Electromagnétisme

ELECTROMAGNETISME
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Sommaire
1 Définitions − Lois générales...................................................................................................... 1
1.1 Champ d'excitation et champ d'induction − Flux d'induction............................................ 1
1.2 Loi de Laplace .................................................................................................................... 1
1.3 Théorème d'Ampère ........................................................................................................... 1
1.4 Induction électromagnétique − Lois de Faraday et de Lenz .............................................. 2
1.5 Auto-induction − Induction mutuelle ................................................................................. 2
2 Ferromagnétisme ....................................................................................................................... 3
2.1 Généralités .......................................................................................................................... 3
2.2 Notion de réluctance − Relation de Hopkinson ................................................................. 4
2.2.1 Définitions − Etablissement de la relation dans un cas particulier ............................. 4
2.2.2 Applications................................................................................................................. 5
2.3 Electro-aimants................................................................................................................... 6
2.4 Bobine à noyau de fer alimentée par une tension sinusoïdale ........................................... 6
2.4.1 Généralités ................................................................................................................... 6
2.4.2 Bobine idéale ............................................................................................................... 6
2.4.3 Prise en compte des pertes dans le matériau magnétique ........................................... 7
2.4.4 Schéma équivalent complet......................................................................................... 7
2.4.5 Influence de la saturation ............................................................................................ 8
Exercices d'application .................................................................................................................. 9

MG 1
ELECTROMAGNETISME
1 Définitions − Lois générales
1.1 Champ d'excitation et champ d'induction − Flux d'induction
Les champs magnétiques peuvent essentiellement être créés à partir de deux "sources de
champ", les aimants permanents et les conducteurs parcourus par des courants. On constate
cependant que, pour une même source de champ, le champ magnétique n'est pas le même sui-
vant la nature du milieu. On est donc amené à définir deux grandeurs:
− L'excitation magnétique H
→ qui ne dépend que de la source de champ et qui se mesure en
ampères par mètre ( A/m ).
− L'induction magnétique B
→ qui dépend de la source ( donc de H → ) et du milieu et qui se me-
sure en Teslas ( T ).
Dans les milieux linéaires, on a BH
→→
=µ , où µ est une caractéristique du milieu. En particu-
lier, dans le vide, µ = µ0 = 4π.10−7.
Au vecteur B
→, on associe le flux d'induction ( ou, en raccourci, flux ) Φ= →→
∫∫Bds
s à travers
une surface fermée orientée s. Si le champ est uniforme et les lignes de champ perpendiculaires
à la surface ( seul cas que nous envisagerons par la suite ), on a simplement Φ = Bs.
1.2 Loi de Laplace
Une portion dl de conducteur, parcourue par un courant I, est soumise à une force F
→ donnée
par la relation: FIdlB
→→→
=Λ
1.3 Théorème d'Ampère
La circulation ( généralisation de la notion de travail, réservée aux vecteurs forces ) du vec-
teur H
→ le long d'un contour fermé est égale à la somme algébrique des ampères-tours enlacés
par ce contour: Hdl Ni
C
→→
∫=∑
Remarque 1: Si on choisit comme contour une ligne de champ, H
→ est en tout point parallèle à
dl
→ et l'intégrale précédente se ramène à Hdl Ni
C
∫=∑. De plus, si H est constant, on a simple-
ment Hl = ΣNi, où l désigne la longueur du contour.
Remarque 2: Le terme ΣNi est appelé force magnétomotrice ( f.m.m. ). On verra sur les exem-
ples comment se fait le décompte algébrique.

MG 2
1.4 Induction électromagnétique − Lois de Faraday et de Lenz
Tout conducteur électrique plongé dans un champ magnétique variable est le siège de phéno-
mènes électriques dits d'induction.
− Si le conducteur est ouvert, il apparaît entre ses extrémités une force électromotrice donnée
par la relation ed
d
t
=± Φ où Φ est le flux du champ magnétique à travers la surface délimitée
par le conducteur ( le signe effectif de e dépend de plusieurs considérations qu'il est inutile de
développer ici ). Ceci constitue la loi de Faraday.
− Si le conducteur est fermé, il apparaît dans celui-ci des courants de sens tels que leurs effets
magnétiques s'opposent à la cause qui leur a donné naissance. Ceci constitue la loi de Lenz.
Remarque: Les mêmes phénomènes apparaissent si, à la place du champ variable, on a un ma-
tériau conducteur qui se déplace dans un champ constant. C'est en particulier le cas pour les
freins à courants de Foucauld, constitués par une roue en cuivre tournant perpendiculairement à
un champ constant créé par un bobinage auxiliaire. L'alimentation en courant continu de ce
bobinage génère au sein de la roue des courants qui, conformément à la loi de Lenz, tendent à la
ralentir, donc produisent un couple de freinage.
1.5 Auto-induction − Induction mutuelle
Vu ce qui précède, tout conducteur parcouru par un courant constitue une source de champ
magnétique. Si le courant est variable, le champ l'est également, et, conformément aux lois ci-
dessus, induit au sein du conducteur des effets électromagnétiques. Ce phénomène est appelé
auto-induction. Si, de plus, les éléments constitutifs sont linéaires, il y a proportionnalité entre
le flux créé Φ et le courant i. On définit alors le coefficient d'auto-induction ou inductance L,
égal à Φ/i. En particulier, en convention récepteur, on aura ed
d
t
Ldi
d
t
==
Φ
.
De même, si plusieurs conducteurs parcourus par des courants variables sont en présence,
chacun induit dans les autres des effets électromagnétiques, dits d'induction mutuelle. On peut
noter que celle-ci dépend entre autres des positions géométriques relatives des conducteurs.
Dans le même ordre d'idées que pour l'auto-induction, on définit, pour les systèmes linéaires,
des coefficients d'induction mutuelle ( ou inductances mutuelles ) de la forme Mij = Φj/ij, où i
est l'indice du conducteur considéré et j celui qui produit l'effet de mutuelle.
A titre d'exemple, on peut considérer le cas particulier de deux bobinages, 1
et 2, comportant respectivement N1 et N2 spires ( cf. schéma ci-contre ).
− En l'absence de courant i2, on définit pour le premier bobinage l'inductance
L1 telle que eL
di
dt
11
1
= ( à noter qu'ici, L1i1 = N1Φ1, où Φ1 désigne le flux
créé par auto-induction dans une spire du bobinage − le terme N1Φ1 est
appelé flux totalisé ).
2
1
e1
e2
i
2
i
1
fi
gure 1

MG 3
− De même, on définit pour le deuxième bobinage l'inductance L2 telle que eL
di
d
t
22
2
=.
− Pour terminer, on définit les inductances mutuelles M12 et M21 qui traduisent les interactions
entre les bobinages. En particulier, M12 est telle eM
di
d
t
112
2
= pour i1 = 0. En fait, comme M12
et M21 ne dépendent que de la géométrie du système, on a M12 = M21, la valeur commune
étant notée M.
Au total, on aura donc
eL
di
dt Mdi dt
eL
di
d
t
Mdi
d
t
11
12
22
21
=+
=+
. On peut signaler le point suivant:
Le signe de la contribution mutuelle peut être positif ou négatif suivant la position et le sens des
bobinages. On pourrait traduire cela en donnant une valeur algébrique à M. Dans la pratique,
cependant, on préfère conserver une valeur toujours positive et changer le signe de la f.é.m.
mutuelle ( les équations ci-dessus correspondent donc à une interaction positive ). Dans cette
optique, on définit un coefficient de couplage k égal à M
LL
12
.
2 Ferromagnétisme
2.1 Généralités
Les matériaux ferromagnétiques possèdent la propriété de
pouvoir s'aimanter en présence d'une source de champ magnéti-
que. On caractérise le comportement de ces matériaux à l'aide de
deux éléments:
a) La courbe de première aimantation
Comme son nom l'indique, celle-ci est obtenue à partir d'un
matériau totalement désaimanté, pour lequel on fait croître pro-
gressivement H. Cf. figure 2, on y distingue essentiellement deux
zones:
− La première correspond au fonctionnement linéaire. B y est
quasiment proportionnel à H, ce que l'on traduit en écrivant
B = µH, ou encore, B = µ0µrH en faisant apparaître la perméa-
bilité relative µr, dont la valeur est très grande devant l'unité
( plusieurs milliers, en général ). En toute rigueur, cette rela-
tion n'est pas valable aux très faibles valeurs de H, mais, dans
la pratique, on n'en tient pas compte. Dans le même ordre
d'idées, µ serait en réalité la pente de la partie linéaire.
− La deuxième correspond à la saturation, où B tend progressi-
vement vers µ0H ( la courbe devenant quasiment horizontale à
l'échelle du tracé ).
B
H
fi
gure 2
−Br
Hc
−H
Br
B
H
fi
gure 3

MG 4
b) Le cycle d'hystérésis
En fonctionnement normal, pour H variant alternativement entre deux valeurs extrêmes ( une
négative et une positive ), on obtient la courbe représentée sur la figure 3, décrite dans le sens
des flèches. On y fait apparaître en particulier
− L'induction rémanente Br: C'est celle qui subsiste après la disparition de H.
− L'excitation coercitive Hc: C'est la valeur qu'il faut donner à H pour supprimer l'aimantation.
Par ailleurs, le parcours du cycle se traduit par une dissipation d'énergie dans le matériau, que
l'on appelle pertes par hystérésis, et qui est proportionnelle à l'aire de ce dernier.
2.2 Notion de réluctance − Relation de Hopkinson
2.2.1 Définitions − Etablissement de la relation dans un cas particulier
Dans tout ce qui suit, nous allons raisonner en termes de circuit magnétique, constitué par
une carcasse en matériau ferromagnétique comportant un ou plusieurs bobinages. De plus, nous
supposerons que le matériau constitutif est linéaire et sans pertes.
Afin de préciser les signes apparaissant dans les différentes
relations, on affecte chaque bobinage d'un point ( cf. ci-contre,
où on a considéré le cas de deux bobinages ) qui matérialise le
sens des enroulements. Compte tenu des orientations choisies
pour les courants, la convention est alors la suivante:
∗ Les ampères-tours sont comptés positivement si le courant
entre par le point et négativement sinon.
A titre d'exemple, pour le cas représenté sur la figure 4, i1 crée
une f.m.m. positive N1i1 et i2 une f.m.m. négative −N2i2.
Considérons alors dans un premier temps le cas d'une car-
casse en matériau homogène, de section droite constante et
égale à s ( cf. figure 5 ). L'étude complète montre que, si le ma-
tériau magnétique possède une perméabilité relative suffisam-
ment élevée ( ce qui est bien le cas ici ), le flux Φ en tout point à
l'intérieur de la carcasse peut être considéré comme constant
( notion de flux conservatif ). Comme la section est constante, le champ B, égal à Φ/s, l'est
aussi, et, vu que le matériau est homogène, il en est de même pour H.
Partant de là, on définit une ligne d'induction moyenne de longueur notée l ( toujours cf.
figure 5 ). En supposant que les enroulements sont bobinés comme indiqué sur la figure 4, le
théorème d'Ampère entraîne Hl = N1i1 − N2i2. Comme le matériau magnétique est linéaire, on a
H = B/µ0µr, ce qui, compte tenu de B = Φ/s, et reporté dans la relation Hl = N1i1 − N2i2 entraîne
Φ
slNi Ni
r
µµ =−
0
11 2 2. Cette relation fait apparaître le terme l
sr
µµ
0
qui ne dépend que de la
géométrie de la carcasse et du matériau magnétique utilisé. C'est donc une caractéristique du
fi
gure 5
sect
i
on
d
ro
i
te
li
gne
d'induction
moyenne
fi
gure 4
i
1
N1
i
2
N2