Chapitre III : Induction électromagnétique 1. Le phénomène d

Spéciale PSI - Cours "Electromagnétisme"
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Induction électromagnétique
Chapitre III : Induction électromagnétique
Objectif :
• Présentation des phénomènes d’induction électromagnétique
• Etude d’un circuit électrique xe dans un champ magnétique variable
• Etude d’un circuit électrique mobile dans un champ magnétique permanent
1. Le phénomène d’induction
1.1. Mise en évidence expérimentale des phénomènes d’induction
1.1.1. Expérience 1 : bobine mobile dans un champ magnétique permanent
Description :
Un circuit fermé est déplacé à proximité d’un aimant immobile dans le référentiel du laboratoire : il apparaît un courant
dans le circuit pendant le déplacement du circuit, et le sens de ce courant s’inverse avec le sens du déplacement du circuit.
L’aimant peut être remplacé par une bobine parcourue par un courant : l’important est ici de disposer d’un champ magnétique
permanent dans le référentiel du laboratoire.
i
S
N
r
B
immobile
Déplacement
Interprétation :
Un porteur de charge, libre de se déplacer dans le circuit, est soumis à la force de Lorentz qui, en l’absence de champ
électrostatique extérieur, s’écrit :
F = qva B
va étant sa vitesse absolue dans le référentiel du laboratoire, somme de la vitesse d’entraînement ve de déplacement du circuit
et de sa vitesse relative vr de déplacement par rapport au circuit.
Le courant i est donc bien causé (induit) par le déplacement du circuit dans le champ permanent B.
Un circuit se déplaçant dans un champ magnétique permanent se comporte comme un générateur électrocinétique : il est le siège d’un phénomène d’induction, appelé induction de Lorentz.
1.1.2. Expérience 2 : bobine $xe dans un champ magnétique variable
Description :
Le circuit est maintenant immobile dans le référentiel du laboratoire et c’est l’aimant que l’on déplace : les observations
sont les mêmes que dans l’expérience précédente à savoir qu’il apparaît un courant dans le circuit pendant le déplacement de
l’aimant et que le sens de ce courant s’inverse avec le sens du déplacement de l’aimant.
L’aimant peut être remplacé par un circuit parcouru par un courant constant et déplacé dans le référentiel du laboratoire ou
bien encore par un circuit &xe mais parcouru par un courant variable : l’important est ici de disposer d’un champ magnétique
variable dans le référentiel du laboratoire.
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i
S
N
r
B
Déplacement
immobile
Interprétation :
Celle-ci est beaucoup moins évidente car les charges étant initialement immobiles (vr = 0) et le restent en l’absence de champ
électrique extérieur : la force magnétique ne fournit aucun travail.
On ne voit donc pas quelle partie de la force de Lorentz peut dans ce cas mettre les charges en mouvement. L’explication est
en fait la suivante : dans un repère lié au circuit, le champ B n’est plus un champ magnétostatique mais un champ variable
dans le temps : B(t). Ce champ variable engendre un champ électrique E(t), lui-même d’ailleurs variable dans le temps :
B(t)
E(t)
C’est ce champ électrique E(t) qui est à l’origine de la force de Lorentz s’exerçant sur les porteurs de charge libres :
F = q E(t)
Lorsqu’un circuit $xe est soumis à un champ magnétique variable, il se comporte comme un générateur
électrocinétique : il est le siège d’un phénomène d’induction, appelé induction de Neumann.
1.2. Unicité des phénomènes
Même si l’origine de la force mettant les charges en mouvement semble à priori di-érente, il est clair que l’on passe de
l’expérience 1 à l’expérience 2 par un simple changement de référentiel galiléen : le mouvement relatif de l’aimant et du
circuit étant le même il paraît alors naturel que le même e-et (apparition du courant dans (C)) se retrouve dans les deux
situations.
L’induction électromagnétique est un phénomène unique : l’induction de Lorentz et l’induction de Neumann
en sont deux facettes, qui dépendent du point de vue de l’observateur.
1.3. Loi qualitative de Lenz (ou loi de modération)
Expérimentalement on constate que :
Les e+ets magnétiques, électrocinétiques et mécaniques de l’induction sont orientés de façon à s’opposer
à ses causes (Loi de Lenz).
• S’il s’agit d’une variation dans le temps du champ magnétique B(t) dans lequel est plongé le circuit, le champ induit
Binduit (t) crée par le courant induit s’oppose à la variation du champ inducteur (et non au champ inducteur) : ce
champ induit peut donc avoir même sens que le champ inducteur :
r
B (t )
r
B (t + dt )
r
B(t + dt )
r
Binduit
r
B(t )
(C)
(C)
r
Binduit
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• S’il s’agit d’un déplacement du circuit dans un champ permanent B, le courant induit est responsable d’une force de
Laplace induite qui, e-ectuant un travail résistant, s’oppose à la force qui a mis en mouvement le circuit.
Remarque : L’e-et de peau (étudié dans le chapitre II § 8) s’interprète comme un phénomène d’induction électromagnétique
: le courant variable j0 imposé par le générateur et qui serait uniformément réparti en l’absence de phénomène d’induction
crée un champ magnétique B0 dépendant du temps ; ce champ crée donc des courants induits j1 qui à leur tour créent un
champ variable B1 ; ce champ crée à son tour des courants induits j2 , et ainsi de suite. Les courants induits s’opposent à la
cause qui leur a donné naissance d’après la loi de Lenz, ce qui se manifeste concrètement par une réduction de la densité de
courants au sein du conducteur. L’e-et est d’autant plus e4cace que les courants varient vite, ce qui explique l’in5uence de
sur l’épaisseur de peau.
2. Circuit mobile dans un champ magnétique permanent
2.1. f.e.m. induite et force de Laplace
On étudie de nouveau l’expérience 1 : un circuit fermé est déplacé dans le référentiel du laboratoire où règne un champ
magnétique permanent. Il apparaît un courant dans le circuit pendant le déplacement du circuit. Le dispositif se comporte
comme un générateur électrocinétique capable de mettre en mouvement les charges mobiles du conducteur. Soit eL la force
électromotrice (f.e.m.) de ce générateur : eL est appelé force électromotrice de Lorentz ou force électromotrice de
déplacement.
Le courant induit donne avec le champ magnétique permanent des forces de Laplace.
Ces forces de Laplace et la force électromotrice de Lorentz proviennent de la force de Lorentz F = qva B. On rappelle que
cette force ne produit aucun travail, la puissance totale est donc nulle.
L’action d’un champ magnétique extérieur permanent sur un circuit en mouvement est équivalente à celle
d’un générateur de tension de f.e.m. eL imposant un courant induit iL tel que
PLaplace + eL i = 0
Remarque : l’égalité précédente est applicable au circuit entier ou à une branche de ce circuit.
2.2. Champ électromoteur de Lorentz
2.2.1. Induction de déplacement
Un porteur de charge, libre de se déplacer dans le circuit (C), est soumis à la force de Lorentz qui s’écrit :
F = qva
B
va étant sa vitesse absolue dans le référentiel du laboratoire, somme de la vitesse d’entraînement ve de déplacement du circuit
et de sa vitesse relative vr de déplacement par rapport au circuit.
F = q (vr + ve )
B = qvr
B + qve
B
• le terme qvr B est responsable de l’e+et Hall ; il donne une force perpendiculaire à vr donc aux lignes de courant et
il ne peut donc pas être à l’origine du courant induit (voir Complément E-et Hall).
• le terme qve B est une force qui ne s’applique aux charges de conduction que si le conducteur se déplace. Par analyse
dimensionnelle on pose
Em = ve
B
champ électromoteur de Lorentz
2.2.2. Circulation du champ électromoteur de Lorentz
La force de Laplace exercée sur un élément de circuit &liforme de longueur d , parcouru par le courant i et soumis au champ
magnétique B, est
B
dFLaplace = id
lorsque le tronçon (AB) de circuit se déplace, la puissance des forces de Laplace est
B
PLaplace =
B
dFLaplace .ve =
A
d’après le paragraphe 2.1. PLaplace + eL i = 0
B
id
A
B .ve =
i
Em .d
A
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La force électromotrice de Lorentz induite par le déplacement d’un circuit électrique dans un champ magnétique permanent B est égale à la circulation du champ électromoteur de Lorentz (ou champ de déplacement)
Em = ve B le long du circuit :
eL =
B
A
Em .d =
B
A
B .d
ve
Remarques :
1) l’existence de courants induits est liée au caractère non conservatif de la circulation du champ électromoteur.
2) ce courant induit se détermine en orientant le circuit de A vers B : on impose une f.e.m. égale à eL orientée de A vers
B et le courant est orienté avec la même convention.
2.3. Loi de Faraday
Soit un circuit fermé (C) mobile dans un champ magnétique permanent B.
La puissance des forces de Laplace est
PLaplace =
id
B .ve
C
On rappelle que ve est la vitesse d’entraînement du circuit. Entre t et t + dt chaque point du circuit se déplace de
dM = ve dt
d’où une nouvelle expression des forces de Laplace
PLaplace =
id
B .
C
on remarque alors que dM
1
dM
= i
dt
dt
dM
d
.B
C
d représente la surface dS balayée par l’élément de longueur d ; le terme
C
dM
d
.B =
B.dS est donc le 5ux du champ magnétique à travers la surface balayée par le circuit lors de son déplacement entre t et
C
t + dt.
On construit alors la surface fermée S constituée par la réunion de :
· la surface S1 délimitée par le circuit à l’instant t,
· la surface latérale S précédente,
· la surface S2 délimitée par le circuit à l’instant t + dt.
Le champ magnétique est à 5ux conservatif
B.dS = 0
S
soit
B.dS +
S1
(t)
B.dS +
S2
B.dS = 0
(t + dt) +
B.dS = (t + dt)
C
PLaplace =
comme PLaplace + eL i = 0 on obtient eL =
B.dS = 0
C
(t)
C
1
i [ (t + dt)
dt
(t)] = i
d
dt
d
dt
La f.e.m. de Lorentz pour une maille $liforme mobile est donnée soit par
• la circulation du champ électromoteur de Lorentz
• la loi de Faraday : la f.e.m. est égale à la dérivée par rapport au temps du 0ux du champ magnétique
extérieur permanent à travers toute surface S orientée qui s’appuie sur le contour de la maille :
eL =
d
dt
Exercice n 01 : Déplacement d’un cadre conducteur
On suppose que le champ magnétique B = Bez est uniforme et constant entre les plans (x = 0) et (x = d) , et nul ailleurs.
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Un cadre conducteur carré, de côté a (a < d) , de résistance totale R et de côtés parallèles aux axes (Ox) et (Oy ) , circule avec
une vitesse constante v = vex . On désigne par X (t) l’abscisse du côté avant du cadre. Déterminer en fonction de X le courant i et
la force électromagnétique F résultante qui s’exerce sur le cadre :
1) en calculant le champ électromoteur ;
2) en utilisant la loi de Faraday ;
3) par un bilan énergétique.
Exercice n 02 : Alternateur rudimentaire
Une bobine plate de N = 200 spires, d’aire S = 20 cm2 , tourne avec une vitesse angulaire constante
= 10 rad. s 1 entre les
pôles d’un aimant en «U», qui produit un champ B = 0, 2 T supposé uniforme et normal à l’axe de rotation.
La bobine dont les bornes sont reliées, possède une résistance R = 1 . Le champ qu’elle crée est négligeable devant celui de l’aimant.
1) Calculer la f.e.m. d’induction induite par le mouvement de la bobine.
2) Déterminer le moment , par rapport à l’axe qu’il faut exercer pour entretenir la rotation (on pourra proposer plusieurs méthodes).
Exercice n 03 : Barres mobiles sur deux rails
A1
A'1
Y
Y'
B
v(t)
v0
X
A
A'
X'
Sur deux rails rectilignes parallèles horizontaux XX et Y Y ,de résistance négligeable, sont placées deux barres mobiles horizontales
AA1 et A A1 perpendiculaires aux rails. La distance entre les rails est = 10 cm ; la résistance de la partie de chaque barre comprise
entre les deux rails est R = 1 ; chaque barre a une masse m = 10 g. L’ensemble étant soumis à l’action d’un champ magnétique
vertical B uniforme d’intensité B = 1 T,on déplace la barre AA1 en l’approchant de A A1 , avec une vitesse constante v0 = 20 cm. s 1
normale à AA1 . Etudier la loi des vitesses v(t) de la barre A A1 . Tracer le graphe de v(t).
Exercice n 04 : Rotation de deux disques métalliques coaxiaux
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B
O'
O
R
Deux disques métalliques identiques,parallèles et coaxiaux, ont un rayon a et un moment d’inertie J par rapport à leur
axe commun. On produit un champ uniforme et constant B0 .
1) Calculer le courant i(t) qui traverse le circuit, de résistance R, sachant qu’à l’instant t = 0, on a : = 0 et
= 0.
2) Donner les lois d’évolution des vitesses angulaires (t) et (t).
3) Faire un bilan énergétique ; le véri&er.
Exercice n 05 : Roue de Barlow
E
O
R
B
A
mercure
A l’instant t = 0, on ferme le circuit d’une roue de Barlow. On désignera r le rayon de la roue, B le module du champ magnétique
uniforme normal à la roue, E la f.é.m. du générateur, R la résistance totale du circuit, et J le moment d’inertie de la roue par rapport
à son axe Oz . Le mercure exerce sur la roue un système de forces de frottement visqueux dont le moment par rapport à l’axe de
rotation de la roue est k. , étant la vitesse angulaire instantanée de la roue de Barlow.
1) Exprimer la f.é.m. induite dans le circuit, en fonction de B , r et .
2) Exprimer le moment des forces électromagnétiques par rapport à l’axe Oz , en fonction de B , r et de l’intensité i(t) dans le
circuit.
3) Donner la loi (t) et l’intensité i0 du courant en régime permanent.
Exercice n 06 : Freinage par courants induits
Une spire circulaire homogène conductrice de masse M , de résistance R, d’inductance négligeable, de rayon a, est suspendue à
un &l isolant vertical OO1 qui n’oppose aucune résistance à la torsion ; la spire est fermée sur elle-même. Un champ magnétique B ,
uniforme et horizontal, existe dans toute la région où peut se mouvoir la spire. On désigne par $ l’angle que fait la normale à la spire
avec B . Pour t = 0, $ = 0 et la spire est lancée à la vitesse angulaire $0 autour de OO1 .
1) Ecrire l’équation di-érentielle du mouvement (J = Ma/2).
2) Chercher la relation liant $ à $. Montrer que, sans connaître $ en fonction du temps, on peut déterminer à partir de B , a, M ,
R, et $0 la valeur &nale $1 prise par $ lorsque la spire s’arrête.
3) Montrer graphiquement qu’il n’y a qu’une solution pour $1 . Déterminer la valeur à donner à B pour que la spire s’arrête au
bout d’un quart de tour. On prendra M = 2 g, $0 = 2& rad. s 1 , R = 4.10 2 , a = 5 cm.
4) Calculer l’énergie totale dissipée par e-et Joule dans la spire ; interpréter.
3. Circuit $xe dans un champ magnétique variable
3.1. Rappels
Lors d’un changement de référentiel galiléen le champ électromagnétique est donné par les formules de transformation
galiléenne du champ électromagnétique :
B =B
E = E + ve B
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cf ”Equations locales de l’éléctromagnétisme” - Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide - § 1.Transformation galiléenne du
champ électromagnétique.
3.2. Equivalence des phénomènes
On étudie de nouveau l’expérience 2 : un circuit fermé est immobile dans le référentiel du laboratoire où règne un champ
magnétique variable obtenu en déplaçant un aimant à vitesse constante ve dans le référentiel du laboratoire.
• Pour un observateur liée à l’aimant (donc au référentiel de l’aimant ), le champ magnétique est permanent et le
circuit se déplace à la vitesse ve . On se trouve donc dans le cas de l’induction de Lorentz et d’après le paragraphe
précédent, il apparaît dans le circuit une f.e.m. eL = ddt .
• Pour un observateur liée au circuit (donc au référentiel du laboratoire ), le champ magnétique est variable et le circuit
est &xe. On se trouve donc dans le cas de l’induction de Neumann. Cet observateur voit apparaître la même f.e.m. dans
est le même que le champ B dans (approximation
le circuit eN = eL . D’après § 3.1. le champ magnétique B dans
non relativiste), on a donc eN = ddt .
3.3. Loi de Faraday
On admet qu’il est possible de généraliser le résultat précédent :
Pour un circuit $xe soumis à un champ magnétique variable B(t) la f.e.m. de Neumann est donnée par la
loi de Faraday :
eN =
d
dt
Remarques :
1) Comme précédement on oriente arbitrairement le circuit et on calcule le 5ux en respectant cette convention ; on obtient
alors par application de la loi de Faraday la f.e.m. avec les mêmes conventions d’orientation.
2) Dans le cas de plusieurs spires (solénoïde par exemple) on remplace le circuit réel par une association série de N spires
fermées montées en série.
3.4. Champ électromoteur de Neumann
On rappelle que dans le cas de l’induction de Lorentz, l’apparition du courant induit est dûe à l’action du champ électromoteur
B
Em = ve B qui met les charges en mouvement ; la circulation de ce champ n’est pas conservative et eL = A Em .d .
Dans le cas de l’induction de Neumann, le champ magnétique dépend du temps et d’après les équations de Maxwell cette
dépendance temporelle de B induit une composante du champ électrique E :
(B
(t
équation de Maxwell-Faraday : rot E =
Ce couplage donne un champ électrique total dont la circulation n’est plus conservative (présence du terme
:
(A
E = grad V
(t
Pour un circuit &liforme (C) soumis à un champ magnétique variable B(t) la loi de Faraday donne :
eN
th de Stokes-Ampère
=
d
avec (t) =
dt
B(P, t).dS
S
le circuit est &xe
d
=
dt
C
avec B = rot A)
S
B(P, t).dS =
(t) =
A
t
A(P, t).d
C
( A(P, t)
.d
(t
eN =
C
( A(P, t)
.d
(t
Pour un circuit $xe soumis à un champ magnétique variable B(t) la f.e.m. de Neumann est donnée soit
par :
• la loi de Faraday eN =
d
dt
• la circulation du champ électromoteur de Neumann Em =
eN =
C
Em .d
A
t
:
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Exercice n 07 : Bobine autour d’un solénoïde
Un très long solénoïde, de rayon a, est constitué de n spires par unité de longueur. Le solénoïde est entouré d’une bobine plate de
résistance R, formé de N spires circulaire de rayon r et de même axe que le solénoïde.
2a
I(t)
O
B
r
M
1) Le solénoïde est parcouru par un courant variable I(t) au cours du temps
1.a) Déterminer le champ électromoteur Em induit au point M de la bobine plate, en fonction de n, a, r et dI/dt,
1.b) Exprimer la f.é.m. induite aux bornes de la bobine plate, par deux méthodes di-érentes.
1.c) Que devient cette f.é.m. si la bobine est extérieure au solénoïde sans l’entourer ?
2) Le solénoïde est parcouru par un courant continu d’intensité I0 . Ce courant est brusquement annulé ; déterminer la quantité
d’électricité induite qui a traversé la bobine plate qui entoure le solénoïde, dans les deux cas :
2.a) les axes de la bobine plate et du solénoïde sont parallèles ;
2.b) les axes de la bobine et du solénoïde forment un angle -.
Exercice n 08 : Bobine et solénoïde
Une bobine circulaire plate de rayon R, comportant N tours de &l, a même axe qu’un solénoïde in&ni de rayon R0 < R, comportant
n tours de &l par unité de longueur.
1) Soit I le courant circulant dans le solénoïde. Déterminer en tout point de l’espace le potentiel-vecteur A dû à ce courant.
2) Le courant I est maintenant une fonction du temps : I = I(t). Calculer la f.é.m. d’induction qui apparaît aux bornes de la
bobine :
2.a) en appliquant la loi de Faraday.
2.b) en faisant circuler le champ électromoteur.
Exercice n 09 : Courant induit par un aimant tournant
Un aimant, assimilé à un dipôle magnétique de moment M , tourne avec une vitesse angulaire constante autour de son axe (Oz).
Une bobine plate de N spires d’aire S et de résistance électrique R, normales à l’axe (Ox), est placée sur l’axe (Ox) à une distance
d, très grande devant ses dimensions et devant celles de l’aimant.
1) Calculer le courant i(t) dans la spire en négligeant l’in5uence du champ magnétique propre de la bobine.
2) Calculer l’ordre de grandeur du champ magnétique propre au voisinage du centre de la bobine, puis discuter la validité de
l’hypothèse précédente.
Exercice n 10 : Dipôle magnétique au voisinage d’une spire
Un petit dipôle de moment magnétique M glisse dans un tube de verre T . L’axe de ce tube coïncide avec l’axe d’une spire circulaire
conductrice de rayon a et de résistance électrique R.
1) Calculer le 5ux envoyé par le dipôle à travers la spire. En déduire la f.é.m. d’induction e et l’intensité i du courant induit dans
la spire en fonction de la vitesse v du dipôle. Sens de ce courant ?
2) Calculer la force de freinage f produite sur le doublet par le courant induit. On repérera la position du doublet par l’angle $
sous-lequel est vu le rayon a de la spire.
3) On fait circuler le doublet dans le tube à une vitesse constante v0 . Déterminer pour quelles valeurs de $ le module de la force
f est maximum. Calculer fmax .
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4. Cas général
4.1. Cadre de l’étude
Dans la plupart des cas l’étude des phénomènes d’induction se fait dans la cadre de l’approximation des régimes quasi
permanents ; on rappelle que dans de telles conditions les solutions des équations aux champs sont :
B(M, t) =
et E
µ0
4&
=
D
j(P, t)d1 eP M
rP2 M
même expression qu’en régime permanent
(A
expression di9érente de celle du régime permanent
(t
grad V
(cf ”Equations locales de l’éléctromagnétisme” - Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide - § 6.1. Champs et potentiels dans
l’ARQS.).
4.2. Loi de Faraday généralisée
On admet que si les deux causes d’induction existent simultanément, il faut additionner leurs e-ets :
Pour une maille fermée, mobile dans un champ magnétique variable B, la f.e.m. d’induction est donnée
par la loi de Faraday :
d
e=
dt
où
de B.
d
dt
représente la dérivée totale du 0ux (t), tenant compte du déplacement du circuit et de la variation
Remarque : e est la somme de eL =
C
ve
B .d et de eN =
C
A
t .d
.
4.3. Loi d’Ohm généralisée
• Une portion de circuit $liforme d’un conducteur ohmique véri$e la loi d’Ohm généralisée :
uAB = R iAB
eAB
• Avec les mêmes hypothèses la loi d’Ohm locale généralisée s’écrit :
j = 3 E + ve
B + RH j
B
(rappel : Cours ”Conversion de puissance” - Compléments ”Conversion de puissance” - § 2.2. Equation de transport et constante
de Hall : j = 3
E + RH j
B )