Composants passifs

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LES COMPOSANTS PASSIFS
Les résistances
Définition
Cas des interrupteurs ouvert et fermé
Résistance dynamique d'un dipôle quelconque
Coefficient de résistivité d'un matériau
Aspect énergétique
Bruit intrinsèque généré par une résistance
Associations de résistances
Les condensateurs parfaits
Définition - Propriétés principales
Charge d’un condensateur à travers une résistance
Equation différentielle et solution générale
A retenir
Associations de condensateurs
Les self-inductances parfaites
Définition - Propriétés principales
Self en régime dynamique
Mise sous tension d'un circuit R-L
Ouverture d'un circuit R-L sous tension
Associations de selfs
Modèles électriques des composants passifs réels
Circuits à deux éléments
Circuits L-C
Impédance
Quelques applications du circuits bouchon
Transformation de circuits à deux éléments
Procédure et relations générales
Applications aux différentes configurations de circuits
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------
Les résistances
Définition
La résistance R d'un dipôle résistif (figure 1) est définie par le rapport :
I
U
R=
U
(V) est la tension appliquée;
I
(A) est le courant traversant le dipôle.
R
est exprimée en Ω
R
correspond à l'inverse de la pente de la droite
)U(fI =
du dipôle (figure x).

U
I
1/R
0
U
I
R
Figure x. Droite caractéristique d'un dipôle résistif
Cas des interrupteurs ouvert et fermé
L'interrupteur idéal ouvert ne permet la circulation du courant :
U,0I !=
L'interrupteur idéal fermé n'oppose aucune résistance à la circulation du courant :
I,0U !=
U
I
0
U
I
U
I
0
U
I
Figure x. Droite caractéristique des interrupteurs ouvert et fermé
Résistance dynamique d'un dipôle quelconque
Par définition la résistance dynamique d'un dipôle quelconque est donnée par :
I
U
rd!
!
=
où
U!
et
I!
sont respectivement les variations de la tension et du courant autour du
point de fonctionnement du dipôle (figure x).
Q
U
I
VQ
IQ
!V
!I
V
I
Figure x. Définition de la résistance dynamique d'un dipôle autour d'un point de fonctionnement Q
Coefficient de résistivité d'un matériau
Le matériau constituant une résistance présente un paramètre de résistivité
!
qui lui est propre.
Pour un dipôle cylindrique homogène la résistance est liée à la résistivité par l'équation (E)
S
L
R!=
(E)
!
(Ω.m) est le coef de résistivité du matériau,
L
(m) est sa longueur et
S
(m2) sa section
Le tableau xx donne le coefficient de résistivité (exprimé en Ω.m) de matériaux très utilisés.
Métal
Semi-conducteur
Isolant

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Cuivre
Silicium
Verre
1,7.10-8
0,1 à 600
109 à 1013
Tableau xx.
Aspect énergétique
La limitation du courant par une résistance engendre la production de chaleur. Ce phénomène
appelé effet Joule* est quantifié par l'équation :
R
U
RIP
2
2==
P (W) est la puissance dégagée sous forme calorique par une résistance
Bruit intrinsèque généré par une résistance
Tout dipôle résistif se révèle être un générateur de bruit. Là encore le phénomène est imputable à
l'agitation moléculaire et électronique causée par la température. En l'absence de toute alimentation
externe, le mouvement désordonné des électrons engendre naturellement une tension de bruit de
très faible amplitude aux bornes du dipôle. Ce signal aléatoire est appelé bruit Johnson* ou bruit
thermique afin de rappeler l'implication directe de la température.
Le modèle associé la résistance bruyante est représenté en figure x.
R
R
e(t)
e(t)
t
Figure x. Modèle électrique d'une résistance bruyante
La tension e(t) étant aléatoire, seules ses caractéristiques statistiques et fréquentielles peuvent être
approchées. Il s’agit d’un signal à moyenne nulle et de variance
2
eff
e
. Cette dernière, estimée par la
valeur quadratique moyenne, peut aussi être déterminée à partir de la densité spectrale de puissance
(DSP) du signal.
La DSP unilatérale du bruit thermique est uniforme en fréquence (figure x). Elle s’étend sur une très
grande étendue de fréquence ce qui permet de considérer le bruit thermique comme un bruit blanc.
D(f)
0
f
4kRT
La DSP du bruit thermique dépend de la valeur R et de la température T selon l'expression (E)
4kRT )f(D =
(E)
où k = 1,38 10-23 J/K ; D en V2/Hz ; R en Ω et T en K
Par exemple pour R = 1 MΩ et T = 300 K, la DSP vaut : D = 1,65 10-14 V2/Hz
La puissance de bruit dans la bande [0 ; B] s’obtient par intégration fréquentielle de la DSP soit :
kRTB4kRTdf4 (B)e
B
0
2
eff == !
On en déduit que la tension efficace mesurée du bruit thermique est conditionnée par la largeur de
bande B du système de mesure.

Par exemple pour R = 1 MΩ , T = 300 K et B = 1 MHz nous obtenons une valeur efficace de bruit
d’environ 128 µV.
Associations de résistances
Nous résumons dans le tableau xx les associations élémentaires de résistances et les ponts diviseurs
associés.
Association série
Association parallèle
Pont de Wheatstone
R2
R1
U
U1
U2
I
R2
R1
U
I1
I2
I
R2
E
C
A
R4
R3
R1
B
D
U
Résistance équivalente R
Résistance équivalente R
Tension
U
21 RR
I
U
R+==
21
21
RR
RR
I
U
R
+
==
E
)RR)(RR(
RRRR
U
4321
4132
++
!
=
Pont diviseur de tension
U
RR
R
U
21
1
1+
=
U
RR
R
U
21
2
2+
=
Pont diviseur de courant
I
RR
R
I
21
2
1+
=
I
RR
R
I
21
1
2+
=
Pont équilibré
0U =
c
4132 RRRR =
Les condensateurs parfaits
Définition - Propriétés principales
Le condensateur, ou capacité, est constitué par deux armatures conductrices séparées par un isolant
appelé diélectrique.
Relation
fondamentale
Relation courant-
tension instantanée
Energie stockée par
un condensateur
chargé
UCq !=
C
u(t)
i(t)
q
est en coulomb (C)
C
est la capacité du
condensateur en farad (F)
dt
)t(du
C
dt
)t(dq
)t(i ==
(1)
Lorsque la tension appliquée
est une grandeur variable dans
le temps (figure x), la charge
l'est également. Il y a dans ce
cas circulation d'un courant.
2
UC
2
1
W!=
W (J) : énergie électrostatique est
exprimée en joule
L’énergie électrostatique est
l’équivalente électrique à
l’énergie potentielle en
mécanique.
Le condensateur
plan
Impédance en
régime harmonique
Représentation de
Fresnel

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e
S
Sa capacité est déterminée par
:
e
S
Cr0!!=
S
(m2) est la surface en regard
des armatures
e
(m) est l'épaisseur du
diélectrique
0
!
= 8,85.10-12 est la
permittivité du vide
r
!
est la permittivité relative
du diélectrique
Considérons une tension
sinusoïdale
)t(u
et associons
lui le phaseur complexe
tj
0eU)j(U !
=!
A partir de (1) nous obtenons :
)j(UjC)j(I !!=!
Nous en déduisons l'impédance
complexe du condensateur :
!
=
!
!
=!jC
1
)j(I
)j(U
)j(Zc
On y relève un angle de retard
2
!
du vecteur
)j(U !
par
rapport à
)j(I !
. La tension et
le courant alternatifs dans un
condensateur sont en
quadrature.
Re
Im
0
I(j!)
U(j!)
!
"
2
t
0
i(t)
u(t)
Charge d’un condensateur à travers une résistance
Equation différentielle et solution générale
Dans le cas général, nous considérons le montage de la figure x dans lequel le condensateur est
initialement chargé.
C
y(t)
i(t)
R
E
à t=0
+ +
- -
Condition
initiale :
y(t=0)=Y0
Figure x.
)t(y)t(RiE +=
et
dt
)t(dy
C)t(i =
L’équation différentielle régissant la tension aux bornes du condensateur s’écrit :
E)t(y
dt
)t(dy =+!
avec
RC=!
(1)
La solution de (1) sans second membre a pour expression :
!
"
=
t
Ae)t(y
E)t(y =
est une solution particulière de l’équation complète (1)
La solution générale de (1) s’écrit :
EAe)t(y
t
+= !
"
En introduisant la tension initiale nous obtenons
EYA 0!=
D’où :
( ) EeEY)t(y
t
0+!="
!
(2)
A retenir