notes de cours (format A4) - Département de physique

MÉCANIQUE QUANTIQUE
PHY731
par
David SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulaire
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UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
10 août 2016

2

Table des matières
1 Principes fondamentaux et Révision 11
A Rappels de mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.1 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.2 Équations de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.3 Exemple : oscillateur harmonique simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
B Quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
B.1 Espace des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
B.2 Observables et opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B.3 Probabilités et processus de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B.4 Quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B.5 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
B.6 Représentation en coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
C Puits et barrières de potentiel en une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
C.1 Effet tunnel et matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
C.2 Effet tunnel résonant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
D Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
D.1 États propres et opérateurs d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
D.2 États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Théorie de la symétrie 31
A Opérations de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A.1 Symétries et transformations unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A.2 Translations et représentation en impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A.3 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A.4 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A.5 Systèmes composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
B Théorie du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
B.1 Générateurs et moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
B.2 États propres du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
B.3 Matrices de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
B.4 Composition du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
C Théorie des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
C.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
C.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
C.3 Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
C.4 Algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
C.5 Les groupes SU(2)et SO(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
D Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
D.1 Théorème de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
D.2 Écoulements de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Théorie des perturbations 55
A Perturbations stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A.1 Série de Brillouin-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3

4 TABLE DES MATIÈRES
A.2 Renormalisation de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.3 Exemple : polarisabilité d’un atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
B Perturbations dépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B.1 Point de vue d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B.2 Règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
B.3 Perturbation adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
B.4 Processus de désintégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
B.5 Perturbations harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B.6 Transitions du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
C Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
C.1 Équation intégrale de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
C.2 Section efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
C.3 Section efficace et règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
C.4 Diffusion de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Deuxième Quantification 75
A Espace de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A.1 États symétrisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A.2 Opérateurs de création et d’annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.3 États antisymétrisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.4 Relations d’anticommutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.5 Densité et nombre de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.6 États de base différents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
B Hamiltonien à un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B.1 Opérateurs à un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B.2 États propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
B.3 Gaz de bosons et de fermions libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
C Interaction à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C.1 Opérateurs à deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C.2 Formulation lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
D Approximation de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
D.1 Méthode du champ auto cohérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
D.2 Théorème de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
D.3 Équations de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
E Annexe : Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Applications à la physique du solide 101
A Fonctions de Bloch et de Wannier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.1 Réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.2 Fonctions de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.3 Fonctions de Wannier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B Modèle d’électrons localisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B.1 Modèle de Hubbard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B.2 Échange : modèle de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B.3 Super-échange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
C Ondes de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
C.1 Cas ferromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
C.2 Cas antiferromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6 Bosons 127
A Oscillateurs couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

TABLE DES MATIÈRES 5
A.1 Oscillateurs réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.2 Dégénérescence des fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.3 Chaîne linéaire d’oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.4 Translations et impulsion cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B Champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.1 Limite continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
B.2 Relation de dispersion et énergie du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
B.3 Terme de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
B.4 Cas tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.5 Fonctions propres générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
C Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
C.1 Rappels d’électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
C.2 Fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
C.3 Polarisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
D Théorème de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
D.1 Transformations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
D.2 Transformations infinitésimales et théorème de Noether . . . . . . . . . . . 146
D.3 Tenseur d’énergie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
D.4 Champ scalaire complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7 Interactions lumière-matière 159
A Hamiltonien d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.2 Couplage minimal et invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A.3 Courant paramagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
B Émission et absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
B.1 Taux d’émission et d’absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
B.2 Rayonnement dipolaire électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B.3 Règles de sélection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B.4 Section d’absorption et règle de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
B.5 Effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
C Diffusion de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
C.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
C.2 Diffusion Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
C.3 Diffusion Raman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C.4 Résonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8 Théorie relativiste de l’électron 183
A Groupe de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
A.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
A.2 Algèbre de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B Équation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
B.1 Algèbre de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
B.2 Action de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
B.3 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
B.4 Limite non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9 Méthodes fonctionnelles 197
A Intégrales de Chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
A.1 Système à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
A.2 Action quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200