Algortihmes et Structures de données Ordinateurs - (CUI)

Algortihmes et Structures de données
Ordinateurs
Machines composées de (depuis 1940 env.) :
Processeur
Gilles Falquet, printemps-été 2004
traitements sur les données stockées dans la mémoire.
Mémoire
composée de cellules > composée de bits = unité binaire de mémoire
http://cui.unige.ch/isi/cours/std/
– stocker le programme à exécuter
– stocker les données à traiter
Systèmes de communication (entrées/sorties):
transmission d’informations entre l’ordinateur et son environnement
écrans, claviers, souris, réseau de télécommunication, appareils
(moteurs, capteurs, etc.).
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Architecture des ordinateurs
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Modèle
Mémoire
séquence de Cellules
11111101
disque magnétique
11001101
Cellule = séquence de Bits
données
Bit = mémoire à deux états (0 ou 1) , (==> n bits : 2n états)
Programme
ensemble d’instructions
Instruction:
PROCESSEUR
01000101
écran
clavier
souris
manettes
etc.
programme
- mouvement de données mémoire <--> registres du processeur
- calculs (arithmétiques, logiques, etc.) dans le processeur
- rupture de séquence (conditionnelle)
- entrées/sorties
MEMOIRE
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bus
- etc.
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Exécution
Information et données
Traitement de l’information par une machine => stockage en mémoire =>
codage
ix
saut 34
5
Informations codée = DONNÉES.
6
iy
1902
110011010
"hello"
1101001
iz
34
10001010
35
101010110
000101101
100101010
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Schéma de codage = structure de données
–
Algorithme
complet: représenter en mémoire toutes les informations à traiter;
Méthode pour résoudre un problème
–
–
efficace en espace : faible occupation de la mémoire;
–
efficace en temps : peu d’instructions pour traiter les données
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en un nombre fini d’étapes
Problème généraux et instances
Pblm général : trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres
Instance : trouver le plus grand diviseur commun de 36 et 28
On s’intéresse aux algorithmes qui résolvent un problème général
== qui résolvent n’importe quel instance du problème général.
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Thèse de Church
Algorithmes et structures de données
Tout algorithme peut être exécuté par un programme sur un ordinateur
Forte dépendance entre structures de données et programmes
== il n’y a pas de méthode “raisonnable” qu’on ne puisse programmer
–
influence sur la simplicité du programme
–
influence sur l’efficacité du programme
Conséquence: on peut exprimer un algorithme dans n’importe quel
langage (complet) de programmation d’ordinateur
Malheureusement : pas de structure optimale en toute circonstance
"Algorithmes + Structures de données = Programmes" [Wirth]
Remarque
Il y a des problèmes indécidables
== pour lesquels il n’existe pas d’algorithme
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Langage algorithmique de haut niveau
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Modèle abstrait de mémoire = ensemble d’objets
Pour éviter d’écrire des programmes au niveau "machine"
objet = ensemble de cellules
On se donne un langage algorithmique plus abstrait
contient une valeur d’un certain type (entier, réel, chaînes de
caractères, booléen, etc.)
Langage = une syntaxe + une sémantique
Variables
Désignent un objet de la mémoire.
X
"Hello"
Sémantique (opérationnelle)
Y
= signification des instructions
95
= comment les instructions changent l’état de la mémoire
Etat de la mémoire : ensemble de paires (variable = valeur)
M = { X = "Hello", Y = 95 }
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Programme
Instructions: affectation
= séquence d’instructions de diverses natures
–
affectations
–
conditionnelles
–
itération
–
appels de sous-programmes
Stocke une valeur, résultat d’un calcul, dans une variable.
/!\ Le contenu précédent est perdu.
variable ← constante
X ← 34
variable ← variable
Y← X
On utilise un pseudo langage (pseudo Java)
variable ← expression opérateur expression
Z ←3 * X
A la place de ← on notera aussi = ou parfois :=
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Exemples
mémoire avant
X = 897
instruction
X← 2
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Sémantique
On dit comment l’exécution d’un instruction modifie la mémoire
mémoire après
X=2
X = 2 , Y = 3333
Y← X+8
X = 2 , Y = 10
X = 3 , Y = 11
X← X *Y
X = 33 , Y = 11
Z = "xsjsjdsw"
Z ← "allo"
Z = "allo"
Z = "allo" , Y = 11
X← Z+Y
indéfini : chaîne de caractères + entier
nouvel état mémoire = Interprétation( instruction | état mémoire actuel)
Pour l’affectation
si M = {X = e, v1 = k1, …, vn = kn}
Interprétation(X ← g | M) = {X=g, v1 = k1, …, vn = kn}
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Evaluation d’expression
Evaluation d’expression - sémantique
Expressions composées de constantes, variables, opérateurs, fonctions
eval(constante | M) = constante
Evaluation dans l’ordre habituel: ( ), fonctions, ^, *, /, mod, +, –, ∪, ∩, <,
>, =, ∈, ⊆,
eval(X | {X=e; …}) = e
Les variables sont remplacées par leur valeur.
etc.
eval(E1 + E2 | M) = eval(E1 | M) + eval(E2 | M)
eval( f(E1, …, Ek) | M ) = f(eval(E1 | M), …, eval(Ek | M))
Signification des opérations dépend du type d’arguments
2.3 + 5.66
6+2
6/4
"bon"+"jour"
"bonjour"[1..3]
addition des réels
addition des entiers
= 1 ou 1.5 ?
concaténation des chaînes
extraction de sous-chaîne
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Séquences d’instructions
{
Ordre d’exécution
instruction1; instruction2; …}
Attention:
L’ordre des instructions dans une séquence est important !
Sémantique:
Exécuter
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instruction1, puis instruction2, et ainsi de suite.
{…}
{ X ← 2; Z ← 2*X ;
{X=3,Z=4}
Exemple:
{ X ← 2; Z ← X + 1; U ← X – Z; …}
X ← X+1 }
{…}
mémoire avant
instruction
mémoire après
X = 0, Y = 1, Z = 111
X ← 2; Z ← X + 1;
U←X–Z
X = 2, Z = 3, U = –1
{ X ← 2; X ← X+1;
{X=3,Z=6}
Z ← 2*X }
Sémantique
Interprétation( i1 ; i2 | M ) = Interprétation( i2 | Interprétation( i1 | M ) )
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Exécution conditionnelle:
Exemples
si ( expression) instruction1 sinon instruction2
{…}
A ← 2;
B ← 1;
si (A > B) W ← A – B sinon W ← 0
{ A = 2, B = 1, W = 1 }
Interprétation( si (E) i1 sinon i2 | M)
= Interprétation(i1 | M) si eval(E | M) = vrai
= Interprétation(i2 | M) si eval(E | M) = faux
{…}
si (X > 0) Y ← X sinon Y ← –X
{ Y = valeur absolue de X }
ou bien
si ( expression ) instruction1
Interprétation( si (E) i1 | M)
= Interprétation(i1 | M) si eval(E | M) = vrai
= M si eval(E | M) = faux
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Algorithme MAX
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Pour prouver que l’algorithme est correct
Calcul de Z = MAX(X, Y)
Preuves semi-formelles
si (X > Y)
Z←X
sinon
Z←Y
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Technique des assertions
On démontre que certaines formules sont toujours vraies à certains
points de l’algorithme
On démontre qu’à la fin il est vrai que l’algorithme a trouvé le résultat
voulu
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MAX est correct
Algorithme SIGNE
Calcul de Z = signe de X
•• X et Y deux nombres quelconques
si (X > Y)
••
•• X>Y => MAX(X, Y) = X, par définition du MAX
••
Z←X
•• Z = MAX(X, Y)
sinon
••
•• X ≤ Y => MAX(X, Y) = Y, par définition du MAX
••
Z←Y
•• Z = MAX(X, Y)
si (X > 0)
Z←1
sinon
si (X = 0) Z ← 0 sinon Z ← –1
Conditions imbriquées.
Trouver une forme équivalente non imbriquée.
•• donc Z = MAX(X, Y)
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Itération
Sémantique
Interprétation(tant que (E) i | M)
Syntaxe:
tant que ( expression)
instruction
= M si eval(E | M) = faux
= Interprétation(tant que (E) i | Interprétation(tant que (E) i | M))
sinon
Sémantique:
Exécuter
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instruction tant que l’évaluation de expression donne vrai.
Exemple
==> il faut que l’itération se termine pour qu’elle ait un sens
{… }
Pour faire des preuves lorsqu’il y a des itérations
R ← 10;
S ← 0;
tant que (R > 0) {
S ← S + R;
R ←R – 1
}
{ S = 10+9+8+…+2+1 = 55 }
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On cherche les invariants de l’itération
Conditions qui restent vraies après chaque itération
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Preuve de la somme de 1 à 10
Itération - sur un ensemble de valeurs
Lorsque on veut effectuer un nombre déterminé à l’avance d’itérations on
pourra utiliser la syntaxe abrégée
R ← 10;
S ← 0;
-- S = 0 = somme des entiers entre R+1 et 10
tant que (R > 0) {
-- S = somme des entiers entre R+1 et 10 (invariant)
S ← S + R;
-- S = R + somme des entiers entre R+1 et 10
-- donc S = somme des entiers entre R et 10
R ←R – 1
-- S = somme des entiers entre R+1 et 10
}
-- R = 0 et S = somme des entiers entre R+1 et 10
-- donc S = somme des entiers entre 1 et 10
pour (variable de expression1 à
expression2 ) instruction
qui correspond à :
variable ← expression1
tant que ( variable ≤ expression2) {
instruction;
variable ← variable + 1
}
Toutes ces instructions peuvent être combinées entre elles pour former des
instructions plus complexes.
.
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L’algorithme est correct
Exemple. Calcul de r = pq
r ← 1;
n ← 0;
-- r = pn puisque 1 = p 0 par définition
tant que (n ≠ q) {
-- r = pn
r ← r * p;
-- r = pn+1
n ← n + 1;
-- r = pn
}
-- r = pn et n = q
-- => r = pq
r ← 1;
n ← 0;
tant que (n ≠ q) {
r ← r * p;
n ← n + 1;
}
ou bien
r ← 1;
pour n de 1 à q {
r ← r * p;
}
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Recherche d’un mot dans une chaîne
Preuve (idée)
Teste si t, de longueur Lt contient le mot m de longueur Lm
resultat ← "non";
c-à-d si il existe a, b tels que t[a .. b] = m
b forcément = à a + longueur de m – 1
pour i de 0 à Lt– Lm {
si (t[i .. i + Lm – 1] = m) { resultat ← "oui" ; sortir de l’itération}
-- on n’a pas trouvé m entre 0 et i
}
t numérotté de 0 à Lt – 1
resultat ← "non";
pour i de 0 à Lt– Lm {
si (t[i .. i + Lm – 1] = m) { resultat ← "oui" ; sortir de l’itération}
}
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Vrai langage et pseudo langage
Les langages "professionnels" sont complexes
–
syntaxe restrictive pour éviter les erreurs de programmation
–
doivent être modulaires, structurés, etc. (génie logiciel)
–
pour écrire de gros programmes
–
adaptés à un environnement (périphériques, réseau, etc.)
–
contraintes d’efficacité
Pseudo langage
–
syntaxe plus informelle, pas de définition stricte
–
centré sur l’algorithme, pas sur les aspects génie logiciel
–
critère : facile à traduire dans un vrai langage
–
–
notre pseudo langage : Java simplifié
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