Sujet

Banque ≪Agro - V´eto ≫
A - 0312
PHYSIQUE
Dur´ee : 3 heures 30 minutes
L’usage d’une calculatrice est interdit pour cette ´epreuve.
Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.
Chaque candidat est responsable de la v´erification de son sujet d’´epreuve : pagination et impression de
chaque page. Ce contrˆole doit ˆetre fait en d´ebut d’´epreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus tˆot le
chef de centre qui v´erifiera et ´eventuellement remplacera son sujet.
´
Etude physique de quelques ph´enom`enes biologiques
Ce sujet est consacr´e `a l’´etude de quelques ph´enom`enes biologiques. Tout r´esultat donn´e par le
candidat doit absolument ˆetre justifi´e pour ˆetre pris en compte.
Un seul chiffre significatif est fourni dans les donn´ees et est donc demand´e dans les applications
num´eriques.
Il sera tenu le plus grand compte dans la notation de la qualit´e de la r´edaction.
Les deux probl`emes A et B sont totalement ind´ependants.
Donn´ees :
•champ de pesanteur terrestre : g= 10 m.s−2
•masse volumique de l’eau : ρe= 1 kg.L−1
•viscosit´e dynamique de l’eau : ηe= 1.10−3Pl
•constante de Boltzmann : kB= 1.10−23 J.K−1
•masse volumique du sang : ρs= 1 kg.L−1
•viscosit´e dynamique du sang : ηs= 6.10−3Pl
A S´edimentation et centrifugation
A.1 Principe de la s´edimentation
Une des m´ethodes les plus simples pour ´eliminer des particules en suspension dans l’eau est
d’utiliser la gravitation. Dans un r´ecipient, l’eau occupe la partie de l’espace entre z= 0 et z=H
(Fig. 1). Les particules sont consid´er´ees comme sph´eriques, de masse volumique ρPet de rayon R.
La masse volumique de l’eau est not´ee ρe.
1/8 TSVP

~uz
z
H
0
Figure 1 – Eau dans un r´ecipient.
A.1.1. Exprimer la masse md’une telle particule. Application num´erique : calculer mpour ρP=
2 kg.L−1et R= 0,1µm ou R= 0,1 mm.
A.1.2. Donner l’expression de la pouss´ee d’Archim`ede ~ Π sur une telle particule. ` A quelle condition
sur la masse volumique ρPla s´edimentation aura-t-elle lieu ? Cette condition sera suppos´ee v´erifi´ee
par la suite.
A.1.3. En ajoutant le poids et la pouss´ee d’Archim`ede, montrer que tout se passe comme si la
particule ´etait uniquement soumise `a un poids m∗~g. Donner alors la masse effective m∗pour les
particules en fonction de ρe,ρPet R. Application num´erique : calculer la masse effective m∗pour
les particules avec les deux rayons donn´es pr´ec´edemment.
Une particule sph´erique de vitesse ~v =v(t)~uzet de rayon Rsubit de la part de l’eau qui poss`ede
une viscosit´e dynamique ηela force de viscosit´e (force de Stokes) d’expression ~ f=−6πηeR ~v
A.1.4. D´eterminer l’´equation diff´erentielle satisfaite par la fonction v(t). Montrer que la vitesse
tend vers une limite not´ee ~vlim et exprimer ~vlim en fonction de R,m∗,ηeet ~g.
A.1.5. Donner l’ordre de grandeur du temps τn´ecessaire pour qu’une particule acqui`ere sa vitesse
limite. τsera exprim´e en fonction de variables choisies dans R,m,m∗,ηeet g.
A.1.6. Tracer l’allure du module de la vitesse |v(t)|en consid´erant une vitesse initiale nulle. Indiquer
τsur le sch´ema.
A.1.7. Application num´erique : calculer τpour des particules poss´edant les deux rayons donn´es en
question A.1.1.
A.1.8. D´eduire l’ordre de grandeur du temps ∆tmis par une particule initialement `a la surface
pour s´edimenter jusqu’au fond du r´ecipient. Exprimer ∆ten fonction de H,m,m∗,get τ.
A.1.9. Application num´erique : calculer ∆tpour des particules poss´edant les deux rayons pr´ec´edem-
ment donn´es en question A.1.1. et H= 10 cm. Les r´esultats seront exprim´es dans une unit´e bien
adapt´ee `a la dur´ee concern´ee. Commenter les r´esultats.
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A.2 Limite `a la s´edimentation
A.2.1. Donner l’´energie potentielle de pesanteur Eppd’une particule. L’´energie potentielle sera
choisie nulle pour z= 0 (les notations sont donn´ees en Fig. 1).
A.2.2. Montrer que la pouss´ee d’Archim`ede d´erive d’une ´energie potentielle EpA. Donner l’expres-
sion de EpA.
Dans l’eau `a la temp´erature Tfix´ee, le facteur de Boltzmann indique que la densit´e volumique en
particules au point Mest donn´ee, au bout d’une dur´ee suffisamment longue, par
n(M) = n0exp −Ep(M)
kBT(1)
o`u kBest la constante de Boltzmann, n0une constante et Ep(M) l’´energie potentielle d’une particule
au point M. Dans le cas pr´esent, Ep =Epp+EpA.
A.2.3. Exprimer Ep en fonction de variables choisies dans m,m∗,get z.
A.2.4. Tracer l’allure de la distribution n(z). Sur quelle hauteur hpar rapport au fond du r´ecipient
les particules se r´epartissent-elles typiquement ? hsera exprim´ee en fonction de variables choisies
dans g,m,m∗,kBet T.
A.2.5. Expliquer pourquoi, au bout d’un temps assez long, toutes les particules ne sont pas tomb´ees
au fond du r´ecipient comme cela a ´et´e ´etudi´e en partie A.1.
A.2.6. Application num´erique : calculer hpour les particules des deux rayons donn´es pr´ec´edemment
en question A.1.1. `a la temp´erature T= 300 K. Commenter.
A.2.7. Rappeler la loi de Fick de la diffusion en expliquant les diff´erents termes et la forme de la
loi. Par un raisonnement concernant les dimensions, donner l’unit´e du coefficient de diffusion D.
A.2.8. Dans le cadre de la loi de Boltzmann (1), exprimer le vecteur densit´e de courant de particules
~ dˆu `a la diffusion en fonction de D,n0,zet h.
A.2.9. D’apr`es l’´etude de la partie A.1, les particules poss`edent un mouvement d’ensemble `a la
vitesse ~vlim. Exprimer le vecteur densit´e de courant de particules ~ ′li´e `a ce ph´enom`ene.
A.2.10. En r´egime permanent, quelle relation lie ~ et ~ ′? En d´eduire la relation d’Einstein ex-
primant le coefficient de diffusion Den fonction de ηe,R,kBet T.
A.2.11. Lors de l’´etude de r´egimes non permanents de diffusion de particules, l’une des ´equations
suivantes peut ˆetre ´etablie pour la densit´e particulaire n(z, t). Expliquer laquelle est forc´ement la
correcte :
∂2n
∂t2=D∂2n ∂z2
∂2n
∂t2=D∂n ∂z
∂n
∂t =D∂2n ∂z2
∂n
∂t =D∂n ∂z
A.3 Centrifugation
Pour les raisons ´evoqu´ees dans les parties pr´ec´edentes, la s´edimentation ne permet pas forc´ement
d’isoler des particules dans l’eau. Une possibilit´e pour rem´edier `a ce probl`eme est d’utiliser la
centrifugation. Le principe est de mettre le r´ecipient en rotation autour de l’axe z(Fig. 2) `a la
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vitesse angulaire ω. Du fait des forces de viscosit´e, le liquide est entraˆın´e par les parois et se met
en rotation `a son tour. Dans la suite de ce probl`eme, l’effet de la rotation sur le mouvement des
particules en suspension est ´etudi´e `a l’aide du mod`ele simplifi´e suivant.
Le mouvement des particules est ´etudi´e dans le r´ef´erentiel dans lequel le r´ecipient est immobile.
Comme dans les parties pr´ec´edentes, chaque particule de masse msubit son poids et la pouss´ee
d’Archim`ede (cette derni`ere conservant la mˆeme expression, pour simplifier les calculs). Afin de tenir
compte de la rotation, il convient, simplement, d’ajouter au bilan des forces une force suppl´ementaire
d’expression : ~
Frot =mω2r~ur
o`u rest la distance `a l’axe et ~urle vecteur radial en coordonn´ees cylindriques (Fig. 2).
ω
~uz
z
M
r
~ur
Figure 2 – R´ecipient mis en rotation.
A.3.1. Montrer que la force ~ Frot d´erive d’une ´energie potentielle Eprot qui sera exprim´ee explicite-
ment.
A.3.2. La r´epartition de Boltzmann (1) sera suppos´ee valable si la nouvelle ´energie potentielle
est incluse. Quel est le rapport α, d´efini comme le rapport de la densit´e particulaire au bord du
r´ecipient sur la densit´e particulaire au centre, `a une mˆeme altitude ? Le rayon du r´ecipient est not´e
a.
A.3.3. Sur quelle distance dpar rapport au bord se concentrent typiquement les particules ?
A.3.4. Application num´erique : calculer dpour les particules de rayon R= 0,1µm et une vitesse
de rotation ω= 3000 tours.minutes−1, toujours `a la temp´erature T= 300 K. Commenter.
A.3.5. En consid´erant des particules de mˆeme type mais de rayons Rdiff´erents, `a quelles puis-
sances de Rles distances det hsont-elles proportionnelles (h´etant d´efinie `a la question A.2.4) ?
Commenter.
A.3.6. L’ordre de grandeur de la dur´ee du r´egime transitoire pour la centrifugation est 1/ω.
Conclure.
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B´ Ecoulements sanguins
L’´ecoulement du sang dans les vaisseaux sanguins est un ph´enom`ene complexe. Quelques aspects
de la circulation sanguine vont ˆetre ´etudi´es en utilisant une mod´elisation simple.
Tout effet dˆu `a la pesanteur est n´eglig´e, et le r´egime d’´ecoulement dans les vaisseaux sanguins
est suppos´e stationnaire.
B.1 Ordres de grandeur
Le sang est un fluide visqueux, de viscosit´e dynamique ηsd´efinie de la mani`ere suivante. Dans
un ´ecoulement de la forme ~v =v(y)~ux, la force exerc´ee au travers d’une surface dS =dx dz par le
fluide au-dessous sur le fluide au-dessus vaut (Fig. 3)
d~ F=εηs
dv
dy dS ~ux(2)
o`u εvaut 1 ou -1.
dS
~ux
~uy
~uz
~v
Figure 3 – D´efinition de la viscosit´e dynamique.
B.1.1. Quelle est la valeur de ε? Exprimer l’unit´e de ηsen fonction du m`etre, du kilogramme et
de la seconde.
Le cas de l’´ecoulement du sang dans un vaisseau sanguin sera d´esormais consid´er´e. Le vaisseau
est mod´elis´e par un cylindre de longueur L, de rayon aet d’axe parall`ele `a ~ux(Fig. 4).
L
a
~ux
Figure 4 – Mod´elisation d’un vaisseau sanguin.
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