Cinématique des milieux continus

Cinématique des milieux continus
Jean Garrigues
(version du 7 avril 2016)

Avant-propos
L’objectif de ce cours est d’introduire les outils nécessaires à la description du mouvement,
de la déformation et de la vitesse de déformation d’un milieu continu déformable au sens le
plus général du terme, c’est-à-dire en pratique les solides déformables, les liquides et les gaz.
Tous les concepts introduits dans ce cours sont valables pour l’un quelconque de ces milieux
continus.
Les développements qui suivent se placent résolument dans le cadre de la physique classique
(non relativiste et non quantique). Nous admettrons donc que
– l’espace dans lequel les mouvements de milieux continus se produisent est de dimension trois,
– le temps et la distance actuelle entre deux particules sont des grandeurs scalaires communes à
tous les observateurs du mouvement.
Contrairement à la plupart des cours traditionnels, les déformations présentées dans ce cours
sont sans aucune concession géométrique ou cinématique. Les déformations ne sont ni « petites »
ni « grandes », elles sont tout simplement finies, et les mouvements envisageables ne sont pas
restreints. Les petites déformations n’apparaîtront donc que comme un cas particulier.
La lecture de ce cours suppose une maîtrise suffisante de l’algèbre et de l’analyse tensorielles
(1)
:
en effet, toutes les grandeurs physiques relatives aux milieux continus déformables sont repré-
sentées par des champs de tenseurs d’ordre 0 ou plus.
Dans la mesure du possible, on respectera les conventions typographiques suivantes :
– les nombres réels sont en minuscules italiques (exemple : a,µ) ;
– les vecteurs sont en minuscules italiques grasses (exemple : v
v
v) ;
– les tenseurs sont en majuscules italiques grasses (exemple : T
T
T) ;
– les termes d’une matrice sont rangés dans un tableau entre crochets, à deux indices, l’indice
de gauche est l’indice de ligne, et l’indice de droite est l’indice de colonne :
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33
=mi j
– la transposition est notée avec un >en exposant (exemple : T
T
T>) ;
– les ensembles d’entités mathématiques sont en majuscules doublées, en particulier :
Rest l’espace des réels,
V3est un espace vectoriel de dimension 3,
V⊗p
3est l’espace vectoriel des tenseurs d’ordre pconstruis sur V3(de dimension 3p),
Q3+est le groupe des rotations (Q3+⊂V⊗2
3) ;
– le produit vectoriel de deux vecteurs de V3est noté « ∧» ;
– Le tenseur métrique est noté G
G
G;
– Le tenseur d’orientation est noté H
H
H.
(1) L’auteur propose un autre cours intitulé Algèbre et analyse tensorielles pour l’étude des milieux continus :
, ou bien
.

4
Remerciements
Je tiens à remercier très vivement Mathias LEGRAND
(2)
, ce grand magicien de L
A
T
E
X, sans qui
la mise en page de ce texte ne serait que celle par défaut de la classe
(3)
et qui m’a aussi
donné de précieux conseils sur la typographie française.
Je remercie aussi vivement mon ancien collègue et néanmoins toujours ami Thierry DÉSOYER
(4)
pour les discussions parfois vives mais le plus souvent fructueuses qu’il a bien voulu m’accorder,
ainsi que pour le temps qu’il a bien voulu passer à la relecture de ce texte.
Bonne lecture.
Information – Ce texte est rédigé en vue d’une lecture dynamique à l’écran : toutes les références internes et
externes sont actives et conduisent à la cible référencée (dans la plupart des visualisateurs de fichiers au format
pdf, on revient à l’état précédent avec la combinaison de touches <alt><page arrière>). Néanmoins, les références
de pages ont été conservées pour la lecture du document imprimé.
(2) De l’université McGill, de Montréal.
(3) Ceux qui écrivent en L
A
T
EX me comprendront.
(4) De l’École Centrale Marseille (ECM) et du Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique (LMA) à Marseille.

Table des matières
1 Concepts fondamentaux ....................................... 9
1.1 Modèlecontinudelamatière ........................................ 9
Milieu matériel continu, 9 • Particule, 10 • Champ matériel, 10.
1.2 Mouvement par rapport à un observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Observateur, 11 • Espace vectoriel de calcul, 12 • Vecteur position, 12 • Mouvement, 13.
1.3 Universalitéetobjectivité ......................................... 14
Universalité d’une relation, 14 • Objectivité d’une grandeur physique, 14.
1.4 Tenseur de changement d’observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Biparticule, 16 • Tenseur de changement d’observateur, 16 • Correspondances avec la cinématique
traditionnelle, 18.
1.5 Enbref... ...................................................... 20
2 Description des champs et du mouvement ..................... 21
2.1 Descriptions des champs matériels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Description de Lagrange, 21 • Description d’Euler, 21.
2.2 Descriptionsdumouvement ....................................... 22
Transformation entre deux instants, 22 • Description de Lagrange, 23 • Description d’Euler, 23.
2.3 Équivalencedesdescriptions ...................................... 23
Équivalence des descriptions de champs matériels, 23 • Équivalence des descriptions du mouvement,
24 • Comparaison des descriptions, 25.
2.4 Champdesdéplacements ......................................... 26
2.5 Opérateurs différentiels lagrangiens et eulériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Rappels d’analyse tensorielle, 26 • Gradients lagrangien et eulérien, 27 • Gradient de la transformation,
28 • Relation entre gradient lagrangien et gradient eulérien, 29 • Autres opérateurs lagrangiens et
eulériens, 29.
2.6 Dérivée particulaire d’un champ matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Description de Lagrange, 30 • Description d’Euler, 31.
2.7 Champdesaccélérations .......................................... 31
2.8 Outilsd’analysedumouvement ..................................... 32
Trajectoire, 32 • Ligne de courant, 33 • Ligne d’émission, 34 • Débits, 35.
2.9 Mouvementstationnaire .......................................... 36
2.10 Changementsd’observateur ....................................... 36
2.11 Enbref... ...................................................... 37