Généralités sur la mécanique quantique pour la nanoélectronique

Introduction à la Nano-électronique
Généralités – Rappels
1. Qu'est-ce que la nano-électronique ?
2. Rappels sur les bases de la mécanique quantique
Ce paragraphe résume de façon très succincte et avec peu de démonstrations les concepts de
base de la mécanique quantique et leurs principales conséquences qui seront utiles pour la suite de
ce cours. On peut en trouver les détails dans les ouvrages tels que "Mécanique quantique", C.
Cohen-Tannoudji, B. Diu, Laloë, Ed. Hermann (1973).
2.1. Equation de Schrödinger pour une particule
A toute particule d'énergie E et de quantité de mouvement p
r
est associée une onde de pulsation
hE=
ω
et de vecteur d'onde h
r
r
pk =. La longueur d'onde correspondante, dite longueur d'onde
de de Broglie, est donc :
k
π
λ
2
= (2.1)
C'est en l'observant à une échelle en deçà de sa longueur d'onde que les propriétés ondulatoires
de la particule sont susceptibles de se manifester. Pour donner un exemple (en anticipant ce que
nous verrons dans le cas des cristaux semiconducteurs), considérons un électron de masse 0
m et
d'énergie =
E
25 meV. Sa longueur d'onde est alors nm7,72 0== Emh λ . Si la masse effective
de l'électron est 0 2,0 mm = (silicium), sa longueur d'onde devient nm17
≈
λ
à même énergie.
A toute particule est associée une fonction d'onde
(
)
tr,
r
Ψ
qui caractérise entièrement son état
(c'est-à-dire qu'elle contient toute l'information qu'il est possible de connaître sur la particule) et qui
représente physiquement son amplitude de probabilité de présence. Ainsi,
()
rdtr
r
r3*
2
,ΨΨ=Ψ
est la probabilité de trouver la particule entre
r
r
et rdr
r
r
+
à l'instant t. La particule devant
nécessairement se trouver quelque part, sa fonction d'onde doit être normalisée de telle sorte que :
()
1, 3
2=ΨΨ=Ψ
∫rdtr
r
r
(2.2)

Introduction à la nanoélectronique 2
Soit m la masse de la particule ; la fonction d'onde est alors solution de l'équation de
Schrödinger :
() () ()()
trtrVtr
m
tr
t
i,,,
2
,2
2rrr
r
h
r
hΨ+Ψ∇−=Ψ
∂
∂ (2.3)
où
()
trV ,
r est le potentiel ressenti par la particule (terminologie couramment utilisée en
physique mais il s'agit en fait d'une énergie potentielle) et 2222222 zyx ∂∂+∂∂+∂∂=∆=∇
r
est l'opérateur laplacien.
Dans le cas classique, l'état d'une particule est déterminé par les 6 paramètres caractérisant sa
position et sa vitesse dont l'évolution dans le temps définit une trajectoire. En revanche, l'état d'une
particule quantique est déterminé par une infinité de paramètres qui sont les valeurs de sa fonction
d'onde aux divers points de l'espace. La notion de propagation de l'onde associée à la particule doit
alors être substituée à la notion de trajectoire classique.
2.2. Potentiel indépendant du temps – Etats stationnaires
Si le potentiel (scalaire) vu par la particule est indépendant du temps, c'est-à-dire
()
(
)
rVtrV
r
r
=
,,
on montre que l'on peut séparer les variables d'espace et de temps sous la forme :
(
)()
(
)
tirtr
ω
−
Φ=Ψ exp, r
r
(2.4)
où
()
r
r
Φ vérifie l'équation :
() () ()
rrrV
m
r
h
rr
r
hΦ=Φ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+∇−
ω
2
2
2 (2.5)
Une telle fonction d'onde
()
tr,
r
Ψ est alors dite solution stationnaire de l'équation de
Schrödinger. La densité de probabilité de présence
() ()
22
,rtr
r
r
Φ=Ψ est indépendante du temps.
L'onde se propage avec une pulsation unique
ω
qui doit vérifier l'équation (2.5). Un état
stationnaire est donc un état d'énergie bien définie
ω
h
=
E.
On appelle hamiltonien l'opérateur différentiel linéaire H définit par :
()
rV
m
Hr
r
h+∇−= 2
2
2 (2.6)
L'équation (2.5) peut donc s'écrire comme une équation aux valeurs propres, appelée équation
de Schrödinger indépendante du temps :
() ()
rErH rr
Φ
=Φ ou encore Φ=Φ EH (2.7)
Les énergies possibles de la particule sont les valeurs propres de son hamiltonien H dont les
fonctions
()
r
r
Φ sont les fonctions propres (ou états propres Φ).
Principe de superposition : toute combinaison linéaire de fonctions propres de H est une
fonction propre de H.

Introduction à la nanoélectronique 3
2.3. Observables
Toute grandeur physique mesurable est décrite par un opérateur agissant dans l'espace des états
(fonctions d'onde). Cet opérateur est l'observable associée à la grandeur physique. Toute mesure de
cette grandeur ne peut donner comme résultat qu'une des valeurs propres de cette observable.
Soit une grandeur d'observable A, de vecteurs propres n u associés aux valeurs propres n a.
Lors de la mesure de cette grandeur sur un système dans l'état Φ la probabilité
()
n
aP d'obtenir
comme résultat la valeur n a est :
()
2
Φ= nn uaP
L'observable associée à l'énergie totale est l'hamiltonien H défini par la relation (2.6).
L'observable associée à la quantité de mouvement est ∇−=
r
h
r
ip .
L'observable associée à l'énergie cinétique est 2
22
22 ∇−= mm
ph.
Pour un système dans l'état Φ on définit également la densité de courant de probabilité :
[]
**
2
1Φ∇Φ−Φ∇Φ=
r
r
h
r
mi
J (2.8)
Cette définition découle de la conservation locale de la probabilité de présence
(
)
trP ,
r
. On
obtient alors l'équation de continuité
()
0, =⋅∇+
∂
∂JtrP
t
r
r
r.
2.3. Relations d'incertitude de Heisenberg
Il découle du caractère ondulatoire d'une particule une propriété spécifique de la mécanique
quantique : il est impossible de définir à un instant donné à la fois la position de la particule et son
impulsion (quantité de mouvement) avec une précision arbitraire. Le produit des incertitudes sur la
position x∆ et sur l'impulsion p∆ a en effet une limite inférieure imposée par la relation suivante,
dite relation d'incertitude de Heisenberg :
h≥∆⋅∆ px (2.9)
Nous verrons une illustration de cette importante relation dans un cas de paquet d'ondes en 2.4.
En trois dimensions, cette relation s'applique aux trois jeux de coordonnées :
()
x
px,,
(
)
y
py,,
()
z
pz,. Il existe une autre relation d'incertitude très importante pour un système qui évolue dans le
temps, c'est la relation d'incertitude temps-énergie : si t
∆
est un intervalle de temps au bout duquel
le système (ou la particule) a évolué de façon significative et si
E
∆
est l'incertitude sur l'énergie du
système, le produit t∆
E
∆ a lui aussi une limite inférieure. Cette limite est fixée par la relation :
h≥∆⋅∆ Et (2.10)
Il est clair qu'un système qui se trouve dans un état propre de son hamiltonien a son énergie
parfaitement définie, c'est-à-dire 0=∆E. Un tel état est stationnaire et le système n'évolue pas (ou
son temps d'évolution est infini).

Introduction à la nanoélectronique 4
Cette relation (2.10) est très importante en nanoélectronique pour l'étude de l'évolution des
systèmes quantiques instables (les systèmes parfaitement stables n'ayant aucun intérêt pratique) et
des temps caractéristiques de cette évolution (temps de traversée d'une barrière tunnel, par
exemple).
2.4. Particule libre – Paquet d'ondes
Considérons une particule de masse m dans un espace à une dimension (1D) où son énergie
potentielle est uniformément nulle, c'est-à-dire
(
)
0,
=
txV . C'est donc une particule libre. L'équation
de Schrödinger indépendante du temps (2.7) correspondante se réduit donc à :
() ()
x
xd xd Em Φ−=
Φ
2
2
2
2
h (2.11)
qui a pour solution toute fonction de la forme :
()
xki
eAx =Φ avec 2
2
h
Em
k= (2.12)
ce qui correspond à une onde plane :
(
)
tixki eeAtx
ω
−
=Ψ , (2.13)
où k et
ω
sont liés par la relation : m
k
2
2
h
=
ω (2.14)
Toutefois, à l'onde plane correspond une densité de probabilité 22 A=Ψ uniforme sur tout
l'espace. Ainsi, l'incertitude sur la position de la particule est totale, alors qu'en revanche on connaît
parfaitement son vecteur d'onde k (et par conséquent sa pulsation
ω
et son énergie E). Une telle
fonction d'onde, qui n'est pas de carré sommable, ne peut pas représenter un état physique, ce qui
est fort dommage car, mathématiquement, c'est un objet assez simple à manipuler. Pour construire
une fonction d'onde acceptable physiquement nous allons utiliser le principe de superposition : toute
combinaison linéaire de fonctions propres de l'hamiltonien est une fonction propre de cet
hamiltonien.On décrit une particule libre par une combinaison d'ondes planes de la forme :
() ()
()
∫+∞
∞−
−
=Ψ dkeekgtx tkixki
ω
π 2
1
, (2.15)
()
kg
k
k∆
0
k
La fonction
()
kg décrit la forme du paquet
d'ondes. Notons qu'ainsi définie, elle n'est rien
d'autre que la transformée de Fourier de
(
)
0,x
Ψ
.
Supposons que son module
()
kg présente un
pic de largeur k∆ en 0
kk
=
(Figure 2.1). Pour
un paquet gaussien, k∆ représente
habituellement la largeur sur laquelle
(
)
kg
décroît de 1/e. Dans un cas général, on peut
considérer la largeur à mi-hauteur. Soit
(
)
k
α
l'argument de la fonction
()
kg , c'est-à-dire : Figure 2.1. Allure de la fonction
(
)
kg

Introduction à la nanoélectronique 5
() ()
(
)
ki
ekgkg
α
= (2.16)
Si on suppose k∆ suffisamment petit, on peut développer
(
)
k
α
autour de 0 kk = :
() ( ) ( )
000 kkxkk −−≈
α
α
avec
0
0kk
dk
d
x=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
α
(2.17)
On peut alors écrire la fonction d'onde (2.15) à l'instant 0
=
t sous la forme :
()
()()
()
()()
∫∞+
∞−
−−
+
=Ψ dkekg
e
xxxkki
kxki 00
00
2
0,
π
α
(2.18)
En 0 xx =, la fonction à intégrer sur k n'oscille pas, les différentes contributions s'ajoutent et le
module de la fonction d'onde est maximal. Mais si 0
xx − est grand, la fonction à intégrer oscille
rapidement avec k et les contributions s'annulent les unes les autres (interférences destructives). La
position 0 x est donc le centre du paquet d'onde. La décroissance du module de
()
0,xΨ lorsque x
s'écarte de 0 x est significative si
(
)
1
0≥
−
⋅∆ xxk (ce qui correspond à au moins une oscillation).
Ainsi, si x∆ est la largeur spatiale du paquet d'onde, on a la relation approximative :
1≥∆⋅∆ xk (2.19)
qui est à rapprocher de la relation générale d'incertitude de Heisenberg (2.9).
Evolution dans le temps du paquet d'ondes :
Une onde plane de la forme (2.13) se déplace sur l'axe Ox avec la vitesse, dite vitesse de phase :
()
m
k
k
E
k
kv 2
h
h===
ω
ϕ
(2.20)
Ainsi, dans un paquet d'ondes, chaque composante a une vitesse différente. On s'intéresse alors à
la vitesse du maximum du paquet d'ondes, c'est-à-dire de l'endroit de l'espace où les composantes
interfèrent de façon constructive. Pour déterminer la position
(
)
txm de ce maximum à l'instant t, on
peut procéder de la même façon que pour déterminer sa position 0 x à 0
=
t (relation 2.17). Pour
passer de
()
0,xΨ à
()
tx,Ψ, il suffit de remplacer
(
)
kg par
(
)
(
)
tikg
ω
−
exp . On peut donc obtenir
()
txm en remplaçant dans (2.17)
()
k
α
par
(
)
(
)
tkk
ω
α
−
. On obtient :
()
00 kkkk
mdk
d
t
dk
d
tx == ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
αω
(2.21)
D'où la vitesse du maximum du paquet d'ondes, appelée vitesse de groupe :
()
m
p
m
k
dk
d
kv kk
g00
0
0
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
h
ω
(2.22)
On a donc
() ()
00 2kvkvg ϕ
=.