M1 S2 CH5 : Fonctions. Exercices. Corrigés

M1 S2 CH5 : Fonctions. Exercices. Corrigés 2013
Corrigé de l’exercice 1 :
1.
𝑓(−5) = 2 × (−5) + 3 = −7
𝑓(2) = 2 × 2 + 3 = 7
2.
Pour trouver l’antécédent de 23, il trouver un 𝑥 dont l’image est 23.
Il faut donc résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 23
𝐼𝑑 𝑒𝑠𝑡 ∶ 2𝑥 + 3 = 23 ⟺ 2𝑥 = 23 − 3 ⟺ 2𝑥 = 20 ⟺ 𝑥 = 10
3.
Non 𝑓 n’est pas une fonction linéaire, 𝑓 est une fonction affine.
Corrigé de l’exercice 2 :
1. Vrai
Appelons 𝑝(𝑐) le périmètre du carré et 𝑐 le côté du carré.
𝑝(𝑐) = 4𝑐
La fonction qui au réel 𝑐 associe le réel 𝑝(𝑐) = 4𝑐 est bien une fonction
linéaire.
2. Vrai
Appelons 𝑝(𝑟) le périmètre du cercle et 𝑟 le rayon du cercle.
𝑝(𝑟) = 2𝜋𝑟
La fonction qui au réel 𝑟 associe le réel 𝑝(𝑟) = 2𝜋𝑟 est bien une fonction
linéaire.
Concepteur du cours : Olivia MARTINELLI
Page 1
M1 S2 CH5 : Fonctions. Exercices. Corrigés 2013
Corrigé de l’exercice 3 :
1. On sait que 1 𝑝𝑖𝑒𝑑 = 0,3048 𝑚
En déduit que 5000 𝑝𝑖𝑒𝑑𝑠 = 5000 × 0,3048 𝑚 = 1524 𝑚
2. 𝐻𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑝𝑢𝑦 𝑑𝑒 𝐷ô𝑚𝑒 =
1464
0,3048
𝑚 ≈ 4803 𝑚
3. La fonction linéaire 𝑔 qui au réel 𝑥 associe le réel 𝑔(𝑥 = 0,3048𝑥 permet
d’exprimer la dimension en mètres en fonction de la dimension en pieds.
4. La fonction linéaire ℎ qui au réel 𝑥 associe le réel ℎ(𝑥) =
1
×
0,3048
𝑥
permet d’exprimer la dimension en pieds en fonction de la dimension en
mètres.
Corrigé de l’exercice 4 :
1. La vitesse est constante sur l’intervalle [6 ; 14] , autrement dit entre la 6ième
et la 14ième seconde le parachutiste chute à vitesse constante.
2. Les coordonnées du point correspondant l’ouverture du parachute sont
(3 ; 25). Autrement dit, le parachute s’ouvre 3 secondes après le début saut, et
à ce moment précis le parachutiste a acquis une vitesse de 25m/s.
3. Entre la 3ième et la 6ième seconde la vitesse du parachutiste décroit, ce qui
correspond au freinage dû à l’ouverture du parachute à la 3ième seconde.
4. Notons que la chute a duré 14 secondes au total, en effet le graphique
indique une vitesse nulle à partir de 14ième seconde, ce qui signifie que le
parachutiste est au sol. La deuxième moitié du temps de chute correspond
donc au temps écoulé entre la 7ième et la 14ième seconde. Notons également
qu’entre la 7ième et la 14ième seconde la vitesse du parachutiste est constante,
elle est égale à 5 m/s.
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑒𝑛 𝑚
𝑑𝑢𝑟é𝑒 𝑒𝑛 𝑠
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑒𝑛 𝑚
⟺ 5=
⟺ 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 = 5 × 7 = 35𝑚
7
𝑂𝑟 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑚/𝑠 =
Concepteur du cours : Olivia MARTINELLI
Page 2
M1 S2 CH5 : Fonctions. Exercices. Corrigés 2013
Corrigé de l’exercice 5 :
1. Un enfant qui mesure 62 cm à 15 mois ou 58 cm à la naissance ne se situe
pas dans la plage de normalité définie par la courbe de taille. A contrario, un
enfant qui mesure 85 cm à 21 mois se situe dans la plage de normalité.
2. Un enfant dont la croissance est normale et qui mesure 70 cm peut avoir un
âge qui varie entre 5 et 14 mois.
3. Un enfant âgé de 12 mois dont la croissance est normale peut avoir une
taille qui varie entre 67 cm et 79 cm.
Corrigé de l’exercice 6 :
1. Le samedi 1ier décembre à 0h, la hauteur d’eau est égale à 9,5 m.
2. La hauteur d’eau maximale est égale à 10,5 m, elle est atteinte le 7
décembre à 18h. La hauteur d’eau minimale est égale à 3,2 m, elle est
atteinte à deux reprises le vendredi 7 décembre à midi puis à minuit.
3. Le décembre entre 0h et 6h, la mer se retire. Le décembre entre 6h et 12h,
la mer remonte.
4. Le 1ier décembre le marnage est égal à 9,7 − 4,2 = 5,5 𝑚
Concepteur du cours : Olivia MARTINELLI
Page 3
M1 S2 CH5 : Fonctions. Exercices. Corrigés 2013
Corrigé de l’exercice 7 :
1. 𝐴𝐿 = 𝑥 ;
𝐵𝐿 = 10 − 𝑥 ; 𝐷𝑃 = 𝑥
𝑒𝑡 𝐴𝑃 = 10 − 𝑥
2.
(10 − 𝑥)𝑥
10𝑥 − 𝑥²
=
2
2
10𝑥
𝐴𝑖𝑟𝑒 (𝑃𝐷𝐶) =
= 5𝑥
2
10(10 − 𝑥) 100 − 10𝑥
𝐴𝑖𝑟𝑒 (𝐶𝐵𝐿) =
=
2
2
𝐴𝑖𝑟𝑒 (𝐴𝑃𝐿) =
3.
𝐴𝑖𝑟𝑒 (𝐿𝑃𝐶) = 𝐴𝑖𝑟𝑒 (𝐴𝐷𝐶𝐵) – 𝐴𝑖𝑟𝑒 (𝐴𝑃𝐿) – 𝐴𝑖𝑟𝑒 (𝑃𝐷𝐶) – 𝐴𝑖𝑟𝑒 (𝐶𝐵𝐿)
𝑓(𝑥) = 10² −
10𝑥 − 𝑥²
100 − 10𝑥
− 5𝑥 −
2
2
𝑓(𝑥) =
100 × 2 − (10𝑥 − 𝑥 2 ) − 10𝑥 − (100 − 10𝑥)
2
𝑓(𝑥) =
200 − 10𝑥 + 𝑥² − 10𝑥 − 100 + 10𝑥
2
𝑓(𝑥) =
𝑥² − 10𝑥 + 100 (𝑥² − 2 × 5𝑥 + 25) + 75
=
2
2
Notons que 𝑥² − 2 × 5𝑥 + 25 = (𝑥 − 5)²
(𝑥 − 5)2 + 75 (𝑥 − 5)² 75
⟹ 𝑓(𝑥) =
=
+
2
2
2
4.
0 ≤ 𝑥 ≤ 10 ⟹ 0 ≤ |𝑥 − 5| ≤ 5 ⟹
0 ≤ (𝑥 − 5)² ≤ 5²
⟹ 75 ≤ (𝑥 − 5)2 + 75 ≤ 25 + 75
75 (𝑥 − 5)2 + 75 100
⟹
≤
≤
2
2
2
𝐼𝑑 𝑒𝑠𝑡 37,5 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 50
Donc pour tout 𝑥 appartenant à [0 ; 10] on a 𝑓(𝑥) ≥ 37,5
Concepteur du cours : Olivia MARTINELLI
Page 4
M1 S2 CH5 : Fonctions. Exercices. Corrigés 2013
Corrigé de l’exercice 8 :
1.
𝑃𝑟𝑖𝑥 𝑑𝑒 1ℎ26𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑟𝑖𝑓 𝑛°1 :
18 + 0,25 × 26 = 24,5 €
𝑃𝑟𝑖𝑥 𝑑𝑒 1ℎ26𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑟𝑖𝑓 𝑛°2 :
𝑁𝑜𝑡𝑜𝑛𝑠 𝑞𝑢𝑒 1 ℎ = 60 𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑝𝑎𝑖𝑒 ∶
60 × 0,5 + 26 × 0,5 = 43 €
𝑃𝑟𝑖𝑥 𝑑𝑒 1ℎ26𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑟𝑖𝑓 𝑛°2 :
1ℎ26𝑚𝑖𝑛 ≤ 2ℎ 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑛𝑒 30€
Concepteur du cours : Olivia MARTINELLI
Page 5
M1 S2 CH5 : Fonctions. Exercices. Corrigés 2013
2.
Appelons 𝑥 le temps de communication en minutes
Appelons 𝑓1 (𝑥) le prix a payé avec le tarif n°1 pour 𝑥 minutes de
communications.
Appelons 𝑓2 1(𝑥) le prix a payé avec le tarif n°2 pour 𝑥 minutes de
communication.
Appelons 𝑓3 (𝑥) le prix a payé avec le tarif n°2 pour 𝑥 minutes de
communication. Il vient :
𝑆𝑖 𝑥 ≤ 60 ; 𝑓1 (𝑥) = 18
𝑆𝑖 𝑥 ≥ 60 ; 𝑓1 (𝑥) = 18 + 0,25(𝑥 − 60) = 0,25𝑥 + 3;
𝑓 2 = 0,5𝑥;
𝑓3 (𝑥) = 30
Remarque 1 : 𝑓1 est fonction affine par morceau
Remarque 2 : 𝑥 étant le temps total de communication (𝑥 − 60) représente
les minutes supplémentaires dès qu’on dépasse 60 minutes.
Concepteur du cours : Olivia MARTINELLI
Page 6
M1 S2 CH5 : Fonctions. Exercices. Corrigés 2013
Ces trois fonctions sont soit des fonctions affines soit des fonctions affines par
morceau, en conséquence leurs représentations respectives sont des droites
ou des morceaux de droite. En rouge une représentation de 𝑓3 , en bleu une
représentation de 𝑓1 et en noir une représentation de 𝑓2 .
Le graphique ci-dessus permet de répondre à la question posée.
Si 𝑥 ≤ 36 , le tarif n°2 est le plus avantageux.
Si 36 ≤ 𝑥 ≤ 108, le tarif n°1 est le plus avantageux.
Si 108 ≤ 𝑥 ≤ 120, le tarif n°3 est le plus avantageux
Si 𝑥 ≥ 120 le forfait n° 3 ne permettant pas de téléphoner au-delà de 120
minutes le forfait n°1 redevient le plus avantageux.
Concepteur du cours : Olivia MARTINELLI
Page 7
M1 S2 CH5 : Fonctions. Exercices. Corrigés 2013
Corrigé de l’exercice9 :
1. Une heure après son départ Théo se trouve à 4 km de chez lui. Trois heures
après son départ Théo est 4,5 km de chez lui.
2. La promenade dure 4,5 heures c’est-à-dire 4h30min (si on compte la pause
chez Mathieu comme faisant partie de la promenade).
3. Mathieu habite à 6 km de chez Théo.
4. Théo reste une heure chez Mathieu
5. Théo est à mi-distance entre son domicile et le sien quand il est à 3 km de
chez lui, ce qui se produit à deux reprises à 𝑡 = 0,75ℎ et à 𝑡 = 3,5ℎ.
𝐼𝑑 𝑒𝑠𝑡
3
𝑡= ℎ
4
𝑒𝑡 𝑡 = 3ℎ30𝑚𝑖𝑛
Concepteur du cours : Olivia MARTINELLI
Page 8
M1 S2 CH5 : Fonctions. Exercices. Corrigés 2013
Corrigé de l’exercice 10 :
1. Géraldine s’lance à 500m d’altitude et François s’élance à 400 m d’altitude.
2. Ils se posent à une altitude de 300 m
3. Le temps de vol de Géraldine est d’environ 48 minutes. Celui de François est
d’environ 46 minutes.
4. Vingt minutes après son envol Géraldine se trouve à 500 m d’altitude.
5.
𝑡
𝑔(𝑡)
𝑓(𝑡)
0
500
400
4
475
376
10
460
400
32
500
500
40
475
435
45
425
375
46 et 48
350
350
6. Graphiquement, l’équation 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡) admet deux solutions qui sont
𝑡 = 16 𝑚𝑖𝑛 et 𝑡 = 32 𝑚𝑖𝑛 .
Ce qui signifie qu’à la 16ième et la 32ième Géraldine et François sont à la même
altitude.
7. Graphiquement, l’inéquation 𝑓(𝑡) ≥ 𝑔(𝑡) admet un intervalle solution qui
est [16 ; 32]
Ce qui signifie qu’entre la 16ième et la 32ième minute, François vole au-dessus de
Géraldine.
Concepteur du cours : Olivia MARTINELLI
Page 9