TD M4

Oscillateurs+mécaniques+
+
I. Oscillateur+harmonique+en+régime+libre+
Exercice+1+:+Détermination+d’un+coefficient+de+viscosité+
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Exercice+2+:+Le+facteur+de+qualité+en+mécanique+
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Fiches d’exercices R.Duperray Lycée F.BUISSON PTSI
Mécanique série n°4: Oscillateurs harmoniques libres
Exercice1 : Détermination d’un coefficient de viscosité !
Une Sphère de rayon r et de masse m est suspendue à un ressort de
raideur k et de longueur à vide
!0
. Déplacée dans un liquide de
coefficient de viscosité
!
, la sphère est soumise à une force de
frottement donnée par la formule de Stokes :
f
!
=!6 "r#v
"!
où
v
!"
est la
vitesse de la bille.
a) Ecrire l’équation du mouvement de la sphère plongée dans le
liquide et en déduire l’expression de la pseudo-période T .
b) Dans l’air, où les frottements fluides sont négligeables, la période
des oscillations est
0
T
. Déterminer le coefficient de viscosité
!
(avec
la bonne unité) du liquide en fonction de
m , r , T et T
0
.
Exercice2 : Glissement avec rappel le long d’un rail !!
Déterminer la période
T
0
des petites oscillations d’un
point matériel M de masse m, assujetti à se déplacer sans
frottement sur une droite horizontale, sous l’action d’un
ressort de raideur k et de longueur au repos
!0
dont
l’autre extrémité est fixe en A de cote
a >!0
(voir le
schéma) :
a) En utilisant le principe fondamental de la dynamique.
b) En utilisant une méthode énergétique.
c) Que se passe-t-il si a devient inférieur à
!0
?
Exercice 3 : Oscillation harmonique amorti par frottement solide!!!!
Avertissement : Il s’agit d’un exercice délicat.
On considère un oscillateur harmonique constitué par un
point matériel de masse m assujetti à se déplacer en
glissant sur l’axe ( Ox ), rappelé vers la position
d’équilibre x=0 par un ressort de raideur k .
Le glissement sur la tige matérialisant l’axe ( Ox )
s’accompagne d’un frottement. Ainsi, la réaction
R
!"
du
support se décompose en une composante normale
N
!"
(qui compense le poids) et une composante tangentielle
T
!"
. On supposera ce frottement entre solide décrit par les
lois suivantes :
- le point M peut être maintenu en place par l’existence de la réaction tangentielle
T
!"
, à
condition que celle-ci reste limitée par l’inégalité :
T
! "!!
< f N
! "!!
.
Si cette condition n’est pas réalisable, alors le point M glisse, et le frottement est régi par
la loi de Coulomb :
T
!"
est opposé au glissement et
T
! "!!
= f N
! "!!
(on suppose, dans cet
exercice, que le coefficient de frottement dynamique a la même valeur que le coefficient
de frottement dynamique).
a) Quelle est la dimension du coefficient de frottement solide f ?
b) Le point M étant maintenu immobile à l’abscisse
x
0
, à quelle condition peut-il y rester
si on le libère ?
c) On suppose cette condition non réalisée, le point M se mettant à glisser dans le sens
des x décroissants. Etudier le mouvement du point M jusqu’à ce qu’il s’arrête pour la
première fois. Préciser l’abscisse
x
1
correspondante.
d) Si le point M ne peut se maintenir immobile en
x
1
, que se passe-t-il ensuite ?
k
,!0
( )
x
v
!"
N
!"
mg
!"
T
!"
z
x
M
A
k
,!0
( )
!
a

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Exercice+3+:+Décrément+logarithmique+d’un+oscillateur+amorti+
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II.+Oscillateur+harmonique+en+régime+sinusoïdal+forcé+
Exercice+4+:+Vibrations+d’un+moteur+
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Exercice+5+:+Etude+énergétique+d’un+oscillateur+en+régime+forcé+
!"$ &-3".$ /+.:)3#4$ M$*#$ /+%%#$ 𝑚$#%.$ +..+2':$ 1$ 0"$ )#%%-).$*#$
2-"%.+".#$ *#$ )+3*#0)$ 𝑘>0$#.$*#$ 4-"50#0)$ 1$ 63*#!𝑙!<$ U#$ &-3".$
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Exercice+6+:+Filtre+mécanique+résonant+
1) Filtre!à!une!cellule!
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2) Filtre!à!deux!cellules!
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/+%%#$m$#.$+..+2':%$1$*#09$)#%%-).%$3*#".3>0#%$*#$2-"%.+".#$*#$)+3*#0)$𝑘>0$#.$*#$4-"50#0)$1$
63*#!𝑙!<$U#%$&-3".%$/+.:)3#4%$%#$*:&4+2#".$%+"%$;)-..#/#".%$4#$4-"5$*#$48+9#$'-)3K-".+4$ 𝑂𝑥 <$
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𝑣!
𝑓!et!𝜔!=
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𝑚
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