Exercices lois de Newton (série 1)

Exercices lois de Newton
I. Airbus au décollage
Document : fiche technique de l’airbus A 319
A319
Équipage technique
2
Passagers : maximum
142
Masse à vide
42400 kg
Masse maximum au décollage
77000 kg
Poussée des réacteurs au décollage
240 kN
Vitesse de croisière
830 km.h-1
Distance de décollage
2090 m
Vitesse au décollage
289 km.h-1
Autonomie
6800 km
Altitude maximale de croisière
39000 ft
Coefficient de résistance dans l’air
0,60
1. Calculer l’accélération de l’avion (m = 65 tonnes) dans les premières secondes du décollage,
lorsqu’on peut considérer la vitesse suffisamment faible pour que les frottements de l’air soient
négligeables.
2. En supposant que l’accélération reste constante pendant la phase de décollage, déterminer la durée
que met l’avion pour qu’il quitte le sol.
3. Déterminer également la distance alors parcourue sur la piste. Discuter le résultat par rapport aux
informations données.
4. Calculer la poussée des réacteurs à son altitude de croisière (les frottements ne sont plus négligés).
II. Iceberg :
Les icebergs sont des corps flottants en équilibre.
La masse volumique de l’eau de mer est μe=1030kg.m-3 et la densité de
l’iceberg considéré est μi=830kg.m-3.
La Poussée d’Archimède est une force dont l’intensité est égale au poids
d’eau de mer déplacée, qui s’exerce vers le haut.
Montrer que 80% du volume de l’iceberg est immergé.
III. Décollage ballon sonde :
Un ballon sonde, en caoutchouc mince très élastique, est gonflé à l'hélium. Une nacelle attachée au
ballon emporte du matériel scientifique afin d'étudier la composition de l'atmosphère.
L'objectif de cette partie est d'étudier la mécanique du vol du ballon sonde à faible altitude (sur les
premières centaines de mètres). On peut alors considérer que l'accélération de la pesanteur g,le volume
du ballon Vb et la masse volumique  de l'air restent constantes.
On modélisera la valeur f de la force de frottement de l'air sur le système étudié par l'expression:
f = K.v² où K est une constante dépendant de l’aérodynamisme du ballon et v la vitesse du centre
d'inertie du système {ballon + nacelle}.
On donne l’expression de la poussée d’Archimède qui agit sur le ballon :
gmF déplacéairA 
gVb
On supposera qu'il n y a pas de vent (le mouvement s'effectue dans la direction verticale) et que le
volume de la nacelle est négligeable par rapport au volume du ballon.

Le système {ballon + nacelle} est étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen. On
appelle M la masse totale du système.
Données :  = 1,22 kg.m-3 Vb = 9,0 m3
Masse du ballon (enveloppe + hélium) : m = 2,10 kg
Masse de la nacelle vide : m' = 0,50 kg
Constante aérodynamique : K = 0,11 kg-1.m-1
1. Établir sur un schéma le bilan des forces exercées sur le système {ballon + nacelle}, lorsque le ballon
vient juste de décoller. Quelle force peut-on négliger devant les autres durant cette phase ?
2. La vitesse initiale du ballon (juste après le décollage) étant considérée comme nulle, quelle condition
doit satisfaire la masse M pour que le ballon puisse s'élever ?
3. En déduire la masse maximale de matériel scientifique que l'on peut embarquer dans la nacelle.
4. Déterminer la vitesse limite atteinte par le ballon pour le cas où M = 5,0kg.
IV. Décollage de la fusée Ariane
Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages dont la hauteur totale est de 47,4 m et qui pèse,
avec sa charge utile (satellite), 208 tonnes au décollage.
Le premier étage qui fonctionne pendant 145 secondes est équipé de 4 moteurs Viking V alimentés par
du peroxyde d'azote N2O4 (masse de peroxyde emportée : 147,5 tonnes).
L'intensité de la force de poussée totale
F
de ces 4 réacteurs est constante pendant leur
fonctionnement: elle vaut F = 2445 kN.
Le champ de pesanteur
g
est supposé uniforme : son intensité est g0 = 9,8 m.s –2.
On choisit un axe Oz vertical dirigé vers le haut.
On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre qu'on suppose galiléen.
1. Représenter clairement, sur un schéma, en les nommant, les deux forces qui agissent sur la fusée
Ariane lorsqu'elle s'élève verticalement. On néglige les frottements et la poussée d'Archimède dans
l'air.
2. A un instant quelconque, la masse de la fusée est m.
Déterminer en fonction de m et des intensités des 2 forces précédentes la valeur de l’accélération a.
3. On considère d'abord la situation au décollage. La masse de la fusée vaut alors m1. Calculer la valeur
numérique de l’accélération a1 à cet instant.
On envisage la situation qui est celle immédiatement avant que tout le peroxyde d'azote ne
soit consommé. La masse de la fusée vaut alors m2. Calculer la valeur numérique de m2 puis celle de
l'accélération a2 à cet instant.
Le mouvement d'ascension de la fusée est-il uniformément accéléré ?
4. La vitesse d'éjection
e
V
des gaz issus de la combustion du peroxyde d'azote est donnée par la
relation :
e
V
=
t.F
m
où
m
t
est l’inverse de la variation de masse de la fusée par unité de temps et caractérise la
consommation des moteurs.
Vérifier l'unité de Ve par analyse dimensionnelle. Calculer la valeur numérique de Ve.
Quel est le signe de
m
t
? En déduire le sens de
e
V
. Qu'en pensez-vous ?
A l'aide d'une loi connue qu'on énoncera, expliquer pourquoi l'éjection des gaz propulse la fusée
vers le haut.

V. Parachutiste :
Un parachutiste saute d'un
hélicoptère momentanément
immobile dans le ciel. Dans tout
le problème on supposera sa
chute verticale. Avec son
équipement, sa masse est de 100
kg (on prendra g=10 N.kg-1). Le
graphe ci-dessous donne sa
vitesse au cours de la chute en
fonction du temps.
1. Décrire brièvement l'évolution de la vitesse du parachutiste au cours de sa chute.
2. Chute libre :
2.1. Pourquoi le graphique v=f(t) permet-il de dire que pendant les premières
secondes de la chute, la vitesse et le temps sont proportionnels ? Calculer le
coefficient de proportionnalité.
2.2. Un objet est en chute libre si les forces de frottement de l'air sont négligeables.
Nommer la force qui agit alors sur l'objet au cours de sa chute. Sur le schéma ci-
contre, indiquer sa direction, son sens et calculer sa valeur dans le cas du
parachutiste avec son équipement.
2.3. Montrer que l’accélération du parachutiste en chute libre est égale à l’intensité
de la pesanteur g.
2.4. En utilisant la définition d’une l’accélération constante, montrer que dans le cas
d'une chute libre, v(t)=g.t où g est l'intensité de pesanteur du lieu.
2.5. Jusqu'à quelle date t peut-on considérer la chute comme libre ?
3. Chute freinée
3.1. Que peut-on dire de l’accélération entre les instants t=4s et t=25s ?
3.2. Dessiner les forces qui agissent sur le parachutiste dans cette phase.
3.3. La force de frottement peut-elle être constante au cours de cette phase ?
3.4. A t=25s, le parachutiste a quasiment atteint sa vitesse limite.
Déterminer cette vitesse limite vlim.
3.5. Qualifier le mouvement à partir de cette date ; en déduire la relation entre le
poids et la force de frottement.
3.6. Parmi les deux propositions, quelle est l’expression correcte de l’intensité de la
force de frottement : f=14.v ou f=14.v2
4. Ouverture du parachute
A quelle date s’ouvre le parachute ? Dessiner les forces qui s’exercent sur le
parachutiste.
5. Laquelle des forces est la plus importante. Compléter le schéma en ajoutant le
vecteur accélération.
6. Enoncer puis appliquer le principe d'inertie pour interpréter ce qui se passe pour t >
36s.
Calculer la valeur de la force de frottement.
7. A quelle vitesse, exprimée en km.h-1 le parachutiste atteint-il le sol ?
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20 30 40 50
t (s)
v (m/s)
O
z
k
O
z
k
O
z
k

Document : Quelques forces courantes
Poids d’un corps
Définition
Action à distance de la Terre sur les objets dans son voisinage
Intensité
P = mg avec g : intensité de la pesanteur (ou gravité) du lieu
Représentation
Réaction d’un support
Définition
Action d’un support sur lequel s’appuie un objet ; n’apparaît que par réaction à
l’action de l’objet sur le support. (action de contact)
La réaction
normale
R
s’oppose à
l’enfoncement.
La réaction tangentielle
f
s’oppose au glissement.
Cette réaction correspond aux
frottements.
La poussée d’Archimède
Définition
Action d’un fluide sur un objet immergé dans ce fluide (action de contact)
Représentation
Expression de l’intensité de la Poussée d’Archimède :
Poussée d’Archimède = poids du volume de fluide déplacé
A = Pliquide déplacé
A = mliquide déplacé . g
A = liquide . Vimmergé . g
Où  représente la masse volumique.
Rq : si objet totalement immergé, alors Vimmergé=Vobjet
Forces de frottement avec un fluide
f
: frottements dont l’intensité est généralement proportionnelle au carré
de la vitesse
2
vKf 
Le coefficient K représente le coefficient de résistance de l'objet dans le fluide
en question. K dépend de la forme de l'objet (en l'occurrence pour la bille de son
diamètre), de la viscosité du fluide et de la facilité qu'a la matière constituant
l'objet de pénétrer le fluide. Il est donc constant pour un objet donné dans un
fluide donné.
Forces s’exerçant sur un avion en vol
P
: poids de l’avion
F
: force de propulsion exercée par les réacteurs
R
: Portance : réaction de l’air qui « porte » l’avion
f
: frottements de l’air dont l’intensité est généralement
proportionnelle au carré de la vitesse
2
vKf 
P
f
F
f
R
P
P
P
A
f
R

CORRECTION
I. Airbus au décollage
1. Système d’étude : {avion}
Bilan des forces sur l’avion :
P
: poids de l’avion
F
: force de propulsion exercée par les réacteurs
R
: Portance : réaction de l’air qui « porte » l’avion
1
R
et
2
R
: Réaction de la piste
Appliquons la 2ème loi de Newton sur un système pour lequel la masse ne varie pas :
am
dt
pd
FPRRR  21
Comme l’avion ne subit aucune accélération verticale (il ne monte ni ne descend), on peut écrire :
0
21  PRRR
On peut en déduire que :
amF 
D’où
m
F
a
On peut donc écrire au niveau des intensités :
m
F
a
A.N.
2
3
3.7,3
1065 10240 
sma
2. On cherche l’évolution de la vitesse en fonction du temps, connaissant l’accélération :
Par définition de l’accélération :
7,3 dt
dv
a
D’où
Atv  7,3
où A est une constante
Si v=0 à t=0, alors A = 0 et
tv  7,3
Soit t = tdécollage pour v = vdécollage :
décollagedécollage tv  7,3
7,3
décollage
décollage
v
t
Avec vdécollage = 280 km.h-1 = 78m.s-1 , tdécollage = 22 s
3. On cherche à déterminer la distance parcourue en fonction du temps :
Par définition de la vitesse :
t
dt
dx
v 7,3
D’où
Btx  2
27,3
où B est une constante
Si x=0 à t=0, alors B = 0 et
2
27,3 tx 
Calculons la distance nécessaire au décollage xdécollage = x(tdécollage) :
mxdécollage 22 100,922
27,3 
La distance calculée est de moitié inférieure à celle indiquée sur le document. Aucun frottement n’a
été pris en compte dans les calculs alors que ceux-ci ne sont plus négligeables dès que la vitesse
devient importante.
F
R
P
1
R
2
R