Exercice 2 : pour tout entier naturel n , on pose u n

TSTI 1
T.D N° 2 : ALGORITHME
Suites ayant une limite finie.
12/09/2014
Exercice 1 : Le nuage de points ci-dessous représente les 30 premiers termes de la suite (un) définie pour tout
1
entier naturel n non par un = 1 + 𝑛 3 . Il semble alors que lim 𝑢𝑛 = 1.
𝑛→+∞
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
1. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer | un – 1 | en fonction de n .
2. Ecrire , en langage naturel , un algorithme permettant de déterminer l’entier N tel que : | u N – 1 |≤10–5 .
3. Le programmer sur calculatrice et déterminer N .
1
4. a) soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x)=
x3
. Calculer f ’(x) et en déduire le sens de variation
de f sur ]0 ; + ∞[.
b) Après remarqué que , pour tout entier naturel n non nul, | un – 1 |= f(n) , utiliser le résultat de la
question précédente pour prouver que , pour tout entier n ≥ N ( où N est le nombre trouvé à la question
2.) , | u N – 1 |≤10–5 .
Exercice 2 : pour tout entier naturel n , on pose un =
2
n+3
.
1. A l’aide d’un tableau de valeurs, énoncer une conjecture sur la limite de (un).
2.
a. Justifier que, pour tout entier naturel n , un ≥ 0 .
b. Résoudre algébriquement l’inéquation | un |≤ 10 –4 ; où l’entier naturel n est l’inconnue. Préciser
alors le plus petit entier N tel que | u N |≤ 10 –4 . Vérifier ce résultat à la calculatrice.
c. Soit p un entier naturel fixé. Résoudre l’inéquation | un |≤ 10 –p , où l’entier naturel n est
l’inconnue. Exprimer alors en fonction de p le plus petit entier Np tel que | uNp |≤ 10 –p .
d. Confirmer ou infirmer la conjecture de la question 1.
Exercice 3 : Voici 2 algorithmes :
Algorithme n° 1
0→N
1,5 → U
Entrer P
Tant que U < 10p
N+1→N
U → U²
Fin tant que
Afficher N
a. Dans quelle variable est stockée la valeur entrée par
l’utilisateur ?
b. Cet algorithme calcule les termes d’une suite
(un).Déterminer une expression de un+1 en fonction de
un.
c. Quand on exécute l’algorithme avec P=80, la valeur
affichée est N=9.Que cela signifie-t-il pour la suite
(un) ?
d. On admet que, quelle que soit la valeur choisie pour
P, il existe un entier N tel que celui cherché par
l’algorithme. Que peut-on conclure pour la limite de la
suite (un) ?
Algorithme n° 2
0→N
Entrer P
Tant que ABS((2*N – 15 ) / ( N+3)–2)> 10 –p
N+1→N
Fin tant que
Afficher N
Dans cet algorithme, ABS(X) renvoie la valeur
absolue d’un réel X.
a. Quelle suite étudie-t-on dans cet
algorithme ?
b. Quel est l’objectif de cet algorithme ?
c. Quelle que soit la valeur de p rentrée,
l’algorithme affiche-t-il nécessairement
une valeur de N ? pourquoi ?