Master 2 Introduction à la théorie de l’indice de Vaughan Jones 2007-2008
– Une somme directe M=⊕iMid’une famille de A-modules à gauche Miest la somme directe des Mien
tant qu’espaces vectoriels (donc tout élément de Mest une somme finie d’éléments de Mi) munie de l’opération
a·(⊕imi) := ⊕i(a·mi),∀a∈A, ∀mi∈Mi. De même, pour les A-modules à droite. On peut définir naturellement
l’injection canonique νi:Mi→Met la projection canonique πi:M→Micomme morphismes de A-modules.
– On dit qu’un sous-module Nd’un A-module Mest un facteur direct de Ms’il existe un autre sous-module P
de Mtel que M=N⊕P.
– On vérifie directement que, si fi:Mi→Nest un morphisme de A-modules pour tout i, alors il existe un
morphisme f:M=⊕iMi→Net un seul tel que f◦νi=fi.
– On dit qu’un A-module à gauche Mest libre s’il possède une base (finie ou infinie) B={b1, b2,...}, c-à-d :
a) tout élément de Mest une combinaison linéaire d’éléments de Bà coefficients dans A;
b) Best libre : si m1b1+m2b2+...+mnbn= 0 pour m1,...,mn∈M, alors m1=m2=... =mn= 0.
– On dit qu’un A-module à gauche Mest de type fini s’il existe un ensemble fini B={b1, b2,...,bn}(pas
nécessairement libre) tel que tout élément de Mest combinaison linéaire d’éléments de Bà coefficients dans A.
Un A-module à gauche est cyclique s’il est engendré par un seul élément.
– On dit qu’un A-module à gauche Mest projectif s’il existe un autre A-module Ntel que la somme directe
M⊕Nest un A-module libre.
– Soit π:A→Endk(V)une représentation de Asur un espace vectoriel V. Dans ce cas, Vest un A-module
à gauche pour a·v:= π(a)v, ∀a∈A, ∀v∈V. Réciproquement, tout A-module Và gauche définit une
représentation πde Asur Vpar la même formule. De plus, πest irréductible ssi le A-module Vest simple.
Notations.-
– Homd
A(M, N)est l’ensemble de tous les morphismes de A-modules à droite Met N, c’est un A-module à gauche :
(a·ϕ)(m) := a·(ϕ(m)),∀a∈A, ∀m∈M, ∀ϕ∈Homd
A(M, N).
– Endd
A(M)est l’ensemble de tous les endomorphismes d’un A-module à droite M, c’est une algèbre (pour la
composition des endomorphismes) et un A-module à gauche.
Exemples 1.5. (Modules)
a) Toute algèbre Adéfinit un A-module à gauche gA(resp., à droite Ad) dit régulier - l’action de Aest définie
par la multiplication à gauche (resp., à droite). Ces modules sont cycliques car 1Aest vecteur cyclique.
b) De même, tout idéal à gauche de Aest un A-module à gauche ; les sous-modules à gauche de gAsont
exactement les idéaux à gauche de A.
c) Le sous-module Mdu module régulier à gauche gAsur l’algèbre A:= T+
2(k) = a11 a12
0a22:aij ∈k,
défini par la condition a22 = 0 (Aagit sur Mpar multiplication par a11) n’a pas de complément direct qui
soit un A-module. En effet, tout complément direct Ndu sous-espace vectoriel Mdans l’espace vectoriel gA
est de dimension 1 donc engendré par une matrice fixée avec a22 6= 0. Mais on a toujours dim(A·N)>1
donc Nne peut pas être un A-module.
Remarques.-
– Tout A-module simple à gauche Mest nécessairement cyclique et tout vecteur non nul est cyclique car si
m∈M, m 6= 0 n’est pas cyclique, le sous-module A·mde Mest propre et non nul (il contient m= 1A·m).
– On a dim(M)6dim(A), pour tout A-module simple à gauche Mcar dim(M) = dim(A·m)6dim(A),∀m∈M.
Lemme de Shur.-
Soient Aune algèbre et ϕ:M→Nun morphisme non nul de A-modules (à gauche ou à droite).
(i) Si Mest simple, alors ϕest injectif.
(ii) Si Nest simple, alors ϕest surjectif.
Preuve. Comme ϕ6= 0, on a Ker ϕ6=Met Im ϕ6= 0. Alors, si Mest simple, on a Ker ϕ= 0, et si Nest simple,
on a Im ϕ=N.
Corollaire. 1. Si Met Nsont simples, alors ou bien ils sont équivalents, ou bien HomA(M, N) = 0.
2. Soient Nun idéal à droite minimal de Aet x∈A. Alors ou bien xN = 0, ou bien xN est un idéal à droite
minimal de Aéquivalent à N.
En effet, n7→ xn est un morphisme surjectif de A-modules Net xN, et on applique le lemme de Shur.
Université de Caen Basse Normandie 4/30 c
Leonid Vainerman