TD3 EM TSI 2015-2016

TD3
EM
TSI 2015-2016
Exercice 1 : Etude de structures simples avec le
-
théorème de Gauss
-
> alors "#$ = < alors "#$ = 0
c)
1)
Appliquer le théorème de Gauss et en déduire
On va chercher à déterminer, avec un repérage
l’expression du champ en tout point de
sphérique (, , ), le champ électrostatique créé
l’espace.
par une sphère, de centre , de rayon , chargée
d)
uniformément en surface avec une densité > 0.
potentiel électrostatique en tout point de
Calcul du flux de : = ) )
i)
&∞) = 0, donner l’expression du
en posant
La charge totale est donc = 4 .
a)
En utilisant la continuité du potentiel &) et
Faire l’analyse des invariances de la
e)
fonction densité surfacique de charges et
l’espace à l’aide de ).
Tracer les fonctions ) et &).
en déduire la variable dont dépend le
On applique le théorème de Gauss
champ électrostatique.
>
= ) × 4 "#$ =
'(
'(
)
=
4'( On peut déterminer le
potentiel
+ *+
&) =
4'( On en déduit le potentiel
associé :
En prenant &∞) = 0,
,
alors : &) =
ii) Faire
l’analyse
des
symétries
de
la
distribution de charges et en déduire la
direction du champ électrostatique.
iii) Vérifier alors qu’une surface de Gauss
sphérique de rayon et de centre O est
appropriée
pour obtenir l’expression de
ϕ. Exprimer alors ce flux.
L’ensemble des plans de symétrie contenant le point le
point et le point , où l’on cherche à déterminer le
champ, sont des plans de symétrie.
L’intersection de ces plans se fait suivant .
Donc
, , ) = , , )
.
<
= ) × 4 "#$
=0
'(
=0
Le potentiel est alors constant
&) = *+. Cette constante doit
vérifier la continuité du potentiel
électrique en = donc :
&) = &) =
4'( -./0 On peut tracer les profils associés :
La distribution de charges est indépendante des
paramètres et , donc , , ) = ).
Une surface de Gauss sphérique de rayon est
appropriée ici compte tenue des résultats précédents
Un cylindre infini, de rayon , porte une charge
2)
= ) = )
.
= ). b)
= ) × 4 répartie uniformément en volume avec une
a)
densité volumique 1( positive.
Détermination de "#$
i)
ii)
Déterminer la charge "#$ présente à
l’intérieure de la surface de Gauss si
<
Déterminer la charge "#$ présente à
En utilisant le théorème de Gauss, déterminer
le champ électrostatique en un point
quelconque de l’espace (on dégagera donc 2
situations ≤ et ≥ ). Représenter le
b)
graphe ).
Construire le potentiel électrostatique & en
choisissant son origine à la surface du
l’intérieure de la surface de Gauss si
>
& = ) = 0.
cylindre
Représenter
ce
potentiel &) et donner sa valeur sur l’axe de
révolution du cylindre.
On peut distinguer deux cas :
En proposant une surface de Gauss cylindrique, on
trouve l’expression du champ pour donné :
-
>
<
) =
) =
4
pour < 456
pour > On trouve le potentiel associé :
-
&) =
456 7 6 )
-
pour < TD3
EM
&) =
-
456
5
ln ) pour > utilisant les questions précédentes. On donne
\G = 9,1. 107?^ _`, = 1,6. 107^a *, b =
3,0. 10= \@ 7^ , '( = 8,9. 107^ d
On a donc pour cette charge au repos une identification
Exercice 2 : Rayon classique de l’électron
1)
On considère une distribution volumique de
charges de densité volumique ρ uniforme
contenue dans une sphère. On note Q la
charge totale. Déterminer l’expression du
champ électrostatique et du potentiel
électrostatique en tout point en fonction de
Q, R et '( .
On utilise les coordonnées sphériques. Tous les plans
contenant le point M et O sont des plans de symétrie
donc le champ est radial = , , )
.
On a invariance
pour toutes rotations autour de O de la distribution de
charges : = )
On propose très logiquement une sphère pour la surface
de Gauss
,
> : ) =
6 -
qui donne alors :
3
= \b 20'( Soit :
=
3
≈ 1,7g\
20'( \b Exercice 3 : Le condensateur plan et diédrique
Un vidéo projecteur utilise des forces électrostatiques
afin
d’orienter les
micro-miroirs
réfléchissant
la
lumière à projeter.
-./0 ,
< : ) =
-.5; /0 On trouve ensuite les potentiels :
,
,
> : &) =
+ *+ =
En
-./0 potentiel nul à l’infini
-
TSI 2015-2016
< :&) = −
?,
=.5/0
, 6
=.5; /0
?,
@AB+: &) =
=./0 5
-./0 prenant
un
+ *+ ′ → *+ ′ =
C1 −
6
?56
E
Chaque cellule (pixel) est équivalente un condensateur
dont la détermination de la capacité est nécessaire afin
d’apprécier son temps de réponse électrique (par
rapport aux temps de cadencements imposés par le
signal vidéo).
a)
Etude « en position » condensateur plan :
On va considérer le système équivalent à deux plans (P1)
2)
On associe à une distribution de charges
créant un champ électrostatique une
densité volumique d’énergie électrique égale à
/0 . Calculer l’énergie électrostatique FG de
cette distribution en fonction de Q, R et '( .
On a donc une énergie électrostatique totale :
'(
FG = I J
K @BL
2
M5 4'( +I J
K
@BL
?
N5 4 '(
'( 1
FG = J
K OI
@BL
2 4'(
M5 +I
@BLQ
P
N5
'( 1
FG = J
K 4 OI
+ I
Q
P
2 4'(
M5 N5 ∞
V 5
'( −1
FG = J
K 4 RS T + U P X Y
2 4'(
5
5 (
'( 1
1
J
K 4 J + K
2 4'(
5
'( 6
3
FG = J
K 4 J K =
2 4'(
5
20'( FG =
3)
Einstein a postulé que l’énergie d’une masse \
au repos est égale à mc2. Calculer alors l’ordre
de grandeur du rayon d’un électron en
et (P2) parallèles et rectangulaires. (P1) et (P2) sont de
dimension surfacique h et i et placés en regard l’un de
l’autre à une distance j( . Une différence de potentiel
positive F = &^ − & est maintenue entre ces deux plans.
m^ )
j(
F
m )
j
On néglige toute influence électrique extérieure. On
suppose j( petit devant les longueurs h et i de sorte
que les effets de bords soient négligeables (ce qui
revient
à
supposer
les
plaques
infinies
et
le
condensateur idéal).
1)
Déterminer, à l’aide du théorème de Gauss, le
champ électrostatique kl ) rayonné en tout point
par le plan m^ ) seul. On notera >0 la densité
2)
surfacique supposé uniforme de ce plan.
Déterminer le champ électrostatique k6 ) rayonné
en tout point par le plan m ) seul. On notera - la
densité surfacique supposée uniforme de ce plan.
TD3
3)
EM
En déduire l’expression du champ entre les
TSI 2015-2016
On obtient une capacité équivalente de 0,17 nF
plaques.
8)
L’ensemble {alimentation + miroir} de tous les
On propose une surface de Gauss cylindrique centré sur
pixels est équivalent à un condensateur de 1 nF
chaque
(contribution
plan
majoritaire
de
la
cellule
MOS
d’alimentation). Si on suppose que l’ensemble est
équivalent à un circuit RC, quelle est la valeur de la
résistance de liaison à ne pas dépasser pour avoir
un système électrique suffisamment rapide pour
suivre un signal vidéo dont la cadence est de
20µs ?
Il faut RC << 20 µs soit R << 20 kΩ
b)
Etude « en position » condensateur diédrique :
Les plaques métalliques (P1) et (P2) forment maintenant
Le flux à travers cette surface fermée nous donne
alors :
différence de potentiel continue et positive F = &^ − &
En remarquant que le plan contenant la distribution est
également un plan de symétrie alors : ^ = ? =0,
k^ =
Et donc un champ =
4)
n
.
/0 o
de leurs plans ; x" sa distance à leurs bords intérieurs
et xG sa distance à leurs bords extérieurs. Une
=
= ^ + + ?
'(
Avec
un dièdre d’angle w. On note Oz la droite d’intersection
est maintenue entre les plans (P1) et (P2). On note , et
y les coordonnées cylindriques du point M quelconque de
l’espace entre les deux plaques. On néglige toujours les
effets de bords.
alors :
2'(
Déterminer la capacité * du condensateur en
fonction de h, i, j( et '(
La capacité s’obtient en calculant la circulation du
champ sur un parcours d’une armature à l’autre :
1)
q6
p
j = − p & = F = j( =
j( =
j(
'
'
'
'
(
(
(
(
(
ql
o0
Donc : * =
5)
tG =
6)
o0
lignes de champ et des équipotentielles.
électrique tG ainsi que son unité.
/0
dépend uniquement de . Justifier que les lignes de
champ électrostatique entre les plaques soient
des arcs de cercle centrées sur Oz. Dessiner des
/0 rs
Rappeler l’expression de la densité d’énergie
u6
On admettra que le potentiel électrostatique &)
Si
&)
alors
orthoradial :
zq{)
= −
{
z{
Donc
le
et s’exprime en v. \7?
En utilisant la fonction tG , déterminer l’énergie
électrostatique FG accumulée par le condensateur
chargé en fonction de * et F
1
1
FG = '( i@j( = *F
2
2
On donne i = 10µ\, h = 5µ\, j( = 2µ\, '( = 8,9. 107^ d.
7)
Calculer la capacité équivalente des 1024×768
condensateurs
en
condensateur plan.
parallèles
dans
le
cas
du
Donc = −
zq{)
z{
{ conduit à ) = −
zq{)
z{
champ
est
TD3
2)
EM
TSI 2015-2016
En appliquant le théorème de Gauss à la surface
5)
élémentaire fermée comprise entre et + , y
et y + y, et + , montrer que
zq{)
z{
Montrer que l’expression de la capacité du
condensateur diédrique peut se mettre sous la
= *+
forme *′ =
/0 r
€

hL C ‚ E en calculant la charge
ƒ
totale portée par (P1)
On prend la surface suivante :
„‚
=p
(
„ƒ
/0 r
Donc : *′ =
6)
€
r
p '(
&^ −&
F
xG
y = '( i hL J K
w
w
x"

hL C ‚ E
ƒ
Donner le rapport C’/C sachant que xG = 7µ\ et
x" = 2µ\ et w=10°.
On obtient C’/C ≈ 3, ce qui est logique, car on réduit
l’épaisseur du condensateur.
Exercice 4 : Le condensateur cylindrique
Donc :
^ , + , y) − ^ , , y))
= 0 = |
{ = 0
Soit un champ qui se conserve donc ^ , + , y) =
}u
^ , , y) donc = 0
}{
Or :
}u
}{
=
}
}{
zq{)
Donc :
3)
z{
C−
zq{)
z{
E=
^ z6 q{)
z{6
= *+
Un
condensateur
est
formé
de
deux
cylindres
conducteurs très longs (on néglige les effets de bords),
d’axe y, séparés par un matériau dont la permittivité
diélectrique '( . Le premier cylindre plein, de rayon ^, au
potentiel &^ , porte la charge surfacique > 0 uniforme;
le second, au potentiel & < &^ est creux et de rayon
> ^
En déduire l’expression du potentiel & et du module
du champ en M en fonction des constantes &^ , &
et w
On a donc &) = ~ +  avec deux conditions aux
limites imposées : &0) = &^ = 
Et : &w) = ~w + &^ = &
Soit :&) =
Donc = −
q6 7ql
€
zq{)
z{
+ &^
=
ql 7q6
€
On donne le théorème de Coulomb exprimant le champ
électrostatique à proximité immédiate d’un
conducteur chargé en surface avec une densité :
n
= L (où L est le vecteur normal à la surface du
/0
conducteur et dirigé vers l’extérieur de celui-ci).
4)
Déterminer la densité surfacique de charges ^ )
sur (P1) pour une distance radiale au voisinage
immédiat de (P1)
A l’aide du théorème de coulomb, on a, à proximité
directe du conducteur et pour une position radiale
donné :
&^ −& ^ )
=
w
'(
a)
Etude théorique
1)
Déterminer le champ électrique entre les deux
2)
Déterminer la capacité linéique *s en fonction de '(
cylindres.
et
des
caractéristiques
géométriques
du
condensateur.
3)
Donner l’expression de l’énergie électrostatique
linéique FGs d’un tel système. Que vous évoque ce
résultat si l’on introduit la charge linéique s ?
n5
= l .
On peut alors trouver la capacité linéique en
/0 calculant la circulation pour aller de l’âme à la gaine :
&^ − & =
‡
Donc *s = =
ˆ
./0
‹
‰ŠC 6 E
‹l
^
s
ln J K =
ln J K
'(
^
2ℎ'(
^
TD3
EM
On a, par définition, tG = '(
Donc FGs =
/0
C
n5l /0 /Œ
E 
z
*^ j) est la capacité d’un condensateur plan : *^ j) =
u6
y =
^ ,Ž 6
.ˆ/0
FG,s =
'(
5
hL C 6 E
5l
.5l6
o
*( est la capacité d’un condensateur cylindrique : *( =
./0
s
2*s
‹
‰ŠC‹6 E
On retrouve l’équivalent linéique du condensateur plan
b)
TSI 2015-2016
3)
l

Pour faire la mesure de j, on relie la pièce (P ) et le
cylindre (B) à la masse électrique. Quelle est alors
l’expression de la capacité * en fonction de j ?
Application : capteur de proximité
On a donc un condensateur C2 équivalent à un fil et
Pour asservir précisément la position d’un appareil de
mesure à une distance microscopique d’un objet
métallique, ou inversement la position d’une pièce de
donc : * =
4)
métal par rapport à un outil fixe, on peut utiliser un
capteur capacitif de proximité. La tête de mesure de ce
./0

‹
‰ŠC 6 E
‹l
Application
+ '(
.5l6
o
^ = 5\\; = 6\\;  = 5\\; j =
0,1\\; '“" ≈ 107^^ ”. \7^ . Donner la valeur de * .
capteur comporte un cylindrique métallique (A) long de
On obtient 8 pF
cylindre métallique coaxial ouvert (B) plus long, de rayon
Exercice 5 : Condensateur de 2e espèce
 à base circulaire plane (D) de rayon ^, entouré d’un
intérieur dont une extrémité est exactement dans le
a)
plan (D).
Description
Soient deux fils verticaux, conducteurs, de longueur i
et distant de ≪ i. On note ^ et la distance radiale
respective d’un point avec chaque fil. Avec ^ ≪ i et
≪ i on pourra négliger les effets de bords. Les fils
sont chargés respectivement avec une densité linéique
+– et −– et placés aux potentiels &^ et & < &^ .
1)
En appliquant le théorème de Gauss, donner
l’expression du champ créé par chaque fil.
2)
En travaillant dans le plan contenant les deux
La pièce métallique plane (P) est parallèle à (D) à une
fils,
distance
électrique total entre les deux fils. On notera,
j.
L’ensemble
{(A),(B),(P)}
forme
une
•
•
1)
la
circulation
du
champ
pour les besoins du calcul, — le rayon faible de
association de trois condensateurs :
•
mesurer
Le condensateur {(A),(B)} de capacité constante *(
3)
Le condensateur {(A),(P)} de capacité *^ j)
4)
Le condensateur {(B),(P)} de capacité * j)
ces deux fils (— ≪ ^ et — ≪ ).
Exprimer la capacité linéique *s .
Les deux fils sont immergés sur une hauteur
Représenter le schéma électrique équivalent de
ℎ<i
l’ensemble {(A),(B),(P)} entre les connexions de
est dans l’air assimilé à du vide). Que peut-on
dans
de
l’eau
de
permittivité
diélectrique '( ' (le reste des fils émergeant
remarquer de notable sur la fonction *ℎ) ?
mesures 1 et 2. Quelle est l’expression de la
capacité électrique * du capteur entre 1 et 2 ?
b)
Application : capteur de niveau
C0
Proposer un protocole permettant de vérifier qu’une
C1(x)
C2(x)
simple nappe de fils isolés électriquement permet
d’obtenir un capteur linéaire de niveau de liquide (on
On montre rapidement que * = *( +
2)
‡l ‡6 )
‡l ‘‡6 )
Exprimer *( et *^ j) en négligeant les effets de
bord.
appréciera également la pertinence de la linéarité).
Matériel à disposition :
-
Verrerie (bécher, burette graduée…)
-
Multimètre avec documentation technique
TD3
-
EM
TSI 2015-2016
Nappes de fils isolés par une gaine en plastique
Rq : Rappels sur les incertitudes de type B :
S’il s’agit d’un appareil analogique (règle, cadran) alors
∆™ =
š
√œ
où š est la graduation de l’appareil
S’il s’agit d’un appareil numérique alors le constucteur
donne une incertitude sous la forme d’une somme de
deux termes :
ž × x + % ~ht ht
Avec ž constantes donnée par le constructeur, x est la
valeur unitaire du dernier digit affiché.
Une régression linéaire donne alors :
L’incertitude est alors donnée par :
∆™ =
2ž × x + % ~ht ht)
√12
∆™ =
ž × x + % ~ht ht)
√3
Le champ électrique total est donc :
=
La
circulation
–
–
t −
t
2'( ^ ^ 2'( du
champ
électrostatique
Cette linéarité est vérifiée mais le résidu de 0,1
montre
une
incertitude
expérimentale
notable
est
conduisant à une incertitude sur la pente de 10%. Il
conservative et indépendante du chemin suivi. Il est
s’agit surtout d’un effet lié à la faible valeur de la
pratique de la mesurer dans le plan contenant les deux
capacité.
fils :
–
–
=
t +
t
2'( ^ ^ 2'( − ^ ) ^
&^ − & =
F=
D’où : * =
z7¡
z7¡
^
–
^
+p
Op
Q
2'( ¡
^
− ^ )
¡
Exercice 6 : Condensateur sphérique
a)
Partie théorique
On considère deux conducteurs de géométrie sphérique
de même centre . Le premier est une sphère de rayon
–
−—
—
Rln J
K − hL J
KY
2'(
—
−—
^ et le second un calotte sphérique de rayon (bord
–
—
Rln J K − hL J KY
F≈
—
2'(
porte une charge ^ répartie uniformément en surface
–
F≈
ln J K
'(
—
./0
intérieur) et ? (bord extérieur). L’ensemble forme un
condensateur sphérique. L’armature interne de rayon ^
et l’armature externe de rayon ? est reliée à la masse.
¢
£
‰ŠC E
En présence d’un liquide, on se retrouve alors avec deux
condensateurs en parallèle, ce qui conduit à la capacité
équivalente :
*=
'( h − ℎ) '( ' ℎ
+
ln C E
ln C E
—
—
La capacité est donc une fonction linéaire de la hauteur
de liquide
1)
Déterminer, à l’aide du théorème de Gauss, le
2)
Exprimer la différence de potentiel &^ ) −
champ entre les armatures.
& ) en fonction de ^ , et '(
TD3
EM
3)
En déduire la capacité du condensateur
sachant que = ^ + avec ≪ ^
D’après le théorème de Gauss, le champ entre les
armatures est donné par : ) @BL =
4 ) =
,l
/0
. Soit ) =
,l
-./0 6
,l
C
^
−
b)
^
56
E≈
,l G
-./0 5l6
soit : * =
Rq : En temps normal, l’atmosphère est partiellement
ionisée et parcourue par de faibles courants électriques
verticaux dont l’effet principal est de décharger le
système
Terre-atmosphère.
Cependant
l’activité
orageuse et la foudre permettent de maintenir la
stabilité du système.
.
La circulation entre les deux armatures donne :F =
-./0 5l
TSI 2015-2016
-./0 5l6
G
Exercice 7 : Modélisation électrique d’une cellule
(http://schwann.free.fr/neurobiologie_cellulaire03.htm
l)
Toutes cellules vivantes de l’organisme présentent une
Application :
différence de potentiel électrique transmembranaire ou
On représente l’ensemble Terre-ionosphère comme un
volumineux condensateur.
potentiel de membrane. Quand la cellule est au repos,
ce potentiel électrique reste stable : c’est le potentiel
de repos.
Les parois d’une membrane cellulaire sont sélectives et
favorisent le passage de certains ions, par exemple ¥ ‘ .
Ainsi, une membrane perméable aux ions ¥ ‘ sera le
siège des phénomènes suivants :
Ions K+
La Terre, de rayon R = 6380 km, se comporte comme un
conducteur parfait de potentiel nul et porte une charge
négative -Q (Q > 0) uniformément répartie sur sa
surface, tandis que l’ionosphère représentée par une
surface équipotentielle sphérique de rayon R + zo, de
potentiel V possède une charge totale +Q. On suppose
que l’atmosphère possède la permittivité du vide. Des
mesures à l’altitude zo = 60 km ont permis d’évaluer le
potentiel à environ 360 kV par rapport au potentiel de
la Terre.
1) Justifier que le système se comporte comme
un condensateur localement plan. Déterminer
la valeur numérique de la capacité C.
Ions Cl-
Diffusion d’ions
¥‘
z0 << R. On retrouve le résultat précédent Application
numérique : C = 7,55.10-2 F
2)
dans
la
cellule
Limitation de la
diffusion par les
ions
Calculer l’énergie électrostatique Ue du
système, ainsi que la valeur du champ E au
niveau du sol.
arrêtés
négatifs
par
membrane
restés
la
et
à
l’extérieur de la
^
On obtient FG = *& = 4,32™v et, puisque l’ensemble
cellule.
est équivalent à un condensateur plan, le champ est
uniforme et donné par =
3)
q
¤0
= 6&. \7^
Calculer la charge -Q portée par la Terre puis
donner la valeur de la densité surfacique de
charge à la surface de la Terre.
La membrane est globalement neutre et constitue un
condensateur. Il apparaît alors une cellule moins riche
en ions ¥ ‘ que l’extérieur. Le potentiel de Nernst,
mesurable par des microélectrodes, est alors plus faible
dans la cellule :
Puisqu’il s’agit d’un condensateur Q=CV et donc
Q=27,2kC et la densité surfacique est donc donnée par
,
= − 6 = −5,31 × 107^^ *. \7
-.5
TD3
EM
TSI 2015-2016
Un conducteur occupant le demi espace infini j > 0 est
alors caractérisé par une distribution de charges de
o
densité volumique 1j) = 1( j¬ C− E, alors que le demi
“
espace j < 0 est vide (1 = 0). La surface de séparation
est le plan yOz, ; ~ est une distance très petite de
l’ordre de la dizaine de L\.
Une membrane cellulaire est modélisée localement par
un plan ¦y ; l’axe j est orienté vers l’extérieur de la
1)
a)
Donner la direction du champ électrostatique
en tout point de l’espace ; de quelle(s)
b)
Déterminer,
cellule. Une étude précise a permis de mesurer un
potentiel −&( (avec &( > 0) dans la cellule et un
potentiel ne dépendant que de j en dehors de la cellule :
§
variable(s) dépend sa norme ?
en utilisant Maxwell Gauss,
l’expression de pour j > 0 et j < 0 en
j ≤ 0 &j) = −&(
o¨
−&( 7“
j > 0 &j) =
admettant que le milieu impose un champ nul
lorsque j tend vers +∞.
En déduire l’expression du potentiel &j) en
c)
tout point de l’espace en fixant &0) = 0
Comment un biologiste peut-il, avec la connaissance du
profile
&j),
obtenir
l’expression
de
la
densité
L’énoncé suppose que le système présente un plan de
volumique de charge dans l’espace ?
symétrie yOz et zOx. Donc le champ électrostatique
On obtient le champ électrostatique par :
& = −
= −`~
est suivant Ox.
&
t
j o
Donc :
©
j ≤ 0 j) = 0
&( o ¨
j > 0 j) = − 7“
~
Et avec Maxwell-Gauss : B =
zu
zo
=
4
/0
La distribution de charge est volumique donc le champ
j ≤ 0 1j) = 0
&( o ¨
©
j > 0 1j) = '( 7“
~
est continu, donc :
4
o
zu
4
o
B = 0 j¬ C− E = → j) = − 0 ~j¬ C− E
/0
On retrouve une membrane neutre et un électrolyte
subissant l’action du rideau de charge négative attirant
des charges positives à proximité de la membrane.
La charge totale est donc ª =
structure du condensateur
/«
“
On a invariance de la distribution suivant y et z donc
= j)o
&( ce qui redonne la
Exercice 8 : Champ et potentiel au voisinage d’un plan
“
zo
/0
“
pour
j > 0 à une constant d’intégration prise comme nulle
d’après l’énoncé
4 “
B = 0, ′ Aù: j) = *+ = − 0 assurant la continuité
/0
du champ pour cette distribution volumique pour j < 0
&
On trouve alors le potentiel par = −`~
chargé ; pression électrostatique dans un conducteur :
&j) =
40
~ J1 − j¬ C− EK pour j > 0
Nous avons vu qu’un conducteur chargé en équilibre
&j) =
40
~j (prendre la définition du champ dans cette
électrostatique n’est, par définition, traversé par aucun
courant et que les charges supplémentaires sont
localisées en surface (en toute rigueur sur une faible
épaisseur ~). Le champ électrostatique à l’intérieur est
alors nul et n’autorise alors aucune densité volumique de
4
charges au cœur du conducteur : B = = 0.
/0
Les charges apportées sont alors plaquées à proximité
de la surface du conducteur sur une faible épaisseur ~.
/0
/0
o
“
zone pour le calcul de son potentiel !!!)
TD3
EM
TSI 2015-2016
bord du matériau constituent une barrière de potentiel
2)
a)
Tracer avec soin, sur des graphes séparés, les
courbes de variation de o = to et de &j).
b)
Comment se déforment ces courbes lorsque
~ → 0 en supposant que le produit 1( ~ reste
constant (refaire les graphes) ? Conclusion.
retenant les électrons.
« ¯ 1( 0)
¯”
=
~ =
= '(
2'(
2'(
2
La pression électrostatique s’exprime comme une
densité volumique d’énergie.
On retrouve le modèle des charges de surface avec une
discontinuité du champ qui redonne le théorème de
coulomb avec un champ aux abords immédiats du
conducteur donné par
40 “
/0
(ce qui permet de définir une
densité surfacique = 1( ~ tout à fait cohérente). A
noter que ~ → 0 entraîne 1( → ∞ si 1( ~ constant ce qui
va dans le sens d’une distribution importante en x=0.
3)
« à
Quelle est la force électrostatique ”
a)
laquelle est soumis un élément de volume ®
entourant un point du demi espace j > 0 ?
En déduire la résultante des forces ”« qui
b)
s’exerce sur un tube de section et de
hauteur infinie de puis j = 0 jusqu’à j → ∞ ;
quelle est sa direction et son sens ?
« ¯/
Donner alors l’expression de la quantité ¯”
c)
homogène à une pression (appelée pression
électrostatique).
« ¯/
Vers quelle limite tend cette grandeur ¯”
d)
lorsque
~ → 0,
le
produit
1( ~
restant
constant ? Exprimer le résultat obtenu en
fonction de '( et σ (densité surfacique de
charges de notre problème), puis en fonction
de '( et 0), valeur du champ électrostatique
au voisinage de la surface j = 0. Commentaire.
On a une force électrostatique élémentaire subie par un
élément de volume du conducteurs donné par :
” = ª = 1j)± = −
1( j
~j¬ C−2 E ±o
'(
~
Donc
∞
4
o
4
”« = − 0 ~ ²( j¬ C−2 E o = − 0 ~ U−~
6
−
40 6
/0
/0
~ o
“
6
/0
´
Go³C7µE
∞
o =
X (
Cette force tend à fixer les charges sur la surface. Ces
dernières sont retenues par les ions du réseau, qui, au