CHAPITRE-2 : Dynamique du point matériel

CHAPITRE-2 : Dynamique du point matériel
I.
Généralités
La cinématique a pour objet l’étude des mouvements des corps en fonction du temps, sans
tenir compte des causes qui les provoquent.
La dynamique est la science qui étudie (ou détermine) les causes des mouvements de ces
corps
II.
Le principe d’inertie (1ère loi de Newton)
1) Définition 1
On dit qu’un système est isolé (par exemple le point M) si ce système ne subit aucune action
(aucune force) de l’extérieur.
En pratique, un système isolé est très difficile à obtenir! Il faudrait placer l’objet dans
l’espace, loin de toute autre masse. Pour effectuer une expérience sur ou proche de la Terre
par exemple, il faudra se contenter de systèmes pseudo-isolés.
2) Définition 2
Un système est dit pseudo-isolé si toutes les actions extérieures se compensent. C’est par
exemple le cas en impesanteur dans un satellite en orbite autour de la Terre.
3) Première loi de Newton ou principe d’inertie
Dans un référentiel Galiléen R (appelé également référentiel d’inertie), le mouvement d’un
point isolé est rectiligne uniforme (ou au repos).
4) Définition du référentiel Galiléen (référentiel inertiel)
Sa définition est en réalité donnée implicitement par le principe d’inertie : on prend le
référentiel R étudié, on y place un point isolé (ou pseudo-isolé) de masse m, et on observe son
mouvement dans R. Si son mouvement est rectiligne uniforme, le référentiel est alors dit
”Galiléen”. Concrètement, d’après cette définition, la détermination du caractère Galiléen ou
non d’un référentiel est purement expérimentale. Nous allons maintenant rechercher d’autres
critères permettant de s’abstenir d’effectuer cette expérience à chaque fois que l’on considère
un nouveau référentiel d’étude.
Pour cela, un référentiel Galiléen, le référentiel de Copernic est défini.
C’est Galilée qui a le premier suggéré ce principe. Il constitue la première loi de Newton et
qui s’énonce comme suit :
« Tout objet conserve son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme en l’absence de
forces agissant sur lui »
Cette 1ière loi peut aussi s’énoncer :
Si aucune force n’agit sur un objet ou si la force résultante est nulle,
- Un objet au repos reste au repos ;
- Un objet en mouvement continue à se mouvoir à vitesse constante.
Remarque
Cette 1ière loi de Newton, telle qu’elle a été énoncée, ne s’applique pas à un observateur
soumis à une accélération. Elle nous amène à définir un référentiel d’inertie.
1
Référentiels d’inertie ou galiléens
III.
On appelle référentiel d’inertie, un système de référence (ou repère) dans lequel la première
loi de Newton est applicable. D’après cette définition, un référentiel d’inertie n’existe pas ; on
ne dispose que de référentiels approximatifs.
Exemple
Pour la plupart des expériences que l’on peut réaliser sur terre, le repère au sol constitue un
bon repère d’inertie, alors que pour le mouvement d’un point ce repère lié au sol n’est pas un
repère d’inertie.
Si l’on choisit un système d’axes liés au Soleil et dirigés vers certaines étoiles, le mouvement
d’une planète du système solaire devient simple (référentiel de COPERNIC). Pour ce
mouvement le repère lié au Soleil est un bon repère d’inertie.
Remarques
 Tout système de coordonnées qui se déplace à vitesse constante par rapport à un
référentiel d’inertie, peut être lui-même considéré comme un référentiel d’inertie.
 Les vitesses et les accélérations des corps, mesurées dans les référentiels galiléens,
sont dites absolues et celles mesurées dans les référentiels non galiléens sont dites
relatives.
IV.
Masse et centre d’inertie
1) Masse
La masse m est la quantité de matière composant un corps. Elle est invariable et indépendante
de l’effet de la pesanteur. La masse d’un objet est la même sur la lune, sur la terre ou dans
l’espace, en apesanteur. Elle s’exprime en kilogrammes (kg).
Elle est invariable dans la mécanique newtonienne. Dans la mécanique relativiste, elle dépend
de la vitesse à travers l’expression :
avec:
m0, la masse au repos
m, la masse à la vitesse v.
c, vitesse de la lumière, c≈3 108 m.s-1
2) Centre d’inertie
Pour analyser facilement un phénomène mécanique, on considère que la masse entière d’un
corps est située en un seul point appelé centre de masse. Le centre de masse est confondu
avec le centre de gravité ou centre d’inertie.
V.
Vecteur quantité de mouvement
Le vecteur quantité de mouvement d’un point matériel de masse m et se déplaçant à la vitesse
v est défini par le vecteur P donné par :
£P = m£v
La quantité de mouvement est une grandeur vectorielle qui a la même direction que la vitesse.
Le principe d’inertie peut s’énoncer alors de la façon suivante :
 Une particule libre, se déplace avec une quantité de mouvement constante dans un
repère galiléen.
Ou encore
2
 La quantité de mouvement totale d’un système, se conserve si le principe d’inertie est
vérifié.
VI.
Notion de Force : 2ème loi de Newton
1) Définition
Une action mécanique est une action capable de provoquer ou de modifier le mouvement d’un
corps. On la modélise par un vecteur force.
Donc toute cause capable de modifier, dans un référentiel galiléen, le vecteur quantité de
mouvement d’un point matériel est appelée FORCE.
Différentes types de forces existent :
- Forces d’interaction à distance : Forces de gravitation (chute des corps, mouvement des
corps célestes)
- Forces électromagnétiques (électricité, magnétisme, lumière, chimie, cohésion des corps,
frottements)
- Forces nucléaires forte (cohésion du noyau atomique)
- L’interaction nucléaire faible (certains phénomènes de radioactivité)
Forces de contact (Forces de frottement) ;
2) Propriétés
Un vecteur force a trois caractéristiques mathématiques, plus une quatrième d’origine
physique :
- sa direction (la droite qui le porte),
- son sens (donnée par une orientation de la droite qui le porte),
- sa valeur, aussi appelée norme en mathématiques, elle s’exprime en Newton dans le système
international,
- son point d’application (point du système qui subit l’action extérieure).
En fait, deux vecteurs dont les trois premières caractéristiques sont identiques sont égaux.
Deux vecteurs égaux peuvent avoir des points d’application différents.
3) Le Principe fondamental de la dynamique (Le PFD)
a) Le PDF
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système est
égale à la dérivée du vecteur quantité de mouvement du centre d’inertie de ce système
)=
La relations fondamentale s’applique dans un référentiel galiléen, dit aussi inertiel. Un
référentiel galiléen est un référentiel dans lequel la première loi de Newton est vérifiée : « tout
corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il
se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d’état ».
De plus, un référentiel en mouvement de translation rectiligne, uniforme par rapport à un
référentiel galiléen est lui-même galiléen, ainsi, les référentiels galiléens sont en mouvement
rectiligne, uniforme les uns par rapport aux autres. La première tâche consistera à choisir un
référentiel galiléen dans lequel appliquer la deuxième loi de Newton.
b) Référentiels
 Le référentiel de Copernic ( Rcop)
3
Expérimentalement, c’est le référentiel dans lequel la première loi de Newton est la mieux
vérifiée. Son origine est placée au centre de masse du Système Solaire et ses axes sont
orientés par des étoiles qui constituent la sphère des fixes.
 Le référentiel géocentrique (Ri)
Le référentiel géocentrique est construit avec son origine placée au centre de masse de la
Terre et ses axes orientés sur la sphère des fixes, parallèlement aux axes du référentiel de
Copernic. Ce référentiel est quasi-inertiel pour de courtes périodes de temps comme nous le
montrerons. Le mouvement de la Terre dans le référentiel de Copernic est influencé par
l’attraction des astres qui l’entourent tels que le Soleil. La Terre n’a donc pas un mouvement à
vitesse uniforme dans ce référentiel, et donc un référentiel dont l’origine est liée à la Terre ne
peut pas être inertiel en théorie. Cependant, les variations de vitesse dues à l’attraction du
Soleil peuvent être négligées sur de courtes périodes de temps. Ainsi, sur de courtes durées, le
mouvement de la Terre sur son orbite est il quasiment rectiligne et uniforme. Le référentiel
géocentrique peut alors être considéré comme en translation rectiligne, uniforme par rapport
au référentiel galiléen de Copernic ; il peut donc lui-même être considéré comme inertiel pour
les mouvements de courte durée.
 Le référentiel terrestre (Re = RT)
Le référentiel terrestre est un référentiel lié à la Terre. De par sa rotation par rapport au
référentiel géocentrique, le référentiel terrestre n’est pas inertiel. Du point de vue pratique,
tout référentiel terrestre correspond à une réalisation du système de référence terrestre dont
–l’origine C coïncide avec le centre de la Terre ;
– l’axe Z passe par le pôle international conventionnel
– l’axe X se situe à l’intersection du plan de l’équateur et du plan méridien de Greenwich
– l’axe Y complète le trièdre de sorte à former un trièdre orthogonal direct.
4) Théorème du centre d’inertie
Le mouvement de translation d’un système se ramène à celui de son centre d’inertie G auquel
on applique toutes les forces.
VII.
Principe de l’action et de la réaction : 3ème loi de Newton
Le principe de l’action et de la réaction, ou principe des réactions réciproques, a été énoncé
par Newton (3ème loi de Newton).
Soient deux points matériels (1) et (2) interagissant entre eux ; l’action exercée par (1) sur (2)
£F12 est égale et opposée à celle exercée par (2) sur (1) £F21, soit
£F12 = -£F21 et ‖£F12‖ = ‖£F21‖
m2
£F12
m1
£F21
C’est deux actions (forces) s’exercent simultanément et sont de même nature.
4
VIII.
Les forces
1) Les forces à distance
a) Force gravitationnelle
La force de gravitation, appelée aussi force d’interaction gravitationnelle, a été décrite pour la
première fois par Newton en 1650. Elle décrit l’attraction entre deux masses placées l’une au
voisinage de l’autre. Cette action est généralement de faible intensité, sauf quand des masses
très importantes, comme le Terre par exemple, interviennent. Expérimentalement, on peut
vérifier que l’attraction entre les deux masses est proportionnelle à la valeur de chacune des
masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance r qui les sépare. Cette force
étant attractive, et en notant G la constante de proportionnalité, la force de gravitation entre
les deux point M et P de masses respectives mP et mM et distants de r est :
est la force créée par P et s’appliquant sur M, et
est le vecteur unitaire dirigé de P
vers M ;
G = 6,6725 .10 -11 m3 kg -1 s-2 est la constante universelle de gravitation.
La force de gravitation toujours attractive, peut aussi s’écrire sous la forme suivante :
M
r
P
Un cas particulier très courant et donc important est l’attraction d’une masse m d’un objet par
la Terre de masse MT :
P
R
T
£N
MT = 5,98.1024 kg
G : la constante de gravitation
G = 6,672. 1011 m3Kg-1s-2
avec R la distance séparant l’objet du centre de la Terre (en supposant que l’on puisse
considérer que l’attraction de la Terre se ramène à celle d’un point M placé au centre de Terre
et de masse MT , ce qui sera ultérieurement démontré cette année). £N est le vecteur vertical
dirigé du centre de la Terre vers l’objet. La relation (1) s’écrit plus simplement :
Avec
£g représente le champ de pesanteur de la Terre ; il diminue au fur et à mesure que l’on
s’éloigne de la Terre. A la surface de la Terre le champ est :
5
Avec RT (RT = 6,36.106m) le rayon de la Terre. A une altitude h, le champ de pesanteur est :
h
m
RT
MT
Terre
, qu’on peut écrire :
La valeur de g est
Pour h très inférieure à RT et en utilisant un développement limité du premier ordre, on
obtient :
D’où la variation g = 

La variation relative est : g/
=
Exercice montrer que g/
si h
Donc on peut admettre que le champ de pesanteur £g est localement uniforme et que
Avec
=
=
dépend aussi de la force d’inertie d’entraînement comme on verra dans un prochain
chapitre.
b) L’interaction Coulombienne
L’interaction Coulombienne est une force s’appliquant entre deux
points M et M’ de charges respectives q et q’. Comme pour
l’interaction Newtonienne, son intensité est inversement
proportionnelle à la distance r au carré qui les sépare. Cette force
est de plus proportionnelle aux charges q et q’, et attractive ou
répulsive suivant le signe du produit qq’, elle s’écrit :
6
.
La constante de proportionnalité vaut
On peut aussi exprimer cette force comme suit :
Avec £E(M) le champ électrique créé par la charge q’ en M
c) L’interaction électromagnétique
Une charge q en présence d’un champ £E est soumise à une force £F = q£E (M).
De manière plus générale, la présence d’un champ électromagnétique (champs £E et £B) créée sur une
charge q en mouvement à la vitesse £V une force :
£F = q (£E (M) + £V £B(M))
£F étant la force de Lorentz.
2) Les forces de contact
a) Réaction d’un support
Considérons un objet placé sur un support solide. L’objet ne peut pas pénétrer dans le support.
Il y a une force appelée réaction du support et notée £RN qui s’y oppose. Cette réaction
s’applique sur l’objet au niveau du contact objet-support, et sa direction est orthogonale à la
surface du support au niveau du contact.
=
£ F1,…..,££FN
£RN
£RN =  £Fi
b) Le frottement solide
Considérons à nouveau un support incliné sur lequel est placé l’objet de masse m. Poussons
cet objet à l’aide d’une force £F afin de la faire glisser sur le support. Si cette force de poussée
n’est pas suffisante, l’objet ne bouge pas : il y a une certaine résistance au déplacement,
appelée force de frottement solide et notée £RT. Cette force s’oppose exactement à notre
poussée...
Toutefois, si l’on pousse avec suffisamment d’intensité, l’objet se met à bouger :
la force de frottement solide a atteint sa valeur limite qu’elle ne peut pas
dépasser ; on notera son intensité limite £RT lim.
£R = £RN + £RT
Le frottement de glissement est un frottement de type coulombien. L’objet
étudié est posé directement sur le support sec incliné d’un angle φ par rapport à
l’horizontale. Cet objet subit son poids £P et la réaction £R du support. La réaction £R du plan
incliné sur l’objet a pour composantes £RN (perpendiculaire au plan) et £RT (parallèle au plan)
qui est la force de frottement.
7
Lorsque le solide est en équilibre on a : £P + £R = 0
par projection, on a : Pcos = RN et Psin = RT
Lorsque l’angle φ devient égal à φ0, le solide se met à glisser. On a alors :
tan
μ est le coefficient de frottement statique. Il dépend de la nature de l’objet qui glisse et de
celle du support.
Le solide reste en équilibre sur le plan incliné tant que l’inclinaison φ du plan par rapport à
l’horizontale est inférieure à :
= arctan 
Au-delà le solide se met à glisser, indépendamment de sa masse. La force de frottement solide
a atteint sa valeur limite qu’elle ne peut pas dépasser ; on notera son intensité limite RT lim.
RT lim =  RN
c) Les forces de frottement fluide
Un corps solide, en mouvement de translation dans un fluide, est soumis à des forces,
réparties en surface, dont les valeurs et distributions dépendent du fluide, de son état
physique, de la vitesse relative, et bien sûr de la forme du corps et de la rugosité de sa surface.
C’est le frottement visqueux est lié au mouvement de l’objet M dans un milieu fluide (air,
liquide ou autre). Il est créé par les particules du fluide qui viennent choquer la surface de
l’objet M quand ce dernier est en mouvement.
-Pour de faibles vitesses de déplacement du point M ou des viscosités assez importantes :
£F frott = - h £v (M)
avec h constante déterminée expérimentalement.
- Pour des vitesses de déplacement plus importantes du point M ou des déplacements dans de
faibles viscosités :
£F frott = - h’v² £T
avec £T le vecteur tangent à la trajectoire, h’ une constante. On peut exprimer autrement cette
force :
avec £v = v£ T
£F frott = - h’v £v
Exemple : chute libre d’un parachutiste (considéré comme point matériel)
z
£Ffrott = - h £v = - h (- vz£ k ) = hvz£ k
£k
O
£P = m £g = - mg£ k
On applique le PFD à la particule lâchée sans vitesse initiale soumise à son poids et à la force
de frottement :
 £Fext = m £a
 - mg £ k + hv £ k = m £a
avec £a =
8
=
£k
 m
- mg - hvz = m
D’où l’équation différentielle du mouvement :
On pose :  = m/h , l’équation différentielle devient :

On obtient donc une équation différentielle en vz, linéaire du premier ordre à coefficients
constants. On sait résoudre cette équation mathématiquement.
Une fois l’expression de la vitesse vz obtenue, on en déduira la position par intégration.
(Ce problème sera traité en détail au cours des séances de TD)
d) Les forces de tension
Soit un point M de masse m accroché au bout d’un pendule élastique rectiligne (ressort).
Quand le ressort s’allonge, une force de rappel proportionnelle à cet allongement et appelée
tension s’exerce sur la masse :
£T = - k( l- lo) £u
k est une constante appelée constante de raideur ; l est la longueur du ressort à l’instant t, l0 est
la longueur du ressort à vide (non étiré) et £u un vecteur unitaire dirigé suivant le sens
d’allongement du ressort. Le signe négatif de la relation traduit le fait que cette force s’oppose
à l’allongement.
Une force de rappel équivalente se produit pour un ressort : (l - lo) peut alors être positif ou
négatif suivant que le ressort est allongé ou comprimé.
o
£u
x
A t = 0, on déplace la masse ponctuelle de xo, puis on la lâche sans vitesse initiale. Quelle est
l’allongement x(t)= l(t) - lq ?
A l’instant t la masse est soumise à la force de rappel : £T = - k ( l(t)- lo) £u
Le PDF appliqué à la masse m : £P +£ T = m£ a ou
mg
- k ( l(t)- lo)
=m
soit mg – k (l(t) - lq + lq - lo) = m
 mg – k ( x(t) + lq - lo) = m
[équation ( E)]
Or à l’équilibre : £ P + £Tq = 0  mg – k( 0 + lq - lo) = 0 d’où mg = k( lq - lo)
L’équation (E) devient : – k x(t) = m
ou m
On pose k/m = ², l’équation différentielle du mouvement de la masse m est :
9
La solution de cette équation différentielle du second ordre sans second membre est dont la
solution est : x(t)= A cos(t+)
A et  deux constantes à déterminer par les conditions initiales.
x(0) = 0 et
x(0)= A cos(*(0)+)= xo
D’où le système :
A cos = xo
[
 A = xo et
 = 0 ( car xo/A >0)
Finalement : x(t) = xocos t on a un mouvement oscillatoire de période T et de pulsation .
3) Application : pendule simple
On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen et l'on considère le point matériel M.
Les forces qui lui sont appliquées sont son poids £P = m£g et la tension £T du fil auquel il est
accroché.
Si l'on applique la relation fondamentale de la dynamique à M, on a : m£ a = £P + £T
Le vecteur-position _OM = ℓ £ur ,
La vitesse : £V = ℓ £uθ ,
L’accélération : £a = ℓ £uθ £ ur
£P = mg cos £ ur – mg sinθ £uθ
et £T = T £ur
Par projection sur la base polaire ( £ur , £uθ )
Sur £ur : 
mg cos −T = − mℓ
Sur £uθ : 
− mg sinθ = mℓ
+ sin = 0
L’équation différentielle du mouvement est :
On se place dans le cas des petits mouvements sin
 (si  <10°) et on pose ² = alors :
+ =0
L’équation du mouvement de la masse m dans le cas de petites oscillations.
La solution de cette équation est : (t)=Acos(t+) où A et  deux constantes à déterminer
par les conditions initiales.
Généralement on a les conditions initiales suivantes :
(0)= max et
àt=0
IX.
ou
(0)= 0 et
Théorème du moment cinétique
Dans plusieurs cas, il est plus commode d’utiliser le théorème du moment cinétique que le
PFD.
10
Dans la suite, on considère le mouvement d’un point matériel M, de masse m en mouvement
dans un référentiel R et O un point fixe de ce référentiel.
1) Moment cinétique par rapport un point fixe
Le moment cinétique du point M par rapport à un point O dans le référentiel R est défini par :
£ Lo(M/R) = _OM  m£V (M/R)
2) Moment cinétique par rapport à un axe
Le moment cinétique du point M par rapport à un axe fixe  passant par O et de vecteur
unitaire £u dans le référentiel R est défini par :
L (M/R) = £Lo(M/R).£u = [_OM  m£V (M/R)]. £u
_L (M/R) = L (M/R) £u
3) Moment dynamique par rapport à un point fixe
Le moment dynamique du point matériel M par rapport à O dans le référentiel ℛ est
défini par :

)
En effet, la dérivée du moment cinétique est :




)

=0
4) Moment d’une force
Soit un point M soumis à une force £F, on définit le moment de cette force _Mo (F) par rapport
à un point O dans le référentiel R par
_Mo (F) = _OM  £F
Le moment de la force £F par rapport à un axe fixe  passant par O et de vecteur unitaire £u
dans le référentiel R est défini par :
_M (£F) = M (£F).£u
Avec
M (£F) = = _Mo (£F).£u = (_OM  £F ).£u
5) Théorème du moment cinétique dans un référentiel galiléen
Dans u référentiel galiléen la dérivée du moment cinétique est égale au moment de la
résultante des forces qui s’exercent sur le point M.

En effet

) et d’après le PFD m£a =  £Fext
11