Chapitre VI : Dynamique des écoulements de fluides visqueux et

Spéciale PSI - Cours "Mécanique des uides" 1
Compléments
Chapitre VI : Dynamique des écoulements de uides visqueux
et incompressibles
Contents
1Rappels 2
2Equation de Navier-Stokes 2
2.1 Equation de Navier-Stokes ............................................... 2
2.2 ”Résolution” de l’équation de Navier - Stokes .................................... 2
2.3 Conditions aux limites ................................................. 3
2.4 Pression hydrostatique dans les écoulements horizontaux .............................. 3
3Exemples 3
3.1 Flux de Couette .................................................... 3
3.2 Flux de Couette-Poiseuille ............................................... 4
3.2.1 Champ de vitesse ................................................ 4
3.2.2 Débit ...................................................... 5
3.3 Ecoulement de Poiseuille ................................................ 5
3.3.1 Champ des vitesses ............................................... 5
3.3.2 Débit ...................................................... 6
3.4 Plan incliné ....................................................... 6
4Exercices 7

2Mécanique des uides. Chapitre VI : Dynamique des écoulements de uides visqueux et incompressibles
Compléments
Chapitre VI : Dynamique des écoulements de -uides visqueux et
incompressibles
Objectifs :
•Extension de l’équation d’Euler au uide visqueux : équation de Navier - Stokes ;
•Etude de quelques écoulements classiques.
1Rappels
•Pour un écoulement unidirectionnel, tel que v=v(y,t)ex, la force de surface tangentielle  F, appelée force de cisaillement,
ou de viscosité, qu’exerce S1sur S2à travers une surface d’aire Snormale à eyest portée par ex.
La valeur algébrique de cette force est égale à :
F=v
yS
Cette force  Ftend à accélérer les veines rapides, et à ralentir les veines lentes.
•La viscosité est un phénomène de di4usion de la quantité de mouvement.
•La distribution surfacique des forces de pression peut être remplacée par une distribution volumique :
fvol =
gradp
•Dans un -uide incompressible, les forces de viscosité sont équivalentes à une force volumique :
fviscosité,vol =
v
2Equation de Navier-Stokes
2.1 Equation de Navier-Stokes
Rappel : Le mouvement d’un -uide non visqueux dans le champ de pesanteur est régi par l’équation d’Euler :
Dv
Dt =
grad P +g
Dans le cas d’un -uide visqueux incompressible il su6t d’ajouter la densité volumiques des forces de viscosité
fviscosité,vol =
v. On obtient alors l’équation de Navier-Stokes :
Dv
Dt =
gradP +g+ vEquation de Navier-Stokes
Il est possible d’écrire cette équation en faisant intervenir la viscosité cinématique =/:
Dv
Dt =1
grad P +g+ v
v
tr
+v. gradv=1
grad P +g+ v
2.2 ”Résolution” de l’équation de Navier - Stokes
L’équation de Navier-Stokes est une extension de l’équation d’Euler ; elle est donc tout aussi di6cile à résoudre : elle est
non linéaire et n’admet pas en général de solutions analytiques. Il existe deux cas particuliers où la résolution est plus facile
(disparition du terme non linéaire (v. grad)v):
•Cas d’un écoulement à faible nombre de Reynolds :
pour de tels écoulements les vitesses sont faibles et les forces visqueuses sont importantes
v.
gradv vv
tr
=1
gradP +g+ vEquation de Stokes

Mécanique des uides. Chapitre VI : Dynamique des écoulements de uides visqueux et incompressibles 3
•Cas d’un écoulement parallèle d’un uide incompressible :
L’écoulement est plan donc v=v(x, y, z)ex;le-uide est incompressible on a donc :
div v=0soit vx
x=0v=v(y, z)exv.
gradv=vx
x(vxex)=
0.
L’équation de Navier Stokes s’écrit alors :
v
tr
=1
grad P +g+ v
2.3 Conditions aux limites
La nature des solutions dépend aussi des conditions aux limites. Les deux cas importants sont :
•sur une paroi, la vitesse du -uide est égale à celle de la paroi vfluide =vparoi ;
•sur une surface séparant deux -uides il y a continuité des contraintes (forces par unité de surface) ; dans le cas particulier
d’une surface libre (l’un des deux -uides est un gaz) et d’un écoulement tel que v=v(y, t)exon a alors v
y=0 pour
le liquide à l’interface (l’axe yest perpendiculaire à la surface libre).
2.4 Pression hydrostatique dans les écoulements horizontaux
Dans le cas des écoulements horizontaux, les forces de pesanteur ont un rôle mineur ; on masque alors les e4ets de ces forces
en introduisant la pression dynamique Pdyn telle que :
P=Pst +Pdyn
Pst est la pression hydrostatique c’est à dire la pression qui règnerait dans le -uide avec la même géométrie s’il était immobile
(Pst est telle que 
grad Pst =g).
L’équation de Navier Stokes s’écrit alors :
Dv
Dt =
gradP +g+ vDv
Dt =
grad P + gradPst +
v
Dv
Dt =
grad(Pst P)+
v
Dv
Dt =
grad Pdyn +
v
Remarque : la pression statique est dé>nie à une constante additive près ; il en est donc de même pour la pression
dynamique. L’existence d’une surface libre permet de lever cette indétermination.
3Exemples
Dans les paragraphes 3.1. , 3.2. et 3.3. on note Pla pression dynamique.
3.1 Flux de Couette
Soit deux plans parallèles et horizontaux d’équation y=0et y=h. On suppose que :
•le plan supérieur se déplace à la vitesse constante v=voex;
•la pression ne dépend pas de x:P=P(y, z); on n’impose aucun gradient de pression suivant Ox ;

4Mécanique des uides. Chapitre VI : Dynamique des écoulements de uides visqueux et incompressibles
•l’écoulement est stationnaire.
La vitesse du -uide est donc de la forme v=v(y)ex. D’après le paragraphe 2.4. l’équation de Navier Stokes s’écrit :
gradP + v=v
tr
= 0
En adoptant les coordonnées cartésiennes on obtient :
P
x+2v y2=0et P y=0et P z=0P=cste et v=ay +b
Les conditions aux limites permettent de déterminer les constantes d’intégration aet b:
v(0) = 0 et v(h)=vov=vo
y
hex
Le -ux de Couette correspond à une vitesse du -uide variant linéairement entre les deux plaques :
v=vo
y
hex
Remarques :
1) Dans cet écoulement l’équivalent volumique des forces de viscosité est nulle à l’état stationnaire mais la viscosité est
tout de même responsable de la mise en mouvement du -uide.
2) Rappel : la grandeur notée Pci-dessus est la pression dynamique.
3) Le raisonnement est le même dans le cas où la vitesse du plan inférieur est constante mais non nulle.
3.2 Flux de Couette-Poiseuille
3.2.1 Champ de vitesse
On étudie le même système que précédement mais on impose un gradient de pression suivant l’axe Ox :
P
x=(K)=cste P x=P(l)P(0) l=P lavec llongueur suivant Ox
La projection de l’équation de Navier Stokes donne :
P
x+2v y2=0 P y=0 P z=0
2v
y2=(K)v=(K) 2y2+by +c
Les conditions aux limites permettent de déterminer les constantes d’intégration bet c:
v(0) = 0 et v(h)=vov=(K)
2y2+vo(K) 2h2y hex
Le -ux de Couette-Poiseuille correspond à un pro>l de vitesse parabolique entre les deux plaques
v=
P
l
2y2+
voP
l
2h2
y
h
ex
Remarques :
1) Selon le signe du gradient de pression suivant Ox on obtient deux types d’écoulement ;
2) On peut envisager le cas où les deux plans sont immobiles :

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3.2.2 Débit
On se place dans le cas où les deux plans sont immobiles : écoulement dans une conduite de section constante.
Pour une largeur Lsuivant l’axe Oz on obtient le débit volumique par intégration :
Dvolumique =1
dt y=h
y=0
(Lv(y)dy dt)
=Ly=h
y=0
v(y)dy
=Ly=h
y=0 (K)
2y2+vo(K) 2h2y hdy
=1
12Lh(K)h26vo
=1
12LhP
lh26vo
=1
12 Lh Ph
2+6vol
l
=1
12
Lh3
lPcar vo=0
Le débit est donc proportionnel à la chute de pression.
3.3 Ecoulement de Poiseuille
3.3.1 Champ des vitesses
On étudie l’écoulement dans une conduite cylindrique, de longueur l, de section circulaire de rayon R, en régime laminaire
permanent.
Soit Oz l’axe du cylindre. On adopte les coordonnées cylindriques (r, #,z). Etant donnée la symétrie de révolution autour
de Oz, les grandeurs physiques ne dépendent pas de #.
La vitesse du -uide est donc de la forme v=v(r, z)ez.
Le -uide est incompressible div v=0soit en coordonnées cylindriques :
1
r r(rvr)+1 r
v
r+vz z=0v z=0v=v(r)ez
D’après le paragraphe 2.4. l’équation de Navier Stokes s’écrit :
grad P + v=v
tr
= 0
P
r=0 1 r
P
# =0 P z+v=0
Les deux premières relations donne une pression (dynamique) uniforme dans toute section droite du cylindre.
La troisième équation s’intègre facilement car P
zne dépend que de zet vest uniquement fonction de r; ces deux termes
sont donc constants :
P
z=Ket v=K avec v=1 r rrv r
v(r)=K
r2
4+aln r+b
on détermine aet bgrâce aux conditions aux limites :
lim
r0v(r)n’est pas in>ni a=0 et v(R)=0b=KR2
4
En régime laminaire permanent, le champ des vitesses de l’écoulement dans une conduite cylindrique,
de longueur l, de section circulaire de rayon R,est:
v=K
4R2r2ezEcoulement de Poiseuille