Électromagnétisme : Devoir Maison — LP 205 — Exercice 1

Électromagnétisme : Devoir Maison
— LP 205 —
À rendre le vendredi 18 mai 2007
Brahim Lamine & Nicolas Treps
Exercice 1 : Jonction PN
Lorsque l’on met deux semi-conducteurs de type N (donneur d’électrons) et P (accepteur
d’électrons) en contact, des électrons migrent à travers la jonction de contact, de la zone N
vers la zone P. À l’équilibre, la répartition de charge peut être modélisée par la distribution
volumique de charge
 ρ suivante (voir la figure ci-dessous) :
 +ρ0 si 0 < z < a
−ρ0 si −a < z < 0
ρ(z) =
r=0
r=0
r0
r0

0
si |z| > a
La section transverse de la jonction, notée S, est
supposée très grande, de telle sorte que l’on peut
faire l’approximation que les conducteurs sont
infinis dans les directions x et y.
O
A
-a
B
a
M(z)
z
Conducteur P Conducteur N
1. Déterminer la direction du champ électrique en tout point M.
2. Utiliser le théorème de Gauss, en précisant à chaque fois avec soin les surfaces utilisées,
pour monter que le champ électrique vaut :
ρ0
(|z| − a) pour
ε0
E(z) = 0 pour |z| > a.
E(z) =
−a<z <a
3. Tracer la courbe donnant l’amplitude E(z) du champ électrique en fonction de z.
4. Dessiner les lignes du champ électrique dans la zone chargée.
5. Montrer que la différence de potentiel VAB = VB − VA aux bornes de la jonction PN
s’écrit :
ρ0 a2
VB − VA =
ε0
6. En quoi cette jonction est-elle analogue à un condensateur ? calculer sa capacité en fonction
de S et a.
7. Quelle serait l’épaisseur e d’un condensateur plan de même section S et possédant la même
capacité ?
Exercice 2 : Définition de l’Ampère
On considère deux fils conducteurs rectilignes, infinis, parallèles, et parcourus par des courants
de même sens et de même valeur. Pour calculer la force existant entre les deux fils, on se place
en coordonnées cylindriques, d’axe le premier fil.
1
Licence de physique
LP205
Année 2006-2007
z
1. Quel est le champ magnétique créé par le conducteur
1 en un point M du conducteur 2 (le détail du calcul
est demandé) ?
2. Calculer la valeur de la force qu’exerce le conducteur
1 sur un segment de longueur l du conducteur 2 ? Préciser la direction et le sens de cette force.
3. On suppose que les deux conducteurs sont placés à
une distance a = 1 m l’un de l’autre, et que la force
par unité de longueur exercée par le conducteur 1 sur
le conducteur 2 est f = 2 × 10−7 N.m−1 . Quel est la
valeur du courant I ?
I
I
a
M
1
l
2
Exercice 3 : Étiquette antivol
Un portique de sécurité de magasin est constitué de deux bobines enroulées face à face. Une
des bobines, nommées l’émettrice, est alimentée par un générateur de courant alternatif à la
fréquence de f = 135 kHz. On mesure la tension aux bornes de la deuxième bobine (réceptrice).
L’antivol, qui est attaché aux objets du magasin, est lui constitué d’un petit bobinage en série
avec un condensateur.
Bobines
émetteur
Antivol
récepteur
~
Portiques de sécurité
1. Identifier, sur la photo de la figure ci-dessus la bobine et le condensateur de l’antivol.
2. Expliquer qualitativement pourquoi, lorsque l’étiquette se trouve entre les portiques, il
apparaît dans le circuit de l’étiquette une force électromotrice de la forme e(t) = E0 cos(ωt)
avec ω = 2πf .
Lorsque l’étiquette se trouve entre les portiques, on va donc l’assimiler au circuit électrique
ci-dessous, où e(t) est la fem donnée à la question précédente.
C
i(t)
e(t)
L
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3. Établir l’équation différentielle du circuit. Montrez que l’équation sur i(t) peut se mettre
sous la forme
d2
d
i(t) + ω02 i(t) = e(t)
2
dt
dt
où on donnera l’expression de ω0 .
4. On cherche une solution sous la forme i(t) = I(ω) sin(ωt). En remplaçant cette solution
dans l’équation différentielle précédente, calculer I(ω).
5. Quel phénomène se produit lorsque LCω 2 = 1 ? On suppose cette condition vérifiée dans
l’étiquette antivol.
6. Qu’est-ce qui limite dans la réalité le courant qui va circuler lorsque la condition ci-dessus
est réalisée ?
7. Expliquer pourquoi, lorsque l’étiquette antivol traverse les portiques, le champ magnétique
au niveau du portique récepteur diminue, et par conséquent la tension. C’est cette chute
de tension qui déclenche l’alarme.
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