Sujet

Banque ≪ Agro - Véto ≫
A - 0312
PHYSIQUE
Durée : 3 heures 30 minutes
L’usage d’une calculatrice est interdit pour cette épreuve.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Chaque candidat est responsable de la vérification de son sujet d’épreuve : pagination et impression de
chaque page. Ce contrôle doit être fait en début d’épreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus tôt le
chef de centre qui vérifiera et éventuellement remplacera son sujet.
Étude physique de quelques phénomènes biologiques
Ce sujet est consacré à l’étude de quelques phénomènes biologiques. Tout résultat donné par le
candidat doit absolument être justifié pour être pris en compte.
Un seul chiffre significatif est fourni dans les données et est donc demandé dans les applications
numériques.
Il sera tenu le plus grand compte dans la notation de la qualité de la rédaction.
Les deux problèmes A et B sont totalement indépendants.
Données :
•
•
•
•
•
•
A
A.1
champ de pesanteur terrestre : g = 10 m.s−2
masse volumique de l’eau : ρe = 1 kg.L−1
viscosité dynamique de l’eau : ηe = 1.10−3 Pl
constante de Boltzmann : kB = 1.10−23 J.K−1
masse volumique du sang : ρs = 1 kg.L−1
viscosité dynamique du sang : ηs = 6.10−3 Pl
Sédimentation et centrifugation
Principe de la sédimentation
Une des méthodes les plus simples pour éliminer des particules en suspension dans l’eau est
d’utiliser la gravitation. Dans un récipient, l’eau occupe la partie de l’espace entre z = 0 et z = H
(Fig. 1). Les particules sont considérées comme sphériques, de masse volumique ρP et de rayon R.
La masse volumique de l’eau est notée ρe .
1/8
TSVP
z
H
~uz
0
Figure 1 – Eau dans un récipient.
A.1.1. Exprimer la masse m d’une telle particule. Application numérique : calculer m pour ρP =
2 kg.L−1 et R = 0, 1 µm ou R = 0, 1 mm.
~ sur une telle particule. À quelle condition
A.1.2. Donner l’expression de la poussée d’Archimède Π
sur la masse volumique ρP la sédimentation aura-t-elle lieu ? Cette condition sera supposée vérifiée
par la suite.
A.1.3. En ajoutant le poids et la poussée d’Archimède, montrer que tout se passe comme si la
particule était uniquement soumise à un poids m∗~g . Donner alors la masse effective m∗ pour les
particules en fonction de ρe , ρP et R. Application numérique : calculer la masse effective m∗ pour
les particules avec les deux rayons donnés précédemment.
Une particule sphérique de vitesse ~v = v(t) ~uz et de rayon R subit de la part de l’eau qui possède
une viscosité dynamique ηe la force de viscosité (force de Stokes) d’expression f~ = −6πηe R ~v
A.1.4. Déterminer l’équation différentielle satisfaite par la fonction v(t). Montrer que la vitesse
tend vers une limite notée ~vlim et exprimer ~vlim en fonction de R, m∗ , ηe et ~g .
A.1.5. Donner l’ordre de grandeur du temps τ nécessaire pour qu’une particule acquière sa vitesse
limite. τ sera exprimé en fonction de variables choisies dans R, m, m∗ , ηe et g.
A.1.6. Tracer l’allure du module de la vitesse |v(t)| en considérant une vitesse initiale nulle. Indiquer
τ sur le schéma.
A.1.7. Application numérique : calculer τ pour des particules possédant les deux rayons donnés en
question A.1.1.
A.1.8. Déduire l’ordre de grandeur du temps ∆t mis par une particule initialement à la surface
pour sédimenter jusqu’au fond du récipient. Exprimer ∆t en fonction de H, m, m∗ , g et τ .
A.1.9. Application numérique : calculer ∆t pour des particules possédant les deux rayons précédemment donnés en question A.1.1. et H = 10 cm. Les résultats seront exprimés dans une unité bien
adaptée à la durée concernée. Commenter les résultats.
2/8
A.2
Limite à la sédimentation
A.2.1. Donner l’énergie potentielle de pesanteur Epp d’une particule. L’énergie potentielle sera
choisie nulle pour z = 0 (les notations sont données en Fig. 1).
A.2.2. Montrer que la poussée d’Archimède dérive d’une énergie potentielle EpA . Donner l’expression de EpA .
Dans l’eau à la température T fixée, le facteur de Boltzmann indique que la densité volumique en
particules au point M est donnée, au bout d’une durée suffisamment longue, par
Ep(M )
n(M ) = n0 exp −
(1)
kB T
où kB est la constante de Boltzmann, n0 une constante et Ep(M ) l’énergie potentielle d’une particule
au point M . Dans le cas présent, Ep = Epp + EpA .
A.2.3. Exprimer Ep en fonction de variables choisies dans m, m∗ , g et z.
A.2.4. Tracer l’allure de la distribution n(z). Sur quelle hauteur h par rapport au fond du récipient
les particules se répartissent-elles typiquement ? h sera exprimée en fonction de variables choisies
dans g, m, m∗ , kB et T .
A.2.5. Expliquer pourquoi, au bout d’un temps assez long, toutes les particules ne sont pas tombées
au fond du récipient comme cela a été étudié en partie A.1.
A.2.6. Application numérique : calculer h pour les particules des deux rayons donnés précédemment
en question A.1.1. à la température T = 300 K. Commenter.
A.2.7. Rappeler la loi de Fick de la diffusion en expliquant les différents termes et la forme de la
loi. Par un raisonnement concernant les dimensions, donner l’unité du coefficient de diffusion D.
A.2.8. Dans le cadre de la loi de Boltzmann (1), exprimer le vecteur densité de courant de particules
~ dû à la diffusion en fonction de D, n0 , z et h.
A.2.9. D’après l’étude de la partie A.1, les particules possèdent un mouvement d’ensemble à la
vitesse ~vlim . Exprimer le vecteur densité de courant de particules ~ ′ lié à ce phénomène.
A.2.10. En régime permanent, quelle relation lie ~ et ~ ′ ? En déduire la relation d’Einstein exprimant le coefficient de diffusion D en fonction de ηe , R, kB et T .
A.2.11. Lors de l’étude de régimes non permanents de diffusion de particules, l’une des équations
suivantes peut être établie pour la densité particulaire n(z, t). Expliquer laquelle est forcément la
correcte :
∂ 2n
∂ 2n
=
D
∂t2
∂z 2
A.3
∂ 2n
∂n
=D
2
∂t
∂z
∂n
∂ 2n
=D 2
∂t
∂z
∂n
∂n
=D
∂t
∂z
Centrifugation
Pour les raisons évoquées dans les parties précédentes, la sédimentation ne permet pas forcément
d’isoler des particules dans l’eau. Une possibilité pour remédier à ce problème est d’utiliser la
centrifugation. Le principe est de mettre le récipient en rotation autour de l’axe z (Fig. 2) à la
3/8
TSVP
vitesse angulaire ω. Du fait des forces de viscosité, le liquide est entraı̂né par les parois et se met
en rotation à son tour. Dans la suite de ce problème, l’effet de la rotation sur le mouvement des
particules en suspension est étudié à l’aide du modèle simplifié suivant.
Le mouvement des particules est étudié dans le référentiel dans lequel le récipient est immobile.
Comme dans les parties précédentes, chaque particule de masse m subit son poids et la poussée
d’Archimède (cette dernière conservant la même expression, pour simplifier les calculs). Afin de tenir
compte de la rotation, il convient, simplement, d’ajouter au bilan des forces une force supplémentaire
d’expression :
F~rot = mω 2 r~ur
où r est la distance à l’axe et ~ur le vecteur radial en coordonnées cylindriques (Fig. 2).
ω
z
~uz
M
r
~ur
Figure 2 – Récipient mis en rotation.
A.3.1. Montrer que la force F~rot dérive d’une énergie potentielle Eprot qui sera exprimée explicitement.
A.3.2. La répartition de Boltzmann (1) sera supposée valable si la nouvelle énergie potentielle
est incluse. Quel est le rapport α, défini comme le rapport de la densité particulaire au bord du
récipient sur la densité particulaire au centre, à une même altitude ? Le rayon du récipient est noté
a.
A.3.3. Sur quelle distance d par rapport au bord se concentrent typiquement les particules ?
A.3.4. Application numérique : calculer d pour les particules de rayon R = 0, 1 µm et une vitesse
de rotation ω = 3000 tours.minutes−1 , toujours à la température T = 300 K. Commenter.
A.3.5. En considérant des particules de même type mais de rayons R différents, à quelles puissances de R les distances d et h sont-elles proportionnelles (h étant définie à la question A.2.4) ?
Commenter.
A.3.6. L’ordre de grandeur de la durée du régime transitoire pour la centrifugation est 1/ω.
Conclure.
4/8
B
Écoulements sanguins
L’écoulement du sang dans les vaisseaux sanguins est un phénomène complexe. Quelques aspects
de la circulation sanguine vont être étudiés en utilisant une modélisation simple.
Tout effet dû à la pesanteur est négligé, et le régime d’écoulement dans les vaisseaux sanguins
est supposé stationnaire.
B.1
Ordres de grandeur
Le sang est un fluide visqueux, de viscosité dynamique ηs définie de la manière suivante. Dans
un écoulement de la forme ~v = v(y)~ux , la force exercée au travers d’une surface dS = dx dz par le
fluide au-dessous sur le fluide au-dessus vaut (Fig. 3)
dF~ = εηs
dv
dS ~ux
dy
(2)
où ε vaut 1 ou -1.
~v
~uy
dS
~ux
~uz
Figure 3 – Définition de la viscosité dynamique.
B.1.1. Quelle est la valeur de ε ? Exprimer l’unité de ηs en fonction du mètre, du kilogramme et
de la seconde.
Le cas de l’écoulement du sang dans un vaisseau sanguin sera désormais considéré. Le vaisseau
est modélisé par un cylindre de longueur L, de rayon a et d’axe parallèle à ~ux (Fig. 4).
~ux
a
L
Figure 4 – Modélisation d’un vaisseau sanguin.
5/8
TSVP
B.1.2. Afin d’induire un écoulement, une différence de pression est exercée entre les deux extrémités
du vaisseau. Pour que l’écoulement ait lieu dans la direction +~ux , de quel côté la pression doit-elle
être la plus élevée ? Donner alors le sens du gradient de pression associé.
B.1.3. La loi de Poiseuille donne l’expression du débit volumique Q de sang au travers d’un vaisseau
de longueur L et rayon a, soumis à la différence de pression ∆P :
Q = ηsε1 ∆P ε2
πa4
8L
où εi (i = 1, 2) vaut 1 ou -1. Expliquer quelles sont les valeurs de ε1 et ε2 .
B.1.4. Application numérique : pour l’aorte, le rayon vaut a = 1 cm, la longueur L = 20 cm et le
débit volumique est celui sortant du cœur Q = 6 L.minute−1 . Calculer la vitesse moyenne v du sang
dans l’aorte. Calculer la différence de pression ∆P entre le début et la fin de l’aorte. Commenter
sachant que la pression sanguine à la sortie du cœur est d’environ Pc = 10 kPa (il s’agit en fait
d’une surpression par rapport à la pression standard p0 , mais cet aspect n’intervient pas ici).
B.1.5. Application numérique : calculer le nombre de Reynolds pour l’écoulement du sang dans
l’aorte.
B.1.6. Prendre la “tension” artérielle consiste à appliquer à l’artère du bras une surpression à l’aide
d’un brassard gonflable puis à écouter avec un stéthoscope les bruits liés à l’écoulement sanguin
dans cette région. Expliquer du point de vue de l’écoulement ce qu’entend le médecin.
B.2
Bilans
Le champ des vitesses du sang dans un vaisseau sanguin sera modélisé de la manière très
simple suivante (cette modélisation est très grossière mais donne des résultats satisfaisants pour
les considérations qui suivent). La vitesse est supposée stationnaire, uniforme de valeur v dans la
quasi-totalité du vaisseau, sauf au voisinage immédiat des parois où elle diminue rapidement pour
s’annuler au contact des parois.
B.2.1. Quelle caractéristique du sang force l’annulation de la vitesse sur les parois des vaisseaux ?
Tracer les lignes de courant sur un schéma. Mettre en défaut le théorème de Bernoulli entre le début
et la fin d’une ligne de courant. Quelle hypothèse n’est pas vérifiée ?
B.2.2. Le vaisseau a pour rayon a0 , comme longueur L0 , et comme différence de pression à ses
extrémités ∆P0 (figure 5). En prenant comme volume de contrôle le volume délimitant le sang
contenu dans le vaisseau (en tirets sur la figure 5) et en supposant le régime stationnaire, réaliser
un bilan de quantité de mouvement. Exprimer la résultante selon ~ux (notée Fx ) de la force exercée
sur le vaisseau sanguin et due à l’écoulement.
B.2.3. Application numérique : calculer Fx pour une artère avec a0 = 1 mm, L0 = 10 cm, la
différence de pression étant ∆P0 = 2.103 Pa (cette valeur est quelque peu élevée mais permet de
majorer les effets rencontrés). La comparer au poids du sang contenu dans l’artère et commenter.
B.2.4. Réaliser avec la même surface de contrôle un bilan d’énergie mécanique. En déduire la
puissance mécanique Pdiss dissipée dans l’écoulement. Où a lieu cette dissipation et quelle en est la
cause ?
6/8
a0
~ux
L0
Figure 5 – Surface de contrôle.
B.2.5. Le sang possède une capacité thermique massique cs . En appliquant le premier principe
de la thermodynamique toujours sur le même système, et en négligeant tout transfert thermique,
évaluer la variation de température ∆T du sang entre son entrée et sa sortie de l’artère. Doit-on
prendre en compte le travail (ou la puissance) de la force exercée par les parois du vaisseau sur le
sang ?
B.2.6. Application numérique : calculer ∆T pour cs = 4 kJ.K−1 .kg−1 . Commenter.
B.3
De l’aorte aux capillaires
Le sang est évacué du cœur par l’aorte de rayon a de de longueur L avec un débit volumique
Q. Pour obtenir des ordres de grandeur, il est supposé que l’aorte se divise ensuite en Na artères
de rayon aa et longueur La , parcourues chacune par le débit volumique qa , puis en Na′ artérioles de
rayon a′a et longueur L′a (Fig. 6). La vitesse moyenne du sang dans une artériole est v ′a .
aorte
artères
cœur
artérioles
Figure 6 – Aorte, artères et artérioles (le schéma n’est pas à l’échelle).
Rappel : pour les applications numériques a = 1 cm et L = 20 cm.
B.3.1. Exprimer Na , puis Na′ en fonction de Q, qa , v ′a et a′a .
B.3.2. Application numérique : calculer Na et Na′ pour Q = 6 L.minute−1 , qa = 2.10−6 m3 .s−1 ,
a′a = 20 µm et v ′a = 0, 5 cm.s−1 .
7/8
TSVP
B.3.3. Exprimer le rapport des différences de pression β = ∆Pa′ /∆P aux extrémités des artérioles
et aux extrémités de l’aorte en fonction de a, a′a , L, L′a et Na′ .
B.3.4. Application numérique : calculer β pour une longueur L′a = 0, 5 cm, et commenter.
Fin du sujet
8/8