Association de dipôles

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Chapitre III- 4-
RÉGIME SINUSOÏDAL
ASSOCIATION DE DIPÔLES
OBJECTIFS
Il s'agit d'étudier la relation courant-tension ( impédance Z = [ Z ; ϕ ] ) dans des
associations de dipôles linéaires élémentaires (résistances , inductances et condensateurs).
c Association série ( "RL série", "RC série" et "RLC série" ).
d Association parallèle ( "RL parallèle", "RC parallèle" et "RLC parallèle" ).
Dans le cas d'une association "RLC", la phénomène de résonance sera mis en évidence et
interprété.
I- GÉNÉRALITÉS
1- Montage pour les associations "série"
c Mesure des valeurs efficaces U et I
Un voltmètre "AC" branché aux bornes du dipôle donnera U.
Un voltmètre "AC" branché aux bornes de la résistance r donnera Ur = rI et il suffira
de faire I = Ur / r.
d Mesure du déphasage ϕ ( retard de i par rapport à u )
La voie Y2 de l'oscilloscope visualise la tension ur qui est proportionnelle à i.
La voie Y1 de l'oscilloscope visualise la tension uGBF qui est très proche de la
tension u car ur est négligeable devant u.
⇒ Le déphasage ϕ se visualise directement ( u → Y1 et i → Y2 ).
2- Montage pour les associations "parallèle"
c Mesure des valeurs efficaces U et I
Un voltmètre "AC" branché aux bornes du dipôle donnera U.
Un voltmètre "AC" branché aux bornes du GBF donnera la tension UGBF
directement proportionnelle au courant I ( 1V → 1mA ).
d Mesure du déphasage ϕ ( retard de i par rapport à u )
La voie Y1 de l'oscilloscope visualise directement la tension u.
La voie Y2 de l'oscilloscope visualise la tension uGBF qui est proportionnelle à i.
⇒ Le déphasage ϕ se visualise directement ( u → Y1 et i → Y2 ).
II- CIRCUIT "RL SÉRIE"
1- Montage
Le dipôle est constitué d'une résistance
en série avec une inductance :
2- Essai à basse fréquence
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence.
On mesure une tension UR proche de U et une tension UL petite devant U.
L'oscillogramme est donné à la page suivante :
u
R
i
uR uL
L
uGBF Dipôle u
i
Y1
Y2
GBF
Source de courant
commandée par une tension
( i proportionnel à uGBF : 1mA
→ 1V )
uGBF
Dipôle
r
u
≈
uGBF
i Y1
Y2
GBF
ur<< u

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u
ur
u
ur
On constate un déphasage ϕ positif et de faible
valeur ( i est en retard par rapport à u ).
Le courant I est proche de la valeur U / R.
⇒ L'inductance semble avoir une action
négligeable à cette fréquence.
3- Essai à haute fréquence
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence.
On mesure une tension UL proche de U et une tension UR petite devant U.
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
On constate un déphasage ϕ positif et proche
de π / 2 ( i est en retard par rapport à u ).
Le courant I est proche de la valeur ωL
U.
⇒ La résistance semble avoir une action
négligeable à cette fréquence.
4- Interprétation
c Représentation de Fresnel
La relation vectorielle donne LR UUU += avec :
R
U colinéaire à I car uR et i sont "en phase".
L
Uen avance de π/2 par rapport à I car uL est en "quadrature avance" sur i.
La longueur des vecteurs donne UR = RI et UL = LωI.
En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : 2
L
2
R
2UUU +=
⇒
(
)
(
)
(
)
222
RLsérie ILRIIZ ω+=
⇒
(
)
2
2
2
RLsérie LRZ ω+=
⇒
()
2
2
RLsérie LRZ ω+= .
On a aussi
(
)
R
L
tan 1
RLsérie ω
=ϕ −.
En basse fréquence, on a Lω << R ce qui donne RZRLsérie
≈
et ϕRLsérie ≈ 0.
En haute fréquence, on a R << Lω ce qui donne
ω
≈
LZRLsérie et ϕRLsérie ≈ +π/2.
d Impédance complexe
Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série :
⇒
[
]
RLsérieRLsérie
LRRLsérie ;ZjLRZZZ
ϕ
=
ω
+
=
+
=
avec
()
2
2
RLsérie LRZ ω+= et
(
)
R
L
tan 1
RLsérie ω
=ϕ −.
En basse fréquence, on a Lω << R ce qui donne RZRLsérie
≈
.
En haute fréquence, on a R << Lω ce qui donne
ω
≈
jLZRLsérie .
III- CIRCUIT "RC SÉRIE"
1- Montage
Le dipôle est constitué d'une résistance
en série avec un condensateur :
2- Essai à basse fréquence
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence.
On mesure une tension UC proche de U et une tension UR petite devant U.
L'oscillogramme est donné à la page suivante :
0
ϕ
U
I x
UL
UR
u
R
i
uR uC
C

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u
ur
u
ur
On constate un déphasage ϕ négatif et proche
de –π/2 ( i est en avance par rapport à u ).
Le courant I est proche de la valeur UCω.
⇒ La résistance semble avoir une action
négligeable à cette fréquence.
3- Essai à haute fréquence
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence.
On mesure une tension UR proche de U et une tension UC petite devant U.
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
On constate un déphasage ϕ positif et de faible
valeur ( i est en avance par rapport à u ).
Le courant I est proche de la valeur R
U.
⇒ Le condensateur semble avoir une action
négligeable à cette fréquence.
4- Interprétation
c Représentation de Fresnel
La relation vectorielle donne CR UUU += avec :
R
Ucolinéaire à I car uR et i sont "en phase".
C
Uen retard de π/2 par rapport à I car i est en "quadrature avance" sur uC .
La longueur des vecteurs donne UR = RI et I
C
1
UCω
=.
En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : 2
C
2
R
2UUU +=
⇒
() ()
(
)
2
22
RCsérie I
C
1
RIIZ ω +=
⇒
(
)
2
2
2
RCsérie C
1
RZ ω +=
⇒
(
)
2
2
RCsérie C
1
RZ ω += .
On a aussi
(
)
ω
−=ϕ −
RC
1
tan 1
RCsérie .
En basse fréquence, on a R << ωC
1 ce qui donne ω
≈C
1
ZRCsérie et ϕRCsérie ≈ -π/2.
En haute fréquence, on a ωC
1<< R ce qui donne RZRCsérie
≈
et ϕRCsérie ≈ 0.
d Impédance complexe
Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série :
⇒
[
]
RCsérieRCsérie
CRRCsérie ;Z
C
1
jRZZZ ϕ=
ω
−=+=
avec
(
)
2
2
RCsérie C
1
RZ ω += et
(
)
ω
−=ϕ −
RC
1
tan 1
RCsérie .
En basse fréquence, on a R << ωC
1 ce qui donne ω
−≈ C
1
jZRCsérie .
En haute fréquence, on a ωC
1<< R ce qui donne RZRCsérie
≈
.
IV- CIRCUIT "RLC SÉRIE"
1- Montage
Le dipôle est constitué d'une résistance
en série avec une inductance et en série
avec un condensateur :
0 ϕ
U
I x
UC
UR
u
R
i
uR uL
L
uC
C

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u
ur
u
ur
u
ur
2- Essai à basse fréquence
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence.
On mesure une tension UC supérieure à UL .
L'oscillogramme est représenté ci-contre :
On constate un déphasage ϕ négatif
( i est en avance par rapport à u ).
⇒ Le condensateur semble avoir une action
prépondérante face à l'inductance.
3- Essai à haute fréquence
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence.
On mesure une tension UL supérieure à UC .
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
On constate un déphasage ϕ positif
( i est en retard par rapport à u ).
⇒ L'inductance semble avoir une action
prépondérante face au condensateur.
4- Essai à la fréquence telle que ϕ=0 ( résonance )
Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de fréquence telle que ϕ = 0.
On mesure une tension UL égale à UC et on constate que le courant I est maximum par
rapports aux autres fréquences.
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
On a réglé la fréquence jusqu'à avoir ϕ = 0.
5- Interprétation
c Représentation de Fresnel
La relation vectorielle donne CLR UUUU ++= avec :
R
Ucolinéaire à I car uR et i sont "en phase".
L
U en avance de π/2 par rapport à I car uL est en "quadrature avance" sur i.
C
Uen retard de π/2 par rapport à I car i est en "quadrature avance" sur uC .
Basse fréquence Haute fréquence
UC étant supérieur à UL, le vecteur Use
situe "du côté" de C
Uavec un déphasage
négatif.
UL étant supérieur à UC, le vecteur Use
situe "du côté" de L
Uavec un déphasage
positif.
Fréquence de résonance ( ϕ = 0 )
UC étant égal à UL, le vecteur U se retrouve colinéaire au vecteur I ( ϕ = 0 )
0
ϕ
> 0
U
I x
UC
UR
UL
UC
UL UC
0
ϕ
< 0
U
I x
UC
UR
UL
UL
UL UC
0
ϕ
= 0 U I x
UC
UR
UL

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u
uGBF
uGBF est proportionnel à i (1V : 1mA)
La longueur des vecteurs donne UR = RI ; UL = LωI et I
C
1
UCω
=.
En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
(
)
2
CL
2
R
2UUUU −+=
⇒
() ()
(
)
2
22
RLCsérie I
C
1
ILRIIZ ω −ω+=
⇒
(
)
2
2
2
RLCsérie C
1
LRZ ω −ω+=
⇒
(
)
2
2
RLCsérie C
1
LRZ ω −ω+= .
On a aussi 
ω
−ω
=ϕ −
R
C
1
L
tan 1
RLCsérie .
En basse fréquence, on a Lω << ωC
1 ce qui donne RCsérieRLCsérie ZZ
≈
et ϕRLCsérie < 0 .
En haute fréquence, on a ωC
1<< Lω ce qui donne RLsérieRLCsérie ZZ
≈
et ϕRLCsérie > 0.
A la fréquence telle que ϕRLCsérie = 0, on a ω
=ω C
1
L ce qui donne ZRLCsérie = R.
On a aussi : 1LC 2
0=ω ⇒ LC
1
0=ω ou LC2
1
f0π =
d Impédance complexe
Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série :
⇒
(
)
[]
RCsérieRCsérie
CLRRCsérie ;Z
C
1
LjRZZZZ ϕ=
ω
−ω+=++=
avec
(
)
2
2
RCsérie C
1
LRZ ω −ω+= et 
ω
−ω
=ϕ −
R
C
1
L
tan 1
RCsérie .
En basse fréquence, on a Lω << ωC
1 ce qui donne ω
−≈ C
1
jRZRLCsérie .
En haute fréquence, on a ωC
1<< Lω ce qui donne
ω
+
≈
jLRZRLCsérie .
A la fréquence telle que ϕRLCsérie = 0, on a
0
0C
1
Lω =ω ce qui donne ZRLCsérie = R.
6- Etude particulière de la résonance
c Expérience
On alimente un circuit RLC série avec une tension sinusoïdale de tension efficace 5V et
de fréquence f0 telle que ϕ = 0 ( résonance ).
On mesure aux bornes du condensateur et aux bornes de la bobine, une tension efficace
de 12V.
⇒ Il y a donc une surtension aux bornes de la bobine et aux bornes du
condensateur à la résonance.
d Interprétation
A la fréquence f0, l'impédance du circuit est minimale et égale à R; le courant est donc
maximal ( on dit qu'il y a résonance en courant ).
L'intensité du courant à la résonance est donc R
U
I0= et la tension aux bornes du
condensateur est
0
0
0
CRC
U
I
C
1
Uω =
ω
= ( avec ω0 = 2πf0 ).
Le rapport entre la tension UC et la tension U est donc ω
=RC
1
U
UC et ce rapport peut
être supérieur à 1 d'où le phénomène de surtension lié au phénomène de surintensité.
On définit le coefficient de surtension à la résonance R
L
RC
1
Q0
0
0
ω
=
ω
=.
V- CIRCUIT "RL PARALLÈLE"
1- Montage
Le dipôle est constitué d'une résistance
en parallèle avec une inductance :
2- Essai à basse fréquence
Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal
de basse fréquence.
On mesure un courant IL proche de I et un courant
IR petit devant I.
L'oscillogramme est indiqué ci-contre :
u
R
i
iR
iL L