Les signaux échantillonnés

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Physique Appliquée
B. Pontalier
Les signaux échantillonnés
1 Introduction:
Les techniques numériques (#) contrairement aux techniques analogiques (∩) reposent sur 2 grands
principes:
- l’échantillonnage: les séquences de calculs # ayant des durées non nulles (non infinitésimales), le
nombre de points de calculs étant forcément fini, chaque point de calcul est espacé du précédent d’une durée
minimale incompressible: c’est l’échantillonnage (ou discrétisation) du calcul;
- le calcul sans dimmension: les échantillons traités par le calculateur # sont des nombres purs (sans
dimmension)
2 L’échantillonnage:
2.1 Terminologie:
Soit une grandeur analogique x(t) dont l’évolution au cours du temps est un phénomène continu;
l’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis appelés instants d’échantillonnage, la valeur
numérique de la grandeur analogique à ces instants-là;
soit X(nTe) la valeur de x(t) à l’instant t = nTe (Te représente la période d’échantillonnage); le nombre
X(nTe) est un nombre pur.
La technique d’échantillonnage permet de connaître x(t) uniquement aux instants d’échantillonnage nTe,
toute autre valeur étant inconnue.
Le signal échantillonné peut sécrire sous deux formes:
- une suite de valeurs numériques:{X(nTe)} = {X(Te), X(2Te),...X(nTe)}
∞
- une suite temporelle d’impulsions de Dirac: x*(t) =
∑ X(nT )
e
δ(t - nT e)
n =0
2.2 Echantillonneur:
L’échantillonneur est un montage électronique permettant de prélever aux instants d’échantillon-nage nTe
une impulsion électrique image du signal ∩ continu x(t) à ces instants-là; entre les instants
d’échantillonnage, l’échantillonneur délivre une tension nulle.
4066
I/O A
CTRL A
Ve
Horloge
O/I A
R
Cp
Vs
tBAS
tHAUT
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Le condensateur Cp représente la capacité parasite existant à la sortie de l’échantillonneur (par exemple la
capacité d’entrée de l’oscilloscope qui est de l’ordre de 10pF).
Lorsque l’interrupteur analogique est fermé sa résistance RdsON vaut environs 150Ω; la constante de temps
de charge du condensateur vaut: τCH = (R // RdsON)Cp ≈ RdsON Cp
la durée à l’état haut tHAUT de l’impulsion d’échantillonnage doit être au moins égale à 5 fois τCH
Lorsque l’interrupteur analogique est ouvert la constante de temps de décharge du condensateur vaut:
τDECH = R Cp
cette constante de temps τDECH doit être au moins 5 fois plus faible que la durée à l’état bas tBAS de
l’impulsion d’échantillonnage; d’où une valeur maximale à ne pas dépassser pour la résistance R.
2.3 Echantillonneur-Bloqueur:
L’échantillonneur-bloqueur est un montage électronique
permettant de prélever aux instants
d’échantillonnage nTe la valeur X(nTe) du signal ∩ continu x(t) et de maintenir cette valeur jusqu’à
l’instant (n+1)Te.
4066
I/O A
O/I A
CTRL A
Ve
C
RCH Vs
Le condensateur C est physiquement présent; il sert à assurer la phase de blocage; la résistance RCH
représente la résistance de charge du bloqueur.
Lorsque l’interrupteur analogique est fermé la constante de temps de charge du condensateur vaut:
τCH = (RCH // RdsON)C ≈ RdsON C
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la durée à l’état haut tHAUT de l’impulsion d’échantillonnage doit être au moins égale à 5 fois τCH
Lorsque l’interrupteur analogique est ouvert le condensateur C ne doit pas se décharger; la constante de
temps de décharge du condensateur vaut: τDECH = RCH C
cette constante de temps τDECH doit être au moins égale à 10 fois la durée à l’état bas tBAS de l’impulsion
d’échantillonnage; d’où une valeur minimale pour la résistance RCH ou le condensateur C.
2.4 Modélisation mathématique du signal échantillonné:
Le signal échantillonné x*(t) a pour expression analytique:
x*(t) = Σn X(nTe) δ (t-nTe)
on remarque que le signal échantillonné x*(t) est obtenu mathématiquement par multiplication du signal ∩
continu x(t) par la suite périodique de Dirac (ou peigne de Dirac):
x*(t) = x(t) . Δ T e (t)
avec: ΔTe (t) = Σn δ(t-nTe)
On peut aussi considérer le signal échantillonné x*(t) comme une suite de nombres:
x*(t) = {X(0), X(Te), X(2Te), ...X(nTe)} que l’on notera {X(nTe)} ou encore {X(n)}
2.5 Spectre du signal échantillonné:
Le signal ∩ continu x(t) doit être à spectre borné;
soit fmax la limite supérieure du spectre X(ω) = F [x(t)]
Le spectre X*(ω) du signal échantillonné x*(t) s’obtient par convolution du spectre continu X(ω) et du
spectre de la suite de Dirac; on sait que le spectre de la suite temporelle de Dirac est une autre suite de
Dirac dans le domaine des fréquences:
F [ΔTe (t)] = ΔFe (f)
Le spectre obtenu est une duplication infinie et périodique du spectre de base X(ω) du signal ∩ dont la
périodicité est égale à la fréquence d’échantillonnage Fe.
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la figure de gauche représente le spectre du signal échantillonné;
la fréquence d’échantillonnage est égale à 10 fois la fréquence de la sinusoïde; on peut compter 10
échantillons par période sur les chronogrammes précédents;
on remarque nettement que l’unique raie spectrale (et son image négative) de la sinusoïde se trouve
répliquée autour des valeurs harmoniques de la fréquence d’échantillonange (soit 10, 20, 30...)
la figure de droite représente le spectre du signal échantillonné-bloqué; on en déduit facilement que le
boqueur se comorte comme un filtre passe-bas; du point de vue spectral, la sinusoïde échantillonnéebloquée est une image pas trop déformée de la sinusoïde de départ (harmoniques élevés et de faible
amplitude);
dans le cas où le signal incident n’est pas sinusoïdal, son spectre est composé d’une bande de raies et non
d’une raie unique; le spectre du signal échantillonné se présente alors comme une duplication autour des
harmoniques de la fréquence d’échantillonnage de la bande de fréquence:
spectre
échantillonné
d’un
signal
non
sinusoïdal
-fmax
0
fmax
fe-fmax fe
fe+fmax 2fe-fm 2fe
2fe+fm 3fe-fm 3fe
3fe+fm
la figure suivante montre le spectre d’un signal dont la fréquence maximale fmax du spectre est supérieure à
la moitié de la fréquence fe d’échantillonnage; on aperçoit nettement le problème qui se pose, à savoir le
mélange des spectres de fréquences hautes avec celui de fréquences plus basses; ce phénomène est connu
sous le nom de “repliement du spectre de fréquences”; on conçoit parfaitement qu’il devient impossible
d’effectuer une séparation correcte des fréquences, et que l’information sera perdue; on voit apparaître
dans le signal de sortie des composantes TBF qui n’existaient pas.
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-fmax
0
fe-fmax
fmax
fe
fe+fmax
2fe-fmax
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2fe
2fe+fmax
2.6 Théorème de Shannon:
On conçoit que un filtre passe-bas de fréquence de coupure égale à Fe / 2 permet si il est assez sélectif
(ordre élevé) de ne conserver que le motif de base du spectre; en théorie il est donc possible de reconstituer
le signal ∩ continu à partir du signal échantillonné par simple filtrage passe-bas. Pour celà, il suffit que la
borne supérieure Fmax de son spectre soit inférieure ou égale à Fe / 2; d’où le théorème de Shannon:
la fréquence d’échantillonnage doit être au moins égale à 2 fois la plus grande fréquence du spectre
du signal à échantillonner.
2.7 Structure d’une chaîne de traitement numérique:
e(t)
filtre
Passe-Bas
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bloqueur
CAN
bloqueur
CNA
µP
filtre
Passe-Bas
s(t)
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- le filtre passe-bas d’entrée: il limite le spectre du signal incident à Fe / 2 au maximum;
- l’échantillonneur-bloqueur d’entrée: il maintient pendant toute une période d’échantillonnage la valeur
E(nTe) aux bornes du CAN de manière à ne pas introduire d’erreur de conversion;
- le CAN: il transforme le signal échantillonné-bloqué d’entrée en un nombre pur codé en binaire naturel
ou en complément à 2 sur N bits;
- le calculateur # (µP): il exécute la séquence de calcul permettant d’élaborer la suite {Sn} d’échantillons
de sortie à partir de la suite d’entrée {En}
- l’échantillonneur-bloqueur de sortie: il maintient pendant toute une période d’échantillonnage la valeur
S(n) élaborée par le calculateur à l’entrée du CNA; en pratique il s’agit d’un registre ou d’un port d’E/S
de N bits;
- le CNA: il transforme le nombre de sortie S(n) présent dans le registre ou le port de sortie en tension
analogique s(nTe);
- le filtre passe-bas de sortie: il lisse la tension de sortie du CNA en marches d’escalier s(nTe) pour obtenir
une tension de sortie s(t) se rapprochant autant que possible de la forme souhaitée.
3 Étude mathématique des systèmes échantillonnés:
3.1 approximation de la dérivée
La notion de dérivée est introduite en classe de première par la définition suivante:
x' (t) =
dx
 x(t + dt) − x(t) 
= lim dt →0 

dt
dt
il est évident que pour calculer x’(t) sur un intervalle fini, il faut effectuer une infinité de calculs puisque
dt → 0.
l’approximation revient à remplacer dt par un intervalle petit mais fini ∆t; dans ce cas x’(t) peut se calculer
à droite ou à gauche du point t et s’écrit:
x(t + Δt) − x(t)
x(t) − x(t − Δt)
≈
Δt
Δt
ou encore en remarquant que t ne peut pas être quelconque, mais forcément un multiple de ∆t:
x' (t) ≈
x' (nΔt) ≈
x(nΔt + Δt) − x(nΔt)
x(nΔt) − x(nΔt − Δt )
≈
Δt
Δt
x' (n) ≈ x(n + 1) − x(n) ≈ x(n) − x(n − 1)
la plus petite valeur possible de ∆t est la période d’échantillonnage Te
on remaque dans cette dernière écriture que la variable t a disparru, et que l’on travaille exclusivement sur
des nombres purs sans dimensions: n, x(n), x(n+1), etc.
d’où l’apellation de technique numérique
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3.2 approximation de l’intégrale
La notion d’intégrale est introduite en terminale par la définition de l’intégrale de Rieman.
t2
F(t) =
∫
n 2 Δt
f (t) dt ≈
t1
∑ f (nΔt)
Δt = f (n1Δt) Δt + f [(n1 +1)Δt] Δt + . . .
n 1 Δt
F(nΔt) = F[(n - 1)Δt] + f (nΔt) Δt
on remarque que la définition de l’intégrale F(t) est récursive.
3.3 approximation de l’équation différentielle: équation aux différences
a) équation du premier ordre:
τ x’(t) + x(t) = 0
posons: v(t) = x’(t) ⇒ x(t) = ∫ v(t) dt
d’où:
[v(t) représente la vitesse si x(t) représente une position]
τ v(t) + x(t) = 0
ce qui donne à l’instant t = n∆t
x(n∆t) = x[(n-1)∆t] + v[(n-1)∆t].∆t
v(n∆t) = - x(n∆t) / τ
[approximation de l’intégrale de v(t)]
b) équation du second ordre:
x”(t) + 2ζω0 x’(t) + ω0 2 x(t) = 0
posons: v(t) = x’(t) ⇒ x(t) = ∫ v(t) dt
a(t) = v’(t) ⇒ v(t) = ∫ a(t) dt
[v(t) représente la vitesse si x(t) représente une position]
[a(t) représente l’accélération si v(t) représente une vitesse]
d’où:
a(t) + 2ζω0 v(t) + ω0 2 x(t) = 0
ce qui donne à l’instant t = n∆t
v(n∆t) = v[(n-1)∆t] + a[(n-1)∆t].∆t
x(n∆t) = x[(n-1)∆t] + v[(n-1)∆t].∆t
a(n∆t) = - 2ζω0 v(n∆t) - ω0 2 x(n∆t)
[approximation de l’intégrale de a(t)]
[approximation de l’intégrale de v(t)]
remarque:
on utilise pour écrire l’équation différentielle l’approximation de l’intégrale plutôt que celle de la dérivée
car cette dernière pose des problèmes pratiques notamment d’hyper sensibilité au bruit.
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3.4 transformée échantillonnée
soit x*(t) = ∑n X(nTe) δ (t-nTe) le signal échantillonné;
X*(p) = L [x*(t)] = ∑n X(nTe) e-nTep
posons: z = eTep l’opérateur d’avance d’une période Te d’échantillonnage
X*(p) = ∑n X(nTe) z-n
X(nTe) étant une valeur numérique, X*(p) dépend exclusivement de la variable z; d’où:
X(z) = ∑n X(nTe) z-n
où X(z) est la transformée échantillonnée du signal x(t).
on notera X(z) = Z [x(t)] où Z est une transformation linéaire
3.5 propriétés de la transformée en Z:
linéarité:
Z [ a.x(t)+b.y(t) ] = a.X(z) + b.Y(z)
retard:
Z [ x(t-q) ] = z-q X(z)
valeur finale:
X(∞) = lim n→∞ X(nTe) = lim z→1 (z-1) X(z)
valeur initiale:
X(0) = lim n→0 X(nTe) = lim z→∞ X(z)
convolution discrète:
[x(t) * y(t)]* = Σn [Σk X[nTe] .Y[(n-k)Te]] δ (t-nTe) ⇔ {Xn} * {Yn} = {Σk Xn .Yn-k}
Z [ x(t) * y(t) ] = X(z) . Y(z)
3.6 fonction de transfert:
soit: E(z) = Z [ e(t) ] et S(z) = Z [ s(t) ]
posons h(t) la réponse impulsionnelle du système ayant pour entrée e(t) et pour sortie s(t)
on sait par définition que:
s(t) = [ e(t) * h(t) ] ⇔ S(z) = E(z) . Z [ h(t) ]
en identifiant, on en déduit:
T(z) = Z [ h(t) ]
✍ la FT échantillonnée est la transformée en Z de la réponse impulsionnelle, comme la FT
opérationnelle est la transformée de Laplace, ou la FT isochrone est la transformée de Fourier de cette
même réponse impulsionnelle.
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3.7 table des transformées de Laplace et transformées en Z usuelles
f (t)
F(p)
F(z)
δ(t)
1
1
u(t)
1
p
z
z - 1
t
1
p2
Te z
(z - 1)2
1
e
-
te
t
τ
-
1 - e
z -e
1
Te z e

1
p + 

τ
t
τ
t
τ
-
z
 p + 1

τ

z - e

2
1
τ
1
p  p + 

τ
Te
τ
-
-
Te
τ
Te
τ


2
Te


z 1 - e τ 


Te


(z - 1)  z - e τ 


sin ωt
ω
p + ω2
z sin ωTe
z − 2z cos ωT e + 1
cos ωt
p
p + ω2
z (z - cos ωT e)
z − 2z cos ωT e + 1
ω
2
(p + α ) + ω 2
z (e - α Te sin ω Te)
e
-α t
e
-α t
sin ωt
cos ωt
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2
2
(p
+ α)
2
(p + α ) + ω 2
2
2
z 2 − 2z e- α Te cos ω Te + e - 2α Te
z (z - e - α Te cos ω Te)
z 2 − 2z e- α Te cos ω Te + e - 2α Te
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3.8 équations récurrentes
la fonction de transfert échantillonnée peut s’écrire:
a 0 + a 1.z -1 + . . . + am .z-m
S(z)
T(z) =
=
-1
-n
1 + b1.z + . . . + bn.z
E(z)
d’où:
S(z) [1 + b1.z-1 + . . . + bn.z -n ] = E(z) [a 0 + a 1.z-1 + . . . + am .z -m ]
et
S(z) = E(z) [a 0 + a 1.z-1 + . . . + am .z-m ] − S(z) [b1.z -1 + . . . + bn.z -n ]
comme S(z) = Z [{Sk }] et E(z) = Z [{Ek }]
on obtient:
Sk = [ a 0.E k + a1.E k-1 + . . . + am .E k- m ] − [ b1.Sk -1 + . . . + bn.Sk- n ]
l’échantillon Sk est obtenu par récurrence à partir des échantillons précédemment calculés Sk-1 , Sk-2 , etc
3.9 calcul des échantillons de sortie connaissant S(z)
en général, la sortie S(z) peut se mettre sous la forme d’une fraction polynomiale N(z) / D(z) que l’on
exprimera suivant un polynome en z-1 par division polynomiale, soit:
S(z) = S0 + S1.z -1 + . . . + Sk.z -k =
∑ S .z
k
-k
k
en identifiant avec la définition de S(z), on obtient les échantillons successifs S(0), S(Te), ... S(kTe) de la
sortie s(t).
exemple:
S(z) =
z + z2
1 + z -1
=
1 + 2z + z 2
1 + 2z -1 + z -2
divisons par les puissances croissantes de z-1:
1 + z-1
-1 + 2z -1 - z-2
0 - z -1 - z -2
z-1 + 2z -2 + z-3
0 + z-2 + z -3
- z -2 - 2z-3 - z-4
0 - z -3 - z -4
1 + 2z-1 + z-2
1 - z-1 + z -2 - z-3 + . . .
S(z) = 1 - z -1 + z-2 - z -3 + z -4 + . . .
s(0) s(T) s(2T) s(3T) s(4T) . . .
avec
s(kT) = (-1)k
s(t) = s(0) δ(t) + s(T) δ(t - T) + s(2T) δ(t - T) + s(3T) δ(t - T) + s(4T) δ(t - T) + . . .
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