• La quasi totalité des signaux extraits de phénomènes réels

SIGNAUX STOCHASTIQUES - INTRODUCTION (1)
• La quasi totalité des signaux extraits de phénomènes
1
réels (biomédicaux par exemple) présentent un aspect
aléatoire. Ceci veut dire qu’il est impossible de
prévoir la forme exacte des signaux obtenus, et que
ceux-ci ne peuvent être décrits de façon analytique.
• Dans le cas de ces signaux, il est impossible
d’appliquer directement certains concepts. En
particulier, la notion de TF d ’un signal aléatoire a peu
de sens: la somme des termes peut ne pas être finie, et
on obtient une grandeur aléatoire.
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SIGNAUX STOCHASTIQUES - INTRODUCTION (2)
• Exemple: le processus de Bernouilli
1
0
-1
⎧1 avec probabilité 1 2
x(k ) = ⎨
⎩− 1 avec probabilité 1 2
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2
SIGNAUX STOCHASTIQUES - INTRODUCTION (3)
Intervalles entre
battements cardiaques (ms)
Pression artérielle
moyenne (mm Hg)
Volume respiratoire
(unités arbitraires)
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3
SIGNAUX STOCHASTIQUES - INTRODUCTION (4)
Nombre de porcs
Prix du maïs
Production de maïs
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4
SIGNAUX STOCHASTIQUES - INTRODUCTION (5)
5
• Nous avons déjà mis ceci en pratique. Si on
considère que les échantillons du signal sont des
réalisation d’une même variable aléatoire, on peut
estimer la densité de probabilité de celle-ci:
9
1 0 0 0
x 10
-3
8
9 5 0
7
9 0 0
6
8 5 0
5
8 0 0
4
3
7 5 0
2
7 0 0
6 5 0
1
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
0
650
700
750
800
850
900
950
Et également la valeur moyenne et la variance. Mais
ceci ne décrit pas la relation entre échantillons.
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1000
SIGNAUX STOCHASTIQUES - INTRODUCTION (6)
6
• Le problème avec Fourier peut s’illustrer:
5
4
3
2
1
0
TF sur
50 premiers
échantillons
TF sur
50 derniers
échantillons
-1
-2
-3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1.4
2
1.8
1.2
1.6
1
1.4
1.2
0.8
1
0.6
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
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0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
SIGNAUX STOCHASTIQUES - INTRODUCTION (7)
• On voit que les transformées sont semblables,
mais pas identiques. Ce ne serait pas le cas avec
un signal déterministe.
• L’idée de base pour contrecarrer cet effet
aléatoire est la suivante:
On va extraire d’un signal stochastique un signal
(ensemble de valeurs) qui décrit la structure du
signal, et qui n’est pas stochastique: c’est ce
qu’on appelle sa fonction d’autocorrélation.
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7
FONCTION D’AUTOCORRELATION (1)
8
• Qu’entend-on par structure?
5
0
plus
de
structure
-5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
10
0
-1 0
20
0
-2 0
• En fait, on a de plus en plus de relation entre les
différents échantillons du signal
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FONCTION D’AUTOCORRELATION (2)
• Ca tombe bien, nous avons déjà vu un moyen de
mesurer la relation entre deux variables aléatoires:
la corrélation.
• On mesure donc la corrélation entre deux
échantillons séparés de k indices, c’est-à-dire:
Rxx(n,k) = E[x(n)x(n+k)]
• Si le signal est stationnaire, cette fonction ne
dépand que de k:
Rxx(k) = E[x(n)x(n+k)]
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9
FONCTION D’AUTOCORRELATION (3)
10
• En gros, un signal stationnaire est un signal dont les
caractéristiques ne changent pas au cours du temps.
Les signaux de la page 8 sont stationnaires, mais
des signaux tels que:
40
20
0
-2 0
-4 0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
40
20
0
-2 0
-4 0
ne le sont pas.
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FONCTION D’AUTOCORRELATION (4)
11
• Appelons mx la moyenne des échantillons du signal x. On a les
propriétés suivantes pour la fonction d’autocorrélation:
- Valeur en zéro:
[
2
] [
2
R xx (0) = E x(k ) = E ( x(k ) − m x )
= σ x2 + m2x
]
2
+ mx
σ x2 variancede x
De plus |Rxx(k)|≤ Rxx(0). Normal, la relation entre deux
échantillons est la plus grande quand ce sont les mêmes!
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FONCTION D’AUTOCORRELATION (5)
- Valeur limite:
2
R xx (k ) → m x
lorsque k → ∞
Normal. Si deux échantillons sont éloignés dans le
temps, la seule relation entre eux est leur valeur
moyenne. Le carré vient du fait qu’on a un produit.
• Souvent d’ailleurs on préfère travailler avec des
signaux à valeur moyenne nulle (on la soustrait), ou
on prend la fonction d’autocovariance:
Cxx(k) = E[(x(n)-mx)(x(n+k)-mx)]
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12
FONCTION D’AUTOCORRELATION (6)
- Enfin, la fonction d’autocorrélation est une fonction
paire:
Rxx(-k) = E[x(n)x(n-k)] = E[x(n-k)x(n)] = Rxx(k)
σ2 + m2
m2
n
On la représente donc souvent seulement pour k ≥ 0.
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13
FONCTION D’AUTOCORRELATION (7)
14
• Pour un signal avec plus de structure, la fonction
d’autocorrélation décroît moins vite
(autocorrélation des signaux de la page 8):
4
2
x 10
0
plus
de
structure
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
5
1
x 10
0
-1
0
6
1
x 10
0
-1
0
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FONCTION D’AUTOCORRELATION (8)
15
• Si le signal x est périodique de période T, alors x(n+T)
= x(n). Mais ceci donne:
Rxx(T) = E[x(n)x(n+T)] = E[x(n)2] = Rxx(0)
Rxx(T+1) = E[x(n)x(n+T+1)] = E[x(n)x(n+1)] = Rxx(1)
……….
Sa fonction d’autocorrélation est donc aussi périodique
de période T. En particulier, la fonction
d’autocorrélation d’un sinus ou un cosinus est un
cosinus à la même fréquence.
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LE BRUIT BLANC
• Un bruit blanc est caractérisé par une fonction
d’autocorrélation de la forme:
2
R xx (k ) = σ x d(k )
• Ses échantillons sont donc tous décorrélés.
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16
ESTIMATION DE LA MOYENNE
17
• Un problème supplémentaire est que l’on ne dispose
en pratique que d’un nombre fini N d’échantillons
x(n), n = 0, …, N-1. On va devoir estimer la moyenne
et la fonction d’autocorrélation du signal.
• L’estimateur de choix de la moyenne est bien sûr:
1 N −1
m̂ x = ∑ x(n )
N k =0
• Cet estimateur est non biaisé (pas d ’erreur
systématique) et consistant (s’améliore quand N croît).
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ESTIMATION DE L’AUTOCORRELATION (1)
18
• Un premier estimateur de l’autocorrélation est:
1
rx (k ) =
N−k
*
N − k −1
∑ x (n ) x (n + k )
n =0
• Cet estimateur est non biaisé (pas d ’erreur
systématique) et consistant (s’améliore quand N croît),
mais il a une variance importante pour k proche de N,
car le dénominateur devient petit.
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ESTIMATION DE L’AUTOCORRELATION (2)
19
• Pourquoi la valeur absolue |.| dans la formule? Comme
la fonction d’autocorrélation est paire, on ne l’estime
que pour k ≥ 0, mais avec la valeur absolue la formule
est valable pour tout k.
• D’où vient ce N-|k|? C’est le nombre de produits
x(n)x(n+k) qu’on peut faire avec N échantillons.
• Notez que la plis grande valeur de k pour laquelle on
peut estimer est k = N-1, et que pour cette valeur on
n’a qu’un produit pour calculer la moyenne.
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ESTIMATION DE L’AUTOCORRELATION (3)
• Un deuxième estimateur de l’autocorrélation est:
N − k −1
1
x (n ) x (n + k )
rx (k ) =
∑
N n =0
• Cet estimateur est biaisé (erreur systématique) mais
consistant (s’améliore quand N croît), et il a une
variance plus faible pour k proche de N, car on divise
la somme par une plus grande valeur. En fait, c’est le
plus utilisé.
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20
ESTIMATION DE L’AUTOCORRELATION (4)
• Exemple: estimation de l’autocorrélation sur un
signal de fonction d’autocorrélation théorique:
R (k ) = a
k
a = 0.75
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ESTIMATION DE L’AUTOCORRELATION (5)
N = 25
N = 50
Estimateur
non biaisé
Estimateur
biaisé
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N = 200 N = 2000
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LA FONCTION D’INTERCORRELATION (1)
• On suit le même cheminement pour quantifier la
relation entre les échantillons de deux signaux.
S’ils sont conjointement stationnaires on obtient:
Rxy(k) = E[x(n) y(n+k)]
• Notons que cette fonction d’intercorrélation n’est
pas paire. On a:
Rxy(-k) = E[x(n) y(n-k)] = E[y(n-k) x(n)] = Ryx(k)
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23
LA FONCTION D’INTERCORRELATION (2)
24
• La fonction d’intercorrélation est par exemple utilisée
pour estimer le retard entre deux signaux:
2
1
x
0
2 signaux
perturbés,
écart 7 éch.
-1
2
1
y
0
-1
4
Maximum de
2
Rxy(n)
0
-2
-10
-5
0
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5
10
Rxy(n)
LA FONCTION D’INTERCORRELATION (3)
• En effet, si on obtient une grande valeur pour Rxy(k),
ceci veut dire qu’il y a une forte relation entre les
échantillons x(n) et y(n+k). Les signaux x et y sont
donc proches, mais avec un retard de k échantillons
pour y.
• Il est donc logique que la fonction d’intercorrélation
ne soit pas paire: y en retard sur x n’est pas la même
chose que x en retard sur y.
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25
ESTIMATION DE L’INTERCORRELATION
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• On peut de même construire des estimateurs de
l’intercorrélation de deux signaux. L’estimateur biaisé
est:
⎧ 1 K −n−1
⎪ K ∑ x(k ) y (k + n ) pour 0 ≤ n < K
⎪
k =0
rxy (n ) = ⎨
K −1
1
⎪
∑ x(k ) y (k + n ) pour − K < n ≤ 0
⎪⎩ K k =− n
qui tient compte de la non symétrie de l’intercorrélation
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NORMALISATION
• On peut normaliser la fonction d’autocorrélation
pour qu’elle prenne des valeurs entre -1 et 1 (on
rend donc ce mesure indépendant de l’échelle du
signal):
R xx (k )
ρ xx (k ) =
R xx (0)
• Pareil pour l’intercorrélation:
ρxy(k) =
Rxy(k)
Rxx(0)R yy(0)
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