Etude du mouvement dans un champ

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne
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Chapitre n° 3 : MOUVEMENT DANS UN CHAMP
I) Mouvement d’un satellite dans le champ de gravitation d’un astre
1)
:
Les deux premières lois de Képler
Kepler (1571-1630), astronome allemand, fut l'assistant de Tycho Brahé à la fin de sa vie.
:
Après la mort de son maître en 1601, il étudia avec minutie les relevés des positions des
planètes établis par celui-ci.
Par un travail acharné d'analyse et de réflexion, mené pendant une quinzaine d'années, il
mit en évidence trois lois, largement en accord avec les observations, et qui décrivent le
mouvement des planètes. Il faut souligner que ces lois résultent non de l'application d'une
théorie générale, mais de l'observation de régularités dans les valeurs numériques résultant
de longs calculs : ce ne sont pas des lois théoriques, mais des lois empiriques.
- Loi des orbites elliptiques (1605) :
Dans un référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des ellipses dont le centre S du
Soleil est l'un des foyers. Ces orbites sont planes.
Remarque : Le cercle est une orbite elliptique particulière dont le Soleil S est le centre.
- Loi des aires (1604) :
Pendant une durée ∆t, le rayon vecteur
SP
→
qui joint le centre
S du Soleil au centre d'une planète balaie une aire A
constante, quelle que soit la position de la planète.
Remarque : Le rapport A/∆t ne dépend que de la planète
considérée.
Remarque : Le mouvement circulaire n'est donc qu'un cas
particulier que nous allons considérer.
2) Orbite circulaire
a) Troisième loi de Kepler :
:
On étudie le mouvement d'un satellite (S), de masse m, en orbite autour de la Terre dans
un référentiel géocentrique dont l'origine est au centre O de la Terre.
Le satellite (S) n'est soumis qu'à la force de gravitation
F
→
qu'exerce la Terre qui est une
force centrale (toujours dirigée vers O).
L’orbite la plus générale du satellite est une ellipse. Nous allons considérer le cas
particulier d’une orbite circulaire : le satellite a un mouvement circulaire de centre O.
La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :
F
→
= m.
a
→
où
a
→
comme
F
→
est dirigé suivant SO.
La vitesse
v
→
du satellite est tangente au cercle
trajectoire donc orthogonale à SO.
L'accélération
a
→
étant centrale (et pas seulement
centripète) n'a pas de composante tangentielle, donc
aT = 0 =
dv
dt
et a = aN
D'où l'on déduit que la mesure de la vitesse est constante v = cte.
Le satellite a donc un mouvement circulaire uniforme.
On peut mettre la relation fondamentale de la dynamique sous la forme : F = m. aN

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D’où K.
2T
rM.m
= m.
r
v2, on en déduit la relation : r = RT + h = K.
2
T
v
M
indépendante de m.
Soit T la période de rotation du satellite de mouvement circulaire uniforme : v =
2. .πr
T
d'où r = K.
22
2
Tr..4 T.Mπ
soit 2
3
T
r = K.
2
T
.4
M
π
= cte
Remarque : C'est l'expression de la 3éme loi de Kepler ou loi des périodes !
b) Satellite géostationnaire :
Un satellite est géostationnaire si son orbite est équatoriale, sa trajectoire circulaire et son
mouvement géosynchrone.
Le satellite est géosynchrone (même période que la Terre) si T = 1 j = 86400 s.
D'où un rayon de l'orbite : r =
32
2
T
.4 T.M
.π K
= 32
2424
11 x
xx
xx 4)1064,8(10x6
1067,6 π
− = 42 298 km
Si r = RT + h est la distance SO, h l'altitude du satellite et RT le rayon de la Terre :
h = r − RT =
32
2
T
.4 T.M
.π K
− RT = 42 298 − 6 380 = 35 918 km
II) Mouvement d’un objet dans le champ de pesanteur uniforme de la Terre
1)
:
Lois horaires
On considère un projectile de masse m lancé, à la date t = 0, avec une vitesse
:
v( )0
→
=
v0
→
faisant un angle α avec l'horizontale.
Au voisinage de la surface de la Terre, le champ de pesanteur g
→
est considéré comme
uniforme : g
→
=
→
0
g
. On néglige les frottements de l'air.
On étudie le mouvement de chute libre du projectile dans un repère (O,
i
→
,
j
→
,
k
→
) lié au
référentiel terrestre
k
→
(R) considéré comme galiléen.
est vertical dirigé vers le haut, et le plan défini par
i
→
et
k
→
contient
v0
→
.
Pour simplifier, l'origine O du repère est choisi à l'endroit où est lancé le
projectile.
Exprimons les conditions initiales du mouvement du projectile :
A la date t = 0 s on a donc :
r( )0
→
x x
y y
z z
( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
0
0
0
= =
= =
= =
 et
v( )0
→
=
v
0
→
vdx
dt v
vdy
dt
vdz
dt v
x
y
z
( ) .cos
( )
( ) .sin
0
0 0
0
00
0
00
=
=
=
=
=
=
α
α
Après son départ, le projectile n'est soumis qu'à son poids, et le théorème du centre d'inertie
s'écrit :
F
→
= m.
a
→
mais ici
F
→
=
P
→
= m.
→
0
g
où
→
0
g
est le vecteur champ de pesanteur uniforme
dirigé vers le bas. On a donc : m.
a
→
= m.
→
0
g
soit
a
→
=
→
0
g
Le projectile a un mouvement à accélération constante.
On a déjà étudié ce mouvement en cinématique on doit donc retrouver les mêmes résultats.

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Soit
a
→
−=
=
=
0z
y
x
g)t(a 0)t(a 0)t(a
d'où
v t( )
→
α+−=
=
α=
sin.vt.g)t(v 0)t(v cos.v)t(v
00z
y
0x
puis r t( )
→
α+−=
=
α=
t.sin.vt.g)t(z 0)t(y t.cos.v)t(x
0
2
0
2
1
0
Seules deux coordonnées du projectile varient au cours du temps :
Le projectile à un mouvement plan dans le plan vertical contenant
v0
→
.
2) Définitions balistiques
- Equation de la trajectoire : en éliminant t entre x(t) et z(t) on trouve l'équation de la
trajectoire pour une valeur de α différente de π/2 (projectile lancé verticalement).
:
De x(t) on tire : t = x/(v0.cosα) que l'on porte dans z(t) on obtient :
z(x) = --
α
2
2
0
0
cos.v.2 g
.x2 + tanα.x
Le projectile a une trajectoire parabolique dont la concavité est tournée vers le bas, la
parabole est contenue dans un plan vertical.
- Portée du tir
Il faut résoudre l'équation du second degré en x : --
: c'est la distance d au bout de laquelle le projectile repasse par la même
altitude que celle de départ (ici z = 0).
α
2
2
0
0
cos.v.2 g
.x2 + tanα.x = 0.
Une solution est x = 0, la 2ème valeur est : d = xP =
0
2
2
0
gcos.v.2.tan αα
=
0
2
0
gcos.sin.v.2 αα
d = xP =
0
2
0
g).2sin(.v α
La portée xPmax sera maximale lorsque sin(2.α) = 1
Donc quand : 2α =
2
π et α =
4
π
= 45 ° ⇒ xPmax =
0
2
0
g
v
- Angle de tir
Il faut résoudre l'équation trigonométrique :
: c'est la valeur qu'il faut donner à α pour que le
projectile atteigne un point d'abscisse xP donnée.
sin(2.α) =
2
0
0P
vg.x
soit α =
2
0
0P
2
1
vg.x
arcsin
.
Interprétation : soit 2.α = β = cte, deux angles β satisfont cette équation, β et β' = π − β
supplémentaires, il existe donc deux angles α = β/2 et α' = π/2 − β/2 complémentaires qui
satisfont l'équation. α + α' = π/2 : si α < π/4 on a un tir tendu, si α > π/4 on a un tir plombé
ou en cloche
- . On a vu que si α = α' = π/4, la portée est maximale. Flèche du tir
On a deux façons équivalentes de déterminer h :
: c'est l'altitude h = zmax maximale atteinte par le projectile.
* à partir de l'équation de la trajectoire, h est la valeur de z pour laquelle xS annule
dx
)x(dz
soit
dx
)x(dz = --
α
2
2
0
0
cos.v g
.xS + tanα = 0
d'où xS =
0
2
2
0
gcos.v.tan
αα
=
0
2
0gcos.sin.v α
α
=
0
2
0
g.2 ).2sin(
.v α
=
2
xP
On remplace dans z(x) : h = zmax = 0
22
0g.2
sin.v α
* on retrouve le même résultat en partant de l'équation horaire z(t). On cherche la valeur
tmax de la date pour laquelle la composante de la vitesse sur l'axe vertical vz(tmax) = 0.

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III) Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme
On considère une particule ponctuelle, de masse m et de charge q, plongée dans un champ
électrique uniforme
:
→
E
, créé entre deux plaques A et B, parallèles, distantes de d et entre
lesquelles on applique une tension UAB = VA − VB, donc E = UAB /d.
La particule n'est soumise qu'à la force de Coulomb : →
F
= q.
→
E
(on néglige son poids).
1) Accélération d'une particule chargée
a) Conditions initiales :
:
La particule, initialement au repos, est mise en mouvement par le champ électrique.
On suppose que la particule part de la plaque A sans vitesse initiale et on cherche la
vitesse qu'elle atteint en arrivant sur la plaque B (instant final).
b) Théorème de l'énergie cinétique :
Le travail de la force électrostatique appliquée à la particule entre deux instants est égal à
la variation d'énergie cinétique de la particule entre ces deux instants.
W( →
F
) = q.(VA − VB) =
2
A
2
1
2
B
2
1
v.m.v.m. −
Avec vA = 0 pour que la particule soit accélérée il faut que q.(VA − VB) > 0.
Exemple : Cas de l'électron :
Pour l'électron q = − e et (VA − VB) = UAB < 0 (VA pôle −).
Posons − UAB = U0 > 0 tension accélératrice et me la
masse de l'électron.
Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit : e.U0 =
2
B
2
1
v.m.
Soit
e
0
BmU.e.2
v=
C'est le principe de fonctionnement du canon à électron d'un tube cathodique
d'un téléviseur ou d'un oscilloscope. Ordre de grandeur : dans un oscilloscope,
Avec me = 9,11.10−31 kg, U0 = 2000 V, on obtient vB = 26505 km.s−1 !!
Exemple : Cas du proton :
Pour un proton q = + e donc (VA − VB) = UAB > 0 (VA chargé positivement).
Posons UAB = U'0 > 0 tension accélératrice et mp la masse du proton.
On trouve :
p
0
B
m'U.e.2
'v =
Avec mp = 1,67.10−27 kg, U'0 = 2000 V, on obtient vB = 619 km.s−1.
Les protons, ainsi produits à faible vitesse (!!), sont ensuite "injectés" dans un
accélérateur par exemple, pour étudier la structure intime de la matière.
2) Déviation d’une particule chargée
a) Etude de la trajectoire :
:
Nous étudions la déviation d'un électron dans un champ électrique uniforme créé par
deux plaques (N, P) parallèles et horizontales d'un tube cathodique.
Nous considérons que l'électron de charge q = − e et de masse me pénètre dans le champ
avec une vitesse initiale
→
0
v
(calculée plus haut) parallèle au plan des plaques
(horizontale) en un point O équidistant des deux plaques. Soit l la longueur des plaques, d
la distance entre les plaques et D la distance entre le milieu d'une plaque et l'écran du
tube cathodique.

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Soit (O,
i
→
,
j
→
) tel que
i
→
est parallèle aux
plaques et
j
→
est perpendiculaire.
Le champ électrique entre les plaques a pour
expression :
→
E
= − E.
j
→
, avec E =
d
UPN
La loi fondamentale s'écrit : q.
→
E
= m.
→
a
soit
(− e).(− E).
j
→
= m.
→
a
donc
→
a
=
m
E.e
.
j
→
On peut donc écrire :
→
a
=
=
m
E.e
a0a
y
x
par
"intégration", on tire
→
v
=
=
t.
m
E.e
vvv
y
0x . On obtient enfin les lois horaires :
→
r
=
=
2
2
1
0t.
m
E.e
.y t.vx
La trajectoire est une parabole d'équation : y = 2
0
v.m.2
E.e
.x2
b) Application à l'oscilloscope :
Après la sortie du champ électrique au point S, la trajectoire est rectiligne car les électrons
ne sont plus soumis à aucune force. La partie rectiligne de la trajectoire se raccorde
tangentiellement à la partie parabolique et fait un angle α avec Ox.
On a : tanα =
S
dx
dy
=
S
2
0x.
v.mE.e
=
2
0
m.v.E.e l
La tangente en S à la
parabole coupe Ox en C,
milieu de OH (c'est une
propriété de la parabole).
Donc tanα =
CH
y
S
.
Dans un oscilloscope le
faisceau vient frapper un
écran pour former un
"spot" en M, calculons
l'ordonnée Y du spot M.
Géométriquement on a : tanα =
CH
y
S
=
D
Y
, d'où : tanα =
2
0
m.v.E.e
l
=
D
Y
et Y =
2
0
m.v.D.E.e l
=
.dm.v.D.e
2
0
l
.UPN
La déviation est proportionnelle à la tension appliquée entre les plaques horizontales
(c'est le principe de fonctionnement des plaques déviatrices d'un oscilloscope).
Ordre de grandeur : dans un oscilloscope la vitesse des électrons en O est :
e
0
2
0mU.e.2
v=
d'où Y =
d.U.2 .D
0
l
.UPN
Avec U0 = 2000 V, l = 1 cm, h = 0,5 cm et D = 20 cm on a : Y = 10−4.UPN
Pour une tension de 100 V on n'obtient qu'une déviation de 1 cm !
Pour mesurer des tensions plus faibles l'oscilloscope doit disposer d'un préamplificateur.