Exercices lois de Newton (série 1)

Exercices lois de Newton
I.
Airbus au décollage
Document : fiche technique de l’airbus A 319
A319
Équipage technique
Passagers : maximum
Masse à vide
Masse maximum au décollage
Poussée des réacteurs au décollage
Vitesse de croisière
Distance de décollage
Vitesse au décollage
Autonomie
Altitude maximale de croisière
Coefficient de résistance dans l’air
2
142
42400 kg
77000 kg
240 kN
830 km.h-1
2090 m
289 km.h-1
6800 km
39000 ft
0,60
1. Calculer l’accélération de l’avion (m = 65 tonnes) dans les premières secondes du décollage,
lorsqu’on peut considérer la vitesse suffisamment faible pour que les frottements de l’air soient
négligeables.
2. En supposant que l’accélération reste constante pendant la phase de décollage, déterminer la durée
que met l’avion pour qu’il quitte le sol.
3. Déterminer également la distance alors parcourue sur la piste. Discuter le résultat par rapport aux
informations données.
4. Calculer la poussée des réacteurs à son altitude de croisière (les frottements ne sont plus négligés).
II.
Iceberg :
Les icebergs sont des corps flottants en équilibre.
La masse volumique de l’eau de mer est μe=1030kg.m-3 et la densité de
l’iceberg considéré est μi=830kg.m-3.
La Poussée d’Archimède est une force dont l’intensité est égale au poids
d’eau de mer déplacée, qui s’exerce vers le haut.
Montrer que 80% du volume de l’iceberg est immergé.
III.
Décollage ballon sonde :
Un ballon sonde, en caoutchouc mince très élastique, est gonflé à l'hélium. Une nacelle attachée au
ballon emporte du matériel scientifique afin d'étudier la composition de l'atmosphère.
L'objectif de cette partie est d'étudier la mécanique du vol du ballon sonde à faible altitude (sur les
premières centaines de mètres). On peut alors considérer que l'accélération de la pesanteur g,le volume
du ballon Vb et la masse volumique  de l'air restent constantes.
On modélisera la valeur f de la force de frottement de l'air sur le système étudié par l'expression:
f = K.v² où K est une constante dépendant de l’aérodynamisme du ballon et v la vitesse du centre
d'inertie du système {ballon + nacelle}.
On donne l’expression de la poussée d’Archimède qui agit sur le ballon : FA  mair déplacé  g   Vb  g
On supposera qu'il n y a pas de vent (le mouvement s'effectue dans la direction verticale) et que le
volume de la nacelle est négligeable par rapport au volume du ballon.
Le système {ballon + nacelle} est étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen. On
appelle M la masse totale du système.
Données :
 = 1,22 kg.m-3
Masse du ballon (enveloppe + hélium) :
Masse de la nacelle vide :
Constante aérodynamique :
Vb = 9,0 m3
m = 2,10 kg
m' = 0,50 kg
K = 0,11 kg-1.m-1
1. Établir sur un schéma le bilan des forces exercées sur le système {ballon + nacelle}, lorsque le ballon
vient juste de décoller. Quelle force peut-on négliger devant les autres durant cette phase ?
2. La vitesse initiale du ballon (juste après le décollage) étant considérée comme nulle, quelle condition
doit satisfaire la masse M pour que le ballon puisse s'élever ?
3. En déduire la masse maximale de matériel scientifique que l'on peut embarquer dans la nacelle.
4. Déterminer la vitesse limite atteinte par le ballon pour le cas où M = 5,0kg.
IV.
Décollage de la fusée Ariane
Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages dont la hauteur totale est de 47,4 m et qui pèse,
avec sa charge utile (satellite), 208 tonnes au décollage.
Le premier étage qui fonctionne pendant 145 secondes est équipé de 4 moteurs Viking V alimentés par
du peroxyde d'azote N2O4 (masse de peroxyde emportée : 147,5 tonnes).
L'intensité de la force de poussée totale F de ces 4 réacteurs est constante pendant leur
fonctionnement: elle vaut F = 2445 kN.
Le champ de pesanteur g est supposé uniforme : son intensité est g 0 = 9,8 m.s –2.
On choisit un axe Oz vertical dirigé vers le haut.
On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre qu'on suppose galiléen.
1. Représenter clairement, sur un schéma, en les nommant, les deux forces qui agissent sur la fusée
Ariane lorsqu'elle s'élève verticalement. On néglige les frottements et la poussée d'Archimède dans
l'air.
2. A un instant quelconque, la masse de la fusée est m.
Déterminer en fonction de m et des intensités des 2 forces précédentes la valeur de l’accélération a.
3. On considère d'abord la situation au décollage. La masse de la fusée vaut alors m1. Calculer la valeur
numérique de l’accélération a1 à cet instant.
On envisage la situation qui est celle immédiatement avant que tout le peroxyde d'azote ne
soit consommé. La masse de la fusée vaut alors m2. Calculer la valeur numérique de m2 puis celle de
l'accélération a2 à cet instant.
Le mouvement d'ascension de la fusée est-il uniformément accéléré ?
4. La vitesse d'éjection
relation : Ve =
Ve des gaz issus de la combustion du peroxyde d'azote est donnée par la
t
.F
m
t
est l’inverse de la variation de masse de la fusée par unité de temps et caractérise la
m
consommation des moteurs.
Vérifier l'unité de Ve par analyse dimensionnelle. Calculer la valeur numérique de Ve.
t
Quel est le signe de
? En déduire le sens de Ve . Qu'en pensez-vous ?
m
A l'aide d'une loi connue qu'on énoncera, expliquer pourquoi l'éjection des gaz propulse la fusée
vers le haut.
où
V.
Parachutiste :
80
Un parachutiste saute d'un
hélicoptère
momentanément
immobile dans le ciel. Dans tout
le problème on supposera sa
chute verticale. Avec son
équipement, sa masse est de 100
kg (on prendra g=10 N.kg-1). Le
graphe ci-dessous donne sa
vitesse au cours de la chute en
fonction du temps.
v (m/s)
70
60
50
40
30
20
10
t (s)
0
0
10
20
30
1. Décrire brièvement l'évolution de la vitesse du parachutiste au cours de sa chute.
2. Chute libre :
2.1. Pourquoi le graphique v=f(t) permet-il de dire que pendant les premières
secondes de la chute, la vitesse et le temps sont proportionnels ? Calculer le
coefficient de proportionnalité.
2.2. Un objet est en chute libre si les forces de frottement de l'air sont négligeables.
Nommer la force qui agit alors sur l'objet au cours de sa chute. Sur le schéma cicontre, indiquer sa direction, son sens et calculer sa valeur dans le cas du
parachutiste avec son équipement.
2.3. Montrer que l’accélération du parachutiste en chute libre est égale à l’intensité
de la pesanteur g.
2.4. En utilisant la définition d’une l’accélération constante, montrer que dans le cas
d'une chute libre, v(t)=g.t où g est l'intensité de pesanteur du lieu.
2.5. Jusqu'à quelle date t peut-on considérer la chute comme libre ?
3. Chute freinée
3.1. Que peut-on dire de l’accélération entre les instants t=4s et t=25s ?
3.2. Dessiner les forces qui agissent sur le parachutiste dans cette phase.
3.3. La force de frottement peut-elle être constante au cours de cette phase ?
3.4. A t=25s, le parachutiste a quasiment atteint sa vitesse limite.
Déterminer cette vitesse limite vlim.
3.5. Qualifier le mouvement à partir de cette date ; en déduire la relation entre le
poids et la force de frottement.
3.6. Parmi les deux propositions, quelle est l’expression correcte de l’intensité de la
force de frottement :
f=14.v
ou
f=14.v2
4. Ouverture du parachute
A quelle date s’ouvre le parachute ? Dessiner les forces qui s’exercent sur le
parachutiste.
5. Laquelle des forces est la plus importante. Compléter le schéma en ajoutant le
vecteur accélération.
6. Enoncer puis appliquer le principe d'inertie pour interpréter ce qui se passe pour t >
36s.
Calculer la valeur de la force de frottement.
7. A quelle vitesse, exprimée en km.h-1 le parachutiste atteint-il le sol ?
40
50
O
k
z
O
k
z
O
k
z
Document : Quelques forces courantes
Poids d’un corps
Définition
Intensité
Action à distance de la Terre sur les objets dans son voisinage
P = mg
avec g : intensité de la pesanteur (ou gravité) du lieu
Représentation
P
P
Réaction d’un support
Action d’un support sur lequel s’appuie un objet ; n’apparaît que par réaction à
Définition
l’action de l’objet sur le support. (action de contact)
La réaction
R
normale R
s’oppose à
l’enfoncement.
f
La réaction tangentielle f
s’oppose au glissement.
Cette réaction correspond aux
frottements.
La poussée d’Archimède
Définition
Action d’un fluide sur un objet immergé dans ce fluide (action de contact)
Expression de l’intensité de la Poussée d’Archimède :
Poussée d’Archimède = poids du volume de fluide déplacé
A
A = Pliquide déplacé
A = mliquide déplacé . g
A = liquide . Vimmergé . g
Où

représente
Représentation
la
masse
volumique.
Rq : si objet totalement immergé, alors Vimmergé=Vobjet
Forces de frottement avec un fluide
f : frottements dont l’intensité est généralement proportionnelle au carré
de la vitesse f  K  v 2
Le coefficient K représente le coefficient de résistance de l'objet dans le fluide
en question. K dépend de la forme de l'objet (en l'occurrence pour la bille de son
diamètre), de la viscosité du fluide et de la facilité qu'a la matière constituant
l'objet de pénétrer le fluide. Il est donc constant pour un objet donné dans un
fluide donné.
f
P
Forces s’exerçant sur un avion en vol
R
F
f
P
P
: poids de l’avion
F
: force de propulsion exercée par les réacteurs
R
: Portance : réaction de l’air qui « porte » l’avion
f
: frottements de l’air dont l’intensité est généralement
proportionnelle au carré de la vitesse f  K  v 2
CORRECTION
I.
Airbus au décollage
1. Système d’étude : {avion}
Bilan des forces sur l’avion :
R1
R
R2
F
P
P
: poids de l’avion
F
: force de propulsion exercée par les réacteurs
R
: Portance : réaction de l’air qui « porte » l’avion
R1 et R2 : Réaction de la piste
Appliquons la 2ème loi de Newton sur un système pour lequel la masse ne varie pas :
dp
R1  R2  R  P  F 
 ma
dt
Comme l’avion ne subit aucune accélération verticale (il ne monte ni ne descend), on peut écrire :
R1  R2  R  P  0
On peut en déduire que :
F  ma
F
m
On peut donc écrire au niveau des intensités :
F
a
m
240 103
a
 3,7m.s 2
A.N.
3
65 10
2. On cherche l’évolution de la vitesse en fonction du temps, connaissant l’accélération :
dv
Par définition de l’accélération : a 
 3,7
dt
D’où v  3,7  t  A où A est une constante
Si v=0 à t=0, alors A = 0 et
v  3,7  t
D’où
a 
vdécollage  3,7  t décollage
Soit t = tdécollage pour v = vdécollage :
t décollage 
-1
vdécollage
3,7
-1
Avec vdécollage = 280 km.h = 78m.s , tdécollage = 22 s
3. On cherche à déterminer la distance parcourue en fonction du temps :
dx
Par définition de la vitesse :
v
 3,7  t
dt
3,7 2
D’où x 
où B est une constante
t  B
2
3,7 2
Si x=0 à t=0, alors B = 0 et
x
t
2
3,7
 22 2  9,0 10 2 m
2
La distance calculée est de moitié inférieure à celle indiquée sur le document. Aucun frottement n’a
été pris en compte dans les calculs alors que ceux-ci ne sont plus négligeables dès que la vitesse
devient importante.
Calculons la distance nécessaire au décollage xdécollage = x(tdécollage) :
xdécollage 
4. En croisière, le mouvement est rectiligne uniforme.
En vertu de la 1ère loi de Newton, les forces qui agissent alors sur l’avion se compensent.
Bilan des forces sur l’avion :
R
F
f
P
La première loi de Newton induit donc :
R P F f 0
Exprimons les coordonnées de ces forces en fonction de leur intensité respective dans le repère
suivant :
y
R
x
P
0
P
F
F
0
f
f
0
R
R
0
F
O
f
P
Projetons la relation R  P  F  f  0 sur chaque axe :
Sur Ox :
F–f=0
Sur Oy :
R–P=0
La relation R = P nous indique que l’avion vole à altitude constante : aucune des forces (portance ou
poids) ne l’emporte sur l’autre ; il ne monte, ni ne descend.
A partir de la relation F = f, on peut écrire : F  k  v 2 car f est une force de frottement fluide (voir
document « quelques forces »)
2
 830 
F  0,6  
A.N.
  3,2  10 4 N
3
,
6


La poussée des réacteurs en phase de croisière est de 32 kN. Elle est bien moindre qu’au décollage.
En croisière, la propulsion des réacteurs doit compenser la force de frottement, alors que=’au
décollage la propulsion doit permettre d’accélérer et aussi de s’élever (gagner de l’altitude).
II.
Iceberg
Système : {Iceberg}
Bilan des forces
Poids
appliquée au centre de gravité de l’iceberg
Poussée d’Archimède
appliquée au centre de gravité de la
partie immergée.
Intensité des forces :
P = μi . V . g
et
F = μe . Vim . g
Repère et coordonnées des forces :
0
0
P
F
P
F
1ère loi de Newton : l’iceberg est immonile (à l’équilibre) : P  F  0
Suivant l’axe Oy :
–P+F=0
soit P = F
D’où
μi . V . g = μe . Vim . g
Vim  i
Vim
830
Soit
A.N.


 0,806 soit 80,6 %
V
e
V
1030
III.
Décollage ballon sonde :
1. Établir le bilan des forces exercées sur le système {ballon + nacelle}, lorsque le
ballon vient juste de décoller. Indiquer le sens et la direction de chaque force.
z
P : poids du ballon sonde
FA : poussée d’Archimède
f : force de frottement : négligeable au moment du décollage car vitesse très
faible.
FA
a
2. Soit M la masse du système.
Appliquer au système la seconde loi de Newton (seule la relation vectorielle est
demandée).
2ème Loi de Newton :
P  FA  f  M  a
P  FA  M  a
Les frottements étant négligés durant cette phase :
P  Mg  k

P
f
FA  Vb g  k
O
f   f  k lorsqu’elle n’est pas négligeable
 Mg  Vb g  Ma
D’où la relation :
Pour que le ballon décolle, il faut que a soit orienté dans le même sens que k (vers le haut) et donc
que a>0.
M  Vb
 Mg  Vb g  0
D’où la condition :
soit
mmat  Vb  m  m'
3. m  m'mmat  Vb
La masse de matériel doit être inférieure à 8,4kg.
A.N.
mmat=8,4kg.
4. Lorsque la vitesse limite est atteinte, le mouvement est rectiligne et uniforme et les forces qui
s’exercent sur lui se compensent : P  FA  f  0
A.N.
d’où
 Mg  Vb g  K  vL  0
vL 
 Mg  Vb g
K
vL 
 5,0  9,8  1,22  9  9,8
 23m.s 1
0,11
2
IV.
Décollage de la fusée Ariane
1. Bilan :
P  P  j
y
F F j
Avec
On a
D’où
F
F  P  ma
2. 2ème loi de Newton :
P   P  j  mg  j F  F  j
 P  F  m.a
F P F
a
 g
m
m
F
3. a1 
g
m1
A.N.
a  a j
et
P
j
2445 103
a1 
 9,8  2,0m.s 2
208 103
O
On envisage la situation qui est celle immédiatement avant que tout le peroxyde d'azote ne
soit consommé. La masse de la fusée vaut alors m2. Calculer la valeur numérique de m2 puis celle de
l'accélération a2 à cet instant.
m2 = m1 – mN2O4 m2 = 60,5 t
2445 103
F
A.N. a1 
 9,8  31m.s 2
a2 
g
m2
60,5 103
Le mouvement d'ascension de la fusée est-il uniformément accéléré ?
Non, l’accélération n’est pas constante.
4.
Ve  
s
N
or
kg
Ve   s  kg 2 m  m.s 1
d’où
kg
s
On a bien la dimension d’une vitesse.
Quel est le signe de
1N équivaut à 1 kg.m.s-2
t
? En déduire le sens de
m
(voir relation F = m.a)
Ve . Qu'en pensez-vous ?
Δm < 0 car la masse diminue. On en déduit donc que
t
<0 ; Ve est opposé à F , donc vers le bas.
m
A l'aide d'une loi connue qu'on énoncera, expliquer pourquoi l'éjection des gaz propulse la fusée
vers le haut.
Il s’agit de la troisième loi de Newton :
Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, de même direction
mais de sens opposé, exercée par le corps B.
Ce qui se traduit mathématiquement : FAB   FB A
V.
Parachutiste :
1. On peut décrire 3 phases dans le mouvement :
(1) : phase d’accélération : la vitesse augmente entre t=0 et t=25s
(2) : phase de décélération : la vitesse diminue entre t=25s et t=35s
(3) : phase de vitesse constante après t=35s
2. Chute libre :
2.1. Pendant les 4 premières secondes de chute, la fonction v=f(t) est représentée
par une droite qui passe par l’origine ; la vitesse est donc pendant cette phase
proportionnelle à la durée de chute.
le coefficient de proportionnalité est donnée par la pente de la droite : on constate
qu’à chaque seconde la vitesse augmente de 10m/s. le coefficient de
proportionnalité est donc de 10m/s2 (remarque : il s’agit de l’accélération).
2.2. En chute libre, la seule force qui agit sur un objet est son poids. Cette force est
verticale dirigée vers le bas et son point d’application est le centre de gravité de
l’objet. Son intensité est donnée par la relation P=mg.
Dans le cas du parachutiste : P=1000N
2.3.
D’après la 2ème loi de Newton :
P  ma
O
Or P  mg  k
k
D’où
a  g k
Ce qui se conduit à : a=g en intensité.
P
dv
2.4. Définition de l’accélération : a 
dt
dv
g
Or on a vu que a=g, d’où
dt
v  g  t  C où C est une constante.
D’où
Déterminons la constante en utilisant les conditions initiales : à t=0, v(0)=0
Or v0  g  0  C  C
On a donc C=0
et donc v  g  t comme annoncé.
2.5.
z
D’après le graphe, on peut considérer la chute comme libre jusqu’à t=4s.
3. Chute freinée
3.1. Entre les instants t=4s et t=25s, l’accélération n’est plus constante, elle diminue
puisque la vitesse augmente de moins en moins.
3.2.
Bilan des forces : une force de frottement s’ajoute au poids.
3.3. La force de frottement n’est pas constante puisque l’accélération n’est pas
constante.
O
k
f
vlim=69m.s-1
3.4.
Détermination graphique :
3.5.
A partir de cette date, le mouvement est rectiligne uniforme.
La première loi de Newton énonce :
P  f lim  0
ce qui conduit à P = flim entre les intensités des deux forces.
3.6. A partir de la relation établie précédemment, on a les deux hypothèses
suivantes :
P =14. vlim
ou
P =14. vlim2
P
z
P 1000

 71 m.s 1
14
14
P
1000
A partir de la seconde hypothèse :
vlim 

 8,4 m.s 1
14
14
C’est la première hypothèse qui donne la valeur la plus proche de vlim graphique.
La force de frottement s’exprime donc f=14.v
A partir de la première hypothèse, on obtiendrait :
vlim 
4. Le parachute s’ouvre à t=35s.
O
5. C’est la force de frottement qui est plus grande que le poids.
Leur somme donne la direction du vecteur accélération qui doit être orienté dans le
sens opposé de la vitesse, ce qui explique le ralentissement.
6. Le mouvement étant rectiligne uniforme, on peut en effet appliquer le principe
d’inertie (1ère loi de Newton) qui conduit à : P = flim =1000 N
-1
-1
k
f
a fz
7. Le parachutiste touche le sol avec une vitesse de 10m.s soit 36km.h
v P
z