Composants passifs

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LES COMPOSANTS PASSIFS
Les résistances
Définition
Cas des interrupteurs ouvert et fermé
Résistance dynamique d'un dipôle quelconque
Coefficient de résistivité d'un matériau
Aspect énergétique
Bruit intrinsèque généré par une résistance
Associations de résistances
Les condensateurs parfaits
Définition - Propriétés principales
Charge d’un condensateur à travers une résistance
Equation différentielle et solution générale
A retenir
Associations de condensateurs
Les self-inductances parfaites
Définition - Propriétés principales
Self en régime dynamique
Mise sous tension d'un circuit R-L
Ouverture d'un circuit R-L sous tension
Associations de selfs
Modèles électriques des composants passifs réels
Circuits à deux éléments
Circuits L-C
Impédance
Quelques applications du circuits bouchon
Transformation de circuits à deux éléments
Procédure et relations générales
Applications aux différentes configurations de circuits
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les résistances
Définition
U
I
U (V) est la tension appliquée; I (A) est le courant traversant le dipôle.
R est exprimée en Ω
R correspond à l'inverse de la pente de la droite I = f ( U) du dipôle (figure x).
La résistance R d'un dipôle résistif (figure 1) est définie par le rapport : R =
I
I
U
1/R
R
0
U
Figure x. Droite caractéristique d'un dipôle résistif
Cas des interrupteurs ouvert et fermé
L'interrupteur idéal ouvert ne permet la circulation du courant : I = 0, !U
L'interrupteur idéal fermé n'oppose aucune résistance à la circulation du courant : U = 0, !I
I
I
0
0
U
I
U
I
U
U
Figure x. Droite caractéristique des interrupteurs ouvert et fermé
Résistance dynamique d'un dipôle quelconque
Par définition la résistance dynamique d'un dipôle quelconque est donnée par :
!U
rd =
où !U et !I sont respectivement les variations de la tension et du courant autour du
!I
point de fonctionnement du dipôle (figure x).
V
I
I
IQ
!I
Q
!V
VQ
U
Figure x. Définition de la résistance dynamique d'un dipôle autour d'un point de fonctionnement Q
Coefficient de résistivité d'un matériau
Le matériau constituant une résistance présente un paramètre de résistivité ! qui lui est propre.
Pour un dipôle cylindrique homogène la résistance est liée à la résistivité par l'équation (E)
L
R =!
(E)
S
! (Ω.m) est le coef de résistivité du matériau, L (m) est sa longueur et S (m2) sa section
Le tableau xx donne le coefficient de résistivité (exprimé en Ω.m) de matériaux très utilisés.
Métal
Semi-conducteur
Isolant
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Cuivre
1,7.10-8
Silicium
0,1 à 600
Tableau xx.
Verre
109 à 1013
Aspect énergétique
La limitation du courant par une résistance engendre la production de chaleur. Ce phénomène
appelé effet Joule* est quantifié par l'équation :
U2
R
P (W) est la puissance dégagée sous forme calorique par une résistance
P = RI 2 =
Bruit intrinsèque généré par une résistance
Tout dipôle résistif se révèle être un générateur de bruit. Là encore le phénomène est imputable à
l'agitation moléculaire et électronique causée par la température. En l'absence de toute alimentation
externe, le mouvement désordonné des électrons engendre naturellement une tension de bruit de
très faible amplitude aux bornes du dipôle. Ce signal aléatoire est appelé bruit Johnson* ou bruit
thermique afin de rappeler l'implication directe de la température.
Le modèle associé la résistance bruyante est représenté en figure x.
e(t)
R
t
R
e(t)
Figure x. Modèle électrique d'une résistance bruyante
La tension e(t) étant aléatoire, seules ses caractéristiques statistiques et fréquentielles peuvent être
2
approchées. Il s’agit d’un signal à moyenne nulle et de variance e eff
. Cette dernière, estimée par la
valeur quadratique moyenne, peut aussi être déterminée à partir de la densité spectrale de puissance
(DSP) du signal.
La DSP unilatérale du bruit thermique est uniforme en fréquence (figure x). Elle s’étend sur une très
grande étendue de fréquence ce qui permet de considérer le bruit thermique comme un bruit blanc.
D(f)
4kRT
f
0
La DSP du bruit thermique dépend de la valeur R et de la température T selon l'expression (E)
D(f ) = 4kRT
(E)
-23
2
où k = 1,38 10 J/K ; D en V /Hz ; R en Ω et T en K
Par exemple pour R = 1 MΩ et T = 300 K, la DSP vaut : D = 1,65 10-14 V2/Hz
La puissance de bruit dans la bande [0 ; B] s’obtient par intégration fréquentielle de la DSP soit :
2
e eff
B
(B) = ! 4kRTdf = 4kRTB
0
On en déduit que la tension efficace mesurée du bruit thermique est conditionnée par la largeur de
bande B du système de mesure.
Par exemple pour R = 1 MΩ , T = 300 K et B = 1 MHz nous obtenons une valeur efficace de bruit
d’environ 128 µV.
Associations de résistances
Nous résumons dans le tableau xx les associations élémentaires de résistances et les ponts diviseurs
associés.
Association série
Association parallèle
Pont de Wheatstone
U
I
U
U2
R2
C
I1
R2
R1
R1
U1
R1
I2
I
R3
U
A
B
E
R4
R2
D
Résistance équivalente R
Résistance équivalente R
U
R = = R1 + R 2
I
R 1R 2
U
R= =
I R1 + R 2
Pont diviseur de tension
Pont diviseur de courant
U1 =
R1
U
R1 + R 2
I1 =
R2
I
R1 + R 2
U2 =
R2
U
R1 + R 2
I2 =
R1
I
R1 + R 2
Tension U
U=
R 2 R 3 ! R 1R 4
(R 1 + R 2 )(R 3 + R 4 )
E
Pont équilibré
U=0
c
R 2 R 3 = R 1R 4
Les condensateurs parfaits
Définition - Propriétés principales
Le condensateur, ou capacité, est constitué par deux armatures conductrices séparées par un isolant
appelé diélectrique.
Relation
fondamentale
q = C!U
u(t)
i(t)
C
q est en coulomb (C)
est la capacité
C
condensateur en farad (F)
Le condensateur
plan
Relation couranttension instantanée
i( t ) =
dq ( t )
du ( t )
=C
(1)
dt
dt
Lorsque la tension appliquée
est une grandeur variable dans
le temps (figure x), la charge
du l'est également. Il y a dans ce
cas circulation d'un courant.
Impédance en
régime harmonique
Energie stockée par
un condensateur
chargé
1
W = C ! U2
2
W (J) : énergie électrostatique est
exprimée en joule
L’énergie électrostatique est
l’équivalente
électrique
à
l’énergie
potentielle
en
mécanique.
Représentation de
Fresnel
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S
Considérons
une
tension
sinusoïdale u ( t ) et associons
lui le phaseur complexe
U( j!) = U 0 e j!t
e
Sa capacité est déterminée par
S
: C = !0! r
e
2
S (m ) est la surface en regard
des armatures
e (m) est l'épaisseur du
diélectrique
! 0 = 8,85.10-12 est la
permittivité du vide
! r est la permittivité relative
du diélectrique
A partir de (1) nous obtenons :
I( j!) = jC!U( j!)
Nous en déduisons l'impédance
complexe du condensateur :
U( j!)
1
Z c ( j!) =
=
I( j!)
jC!
On y relève un angle de retard
!
du vecteur U( j!) par
2
rapport à I( j!) . La tension et
le courant alternatifs dans un
condensateur
sont
en
quadrature.
Im
!
"
0
2
I(j !)
U(j !)
Re
i(t)
u(t)
t
0
Charge d’un condensateur à travers une résistance
Equation différentielle et solution générale
Dans le cas général, nous considérons le montage de la figure x dans lequel le condensateur est
initialement chargé.
à t=0
E
i(t)
R
C
+ +
- -
y(t)
Condition
initiale :
y(t=0)=Y0
Figure x.
dy( t )
dt
L’équation différentielle régissant la tension aux bornes du condensateur s’écrit :
dy( t )
!
+ y( t ) = E
avec
! = RC
dt
E = Ri( t ) + y( t ) et i( t ) = C
La solution de (1) sans second membre a pour expression : y( t ) = Ae
y( t ) = E est une solution particulière de l’équation complète (1)
"
"
(1)
t
!
t
!
La solution générale de (1) s’écrit : y( t ) = Ae + E
En introduisant la tension initiale nous obtenons A = Y0 ! E
D’où : y( t ) = (Y0 ! E )e
A retenir
!
t
"
+E
(2)
Y0 et A sont respectivement les tensions initiale (t=0) et finale (t=∞) du condensateur. On retiendra
l’expression (2) sous la forme mnémotechnique :
(
)
y( t ) = YINIT ! YFIN e
!
t
"
+ YFIN
Deux cas standards
Décharge complète d’un condensateur
initialement chargé
Dans ce cas : YINIT = Y0 et YFIN = 0
y( t ) = Y0 e
"
Charge complète d’un condensateur
initialement déchargé
Dans ce cas : YINIT = 0 et YFIN = E
t
!
y( t ) = E[1 " e
"
t
!]
y(t)
y(t)
Y0
E
t
0
t
0
Figure x.
Figure x.
Tableau xx
Associations de condensateurs
Association série
i(t)
u(t)
C2
Association parallèle
u(t)
i2
i1
u2
C1
C1
u1
Capacité équivalente C
C2
u = u1 + u 2
!C=
C1 C 2
C1 + C 2
Cx
i(t)
dt
; i2 = C2
i = i1 + i 2 = C
du
dt
! C = C1 + C 2
P
dt
E
U
Q
C
(!)
Tension U
Capacité équivalente C
i 1 = C1
Rx
R
Le même courant circule dans Les charges stockées par les
les condensateurs : la même condensateurs s'additionnent
charge
y
est
stockée
du
du
q = C1 u 1 = C 2 u 2 = Cu
Pont de Wien-Robinson
Notons : Z x = R x +
1
jC x !
et Z = R + 1
U=
jC!
ZP ! Z x Q
( Z x + Z)(P + Q)
E
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Pont capacitif diviseur de
tension
u1 =
Pont équilibré
P(R +
q
C
=
u
C1 C1
! u1 =
! u2 =
C2
C1 + C 2
C1
C1 + C 2
1
1
) = Q( R x +
)
jC!
jC x !
$PR = QR x
!
% #P Q
!C = C
x
"
u
u
Tableau xx
Les self-inductances parfaites
Définition - Propriétés principales
Egalement appelée inductance, la self est constituée d’un fil électrique bobiné. Le bobinage peut
être réalisé sur un support (appelé noyau) ou simplement à l’air libre.
Relation
Relation courantfondamentale
tension instantanée
Une bobine parcourue par un
di( t )
u(t) = L
courant électrique créé un
dt
champ magnétique; le flux de
ce champ s’écrit :
i(t)
u(t)
" = L!I
L
! (Wb) est le flux (exprimé en
Weber) du champ magnétique
I (A) est le courant électrique
parcourant la self
L (H) est l’inductance (en
Henry) de la self
Energie stockée par une self
parcourue par un courant
1
W = L ! I2
2
W (J) : énergie électrodynamique
stockée par une self en
conduction est exprimée en joule.
Impédance en régime
Représentation de Fresnel
harmonique
Considérons
une
tension
!
i(t)
On relève une avance de
du
sinusoïdale u ( t ) représentée le
u(t)
2
phaseur
complexe vecteur U( j!) par rapport à
I( j!) .
U( j!) = U 0 e j!t
A partir de (2) nous obtenons :
1
I( j!) =
U( j!)
jL!
L'impédance complexe du
0
t
condensateur s'écrit :
U( j!)
Z L ( j!) =
= jL!
I( j!)
Im
U(j!)
!
"
2
0
Re
I(j!)
Self en régime dynamique
Mise sous tension d'un circuit R-L
Une self réagit aux variations de courant qu'on lui impose. La mise sous tension d'un circuit R-L
(figure x) est une exemple classique du comportement dynamique d'une self.
à t=0
i(t)
R
E
L
y(t)
Condition
initiale :
i(t=0)=0
Figure x.
La mise sous tension du circuit permet d'écrire l'égalité suivante
di( t )
E = Ri( t ) + y( t ) avec y( t ) = L
dt
Nous en déduisons l’équation différentielle qui régit l'évolution du courant dans le circuit
L di( t )
E
+ i( t ) =
(1)
R dt
R
Il s'agit d'une équation différentielle analogue à celle vue pour la charge d'un condensateur (cf
Equa. x). Nous pouvons écrire sa solution sous la forme :
t
"
E
L
et ! =
R
R
L'évolution du courant à partir de l'instant d'origine s'écrit finalement :
i( t ) = (I INIT ! I FIN )e
!
+ I FIN avec I INIT = 0 ; I FIN =
t
"
E
i( t ) = (1 " e ! )
R
Commentaires
A la mise sous tension du circuit, la self présente à ses bornes une tension y( t ) qui s'oppose
temporairement à l'établissement du courant. L'évolution du courant i(t) et de la tension y(t) de la
self sont représentées en figure x.
y(t)
i(t)
E
E
R
0
t
0
Courant dans la self
Tension aux bornes de la self
Figure x. Mise sous tension d'un circuit R-L
t
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Ouverture d'un circuit R-L sous tension
Nous considérons l'interruption brutale de l'alimentation d'un circuit R-L (fig. x)
L'interruption brutale de la circulation du courant engendre une tension y(t) négative aux bornes de
la self. Cette tension, qui tend à s'opposer à l'arrêt du courant, peut être très élevée et endommager
l'interrupteur. On protège ce dernier en mettant une diode dite de "roue libre" en parallèle sur la self
(figure x). La self cour-circuit la tension induite et dissipe l'énergie de la bobine.
i(t)
R
E
L
à t=0
-
R
E
y(0+)
+
L
D
à t=0
Figure x. Ouverture d'un circuit R-L
alimenté
Figure x. Protection par diode de "roue
libre"
Associations de selfs
Modèles électriques des composants passifs réels
Dans les schémas qui suivent, les éléments parasites sont représentés dans
des zones hachurées.
Modèle d’une résistance réelle
l
R
C
l représente la self parasite de la
résistance. Elle est très faible pour les
résistances à couche de carbone mais
non négligeables dans le cas de
résistances bobinées.
L’effet de la capacité parasite C peut
Modèle d’un condensateur réel
l
C
r
R
R représente la résistance de fuite (ou
d’isolement) du condensateur. Elle est
conditionne la tenue en charge d’un
condensateur isolé. Les valeurs
typiques dépassent 1012 Ω.
r de faible valeur correspond au pertes
Modèle d’une inductance réelle
L
r
C
La self est constituée d’un bobinage
de fil de cuivre isolé par un vernis. Le
condensateur
C représente
les
capacités parasites entre les spires.
Afin de diminuer la capacité C, les
selfs de haute qualité sont formées de
généralement être négligé pour des diélectriques. Enfin l’effet selfique spires non jointives et organisées en
fréquences de travail inférieures à 300 engendré par l se manifeste en haute couches croisées.
MHz.
fréquence.
r correspond à la résistance du fil
bobiné.
En basse fréquence, l’impédance de C
est très élevée, l’effet capacitif de la
self est négligeable.
Circuits à deux éléments
Circuits L-C
Impédance
Circuit L-C série
C
Circuit L-C parallèle
L
L
C
1
Z( j!) = j[L! "
] = jX
C!
L!
L'impédance du circuit L-C série s'annule pour la
jL!
C!
Z
(
j
!
)
=
=
= jX
2
pulsation de résonance telle que LC!0 = 1 soit
2
1
1
"
LC
!
j[L! "
]
1
C
!
!0 =
LC
L'impédance du circuit L-C parallèle est infinie
X
1
pour la pulsation !0 =
dite d'antiLC
!
résonance.
!0
X
!
!0
Quelques applications du circuits bouchon
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Circuit d'accord radio-fréquence
L
C
Transpondeur 1 bit pour étiquette antivol
Ce type de transpondeur est utilisé comme système antivol dans les
magasins.
(sigle international : EAS electronic article surveillance)
Générateur RF
Transpondeur
IG
fG
(f0)
B
Figure 1.
Un générateur RF émet un champ magnétique alternatif de fréquence f G au
moyen d’une bobine.
Le transpondeur est constitué d’un circuit LC résonant à la fréquence
1
f0 =
2! LC
Rappel : Une oscillation dans un circuit résonant de type LC correspond à
l’échange périodique à la fréquence f 0 d’une énergie moyenne égale à
1
1 2
2
CVeff
= LI eff
entre la self et le condensateur.
2
2
( sont les valeurs efficaces de la tension et du courant au sein du circuit
oscillant)
Le générateur peut induire une oscillation dans le circuit résonant si f G et
f 0 sont identiques.
Au moment où le transpondeur, initialement au repos, est approché du
générateur, il absorbe une énergie égale à l’énergie d’oscillation. Cette
absorption occasionne un accroissement de courte durée du courant I G
délivré par le générateur. Le phénomène est appelé dip. Une fois le
transpondeur éloigné du générateur, son oscillation s’évanouit.
La détection du dip signale ainsi le mouvement du transpondeur à
proximité du générateur.
Transformation de circuits à deux éléments
On considère des circuits à deux éléments, l’un est résistif (R), le second est purement réactif (L ou
C). Les relations qui suivent permettent de transformer un circuit de type série en son équivalent
parallèle et réciproquement.
Procédure et relations générales
Transformation série  parallèle
Circuit original
Circuit transformé
RS
Rp
Transformation parallèle  série
Circuit original
Circuit transformé
jXP
Rp
RS
jXP
jXS
jXS
XS
RS
On note : Q S =
ZS = R S + jX s
YS =
YP =
R S ! jX s
On note : Q P =
1
j
!
R P XP
R S2 + X s2
ZP =
=
jX P R P
R P + jX P
R P = RS
X P = XS
R S2
R 2P + X 2P
R S2 + X s2
X S2
ZS = Z P !
)
RS = R P
&1 + Q2 #
S!
= XS $
$ Q2 !
S "
%
XS = X P
=
ZS = R S + jX s
R P X 2P + jX P R 2P
YP = YS !
R S2 + X s2
RP
XP
(
R S 1 + Q S2
X 2P
R 2p
+ X 2P
R 2P
R 2p + X 2P
= RP
= XP
1
1 + Q 2P
Q 2P
1 + Q 2P
Remarques :
 QS = Q P

Dans une transformation X S et X P sont de même signe
Applications aux différentes configurations de circuits
Transformation série  parallèle
Circuit original
Circuit transformé
RS
Rp
CP
Transformation parallèle  série
Circuit original
Circuit transformé
Rp
CP
CS
RS
CS
QS =
1
= QP = R PCP!
R SCS!
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RP =
(
R S 1 + Q S2
& Q2 #
S !
et C P = C S $
$1 + Q2 !
S"
%
)
RS = R P
1
1 + Q 2P
RS
1 + Q 2P
Q 2P
RS
Rp
LP
Rp
LP
LS
LS
QS =
RP =
et C S = C P
(
R S 1 + Q S2
LS!
R
= QP = P
RS
LP!
&1 + Q2 #
S!
et L P = L S $
$ Q2 !
S "
%
)
RS = R P
1
1 + Q 2P
et L S = L P
Q 2P
1 + Q 2P