intervalle I et comme
(u + v )' = u '+ v ' on peut dire que la fonction f ' est croissante sur I ce qui prouve
que la fonction f est convexe sur I.
De même si les deux fonctions u et v sont concaves sur un même intervalle I alors
la fonction f = u + v est concave sur I.
que l’on ait f = k v avec k ≠ 0, et que la fonction v soit convexe sur
un intervalle I.
Supposons
La fonction v ' est donc croissante sur I et comme (k v )' = k v ', on peut dire que
la fonction f ' est croissante sur I si k > 0 et décroissante sur I si k < 0. La fonction f est donc convexe sur I si k > 0 et concave sur I si k < 0.
De même, si la fonction v est concave sur I alors la fonction f est concave sur I si
k > 0 et convexe sur I si k < 0.
Produit k v
Somme
u+v
Propriété 5
Exemple 4
Les fonctions u et v sont définies sur un intervalle I.
Le nombre k est un réel non nul.
Si
alors
u convexe sur I
v convexe sur I
(u + v) convexe sur I
u concave sur I
v concave sur I
(u + v) concave sur I
u convexe sur I
v concave sur I
k>0
k<0
v convexe sur I
(k v) convexe sur I
v concave sur I
(k v) concave sur I
v convexe sur I
(k v) concave sur I
v concave sur I
(k v) convexe sur I
Soit f la fonction définie sur
de la fonction f sur
.
par f ( x ) = e x + 2x − 1. Étudier la convexité
; + ∞ [ par g ( x ) = 2 x + 5ln x . Étudier la convexité de la fonction g sur ]0 ; +∞ [.
Soit g la fonction définie sur ]0
Soit h la fonction définie sur
de la fonction h sur
Solution
.
Posons u ( x ) = e x et v ( x ) = 2x − 1. Les deux fonctions u et v sont convexes
sur
.
La fonction f est convexe sur
20
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par h( x ) = e x − 0,5 x 2. Étudier la convexité
Séquence 8 – MA01
.
Posons
u ( x ) = x et v ( x ) = ln x . Les deux fonctions u et v sont concaves sur
]0; + ∞[ ; de plus 2 > 0 et 5 > 0.
La fonction g est concave sur ]0 ; + ∞ [.
Posons u ( x ) = e x et v ( x ) = 0, 5 x 2. On a alors h = u – v [ou h = u + (– v)].
Ici la propriété 5 ne s’applique pas car la fonction h est la différence de deux
fonctions convexes sur
ou, si on préfère, la somme d’une fonction convexe
( x e x ) et d’une fonction concave ( x −0, 5 x 2 ). On va donc étudier le sens
de variation de la fonction dérivée h ‘ définie sur
par h '( x ) = e x − x .
Pour cela on va chercher le signe de la dérivée de la fonction h ‘.
On a (h ')' ( x ) = e x − 1. On sait que e x − 1 = 0 pour x = 0 ; e x − 1 > 0 pour x > 0
et e x − 1 < 0 pour x < 0.
On obtient ainsi le tableau ci-contre :
x
−∞
+∞
0
3
h '( x )
TA
y = x+1
Convexe
2
h '( x )
h(x) = exp(x) – 0,5x2
1
A
–2
–1
O
Concave
–1
–
h
0
+
1
Concave
Convexe
La fonction h est concave sur ] −∞ ; 0]
et convexe sur [0 ; +∞[ (voir figure 5).
1
2
3
Pour étudier la convexité de la fonction h on a été amené à chercher le
signe de la dérivée de la fonction dérivée h ‘ afin de déterminer le sens de
variation de cette fonction dérivée.
Figure 5
3. Lien entre convexité d’une fonction dérivable et signe de la fonction dérivée seconde
On sait que pour savoir si une fonction f est convexe ou concave sur un intervalle
I (ou ni l’un, ni l’autre) on peut étudier le sens de variation de sa fonction dérivée
f '. Mais pour déterminer le sens de variation de la fonction f ' on peut étudier
le signe de sa dérivée (voir la fonction h de l’exemple 4).
Séquence 8 – MA01
21
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Définition 4
La fonction dérivée de la fonction f ' est la fonction dérivée seconde de
la fonction f et se note f " .
Ainsi (f ')' = f ". [f " se lit : f seconde]
On en déduit la propriété suivante.
Propriété 6
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
i si f'' est positive sur I alors f est convexe sur I ;
i si f'' est négative sur I alors f est concave sur I.
➟ Complément sur la notion de courbure
On peut mathématiquement définir la courbure d’une courbe, mais ce n’est
pas au programme de terminale ES. On admet que la courbure d’une courbe
Cf représentant une fonction f a le même signe que la dérivée seconde.
Sur tout intervalle I où f est convexe, la courbure de la courbe Cf est positive.
Sur tout intervalle I où f est concave, la courbure de la courbe Cf est négative.
Ainsi la courbure de la courbe C exp est positive sur
courbe C ln est négative sur ]0 ; + ∞[.
et la courbure de la
On peut dire que
si
la courbure est négative la courbe tourne vers la droite (comme C ln ) ;
si
la courbure est positive la courbe tourne vers la gauche (comme C exp ).
Quand on dit une courbe tourne" vers la droite" ou " vers la gauche"
c’est toujours en parcourant la courbe dans le sens des « x croissants ».
Exemple 5
Soit f la fonction définie sur
requis).
par f ( x ) =
4
x2 + 3
(voir premier exercice des pré-
Déterminer la dérivée seconde de f et en déduire la convexité de f.
Solution
La dérivée seconde est définie sur
f "( x ) = −8 ×
22
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Séquence 8 – MA01
par
( x 2 + 3)2 − x × 2( x 2 + 3)(2x )
(x 2 + 3)4
( x 2 + 3)  x 2 + 3 − 4 x 2 

.
= −8 ×
2
4
(x + 3)
On obtient f "( x ) =
24( x 2 + 3)( x + 1)( x − 1)
( x 2 + 3)4
.
La dérivée seconde est du signe du trinôme (x + 1) (x – 1) qui s’annule pour
x = – 1 et pour x = 1.
Le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre les racines.
−∞
x
–1
+
Signe de f ''( x )
f est …
0
Convexe
La fonction f est
+∞
1
–
0
+
Concave
Convexe
i convexe sur ] − ∞ ; − 1] et sur [1; + ∞[;
i concave sur [ − 1; 1].
La courbe représentative de f, obtenue sur l’écran d’une calculatrice, est sur la
figure 6.
O
Exemple 6
Cet
exemple nous montre qu’une fonction définie sur
sur , ni concave sur .
peut être, ni convexe
concave n’est pas le contraire de convexe : si une fonction f n’est
pas convexe sur un intervalle I cela ne veut pas dire qu’elle est nécessairement
concave sur I.
x
(voir deuxième exercice des
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 2
x
+
1
pré-requis).
Ainsi
Déterminer la dérivée seconde de f et en déduire la convexité de f.
Solution
La dérivée seconde est définie sur
f "( x ) =
par
−2x ( x 2 + 1)2 − (1− x 2 ) × 2( x 2 + 1)(2x )
On obtient f "( x ) =
( x 2 + 1)4
2x ( x 2 + 1)( x 2 − 3)
( x 2 + 1)4
=
=
−2x ( x 2 + 1)( x 2 + 1+ 2 − 2x 2 )
( x 2 + 1)4
2x ( x 2 + 1)( x − 3)( x + 3)
( x 2 + 1)4
.
.
La dérivée seconde est du signe du produit x ( x + 3 )( x − 3 ) qui s’annule pour
x = 0, pour x = − 3 et pour x = 3.
Séquence 8 – MA01
23
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Dressons un tableau de signes de la dérivée seconde.
−∞
x
0
– 3
x
–
–
x− 3
–
–
–
x+ 3
–
0
+
+
Signe de f "( x )
–
0
+
f est …
Concave
La fonction f est
+∞
3
0
+
0
+
0
+
–
Convexe
+
0
+
Concave
Convexe
i convexe sur [ − 3 ; 0] et sur [ 3 ; + ∞[ ;
i concave sur ] − ∞ ; − 3] et sur [0 ; 3].
La courbe représentative de f, obtenue sur l’écran d’une calculatrice, est sur la
figure 7.
Figure 6
Exemple 7
Figure 7
Soit u et v les deux fonctions définies sur
par u ( x ) = x 2 + 1 et v ( x ) = e x .
On définit, pour tout réel x, la fonction f par f ( x ) = u ( x ) × v ( x ).
Que peut-on dire concernant la convexité des deux fonctions u et v sur
Étudier la convexité de la fonction f sur
Solution
.
Les deux fonctions u et v sont convexes sur
La dérivée seconde de f est définie sur
?
.
par f "( x ) = ( x 2 + 4 x + 3) e x . Cette
dérivée seconde a le même signe que le trinôme x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1)( x + 3).
Pour x = – 3 et pour x = – 1 la dérivée seconde s’annule et change de signe. Elle
est positive à l’extérieur des racines et négative entre les racines.
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Séquence 8 – MA01
−∞
x
–3
+
f ''( x )
f est …
0
Convexe
+∞
–1
–
0
+
Concave
Convexe
i convexe sur] − ∞ ; − 3] et sur [ −1; + ∞[ ;
i concave sur [ −3 ; − 1].
La fonction f est
Remarque
−1
La courbe représentant la fonction f admet en B ( −1; 2e )
Le produit de deux fonctions
convexes sur I ne donne pas, en
général, une fonction convexe
sur I.
une tangente parallèle à l’axe des abscisses (voir figure 8).
2
B
1
A
–3
–4
Convexe
–2
–1
O
Concave
1
Convexe
Figure 8
4. Notion de point d’inflexion
k :x x3
Fonction
Courbe
–2
q :x x4
2
2
1
1
O
–1
1
2
–2
O
–1
–1
–1
–2
–2
1
2
Séquence 8 – MA01
25
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Dérivée
seconde
k "( x ) = 6 x
−∞
x
+∞
0
–
h '( x )
Convexité
q "( x ) = 12x 2
0
+
−∞
x
q "( x )
+
0
k
Concave
Convexe
q
Convexe
k'
Décroissante
Croissante
q'
Croissante
La dérivée seconde s’annule en 0 en
changeant de signe. La fonction k
change de convexité en 0.
Point
d’inflexion
point O (0 ; 0) est un point
d’inflexion de la courbe.
Le
Au
point O (0 ; 0) la courbe traverse
sa tangente.
+∞
0
+
La dérivée seconde s’annule en
0 sans changer de signe. La
fonction q ne change pas de
convexité.
La courbe n’admet pas de point
d’inflexion.
En
tout point la courbe est au-dessus de sa tangente.
Le changement de signe de la dérivée seconde correspond à un changement de
convexité de la fonction.
En un point où la dérivée seconde s’annule et change de signe, la courbe représentative d’une fonction traverse sa tangente.
Illustrons ceci par la figure 9 où la courbe représentative d’une fonction f est
donnée.
point K la courbe traverse la tangente T.
Le point K est un point d’inflexion de
la courbe.
Entre A et K, f " ≥ 0 et la pente des tangentes augmente.
Au
B
Concave
f " ≤ 0 et la pente des tangentes diminue.
Considérons la courbe de la fonction
k : x x 3.
Entre K et B,
K
Point
d’inflexion
La pente des tangentes
Convexe
A
T
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Séquence 8 – MA01
Figure 9
i diminue sur ] − ∞ ; 0] ;
i augmente sur [0 ; + ∞[.
(voir le sens de variation de la fonction
dérivée k’)
Propriété 7
Lorsque la dérivée seconde d’une fonction f s’annule en x 0 , en
changeant de signe, alors la fonction f change de convexité en x 0 .
Définition 5
Soit f une fonction dérivable et Cf sa courbe représentative dans un repère
du plan.
Si la fonction f change de convexité en x 0 on dit que le point de la courbe
Cf d’abscisse x 0 est un point d’inflexion de la courbe Cf .
Propriété 8
Si la courbe représentative d’une fonction admet un point d’inflexion alors
la courbe traverse sa tangente en ce point.
Exemple 8
Le
point O (0 ; 0) est le point d’inflexion de la courbe représentant la fonction
x x 3.
Les
points A( −1 ; 1) et B (1 ; 1) sont les points d’inflexion de la courbe représen-
tant la fonction x 4
(voir la courbe de l’exemple 5).
x2 + 3


3
3
Les points A  − 3 ; −
 , O (0 ; 0) et B  3 ;
 sont les points d’in4 
4 


x
(voir la courbe de
flexion de la courbe représentant la fonction x x2 +1
l’exemple 6).
Les points A( −3 ; 10 e −3 ) et B ( −1 ; 2e −1) sont les points d’inflexion de la
courbe représentant la fonction x ( x 2 + 1) e x (voir la courbe de l’exemple 7).
Exemple 9
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 10( x − 1) e − x et C sa courbe représentative dans un repère du plan.
Déterminer les variations de la fonction f. Étudier la convexité de la fonction f.
Séquence 8 – MA01
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Montrer que la courbe C admet un point d’inflexion, noté K. Donner l’équation de
la tangente à la courbe C en K.
Solution
Pour tout réel x on a
i f '( x ) = 10 e − x − ( x − 1)e − x  = 10(2 − x )e − x ;


i f "( x ) = 10  −e − x − (2 − x )e − x  = 10( x − 3)e − x .


La fonction dérivée est du signe de (2 – x).
La fonction f est
La fonction dérivée seconde est du signe de (x – 3).
i croissante sur ] −∞ ; 2] ;
i décroissante sur [2 ; +∞ [.
La fonction f est
i concave sur ] − ∞ ; 3] ;
i convexe sur [ 3 ; + ∞ [.
(
Pour x = 3 la dérivée seconde s’annule et change de signe : le point K 3 ; 20 e −3
est un point d’inflexion de C.
)
Calculons f '( 3) = 10(2 − 3) e −3 = −10 e −3 .
L’équation de la tangente à C au point K est y = −10e −3 ( x − 3) + 20e −3 , soit
y = −10 e −3 ( x − 5).
Voir la courbe sur la figure 10. On a y K ≈ 1 car 20 e −3 = 0, 995...
2
y = f(x) = 10(x–1) exp(–x)
2
K
1
y = g(x) = 2x2 + x + In(x)
Convexe
1
K
C
0
3
2
4
6
0
0,2
Concave
–2
C
Figure 10
Exemple 10
0,8
Concave
–2
0,4 0,5 0,6
Convexe
Figure 11
Soit g la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par g ( x ) = 2x 2 + x + ln x et C sa courbe
représentative dans un repère du plan.
Déterminer les variations de la fonction g.
Étudier la convexité de la fonction g.
Montrer que la courbe C admet un point d’inflexion, noté K. Donner l’équation
de la tangente à la courbe C en K.
28
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Séquence 8 – MA01
i g '( x ) = 4 x + 1+
Solution
Pour tout réel x on a
i g "( x ) = 4 −
1
x2
1
;
x
=
4 x 2 − 1 (2x − 1)(2x + 1)
.
=
x2
x2
Comme x > 0, la fonction dérivée est toujours positive.
La fonction g est croissante sur ]0 ; + ∞[.
Comme 2x + 1 > 0 et x 2 > 0, la fonction dérivée seconde est du signe de
(2x – 1).
La fonction g est concave sur  0 ; 0, 5  et convexe sur [0,5 ; +∞[ .
Pour x = 0, 5 la dérivée seconde s’annule et change de signe : le point
K (0, 5 ; 1− ln 2) est un point d’inflexion de C.
Calculons g '(0,5) = 5. L’équation de la tangente à C au point K est
y = 5(x – 0,5) + 1 – ln2, soit y = 5x − 1, 5 − ln 2 (voir figure 11).
Remarque
Cet exemple nous montre encore que la somme d’une fonction convexe
( x 2x 2 + x ) et d’une fonction concave ( x ln x ) sur un intervalle peut,
sur ce même intervalle, être ni convexe, ni concave.
5. Inégalité des " milieux "
Fonction f convexe
M
Fonction f concave
K
Corde
J
Courbe
N
N
Courbe
K
A
B
a
b
↑
a +b
2
J
M
Corde
A
B
a
b
↑
a +b
2
Séquence 8 – MA01
29
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yK ≤ y J
yK ≥ y J
Le segment [MN ] est une corde. L’arc de courbe
Le segment [MN ] est une corde. L’arc de courbe
entre M et N est situé en dessous de la corde [MN ].
entre M et N est situé au-dessus de la corde [MN ].
Le point K, situé sur la courbe, a pour abscisse x K =
a +b
yK = f 
.
 2 
a +b
et pour ordonnée
2
Le point J, milieu du segment [MN ], a pour abscisse x J =
yJ =
f (a ) + f ( b )
.
2
Propriété 9
a +b
et pour ordonnée
2
Inégalités des milieux
Si f est convexe sur [a ; b ] alors
Si f est concave sur [a ; b ] alors
yK ≤ y J
yK ≥ y J
 a + b  f (a ) + f ( b )
≤
2 
2
d’où f 

 a + b  f (a ) + f ( b )
≥
2 
2
d’où f 

Propriété 10
Si f est une fonction convexe sur un intervalle I alors tout arc de courbe est
situé en dessous de la corde correspondante.
Si f est une fonction concave sur un intervalle I alors tout arc de courbe est
situé au-dessus de la corde correspondante.
Exemple 11
Soit a et b deux réels quelconques. Écrire l’inégalité des milieux lorsque f = exp.
Soit a et b deux réels tels que a > 0 et b > 0. Écrire l’inégalité des milieux
lorsque f = ln.
Solution
La fonction" exp" est convexe sur
a +b
ea + eb
soit e 2 ≤
.
2
30
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Séquence 8 – MA01
a +b
≤
d’où exp 
 2 
exp(a ) + exp(b )
2
La fonction" ln" est concave sur ]0 ; + ∞[
 a + b  ln(a ) + ln(b )
d’où ln 
≥
2
 2 
soit ln  a + b  ≥ ln(a b ) .


 2 
2
Exemple 12
Sur les figures 12 et 13 les points A (a ; 0) et B (b ; 0) sont situés sur l’axe des
abscisses, le point K sur la courbe Cf et le point J sur la corde [MN ]. Les points K
a+b
et J ont pour abscisse x K = x J =
; TK est la tangente en K à la courbe Cf .
2
Sur la figure 12 la courbe C représente une fonction f positive et convexe
f
sur l’intervalle [a ; b] (avec a < b).
b
Comparer l’intégrale ∫ f ( x ) dx à l’aire des deux trapèzes rectangles A B F E et
a
A B N M. En déduire que la valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est comprise entre l’ordonnée du point K et l’ordonnée du point J.
Sur la figure 13 la courbe C représente une fonction f positive et concave
f
sur l’intervalle [a ; b] (avec a < b).
b
Comparer l’intégrale ∫ f ( x ) dx à l’aire des deux trapèzes rectangles A B F E et
a
A B N M. En déduire que la valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est comprise entre l’ordonnée du point J et l’ordonnée du point K.
La fonction f est positive et convexe sur [a ; b]
La fonction f est positive et concave sur [a ; b]
M
F
TK
J
K
Corde
E
N
K
Cf
Axe des
abscisses
a
N
E
TK
A
b
F
B
J
M
A
Corde
Axe des
abscisses
a
Figure 12
Cf
B
b
Figure 13
Séquence 8 – MA01
31
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Solution
b
Comme f est positive sur l’intervalle [a ; b], l’intégrale ∫ f ( x ) dx est égale, en
a
unités d’aire, à l’aire du domaine A B N K M délimité par la courbe Cf , l’axe des
abscisses et les droites d’équations respectives x = a et x = b.
Comme f est convexe sur [a ; b] la courbe C est située au-dessus de la tanf
gente TK .
D’où aire (A B F E) f aire" sous la courbe" f aire (A B N M), soit
aire (A B F E) f
b
∫a f ( x ) dx
On a :
aire (A B F E) =
f aire (A B N M).
AE + BF
a +b
× (b − a ) = (b − a ) × y K = (b − a ) × f 
.
 2 
2
On a :
aire (A B N M) =
AM + BN
f (a ) + f ( b )
× (b − a ) = (b − a ) × y J = (b − a ) ×
.
2
2
b
f (a ) + f ( b )
a +b
≤ ∫ f ( x ) dx ≤ (b − a ) ×
soit
Ainsi (b − a ) × f 

 2  a
2
1 b
f (a ) + f ( b )
a +b
≤
.
f
f ( x ) dx ≤

∫
 2  b −a a
2
La valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est comprise entre l’ordonnée de K
et l’ordonnée de J.
Comme f est concave sur [a ; b] la courbe C est située en dessous de la
f
tangente TK .
D’où aire (A B N M) f aire" sous la courbe" f aire (A B F E), soit
aire (A B N M) f
Ainsi (b − a ) ×
b
∫a f ( x ) dx
f aire (A B F E).
b
f (a ) + f ( b )
a +b
≤ ∫ f ( x ) dx ≤ (b − a ) × f 
soit
a
 2 
2
f (a ) + f ( b )
1 b
a +b
≤
f ( x ) dx ≤ f 
.
∫
a
 2 
2
b −a
La valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est comprise entre l’ordonnée de J
et l’ordonnée de K.
6. Notion de rendement
32
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Exemple 13
Chaque jour, une petite entreprise fabrique x centaines de cartons d’emballage
(x est compris entre 0 et 10). Le coût total de la fabrication journalière de ces
cartons, en euros, est exprimé par CT ( x ) = x 3 − 12x 2 + 50 x + 98. On désigne par
(C ) la courbe représentative de la fonction CT .
Séquence 8 – MA01
1) Étude de la fonction coût total
Déterminer le sens de variation de la fonction CT .
Calculer les coordonnées du point d’inflexion K de la courbe (C ) et donner
l’équation de la tangente à (C ) en K.
Sur quel intervalle la fonction CT est-elle concave ? Sur quel intervalle la fonction CT est-elle convexe ?
Tracer la courbe (C ) dans un repère orthogonal dont les unités graphiques sont :
1 cm pour une centaine en abscisse et 1 cm pour 40 euros en ordonnée.
2) Étude de la fonction coût marginal
La fonction coût marginal, notée C ma , est la fonction dérivée de la fonction coût
total.
Exprimer C ma ( x ) en fonction de x et déterminer le sens de variation de la
fonction C ma .
Pour quelle valeur x 0 le coût marginal est-il minimal ? Donner la valeur minimale
du coût marginal.
Tracer la courbe (C ma ) représentative de la fonction C ma . Que représente le réel
x0 ?
3) Étude de la fonction coût moyen
C (x )
La fonction coût moyen, notée CM , est définie sur ]0 ; 10] par CM ( x ) = T .
x
Vérifier que, pour tout x réel, 2x 3 − 12x 2 − 98 = 2( x − 7)( x 2 + x + 7).
Exprimer CM ( x ) en fonction de x et déterminer le sens de variation de la fonction
CM .
Pour quelle valeur x 1 le coût moyen est-il minimal ? Vérifier que
C ma ( x 1) = CM ( x 1).
Soit A le point de la courbe (C ) d’abscisse x 1 et TA la tangente à (C ) au point A.
Déterminer une équation de la tangente TA et vérifier qu’elle passe par l’origine
du repère.
Tracer la courbe (C M ) représentative de la fonction CM .
4) Rendements marginaux
Lorsque le coût marginal est décroissant
chaque unité supplémentaire produite par
l’entreprise est moins coûteuse que la précédente. On dit alors que les rendements
(marginaux) sont croissants et cela correspond à une fonction coût total concave.
Séquence 8 – MA01
33
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Lorsque le coût marginal est croissant chaque unité supplémentaire produite
par l’entreprise est plus coûteuse que la précédente. On dit alors que les rendements (marginaux) sont décroissants et cela correspond à une fonction coût total
convexe.
Dire sur quel intervalle les rendements (marginaux) sont croissants, décroissants.
5) Rendements d’échelle (liés au coût moyen)
Selon le contexte la notion de rendement peut s’appliquer, soit au coût marginal,
soit au coût moyen. Quand on parle de rendement lié au coût moyen on parle de
rendement d’échelle.
Lorsque le coût moyen est décroissant
on dit que les rendements d’échelle sont
croissants.
Lorsque
le coût moyen est croissant on dit que les rendements d’échelle sont
décroissants.
Dire sur quel intervalle les rendements d’échelle sont croissants, décroissants.
Sur quel intervalle les rendements marginaux et les rendements d’échelle sont-ils
tous les deux croissants ? tous les deux décroissants ?
Solution
La fonction dérivée de la fonction C est définie, pour 0 ≤ x ≤ 10, par
T
C 'T ( x ) = 3x 2 − 24 x + 50. Le trinôme 3x 2 − 24 x + 50 a pour discriminant
∆ = −24 d’où C 'T ( x ) > 0 lorsque 0 ≤ x ≤ 10.
La fonction CT est croissante sur l’intervalle [0 ; 10].
Déterminons la dérivée seconde de la fonction CT .
On a C "T ( x ) = 6 x − 24 = 6( x − 4 ).
T ( x ) = 0 pour x = 4 C "T ( x ) < 0 pour 0 ≤ x < 4 C "T ( x ) > 0 pour 4 < x ≤ 10.
C"
Comme la dérivée seconde s’annule pour x = 4, en changeant de signe, le point
K ( 4 ; 170 ) est un point d’inflexion de (C ).
Calculons C 'T ( 4 ) = 2. Une équation de la tangente en K est y = 2( x − 4 ) + 170
soit y = 2x + 162 .
La fonction CT est concave sur l’intervalle [0 ; 4] et convexe sur l’intervalle [4 ; 10].
Le tracé de la courbe (C ) est sur la figure 14.
La fonction coût marginal, définie sur l’intervalle [0 ; 10], est la fonction déri-
vée de la fonction CT .
34
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Séquence 8 – MA01
Ainsi C ma ( x ) = C 'T ( x ) = 3x 2 − 24 x + 50 et C 'ma ( x ) = C "T ( x ) = 6( x − 4 ).
La fonction C ma est décroissante sur l’intervalle [0 ; 4] et croissante sur l’intervalle [4 ; 10].
Le coût marginal est minimal pour x = x 0 = 4 . On calcule C ma ( 4 ) = 2 . Le
minimum du coût marginal est égal à 2 euros.
La courbe (C ma ), qui passe par le point F (4 ; 2), est tracée sur la figure 14.
Le réel x 0 = 4 est l’abscisse du point d’inflexion de la courbe (C ).
Développons
2( x − 7)( x 2 + x + 7) = 2( x 3 + x 2 + 7x − 7x 2 − 7x − 49 ) = 2( x 3 − 6 x 2 − 49 )
D’où 2( x − 7)( x 2 + x + 7) = 2x 3 − 12x 2 − 98 .
C (x )
, d’où
La fonction coût moyen est définie sur ]0 ; 10] par CM ( x ) = T
x
98
CM ( x ) = x 2 − 12x + 50 + .
x
La
dérivée
du
C 'M ( x ) = 2x − 12 −
coût
98
2
=
moyen
3
est
définie
sur ]0 ; 10]
par
2
2x − 12x − 98
2
.
x
x
2( x − 7)( x 2 + x + 7)
.
D’après ce qui précède on peut écrire C 'M ( x ) =
x2
Pour tout x > 0 on a x 2 + x + 7 > 0. La dérivée a donc le même signe que x – 7.
C '
M ( x ) = 0 pour x = 7 ;
C 'M ( x ) < 0 pour 0 ≤ x < 7. La fonction CM est décroissante sur l’intervalle
[0 ; 7] ;
C 'M ( x ) > 0 pour 7 < x ≤ 10. La fonction CM est croissante sur l’intervalle [7 ; 10].
Le coût moyen est minimal pour x = x 1 = 7 et on a CM (7) = C ma (7) = 29 .
Le point B (7 ; 29) est placé sur la figure 14.
Les coordonnées du point A sont (7 ; CT (7)),
soit A(7 ; 203).
On a
C 'T (7) = C ma (7) = 29.
Une équation de la tangente TA est y = 29( x − 7) + 203, soit y = 29 x . Cette
tangente passe par l’origine du repère.
Le tracé de la courbe (C M ) est sur la figure 14.
Séquence 8 – MA01
35
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Les rendements marginaux croissants correspondent à une fonction coût
total concave.
Les rendements marginaux décroissants correspondent à une fonction coût total
convexe.
i croissants sur l'intervalle [0 ; 4] ;
Les rendements marginaux sont
i décroissants sur l'intervalle [4 ; 10].
Les rendements d’échelle sont
i croissants sur l'intervalle [0 ; 7] ;
i décroissantts sur l'intervalle [7 ; 10].
Sur
l’intervalle [0 ; 4] les rendements marginaux et les rendements d’échelle
sont tous les deux croissants ;
Sur
l’intervalle [7 ; 10] les rendements marginaux et les rendements d’échelle
sont tous les deux décroissants.
40O
Rendements marginaux
croissants
Rendements marginaux
décroissants
TA y = 29x
30O
A
K
20O
y = 2x + 162
(Cma) y = Cma(x)
10O
B
F
O
–10O
(C) y = CT(x)
2
4
6
(CM) y = CM(x)
7
Rendements d’échelle
croissants
8
10
12
Rendements d’échelle
décroissants
A(7 ; 203) ; B(7 ; 29) ; F(4 ; 2) ; K(4 ; 170) Figure 14
D
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
Étudier le sens de variation de la fonction f.
Tracer la courbe C.
a) Montrer que la courbe C admet un point d ‘inflexion K. Préciser les coordon-
nées du point K et déterminer l’équation de la droite TK , tangente à la courbe C
au point K.
36
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Séquence 8 – MA01
b) Développer ( x + 2)3 et en déduire que la tangente TK ne recoupe pas la
courbe C.
Exercice 2
On reprend la fonction f proposée dans l’exercice de synthèse (n° II) de la
séquence 2.
1
3
Soit f la fonction définie sur [0 ; 4] par f ( x ) = − x 3 + x 2 et C sa courbe
32
16
représentative.
Étudier, sans utiliser la dérivée seconde, la convexité de la fonction f définie
sur l’intervalle [0 ; 4].
Montrer que la courbe C possède un point d’inflexion K. Situer la courbe C par
rapport à sa tangente en K.
Soit M ( x ; f ( x )) un point quelconque de la courbe C et T la tangente à la
M
courbe C en ce point. La pente de la tangente TM est le nombre p(x) défini par
p ( x ) = f '( x ).
Étudier les variations de la pente des tangentes TM pour x ∈[0 ; 4 ]. Déterminer
pour quelle valeur de x la pente est maximale et donner, en pourcentage, la
valeur maximale de la pente.
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 8 x − 3 et C sa courbe
représentative dans un repère du plan.
Développer ( x + 2)( x − 1)2.
Étudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation.
Montrer que la courbe C admet deux points d‘inflexion A et K, avec x < x ,
K
A
dont on précisera les coordonnées. Donner les équations des tangentes à la
courbe C en A et en K (elles seront notées respectivement TA et TK ).
Étudier la convexité de la fonction f sur .
Tracer la courbe C ainsi que les tangentes T et T .
A
K
a) La tangente en A coupe la courbe C en un point B. À l’aide de la calcula-
trice, préciser les coordonnées de B.
b) La tangente en K coupe la courbe C en un point E. Déterminer, à l’aide d’une
calculatrice, les coordonnées du point E.
Exercice 4
c) Indiquer, à l’aide de la calculatrice, les positions relatives de la courbe C et de
la tangente en K.
4
. On
On considère la fonction f de l’exemple 5 définie sur par f ( x ) =
2
x
+
3
pose, pour tout x réel, g ( x ) = ln(f ( x )).
Dire pourquoi la fonction g a le même sens de variation que la fonction f sur .
f "( x ) × f ( x ) − [f '( x )] 2
Montrer que, pour tout x réel, g "( x ) =
et en déduire
f ( x )] 2
[
2
2( x − 3)
.
que g "( x ) =
2
2
( x + 3)
Séquence 8 – MA01
37
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a) Étudier la convexité de la fonction g sur
.
b) Soit C g la courbe représentative de g. Déterminer les équations des tangentes
à C g aux points d’inflexion.
Tracer, dans un même repère, les courbes C et C représentant les fonctions
f
g
f et g.
Exercice 5
Soit f, g et h les trois fonctions définies sur
par :
f ( x ) = ( x 2 + 2x + 2) e x , g ( x ) = ( x 2 + 2x + 3) e x et h ( x ) = ( x 2 + 2x + 4 ) e x .
On désigne par Cf , C g et C h leurs courbes respectives dans un repère du plan.
Les courbes Cf , C g et C h admettent-elles des points d’inflexion ? Si oui, préciser
leurs coordonnées.
Exercice 6
Tracer la courbe de la fonction" ln" sur l’intervalle [ 1 ; + ∞ [.
Soit k un réel tel que k v1.
En utilisant le graphique et la concavité de la fonction" ln" montrer que
k +1
1
ln[k (k + 1)] ≤ ∫ lnt dt .
k
2
Exercice 7
Les moyennes
Les deux réels x et y étant strictement positifs on définit quatre moyennes.
Moyenne
Moyenne
Moyenne
Moyenne
arithmétique
géométrique
harmonique
quadratique
A=
x +y
2
G= xy
H=
2x y
x +y
Q=
x2 + y2
2
Le but de l’exercice est de comparer ces quatre moyennes.
Cas particulier
À la fin du troisième trimestre, le professeur de mathématiques propose à ses
élèves de calculer leur moyenne en prenant, parmi les formules précédentes, celle
qui leur est la plus favorable. Yann a obtenu comme notes 9 et 16. Calculer les
quatre moyennes possibles et les arrondir au demi-point. Classer les moyennes
dans l’ordre croissant et dire quelle sera la moyenne de Yann en mathématique
au troisième trimestre.
Cas général
a) Appliquer l’inégalité des milieux à la fonction f définie, pour x v 0, par
f ( x ) = x 2. Comparer A et Q.
38
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Séquence 8 – MA01
b) Appliquer l’inégalité des milieux à la fonction f définie, pour x > 0, par
f ( x ) = ln x . Comparer A et G.
c) Appliquer l’inégalité des milieux à la fonction f définie, pour x > 0, par
1 1
f ( x ) = ln x . On appliquera cette inégalité aux deux réels et . Comparer H et G.
a b
d) Classer les quatre moyennes A, G, H, Q dans l’ordre croissant. Quelle est la
moyenne la plus favorable ?
Exercice 8
Soit f et g les fonctions définies sur
par f ( x ) = e
−
x2
2
, g(x ) =
Étudier les variations des fonctions f et g.
2e x
.
e x +1
Étudier la convexité des fonctions f et g [vérifier que f "( x ) = ( x 2 − 1)f ( x ) ].
Déterminer les coordonnées des points d’inflexion des courbes C et C
f
g
représentatives des fonctions f et g.
Tracer, dans deux repères distincts du plan, les courbes C
Exercice 9
f et C g .
Drôle de puzzle
Dans un repère orthonormal d’origine O
A2
B
on considère les points
O (0 ; 0 ), A1(21 ; 0 ), B (21 ; 8 ), A2 (0 ; 8 ).
Calculer
l’aire du rectangle
O A1B A2( en unités d’aire).
O
Figure 15
A1
On partage le rectangle O A B A en deux triangles rectangles de même aire,
1 2
O A1B et O A2 B (voir figure 15).
B
H
O
A1
Figure 16
B
K
O
Figure 17
Sur la figure 16 on place le point H (8 ; 3) et on décompose le triangle OA1B en un puzzle formé de 5 polygones
(2 triangles, 1 rectangle et 2 hexagones).
Sur la figure 17 on place le point K (13 ; 5) et on dispose les pièces formant le puzzle du triangle OA1B sur le
triangle OA2B , les pièces étant placées différemment. On
constate qu’il reste un" carré blanc " correspondant à
un carré unité.
Sur la figure 16 on obtient aire (OA1B ) = 84.
A2
On aurait donc, d’après la figure 17 :
aire (OA2B ) = aire (OA1B ) + 1 = 84 + 1 = 85.
D’où aire (O A1B A2 ) = aire (OA1B ) + aire(OA2B ) = 84 + 85 = 169. Qu’en pensezvous ?
Séquence 8 – MA01
39
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Comme 168 ≠ 169, il doit y avoir une erreur dans le raisonnement précédent :
expliquons d’où vient l’erreur.
a) Calculer les coefficients directeurs des droites (OB), (OH) et (OK). Que peut-on
en déduire pour les points O, B, H et K ?
b) Calculer l’aire du quadrilatère O H B K.
c) Dire, brièvement, quelle est l’erreur de raisonnement de la question .
a) Soit (P ) la parabole passant par les points O, H et B d’équation
H
y = f ( x ) = ax 2 + bx . Déterminer les deux réels a et b.
La fonction f est-elle convexe ou concave sur
?
La parabole (PH ) recoupe l’axe des abscisses en un point E. Donner les coordonnées de E et tracer (PH ).
b) Soit (PK ) la parabole passant par les points O, K et B d’équation
y = g ( x ) = cx 2 + dx . Déterminer les deux réels c et d.
La fonction g est-elle convexe ou concave sur
?
La parabole (PK ) recoupe l’axe des abscisses en un point F. Donner les coordonnées de F et tracer (PK ).
Exercice 10
On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = e − x ln(1+ e x ) et C sa courbe
représentative dans un repère du plan.
1
0,8
A
0,6
0,4
C
0,2
TA
–3
–2
–1
C’
Figure 18
40
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Séquence 8 – MA01
0
–0,2
1
2
3
4
On désigne par C ' la courbe représentative de la fonction dérivée. Les deux
courbes C et C ' sont données sur la figure 18.
Montrer que la fonction dérivée de f est définie sur
f '( x ) =
1
1+ e
x
par
− e − x ln(1+ e x ).
La courbe C coupe l’axe des ordonnées au point A. La droite TA , tangente à la
courbe C au point A, est tracée sur la figure 18. Déterminer une équation de
TA . Que peut-on dire, d’après le graphique, de cette tangente ?
Conjecturer le signe de la dérivée f ' et le sens de variation de la fonction
dérivée f ' sur
.
Dire pourquoi la courbe C change de concavité pour une valeur x = α . Enca-
drer α entre deux entiers consécutifs.
On va chercher, à l’aide d’un tableur, à déterminer une valeur approchée du réel
α.
a) En prenant un pas de 0,1 déterminer un encadrement de α d’amplitude 0,2.
b) En prenant un pas de 0,01 déterminer un encadrement de α d’amplitude
0,02.
c) En prenant un pas de 0,001 déterminer un intervalle [a ; b] d’amplitude 0,002
auquel appartient le réel α .
On choisit pour valeur approchée de α le centre de l’intervalle [a ; b]. En déduire
une valeur approchée de α .
Donner l’intervalle sur lequel la fonction f semble concave et l’intervalle sur
lequel elle semble convexe.
Séquence 8 – MA01
41
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1
3
Synthèse
de la séquence
fonction f dérivable sur un intervalle I est dite convexe sur cet intervalle
si sa courbe représentative est située au-dessus de chacune de ses tangentes.
Une
Une fonction f dérivable sur un intervalle I est dite concave sur cet intervalle si
la fonction g = – f est convexe sur cet intervalle.
Une fonction f dérivable sur un intervalle I est dite concave sur cet intervalle
si sa courbe représentative est située en dessous de chacune de ses tangentes.
Les seules fonctions qui soient à la fois convexes et
concaves sont les fonc-
tions affines.
폷 Les
fonctions x x 2 et x e x sont convexes sur
.
폷 Les fonctions x x et x ln x sont concaves sur ]0 ; + ∞[
1
폷 La fonction x est convexe sur ]0 ; + ∞ [ et concave sur ] − ∞; 0[.
x
Soit f une fonction convexe sur I
et a un réel de I.
Pour tout réel x de I on a :
Soit f une fonction concave sur I
et a un réel de I.
Pour tout réel x de I on a :
f ( x ) ≥ f '(a ) × ( x − a ) + f (a ).
f ( x ) ≤ f '(a ) × ( x − a ) + f (a )
Pour tout réel x on a x + 1 ≤ e x .
Pour tout réel x > 0 on a lnx ≤ x − 1.
Soit
f une fonction dérivable sur un intervalle I.
i si f' est croissante sur I alors f est convexe sur I ;
i si f' est décroissante sur I alors f est concave sur I.
On se place sur un intervalle
u
v
u+v
Convexe
Convexe
Convexe
Concave
Concave
Concave
Convexe
Concave
La
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ku
u
k<0
0<k
Convexe
Concave
Convexe
Concave
Convexe
Concave
fonction dérivée seconde de f est la fonction dérivée de la fonction f '
'
et se note f ". D’où (f ') = f " .
42
On se place sur un intervalle
Séquence 8 – MA01
Soit
f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
i si f'' est positive sur I alors f est convexe sur I ;
i si f'' est négative sur I alors f est concave sur I.
Point
d’inflexion
Si la dérivée seconde d’une fonction f s’annule en x 0 , en changeant de signe,
alors la fonction f change de convexité en x 0 .
Si une fonction f change de convexité en x 0 alors le point de la courbe représentative de f, d’abscisse x 0 , est un point d’inflexion de la courbe et en ce point la
courbe traverse sa tangente.
Inégalités
des milieux
 a + b  f (a ) + f ( b )
Si f est convexe sur [a ; b] alors f 
≤
.
2
 2 
 a + b  f (a ) + f ( b )
.
Si f est concave sur [a ; b] alors f 
≥
 2 
2
Rendements
Rendements marginaux
Les
rendements marginaux sont croissants lorsque la fonction coût total est
concave, c’est-à-dire lorsque le coût marginal est décroissant.
Les rendements marginaux sont décroissants lorsque la fonction coût total
est convexe, c’est-à-dire lorsque le coût marginal est croissant.
Rendements d’échelle
Les
rendements d’échelle sont croissants lorsque le coût moyen est décrois-
sant.
Les
rendements d’échelle sont décroissants lorsque le coût moyen est crois-
sant.
Séquence 8 – MA01
43
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1
4 Exercices de synthèse
Exercice I
Partie A – Préliminaire
On se place dans le plan muni d’un repère. Soit A( x A ; y A ), B ( x B ; y B ) et
C ( xC ; y C ) trois points du plan.
Le centre de gravité G ( xG ; y G ) du triangle ABC est le point de concours des
trois médianes (voir figure 19).
Ce point G vérifie la relation vectorielle GA + GB + GC = 0. Montrer que
x +x +x
y +y +y
xG = A B C et y G = A B C .
3
3
Partie B – Application
K
Soit f une fonction concave définie sur un
intervalle I et sa courbe représentative.
B
C
G
Soit A, B et C trois points de la courbe
d’abscisses respectives a, b et c.
On appelle G le centre de gravité du
triangle ABC et K le point de la courbe
ayant même abscisse que G.
Comparer les ordonnées y et y
G
K
G Centre de gravité de A B C
et en déduire
 a + b + c  f (a ) + f (b ) + f (c )
que f 
≥
.
3 
3

A
Figure 19
Soit a, b et c trois réels tels que
a > 0, b > 0 et c > 0.
 a + b + c  ln(abc )
.
Montrer que ln 
≥
3 
3

Exercice II
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]1; + ∞ [
par f ( x ) = ln(ln x ).
Montrer que la fonction f est concave sur l’intervalle ]1; + ∞ [.
Démontrer que, pour tous réels x et y tels que x > 1 et y > 1, on a
x +y
ln 
≥ (ln x )(ln y ).
 2 
44
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Séquence 8 – MA01
Exercice III
Le plan est muni d’un repère orthonormal d’origine O.
Le tracé d’une autoroute coïncide avec l’axe des abscisses. La courbe C allant de
l’origine O au point B d’abscisse 8 est une bretelle de sortie qui est la réunion de
deux courbes (voir figure 20) :
F
K
1
TA
E
Autoroute
0
1
4
8
C
–2
la courbe allant de A à
B est un arc de cercle de
centre K (8 ; 2) et de rayon
r = KA = KB.
Déterminer la valeur du
A
Figure 20
la courbe allant de l’origine O au point A (4 ; – 2) est
un arc de parabole d’équa2
tion y = f ( x ) = ax ;
B
réel a. Étudier la convexité
de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 4].
Soit
TA la tangente
à l’arc de parabole en A ;
déterminer une équation de
la tangente TA .
Cette tangente coupe l’axe des ordonnées au point F ; trouver les coordonnées
de F.
Calculer la longueur du rayon KA. Montrer que la droite T est tangente en A
A
à l’arc de cercle AB. Que peut-on dire, graphiquement, du point A ?
a) La longueur de l’arc de parabole OA est donnée, en unités de longueur, par
l’un des trois nombres suivants (valeurs arrondies à 0,01 près) : 4,47 ; 4,59 ; 5,12.
Lequel de ces trois nombres donne la longueur de l’arc OA ?
b) Calculer la longueur de l’arc de cercle AB. En déduire la longueur de la bretelle,
en unités de longueur.
Sur chacun des axes l’unité graphique est égale à 100 m. Donner alors la longueur de la bretelle, exprimée en m.
Soit g la fonction, définie sur [4 ; 8], dont la courbe représentative est l’arc
de cercle AB.
Soit D le domaine délimité par l’axe des abscisses, la bretelle de sortie et la droite
d’équation x = 8 (D est le domaine colorié sur la figure 20).
a) Dire, d’après le graphique, si g est convexe ou concave sur l’intervalle [4 ; 8].
b) Calculer l’aire du domaine D, exprimée en u.a, en décomposant D en deux
domaines. Exprimer l’aire du domaine D en hectares et en donner un arrondi à
0,01 près (1 ha = 10 000 m2 ).
Séquence 8 – MA01
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Exercice IV
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 5 et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal dont les unités graphiques sont : 2 cm en
abscisse et 1 cm en ordonnée.
Résoudre l’équation X 2 − 6 X + 5 = 0 et en déduire les solutions de l’équation
f ( x ) = 0 (on pourra poser X = x 2 ).
a) Déterminer les variations de la fonction f.
b) Tracer la courbe C.
a) Déterminer le nombre de points d’inflexion de la courbe C et donner leurs
coordonnées.
b) Dire sur quel(s) intervalle(s) f est convexe et sur quel(s) intervalle(s) f est
concave.
c) Donner l’équation de la tangente à C en chacun de ses points d’inflexion.
Soit (D ) le domaine du plan limité par l’axe des abscisses, la courbe C et les
1
droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.
Soit (D2 ) le domaine du plan limité par l’axe des abscisses, la courbe C et les
droites d’équations respectives x = 1 et x = 5.
Déterminer, en unités d’aire puis en cm2 , l’aire des domaines (D1) et (D2 ). Que
remarque-t-on ?
Exercice V
Le toboggan
Une entreprise souhaite fabriquer,
pour de jeunes enfants, des toboggans dont le profil a l’allure de la
courbe de la figure 21.
Le plan est muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 3 cm (sur
la figure 21 les unités n’ont pas été
respectées).
2
A
1,5
1
0,5
B
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Figure 21
L’objet de l’exercice est de modéliser ce profil à l’aide de la courbe représentative
d’une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 3] et vérifiant les deux conditions
suivantes :
(c1) La courbe passe par les points A (0 ; 2) et B (3 ; 0) ;
(c2 ) La courbe admet en chacun des points A et B une tangente parallèle
à l’axe des abscisses.
46
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Partie A
a) Soit f la fonction définie sur
convexe ou concave sur
?
2
3
par f ( x ) = − x 2 + 2. La fonction f est-elle
1
b) Soit g la fonction définie sur par g ( x ) = x 2 − 2x + 3. La fonction g est3
elle convexe ou concave sur ?
On note respectivement C et C les courbes représentatives des fonctions f et g.
f
g
 4
a) Démontrer que Cf et C g passent par le point E  1 ;  et ont la même tan 3
gente T en ce point. Déterminer une équation de la tangente T. Quelle est la
pente de cette tangente, exprimée en pourcentage ?
b) Tracer sur un même graphique, la droite T, la partie de Cf correspondant aux
points d’abscisses comprises entre 0 et 1, et la partie de C g correspondant aux
points d’abscisses comprises entre 1 et 3.
La courbe obtenue en réunissant les deux parties de courbes est une réponse
au problème posé.
c) Déterminer les positions des courbes Cf et C g par rapport à la tangente T.
Partie B
Le bureau d’études a établi que l’on pouvait également modéliser le profil du
toboggan à l’aide d’une partie de la courbe représentative Ch de la fonction h
4
2
définie sur par h ( x ) = x 3 − x 2 + 2.
27
3
Démontrer que la fonction h vérifie les deux conditions (c1) et (c2).
a) Montrer que la courbe Ch possède un point d’inflexion ; donner les coor-
données de ce point d’inflexion, appelé K.
b) Étudier la convexité de la fonction h.
a) Soit TK la tangente à la courbe C
h au point K. Déterminer une équation de
TK et donner la pente de cette tangente.
b) Tracer, sur le même graphique, la tangente TK et la courbe C h .
c) Déterminer les positions relatives de C h et de TK .
Exercice VI
Soit f la fonction définie sur
par f ( x ) =
x 3 + x 2 − 5x + 3
représentative dans un repère du plan.
x2 + 3
et (C ) sa courbe
Vérifier que x 3 + x 2 − 5x + 3 = ( x + 3)( x − 1)2.
Séquence 8 – MA01
47
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Déterminer les coordonnées des points où la courbe (C ) coupe l’axe des abscisses. Donner le signe de f ( x ).
a) Résoudre, pour X réel, l’équation X 2 + 14 X − 15 = 0.
b) Montrer que f '( x ) =
x 4 + 14 x 2 − 15
et en déduire le signe de f '( x ).
( x 2 + 3)2
c) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
a) Montrer que f "( x ) =
16 x ( x 2 + 3)(9 − x 2 )
2
4
( x + 3)
et en déduire le signe de f "( x ).
b) Préciser la convexité de la fonction f et donner les coordonnées des points
d’inflexion. En déduire que les points d’inflexion sont alignés.
c) Déterminer une équation de la tangente en chaque point d’inflexion de la
courbe.
Tracer la courbe (C ) ainsi que les tangentes aux points d’inflexion.
a) Montrer que, pour tout x réel, f ( x ) = x + 1−
.
tive F de f sur
8x
x2 + 3
. En déduire une primi-
b) Soit D le domaine plan délimité par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les
droites d’équations respectives x = – 3 et x = 3. Calculer l’aire du domaine D,
exprimée en unités d’aire.
Exercice VII
La chaînette
Partie A
On considère les deux fonctions x e x et x e − x définies sur .
5
M
4
On désigne par Γ 1 et Γ −1 leurs courbes représentatives res-
⌫1
pectives dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
Ces deux courbes sont tracées sur la figure 22
(pour – 2 f x f 2).
3
⌫–1
K (x ; y)
2
i M et R les points d'abscisse x situés
respectivem
ment sur Γ et sur Γ ;
1
R
–2
–1
0
1
(les unités graphiques n’ont pas été respectées).
Pour tout x réel on appelle
1
2
−1
i K ( x ; y ) le milieu du segment [MR ].
Exprimer y en fonction de x.
Figure 22
On pose y =f (x ). La fonction f est-elle convexe ou concave sur
Étudier les variations de la fonction f.
48
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?
Tracer la courbe (C ) représentant la fonction f sur l’intervalle I = [– 2 ; 2].
Partie B
On se place maintenant uniquement sur l’intervalle I = [ −2 ; 2].
La fonction f est définie sur I = [– 2 ; 2] par f ( x ) =
tative (C ) est une " chaînette" *.
e x + e− x
. Sa courbe représen2
Soit g une fonction définie sur l’intervalle I = [– 2 ; 2] par g ( x ) = ax 2 + 1 et sa
courbe représentative.
La longueur L de la chaînette (C ) est donnée (en unité de longueur) par
C
LC = ∫
2
−2
1+ f '( x ) 2 dx .
2
a) Montrer que LC = ∫ f ( x )dx .
−2
b) Calculer, exprimée en cm, la valeur exacte de L et en donner une valeur
C
arrondie à 0,01 près.
Calculer f ( 2) et arrondir cette valeur à 0,01 près (on appellera ␣ cet arrondi).
Déterminer la valeur de a pour que l’on ait g (2) = α .
a) Tracer, à l’aide d’un logiciel, les deux courbes (C ) et dans un même
repère. Que peut-on observer ?
b) La longueur de l’arc de parabole représentant la fonction g est égale, arrondie
à 0,01 près, à 14,26 cm.
Comparer cette longueur avec L et donner l’écart entre la plus grande longueur
C
et la plus petite.
Partie C
Soit v la fonction définie sur I = [– 2 ; 2] par v ( x ) = 1+ f ( 2) − f ( x ) et C sa
v
courbe représentative dans un repère du plan.
a) La fonction v est-elle convexe ou concave sur I ?
b) Tracer la courbe Cv dans un autre repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
La courbe Cv est une" voûte" en forme de" chaînette renversée".
Soit (D ) le domaine délimité par la courbe C , la droite d’équation y = 1 et
v
les droites d’équations respectives x = – 2 et x = 2.
Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine (D ), exprimée en unités d’aire, puis
une valeur arrondie au mm2 près.
Séquence 8 – MA01
49
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*
Une chaînette est la forme prise par une chaîne (ou un câble souple)
que l’on suspend à ses deux extrémités. C’est, par exemple, la forme prise
par les câbles électriques entre deux pylônes de soutien.
Au XVIIe siècle, Huygens utilisa le mot" catenaria" pour désigner la
courbe formée par un câble suspendu à ses deux extrémités. On retrouve
de nos jours le mot" caténaire" (vient du latin" catena" - chaîne) pour
désigner le câble porteur entre deux poteaux le long des voies du TGV.
Toute équation de la forme y = f ( x ) =
eax + e −ax
(avec a ≠ 0) est l’équa2a
tion d’une chaînette.
L’artiste
américain Jasper Johns (né en 1930) a réalisé, en 2005, à New-York
une exposition sur le thème des caténaires. Dans cette exposition intitulée
" Jasper Johns : Catenary" l’artiste montrait toute une série de peintures, dessins et gravures où l’on pouvait admirer de belles courbes en forme de chaînette.
La chaînette n’apparaît pas uniquement sous la forme d’un câble suspendu. On la trouve aussi sous forme renversée pour former une voûte
tenant par son propre poids. C’est cette propriété qu’a utilisé l’architecte
espagnol Antonio Gaudi (1852 – 1926) pour construire les voûtes de la
Sagrada Familia de Barcelone.
Citons aussi la «Gateway Arch» à St Louis dans le Missouri qui est en forme de
chaînette renversée. Conçue en 1947 par l’architecte finlandais Eero Saarinen
(1910 – 1961) la construction débutera seulement en 1963 pour s’achever en
1965. Cette arche, d’une hauteur de 192 m environ, est aussi large que haute.
Exercice VIII
Une entreprise produit mensuellement une quantité variable x d’appareils (x est
exprimé en centaines d’appareils) dont le coût marginal C ma est la fonction défi8
nie sur l’intervalle [0 ; 5] par C ma ( x ) = x +
.
2x + 1
Dans cet exercice, tous les coûts seront exprimés en milliers d’euros.
Partie A – Étude du coût marginal
Déterminer la fonction dérivée de la fonction coût marginal et étudier son signe.
a) En déduire le sens de variation de la fonction coût marginal sur l’intervalle
[0 ; 5]. Dire pour quelle valeur de x le coût marginal est minimal et donner la
valeur du coût marginal minimal.
b) Préciser l’intervalle où les rendements marginaux sont croissants et l’intervalle
où ils sont décroissants.
50
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Séquence 8 – MA01
Partie B – Étude du coût total
Sur l’intervalle [0 ; 5] la fonction coût marginal admet une infinité de primitives.
La fonction coût total, notée CT , est parmi toutes ces primitives celle qui est
égale à 7,5 – 8 ln2 pour x = 0.
a) Déterminer toutes les primitives de la fonction coût marginal sur l’inter-
valle [0 ; 5].
b) Déterminer CT ( x ).
Donner le sens de variation de la fonction coût total sur l’intervalle [0 ; 5].
Soit la courbe représentative de la fonction C sur l’intervalle [0 ; 5].
T
a) Montrer que la courbe admet un point d’inflexion K dont on donnera les
coordonnées.
b) On désigne par TK la tangente à la courbe au point K. Donner une équation
de la tangente TK .
Partie C – Étude du coût moyen
Vérifier que le coût moyen, par centaine d’appareils, est défini sur ]0 ; 5] par
CM (x ) =
x
ln(2x + 1) 7,5 − 8ln2
+4×
+
.
2
x
x
On désigne par (C ) la courbe représentative de la fonction coût moyen. On
M
peut observer, sur l’écran d’une calculatrice, que la fonction CM est décroissante
sur l‘intervalle ]0 ; ␣ ] et croissante sur l’intervalle [␣ ; 5] avec 3,7 < ␣ < 3,8.
a) Déterminer, à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, un intervalle [a ; b]
d’amplitude 0,002 auquel appartient le réel ␣ .
b) Pour quelle production, arrondie à l’unité près, le coût moyen par centaine
d’appareils est-il minimum ?
Déterminer une valeur approchée du coût moyen minimal, par centaine d’appareils, exprimé en euros.
On admet que ␣ est solution de l’équation
x2 +
16 x
− 8ln(2x + 1) − 15 + 16ln2 = 0.
2x + 1
ln(2α + 1)
en fonction de
α
Exprimer CT (α ) en fonction de ␣.
Exprimer 4 ×
␣. En déduire que CM (α ) = C ma (α ).
Séquence 8 – MA01
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