TD3 EM TSI 2015-2016

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Exercice 1 : Etude de structures simples avec le
théorème de Gauss
1) On va chercher à déterminer, avec un repérage
sphérique (, le champ électrostatique créé
par une sphère, de centre , de rayon , chargée
uniformément en surface avec une densité .
La charge totale est donc  .
a) Calcul du flux de  : 
i) Faire l’analyse des invariances de la
fonction densité surfacique de charges et
en déduire la variable dont dépend le
champ électrostatique.
ii) Faire l’analyse des symétries de la
distribution de charges et en déduire la
direction du champ électrostatique.
iii) Vérifier alors qu’une surface de Gauss
sphérique de rayon  et de centre O est
appropriée pour obtenir l’expression de
. Exprimer alors ce flux.
L’ensemble des plans de symétrie contenant le point le
point  et le point , où l’on cherche à déterminer le
champ, sont des plans de symétrie.
L’intersection de ces plans se fait suivant  . Donc
.
La distribution de charges est indépendante des
paramètres  et , donc  .
Une surface de Gauss sphérique de rayon est
appropriée ici compte tenue des résultats précédents
b) Détermination de 
i) Déterminer la charge  présente à
l’intérieure de la surface de Gauss si
ii) Déterminer la charge  présente à
l’intérieure de la surface de Gauss si
On peut distinguer deux cas :
-  alors 
-  alors 
c) Appliquer le théorème de Gauss et en déduire
l’expression du champ en tout point de
l’espace.
d) En utilisant la continuité du potentiel  et
en posant  ∞
, donner l’expression du
potentiel électrostatique en tout point de
l’espace à l’aide de .
e) Tracer les fonctions  et .
On applique le théorème de Gauss
On peut déterminer le
potentiel
On en déduit le potentiel
associé :
En prenant ∞ ,
alors :
Le potentiel est alors constant
. Cette constante doit
vérifier la continuité du potentiel
électrique en  donc :
On peut tracer les profils associés :
2) Un cylindre infini, de rayon , porte une charge
répartie uniformément en volume avec une
densité volumique  positive.
a) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer
le champ électrostatique   en un point
quelconque de l’espace (on dégagera donc 2
situations  et ). Représenter le
graphe .
b) Construire le potentiel électrostatique  en
choisissant son origine à la surface du
cylindre . Représenter ce
potentiel  et donner sa valeur sur l’axe de
révolution du cylindre.
En proposant une surface de Gauss cylindrique, on
trouve l’expression du champ pour  donné :
-  pour 
-  pour 
On trouve le potentiel associé :
- 
pour 

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-   pour 
Exercice 2 : Rayon classique de l’électron
1) On considère une distribution volumique de
charges de densité volumique ρ uniforme
contenue dans une sphère. On note Q la
charge totale. Déterminer l’expression du
champ électrostatique et du potentiel
électrostatique en tout point en fonction de
Q, R et  .
On utilise les coordonnées sphériques. Tous les plans
contenant le point M et O sont des plans de symétrie
donc le champ est radial  . On a invariance
pour toutes rotations autour de O de la distribution de
charges :
On propose très logiquement une sphère pour la surface
de Gauss
- 
-  :
On trouve ensuite les potentiels :
-  En prenant un
potentiel nul à l’infini
-  :
′ ′
2) On associe à une distribution de charges
créant un champ électrostatique  une
densité volumique d’énergie électrique égale à
. Calculer l’énergie électrostatique  de
cette distribution en fonction de Q, R et  .
On a donc une énergie électrostatique totale :
∞
3) Einstein a postulé que l’énergie d’une masse 
au repos est égale à mc
2
. Calculer alors l’ordre
de grandeur du rayon d’un électron en
utilisant les questions précédentes. On donne
On a donc pour cette charge au repos une identification
qui donne alors :
Soit :
Exercice 3 : Le condensateur plan et diédrique
Un vidéo projecteur utilise des forces électrostatiques
afin d’orienter les micro-miroirs réfléchissant la
lumière à projeter.
Chaque cellule (pixel) est équivalente un condensateur
dont la détermination de la capacité est nécessaire afin
d’apprécier son temps de réponse électrique (par
rapport aux temps de cadencements imposés par le
signal vidéo).
a) Etude « en position » condensateur plan :
On va considérer le système équivalent à deux plans (P
1
)
et (P
2
) parallèles et rectangulaires. (P
1
) et (P
2
) sont de
dimension surfacique  et  et placés en regard l’un de
l’autre à une distance  . Une différence de potentiel
positive  est maintenue entre ces deux plans.
On néglige toute influence électrique extérieure. On
suppose  petit devant les longueurs  et  de sorte
que les effets de bords soient négligeables (ce qui
revient à supposer les plaques infinies et le
condensateur idéal).
1) Déterminer, à l’aide du théorème de Gauss, le
champ électrostatique  rayonné en tout point
par le plan   seul. On notera  la densité
surfacique supposé uniforme de ce plan.
2) Déterminer le champ électrostatique  rayonné
en tout point par le plan 
 seul. On notera - la
densité surfacique supposée uniforme de ce plan.

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3) En déduire l’expression du champ  entre les
plaques.
On propose une surface de Gauss cylindrique centré sur
chaque plan
Le flux à travers cette surface fermée nous donne
alors :
En remarquant que le plan contenant la distribution est
également un plan de symétrie alors : 
Avec  =0, alors :
Et donc un champ  .
4) Déterminer la capacité  du condensateur en
fonction de ,  et 
La capacité s’obtient en calculant la circulation du
champ sur un parcours d’une armature à l’autre :
Donc : 
5) Rappeler l’expression de la densité d’énergie
électrique  ainsi que son unité.
et s’exprime en 
6) En utilisant la fonction  , déterminer l’énergie
électrostatique  accumulée par le condensateur
chargé en fonction de  et 
On donne  µ µ µ .
7) Calculer la capacité équivalente des 1024768
condensateurs en parallèles dans le cas du
condensateur plan.
On obtient une capacité équivalente de 0,17 nF
8) L’ensemble {alimentation + miroir} de tous les
pixels est équivalent à un condensateur de 1 nF
(contribution majoritaire de la cellule MOS
d’alimentation). Si on suppose que l’ensemble est
équivalent à un circuit RC, quelle est la valeur de la
résistance de liaison à ne pas dépasser pour avoir
un système électrique suffisamment rapide pour
suivre un signal vidéo dont la cadence est de
20µs ?
Il faut RC << 20 µs soit R << 20 kΩ
b) Etude « en position » condensateur diédrique :
Les plaques métalliques (P
1
) et (P
2
) forment maintenant
un dièdre d’angle . On note Oz la droite d’intersection
de leurs plans ;  sa distance à leurs bords intérieurs
et  sa distance à leurs bords extérieurs. Une
différence de potentiel continue et positive 
est maintenue entre les plans (P
1
) et (P
2
). On note  et
 les coordonnées cylindriques du point M quelconque de
l’espace entre les deux plaques. On néglige toujours les
effets de bords.
1) On admettra que le potentiel électrostatique 
dépend uniquement de . Justifier que les lignes de
champ électrostatique  entre les plaques soient
des arcs de cercle centrées sur Oz. Dessiner des
lignes de champ et des équipotentielles.
Si  alors  Donc le champ est
orthoradial :
Donc 
conduit à 

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2) En appliquant le théorème de Gauss à la surface
élémentaire fermée comprise entre  et , 
et ,  et , montrer que
On prend la surface suivante :
Donc :
Soit un champ qui se conserve donc 
 donc
Or :
Donc :
3) En déduire l’expression du potentiel  et du module
 du champ en M en fonction des constantes 
et 
On a donc  avec deux conditions aux
limites imposées : 
Et : 
Soit :
Donc 
On donne le théorème de Coulomb exprimant le champ
électrostatique  à proximité immédiate d’un
conducteur chargé en surface avec une densité  :
(où  est le vecteur normal à la surface du
conducteur et dirigé vers l’extérieur de celui-ci).
4) Déterminer la densité surfacique de charges 
sur (P
1
) pour une distance radiale  au voisinage
immédiat de (P1)
A l’aide du théorème de coulomb, on a, à proximité
directe du conducteur et pour une position radiale
donné :
5) Montrer que l’expression de la capacité du
condensateur diédrique peut se mettre sous la
forme  ′  en calculant la charge
totale portée par (P
1
)
Donc : ′
6) Donner le rapport C’/C sachant que  µ  et
µ  et =10°.
On obtient C’/C , ce qui est logique, car on réduit
l’épaisseur du condensateur.
Exercice 4 : Le condensateur cylindrique
Un condensateur est formé de deux cylindres
conducteurs très longs (on néglige les effets de bords),
d’axe , séparés par un matériau dont la permittivité
diélectrique  . Le premier cylindre plein, de rayon  , au
potentiel  , porte la charge surfacique  uniforme;
le second, au potentiel  est creux et de rayon
a) Etude théorique
1) Déterminer le champ électrique entre les deux
cylindres.
2) Déterminer la capacité linéique  en fonction de 
et des caractéristiques géométriques du
condensateur.
3) Donner l’expression de l’énergie électrostatique
linéique  d’un tel système. Que vous évoque ce
résultat si l’on introduit la charge linéique 
. On peut alors trouver la capacité linéique en
calculant la circulation pour aller de l’âme à la gaine :
Donc 

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On a, par définition, 
Donc 
On retrouve l’équivalent linéique du condensateur plan
b) Application : capteur de proximité
Pour asservir précisément la position d’un appareil de
mesure à une distance microscopique d’un objet
métallique, ou inversement la position d’une pièce de
métal par rapport à un outil fixe, on peut utiliser un
capteur capacitif de proximité. La tête de mesure de ce
capteur comporte un cylindrique métallique (A) long de
 à base circulaire plane (D) de rayon  , entouré d’un
cylindre métallique coaxial ouvert (B) plus long, de rayon
intérieur  dont une extrémité est exactement dans le
plan (D).
La pièce métallique plane (P) est parallèle à (D) à une
distance . L’ensemble {(A),(B),(P)} forme une
association de trois condensateurs :
• Le condensateur {(A),(B)} de capacité constante 
• Le condensateur {(A),(P)} de capacité 
• Le condensateur {(B),(P)} de capacité 
1) Représenter le schéma électrique équivalent de
l’ensemble {(A),(B),(P)} entre les connexions de
mesures 1 et 2. Quelle est l’expression de la
capacité électrique  du capteur entre 1 et 2 ?
On montre rapidement que 
2) Exprimer  et   en négligeant les effets de
bord.
 est la capacité d’un condensateur plan :
est la capacité d’un condensateur cylindrique :
3) Pour faire la mesure de , on relie la pièce (P ) et le
cylindre (B) à la masse électrique. Quelle est alors
l’expression de la capacité  en fonction de  ?
On a donc un condensateur C
2
équivalent à un fil et
donc :
4) Application 
. Donner la valeur de  .
On obtient 8 pF
Exercice 5 : Condensateur de 2
e
espèce
a) Description
Soient deux fils verticaux, conducteurs, de longueur 
et distant de . On note  et  la distance radiale
respective d’un point  avec chaque fil. Avec   et
 on pourra négliger les effets de bords. Les fils
sont chargés respectivement avec une densité linéique
 et  et placés aux potentiels  et  .
1) En appliquant le théorème de Gauss, donner
l’expression du champ créé par chaque fil.
2) En travaillant dans le plan contenant les deux
fils, mesurer la circulation du champ
électrique total entre les deux fils. On notera,
pour les besoins du calcul,  le rayon faible de
ces deux fils ( et  ).
3) Exprimer la capacité linéique  .
4) Les deux fils sont immergés sur une hauteur
 dans de l’eau de permittivité
diélectrique  (le reste des fils émergeant
est dans l’air assimilé à du vide). Que peut-on
remarquer de notable sur la fonction ?
b) Application : capteur de niveau
Proposer un protocole permettant de vérifier qu’une
simple nappe de fils isolés électriquement permet
d’obtenir un capteur linéaire de niveau de liquide (on
appréciera également la pertinence de la linéarité).
Matériel à disposition :
- Verrerie (bécher, burette graduée…)
- Multimètre avec documentation technique
C2(x)
C0
C1(x)