IV – Energie électromagnétique 1 Energie électromagnétique en

Université Pierre et Marie Curie - Licence de Sciences et Technologie - Parcours PF - L3 IV-1
Module LP312 Electromagnétisme I Pierre Boissel Année 2006/2007
IV – Energie électromagnétique
1 Energie électromagnétique en régime stationnaire
1.1 Energie électrostatique dans le vide
1.1.1 Distribution de charges ponctuelles
Il s'agit de calculer l'énergie potentielle contenue dans une distribution de N charges qi placées
aux points Mi. Selon la convention habituelle, nous prenons pour origine l'énergie de l'état
dans lequel les charges sont infiniment éloignées les unes des autres. L'énergie potentielle Ue
est donc le travail à fournir pour construire la distribution en ramenant les charges depuis
l'infini.
Pour un système de deux charges q1 et q2, on peut par exemple ramener la charge q2 jusqu'au
point M2 dans le potentiel de la charge q1 fixe :
(
)
22 MqUeΦ= ,
( )
21
1
0
24
1
MM
q
M
πε
=Φ étant le potentiel créé par la charge q1 au point M2 .
En effectuant la même opération en inversant le rôle des charges, on obtiendrait de la même
façon
(
)
11 MqUeΦ= . Le rôle des deux charges étant symétrique il est donc logique d'écrire
l'énergie Ue sous la forme :
( ) ( ) [ ]
2211
2
1MqMqUeΦ+Φ=
Cette expression se généralise pour un système de N charges :
[IV-1] ∑
=Φ= N i
iie qU
1
2
1
i
Φétant le potentiel créé au point Mi par l'ensemble des 1
−
N autres charges (
i
j
≠
).
Il faut noter cependant que la variation d'énergie potentielle pour apporter une charge
supplémentaire q au point M dans cette distribution est :
[IV-2]
(
)
MqUeΦ=∆
Ce résultat n'est pas contradictoire avec le précédent car la présence de la charge q modifie
tous les potentiels i Φ ressentis par les autres charges.
1.1.2 Distribution continue de charge
Pour calculer l'énergie potentielle d'une distribution continue de charge
(
)
M ρ contenue dans
un dans un volume V, on peut utiliser les résultats obtenus pour une distribution discrète. la
sommation étant remplacée par une intégrale sur le volume V, l'élément différentiel de charge
étant dVdq
ρ
=
.
L'énergie potentielle totale de la distribution est alors déduite de l'expression [IV-1]:

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[IV-3]
( ) ( )
∫∫∫ Φ=
V
edVMMU
ρ
2
1
De même, la variation d'énergie obtenue lorsqu'on rajoute en tous les points de la distribution
une petite densité de charge
(
)
Md ρ
est déduite de [IV-2] :
[IV-4]
(
)
(
)
∫∫∫ Φ=
V
edVMMU
δρδ
On obtient évidemment des expressions analogues dans le cas de densités surfaciques de
charge distribuées sur une surface S :
( ) ( )
∫∫ Φ=
S
edSMMU
σ
2
1
(
)
(
)
∫∫ Φ=
S
edSMMU
δσδ
1.1.3 Calcul à partir du champ électrique
Nous allons montrer que le calcul de l'énergie électrostatique peut être aussi effectué à partir
du champ électrique créé par la distribution de charges.
En utilisant l'équation locale 0 ερ =⋅∇ E
r
, la quantité
ρ
Φ
qui intervient dans l'intégration
donnant Ue (équation [IV-3]) peut être écrite :
E⋅∇Φ=Φ
r
0
ερ
En tenant compte de la relation
(
)
(
)
(
)
EEE ⋅∇Φ+⋅Φ∇=Φ⋅∇
r
r
r
et de la définition du potentiel,
cette expression peut être mise sous la forme :
(
)
[
]
EEE ⋅+Φ⋅∇=Φ
r
r
r
0
ερ
L'énergie potentielle peut être obtenue en intégrant cette égalité sur n'importe quel volume V'
entourant le volume V, la densité de charge étant nulle à l'extérieur de V :
(
)
[
]
∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅+Φ⋅∇=Φ=Φ=
'
0
'2
1
2
1
2
1
VVV
edVEEEdVdVU
r
r
ερρ
Montrons que l'intégrale
(
)
∫∫∫ Φ⋅∇
'
0
V
dVE
r
ε tend vers zéro si la surface Σ limitant le volume
V' est repoussée à l'infini.
D'après le théorème de la divergence
(
)
∫∫∫∫∫ Σ⋅Φ=Φ⋅∇ dSEdVE
V
0
'
0
εε
r
Si la surface Σ est une sphère de rayon R, le potentiel Φ décroît en R1 , le champ E en 2 1R
alors que la surface n'augmente que comme R2. L'intégrale tend donc vers zéro comme R1
lorsque R tend vers l'infini. On obtient donc finalement l'expression :
[IV-5] ∫∫∫
=
espace
edVEU 2
0
2
1
r
ε

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1.2 Energie électrostatique en présence de diélectriques
1.2.1 Elément polarisable dans un champ électrique
Nous avons vu dans le chapitre I que l'énergie potentielle d'un dipôle permanent p
r
placé dans
un champ électrique est donnée par :
EpU pot
r
r
⋅−=
Dans le cas ou le dipôle est induit par le champ électrique, il faut intégrer la variation de
l'énergie potentielle au cours de l'établissement du champ.
Pour un élément ayant une réponse linéaire et isotrope, le moment dipolaire créé par un
champ
E
r
est Ep O
r
r
αε =. Lorsque le champ électrique passe de
'
E
r
à '' EE
r
r
δ +, la distance
entre les charges varie de d δ dans la direction du champ. Le travail effectué par le champ
est donc pEdEqw
δδδ ⋅=⋅= ''
r
r
.
L'énergie potentielle dans un champ
E
r
est l'opposé du travail total fourni par le champ :
2
0
0
0
02
1
''' EdEEdpEU
EE
pot
rrr
αεαε
∫∫ =⋅−=⋅−= d'où
[IV-6] EpEU pot
r
r
r
⋅−=−=
2
1
2
12
0
αε
Quel que soit le sens du champ électrique, un élément polarisable sera donc toujours attiré
vers les régions dans lesquelles le champ électrique est maximal.
1.2.2 Energie d'une distribution de charges en présence de diélectriques
La distribution de charges est toujours construite à partir de charges initialement à l'infini,
mais certaines régions de l'espace sont remplies de diélectriques. Ces diélectriques, en
position fixe, sont déjà présents avant de ramener les charges. Leur polarisation dans le champ
des charges va donc modifier l'énergie totale de la distribution.
Le calcul de la variation d'énergie lorsque la densité de charge varie de
δρ
(équation [IV-4])
reste toujours valable mais la répartition de potentiel Φ est modifiée par les diélectriques.
On peut effectuer un calcul analogue a celui de la section 1.1.3 en utilisant le vecteur
D
r
. La
variation D
r
δ de ce vecteur par l'apport d'une densité de charge
δρ
obéit à la relation
δρδ =⋅∇ D
r
r
. Le même calcul conduit donc directement à :
[IV-7] ∫∫∫ ⋅=
espace
edVDEU
r
r
δδ
Si les diélectriques sont linéaires et isotropes,
D
r
est relié à
E
r
en chaque point par
(
)
EED
r
r
r
εχε =+= 1
0, d'où ED
r
r
δεδ =. L'énergie totale de la distribution s'obtient alors en
intégrant en chaque point la quantité EE
r
r
δε ⋅entre l'état initial où le champ est nul et la
répartition finale du champ lorsque la distribution est complète :
[IV-8] ∫∫∫
=
espace
edVEU 2
2
1
r
ε

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On trouve une expression analogue à celle obtenue dans le vide, la permittivité diélectrique du
vide ε
0 étant remplacée par celle du diélectrique
ε .
1.3 Energie totale
Par un raisonnement analogue, en construisant une distribution de dipôles magnétiques ou de
boucles de courant créant un champ magnétique
B
r
dans tout l'espace, on peut montrer que
l'énergie potentielle magnétique de la distribution est donnée par :
∫∫∫
=
espace
mdVBU 2
0
2
1
r
µ
Pour une distribution de charges électriques et de dipôles magnétiques, l'énergie potentielle
totale Uem sera la somme des deux contributions :
meem UUU +=
2 Energie dans le vide en régime dynamique
2.1 Puissance fournie aux charges
Dans un champ électromagnétique, une particule de charge q est soumise à la force
(
)
BEqF
r
r
r
r
∧+= v.
Pendant un temps dt, elle reçoit une énergie
dtEqdtFdu vv
r
r
r
r
⋅=⋅=
Le travail fourni dans le même temps à un ensemble de particules de charges qi contenues
dans un volume V
δ
assez petit pour que le champ puisse être considéré comme uniforme est
donc :
(
)
dtEVjdtEqUd
V
i
r
r
r
r
⋅=⋅=
∑
δδ δ
i
v
d'après la définition de la densité de courant j
r
.
En un point donné, la puissance par unité de volume fournie par le champ électromagnétique
aux charges libres contribuant au courant de conduction C j
r
est donc :
Ej
t
u
c
c
r
r
⋅=
∂
∂
La puissance fournie dans un volume fini V s'obtient naturellement par intégration :
dVEj
td
dU
V
c
c∫∫∫ ⋅=
r
r
Pour un système sans dissipation, l'effet de cette puissance est une variation de l'énergie
cinétique des particules. C'est le cas par exemple pour l'accélération des électrons dans un
tube de téléviseur.
Pour un conducteur ohmique par exemple, la puissance fournie est transformée en chaleur
dissipée dans le système, c'est le chauffage par effet Joule.

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2.2 Localisation et conservation de l'énergie
Considérons l'expérience décrite dans le schéma ci-dessous.
Au départ le condensateur C est chargé. Quand on ferme l'interrupteur K, un courant oscillant
passe dans le circuit créant un champ magnétique oscillant dans la bobine B1. Par induction,
ce champ crée une force électromotrice aux bornes de la bobine B2 et donc un courant dans le
deuxième circuit, courant qui allume l'ampoule A.
On peut analyser cette expérience en observant que l'énergie, initialement stockée sous forme
électrostatique et localisée dans le système S1, est passée dans le système S2, puis a été
dissipée à l'extérieur sous forme de lumière et de chaleur rayonnées par l'ampoule. Ce résultat
conduit à penser que l'énergie électromagnétique peut être localisée dans une région donnée
de l'espace et qu'elle peut être transmise d'une région à l'autre. Ces deux propositions ne
peuvent cependant pas être démontrées, elles sont admises comme des postulats, vérifiés par
l'expérience.
On admet donc d'une part que les résultats obtenus en statique par intégration sur tout l'espace
restent valables si on limite l'intégration à un volume fini V. L'énergie électromagnétique
contenue dans le volume V est donc :
∫∫∫
=
V
emem dVuU
où uem est la densité d'énergie électromagnétique donnée par :
2
0
2
02
1
2
1BEuuu meem
r
r
µ
ε
+=+=
ue et um étant respectivement les densité d'énergie électrique et magnétique.
On admet d'autre part qu'il existe une relation locale de conservation de l'énergie
électromagnétique. En considérant un volume fini V limité par une surface Σ , cette loi doit
exprimer que la variation d'énergie par unité de temps à l'intérieur de V est opposée à la
puissance totale sortant par la surface Σ .
La variation d'énergie à l'intérieur est la somme de la variation d'énergie électromagnétique
dtdUem , correspondant à l'énergie potentielle dans le système et de la puissance fournie aux
charges en mouvement dtdUc, correspondant à l'énergie cinétique ou à la dissipation vers
l'extérieur. La puissance sortant par la surface peut être caractérisée par le flux sortant d'un
vecteur em I
r
, appelé intensité électromagnétique. La conservation de l'énergie se traduira
donc par :
dS
dt
dU
dt
dU cem ⋅−=+ ∫∫
Σem
I
r
A
K C
S
1
S
2
B
1
B
2