TD M4

Oscillateurs mécaniques I.
Fiches d’exercices
R.Duperray
Oscillateur harmonique en régime libre Lycée F.BUISSON
PTSI
Mécanique série n°4: Oscillateurs harmoniques libres
Exercice11: Détermination
d’un coefficient
de viscosité
Exercice : Détermination d’un coefficient de v!iscosité Une Sphère de rayon r et de masse m est suspendue à un ressort de
raideur k et de longueur à vide ! 0 . Déplacée dans un liquide de
Une sphère d
e rviscosité
ayon 𝑟 et d!e , mlaasse 𝑚 est est
suspendue ressort coefficient
de
sphère
soumiseà àun une
force de
!"
"!
de constante de raideur 𝑘 > 0 et de longueur à !vide 𝑙! , l’autre frottement donnée par la formule de Stokes : f = !6"r#v où v est la
extrémité du ressort étant attachée à un support fixe. vitesse de la bille.
Déplacée dans un liquide de coefficient de viscosité 𝜂 , la sphère a) Ecrire l’équation du mouvement de la sphère plongée dans le
est s
oumise à une force de frottement fluide, dont l’expression est liquide et en déduire l’expression de la pseudo-période T.
donnée p
ar l
formule de Stokes :fluides
b) Dans l’air,a où
les frottements
sont négligeables, la période
(k,! )
0
des oscillations est T0 . Déterminer
le coefficient de viscosité ! (avec
𝑓 = −6𝜋𝑟𝜂𝑣 la bonne unité) du liquide en fonction de m, r , T et T0 .
1) Ecrire l’équation du mouvement de la sphère plongée dans le liquide. Exercice2 : Glissement avec rappel le long d’un rail !!
2) En déduire l’expression de la pseudo-­‐période 𝑇 du régime pseudo-­‐périodique. T0 des
Déterminer
la période
petites
oscillations
d’un
zla période d’oscillations de la sphère 3) Dans l’air, frottements fluides négligeables, point
matériel
M où de les masse
m, assujetti
à sesont déplacer
sans
A
frottement
une
droite
horizontale,
sous
l’action
d’un
vaut 𝑇sur
. D
éterminer a
lors l
e c
oefficient d
e v
iscosité 𝜂
d
u l
iquide en fonction de 𝑚 , 𝑟, 𝑇 et 𝑇! . !
k ,! 0
ressort de raideur k et de longueur au repos ! 0 dont
a
!
M
l’autre extrémité est fixe en A de cote a > ! 0 (voir le
(
)
Exercice schéma) : 2 : Le facteur de qualité en mécanique x
a) En utilisant le principe fondamental de la dynamique.
b)On considère un dispositif mécanique composée d’une bille M, En utilisant une méthode énergétique.
c)supposée Que se passe-t-il
si ade devient
à ! 0 ?sans frottements ponctuelle, masse inférieur
m qui glisse sur un axe horizontal. La bille est reliée à un ressort de Exercice
3 : Oscillation> harmonique
amorti par
frottement solide!!!!
constante de raideur 𝑘
0 et de longueur à vide 𝑙
! , maintenu Avertissement
:
Il
s’agit
d’un
exercice
délicat.
fixe à son autre extrémité sur un mur vertical. La bille est On considère un oscillateur harmonique constitué par un
également reliée à un dispositif d’amortissement, fixé au point matériel de masse m assujetti à se déplacer en
même mur, soumet à une force !"
glissant
sur qui l’axe
(Oxla ), bille rappelé
vers de lafrottement position fluide N
de c
oefficient d
e f
rottement f
luide ℎ
. d’équilibre x=0 par un ressort de raideur k.
!"
v
LeOn glissement
sur lade tige
matérialisant
l’axe
(Ox)
note 𝑂 la position la bille quand le ressort est !" à sa longueur à vide et on repère la position de s’accompagne d’un frottement. Ainsi, la réaction R du
x
!"
la bille par 𝑥 = 𝑂𝑀. !"
!"
support se décompose en une composante normale N
T
mg
1)
Faire u
n b
ilan d
es f
orces e
t j
ustifier q
ue l
e s
ystème n
’est p
as c
onservatif. (qui compense le poids) et une composante tangentielle
!"
appliquent le principe entre
fondamental de la dans le référentiel du laboratoire T .2)OnEn supposera
ce frottement
solide décrit
pardynamique les
lois suivantes
:
supposé galiléen, montrer que !"
- le point M peut être maintenu en place par l’existence
la réaction tangentielle T , à
𝜔! !!!" ! !de
𝑥+
𝑥 + 𝜔 𝑥!!"= 0 condition que celle-ci reste limitée par l’inégalité
𝑄 : T < f! N .
Si cette
condition
n’esten pas réalisable, alors le point M glisse, et le frottement est régi par
Préciser 𝜔! et 𝑄 !!!"
!!!"
!" fonction des paramètres du problème. T
T
=
f
N (on suppose,
la 3)
loi Quelle de Coulomb
:
est
opposé
au
glissement
et
dans cet
condition doit vérifier 𝑄 pour être en régime apériodique ? en régime critique ? en exercice,
queple
coefficient de frottement
dynamique a la même valeur que le coefficient
régime seudo-­‐périodique ? de frottement dynamique).
a) Quelle est la dimension du coefficient de frottement solide f ?
b) Le point M étant maintenu immobile à l’abscisse x0 , à quelle condition peut-il y rester
si on le libère ?
c) On suppose cette condition non réalisée, le point M se mettant à glisser dans le sens
des x décroissants. Etudier le mouvement du point M jusqu’à ce qu’il s’arrête pour la
4) Interprétation énergétique de 𝑸 : dans la suite, on suppose que 𝜔 = 𝜔! et on se place dans le cas du régime pseudo-­‐périodique : 𝜔! 𝑡
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 exp −
2𝑄
a) Quelle est l’expression de l’énergie potentielle ℰ! (𝑡) ? de l’énergie cinétique ℰ! (𝑡) ? b) Montrer que l’énergie mécanique ℰ! (𝑡) se met sous la forme : ℰ! 𝑡 = 𝐾! exp −𝐾! 𝑡 . Exprimer 𝐾! et 𝐾! . c) On définit la variation d’énergie mécanique par : ∆ℰ! 𝑡 = ℰ! 𝑡 + 𝑇 − ℰ! 𝑡 . Quelle est la relation entre le facteur de qualité et ∆ℰ! 𝑡 /ℰ! 𝑡 ? Commenter. Exercice 3 : Décrément logarithmique d’un oscillateur amorti On considère un dispositif de pendule simple, dans lequel un point matériel M de masse 𝑚 est relié par l’intermédiaire d’un fil, de masse négligeable et de longueur 𝑙 constante, à un point O, fixe dans le référentiel galiléen d’étude ℛ . Nous associons au référentiel d’étude le repère des coordonnées cartésiennes d’origine O, dans lequel l’axe (𝑂𝑧) est l’axe vertical descendant. Nous nous limiterons de plus au cas où le mouvement du pendule est contenu dans le plan (𝑥𝑂𝑧). On suppose que le pendule est soumis à une force de frottement fluide exercée par l’air, de coefficient de frottement fluide 𝜆 positif. 1) Ecrire l’équation du mouvement du pendule. 2) Dans l’approximation des petites oscillations, montrer que l’équation précédente peut se mettre sous la forme : 𝜃 + 𝛼𝜔! 𝜃 + 𝜔!! 𝜃 = 0 Préciser 𝜔! et 𝛼 en fonction des paramètres du problème. 3) A quelle condition sur 𝛼 le pendule est-­‐il en régime pseudo-­‐périodique ? Nous supposerons dans la suite cette condition réalisée. 4) Calculer le temps 𝜏 au bout duquel l’amplitude des oscillations du pendule a décru de moitié. II. Oscillateur harmonique en régime sinusoïdal forcé Exercice 4 : Vibrations d’un moteur Le but de cet exercice est d’étudier le principe de fonctionnement d’un moteur de compresseur et son système de suspension. Le moteur est assimilé à un point matériel M de masse m. Le système de suspension est quant à lui modélisé par un ressort de constante de raideur 𝑘 > 0 et de longueur à vide 𝑙! , placé en parallèle avec un amortisseur qui exerce sur le moteur une force de freinage de la forme : 𝑓! = −𝛼𝑧𝑢! . L’origine O de l’axe vertical (𝑂𝑧) ascendant est confondue avec la position du moteur lorsqu’il ne fonctionne pas et qu’il est immobile. La longueur du ressort est alors égale à 𝑙! . Lorsque le moteur fonctionne, tout se passe comme s’il apparaissait une force supplémentaire de la forme : 𝑓 ! = 𝑘𝐴 cos 𝜔𝑡 𝑢! où A est une constante positive. Le référentiel d’étude sera supposé galiléen. On pose : 𝜔! =
𝑘
𝛼
et 𝛽 =
𝑚
𝑚𝑘
1) Déterminer la longueur à l’équilibre 𝑙! en fonction de 𝑙! , 𝑚, 𝑔 et 𝑘. 2) Etablir l’équation différentielle du mouvement vertical de M. On se place en régime sinusoïdal forcé. On peut donc chercher 𝑧 𝑡 sous la forme : 𝑧 𝑡 = 𝑍! cos 𝜔𝑡 + 𝜑 3) Récrire l’équation différentielle précédente en notation complexe et en déduire l’amplitude complexe de 𝑧 𝑡 . 4) Déterminer l’amplitude d’élongation 𝑍! de 𝑧 𝑡 de M. 5) Pour ne pas endommager le moteur, il faut que l’amplitude d’élongation demeure inférieure à la valeur A. Quelles sont alors les valeurs permises pour le paramètre 𝛽 ? Exercice 5 : Etude énergétique d’un oscillateur en régime forcé Un point matériel M de masse 𝑚 est attaché à un ressort de constante de raideur 𝑘 > 0 et de longueur à vide 𝑙! . Ce point matériel peut glisser le long d’un axe horizontal 𝑂𝑥 . Le référentiel d’étude sera supposé galiléen. L’origine O de l’axe horizontal est confondue avec la position au repos de M. Le point M est soumis à l’action d’une force excitatrice 𝑓! et d’une force de frottement fluide 𝑓! de la forme : 𝑓!! = 𝐹 cos 𝜔! 𝑡 𝑒!! et 𝑓!! = −𝛼𝑣 ! On suppose que le régime sinusoïdal forcé est atteint et on pose : 𝜔! =
𝑘
𝑚𝜔!
et 𝑄 =
𝑚
𝛼
1) Etablir les expressions de l’élongation 𝑥 (𝑡) et de la vitesse 𝑣 (𝑡). 2) Déterminer les valeurs moyennes de l’énergie cinétique, de l’énergie potentielle et de l’énergie mécanique du point matériel M sur une période 𝑇! . 3) Quelle est la relation existant entre 𝑄 , la valeur moyenne de l’énergie mécanique et le travail de la force excitatrice pendant une période 𝑇! ? Exercice 6 : Filtre mécanique résonant 1) Filtre à une cellule Un point matériel M de masse 𝑚 est attaché à un ressort de constante de raideur 𝑘 > 0 et de longueur à vide 𝑙! , maintenu fixe à son autre extrémité sur un mur vertical. Ce point matériel se déplace sans frottements le long d’un axe horizontal 𝑂𝑥 sous l’action d’une force excitatrice 𝑓 ! de la forme : 𝑓 ! = 𝐹 cos 𝜔𝑡 𝑒!! . L’origine O de l’axe horizontal est choisie confondue avec la position au repos de M. a) Ecrire l’équation du mouvement de M. On se place en régime sinusoïdal forcé et on utilise la représentation complexe. b) Déterminer la fonction de transfert du système mécanique, définie par : 𝑣
𝐻 = 𝑓
c) Justifier le terme de filtre résonant. 2) Filtre à deux cellules On considère à présent un système constitué de deux points matériels 𝑀! et 𝑀! de même masse m et attachés à deux ressorts identiques de constante de raideur 𝑘 > 0 et de longueur à vide 𝑙! . Ces points matériels se déplacent sans frottements le long de l’axe horizontal 𝑂𝑥 . Le point 𝑀! subit l’action de la force excitatrice 𝑓 ! = 𝐹 cos 𝜔𝑡 𝑒!! (cf. figure). On note 𝑥! = 𝑀!" 𝑀! et 𝑥! = 𝑀!" 𝑀! les déplacements horizontaux de 𝑀! et 𝑀! par rapport à leur position au repos. a) Quelles sont les équations du mouvement du système 𝑀! , 𝑀! ? On se place en régime sinusoïdal forcé et on utilise la représentation complexe. b) Déterminer, en fonction de 𝑚, 𝜔 et 𝜔! , la fonction de transfert 𝐻′ du système mécanique, avec : 𝐻′ =
𝑣!
𝑓
et 𝜔! =
𝑘
𝑚
c) Montrer que le circuit électrique ci-­‐dessous, alimenté par la tension 𝑢(𝑡) = 𝑈 cos 𝜔𝑡 , est l’équivalent électrique du filtre mécanique précédent.