Développement d`un modèle physico-numérique de la couche limite

Mini-projet de modélisation
Développement d’un modèle
physico-numérique de la couche limite
convective
Modèle de panache thermique
Plaines de l’Oklahoma et nuages convectifs de couche limite
Etienne VIGNON
M2 OACOS
2014
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Contents
1 Introduction 3
2 Développement d’un modèle de panache thermique: équations et physique du modèle 4
3 Résultats des simulations 6
3.1 Résultats de la partie "panache thermique" isolée . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Comparaison du transport vertical dans la couche limite avec et sans les panaches 9
4 Conclusion 13
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1 Introduction
On se propose de développer un modèle de couche limite atmosphérique convective comme
celle qui se développe au dessus des grandes plaines de l’Oklahoma. A l’aube, le soleil
chauffe la surface terrestre, le gradient de température devient égal au gradient adiaba-
tique et la convection s’initie. L’air est brassé et mélangé sur une hauteur de 1000 à 2000m,
entrainant une partie de la couche résiduelle de la couche limite nocturne précédente. Des
nuages peuvent alors se former par entrainement de vapeur de surface jusqu’à son altitude
de saturation. A la fin de la journée, la convection s’arrête, la couche limite se réduit et
atteint hauteur de quelques centaines de mètres dans la nuit. Elle est alors maintenue
uniquement de manière mécanique (cisaillement). Le même cycle repart le lendemain
matin.
Vu la grande étendue des plaines américaines et l’absence de variation de paysage sur
l’horizontal (voir photo sur la première page), on considèrera donc la couche limite comme
homogène horizontalement. Ceci permet alors de réduire l’étude à sa composante selon la
verticale (modèle 1d) et d’utiliser pour l’expression des flux turbulents des approximations
flux-gradient simples (du type ¯ a′w′=−Kd¯a
dz ).
Le modèle développé ici utilise comme maquette de base le modèle LMDZ 1d dont la
physique contient essentiellement un calcul de diffusion verticale avec coefficient de dif-
fusion fixé. Le travail d’écriture du code a été divisé en quatre parties. La première est
consacrée au développement de la couche d’Ekman de surface et à la paramétrisation de la
diffusion tubulente. La deuxième s’intéresse au développement du modèle de surface avec
les calculs de température de surface et des flux. La troisième partie, celle qui va nous
interesser ici, concerne le développement d’un modèle de panache thermique. Enfin, une
quatrième et dernière partie s’intéresse à l’implémentation de l’humidité dans les panaches
et à un schéma de nuage.
Figure 1: Schéma de l’évolution temporelle d’une couche limite convective
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2 Développement d’un modèle de panache thermique: équa-
tions et physique du modèle
On présente ici la partie du modèle consacrée au schéma en flux de masse des structures
convectives de la couche limite. On considère tout d’abord que les ascendances se pro-
duisent dans une fraction α= 0.1 de la maille, l’autre fraction étant celle où se produisent
les subsidences. Seule la vitesse verticale dans la partie ascendante sera considérée car la
vitesse des subsidences est négligeable (cm/s) par rapport à celle des panaches (m/s). Les
subsidences seront alors uniquement modélisées par le transport turbulent. On considère
le panache comme stationnaire (on néglige les phase de régime transitoire). L’équation de
conservation de la masse dans une maille s’écrit alors:
∂f
∂z =e−d(1)
où f=αρw est le flux de masse vertical (avec wla vitesse verticale et ρla masse vo-
lumique de l’air ), el’entrainement horizontal de l’air environnant et dle détrainement.
L’entrainement et le détrainement sont exprimés de la façon suivante pour conserver la
masse dans la maille en régime stationnaire:
e=max(∂f
∂z ,0) + ǫ(2)
d=max(−∂f
∂z ,0) + ǫ(3)
Avec ces expressions, on représente ainsi (du moins c’est l’idée) l’épaississement du panache
quand on a convergence de masse dans la maille avec pour ǫ= 0, la divergence de f
égal au détrainement (comme l’enclume au sommet des cumulonimbus); et le rétrécisse-
ment du panache quand le flux de masse diverge verticalement (divergence de f égale à
l’entrainement comme dans la colonne d’un cumulonimbus).
Les variables transportées par le panache qobéissent quant à elles à l’équation:
∂fqth
∂z =eq −dqth (4)
où l’indice th indique la localisation de la variable dans le thermique. Les variables trans-
portées ici sont la température potentielle θ, la quantité d’eau vapeur qxet la quantité
de mouvement horizontale u, v. L’équations d’accélération verticale du panache possède
un terme supplémentaire qu’est la flottabilité γ=gθth−θ
θmais ne comprend pas le terme
d’entrainement en raison de la vitesse verticale négligeable en dehors du thermique:
∂fw
∂z =ργ −dqth (5)
On supposera de plus que le détrainement est négligeable devant le terme de production
par flottabilité et que ρα est une constante dans chaque maille.
Une fois que toutes les variables du panache sont calculées, on "active" le thermique
en codant l’influence du transport des variables sur l’environnement. On calcule alors les
flux Fq=f(qth −q) et on injecte leurs divergences dans les équations des tendances.
Tous les schémas numériques utilisés sont des schémas amonts. Ceci est rendu possible
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Figure 2: Haut-Gauche: Profils verticaux de la température potentielle (K) dans le
panache (rouge) et l’environnement (noire) au bout de mille pas de temps.
Haut-Droite: Profil vertical de la vitesse verticale (m/s) dans le panache au bout de mille
pas de temps
Bas-Gauche: Evolution temporelle de la température potentielle (K) de l’environnement
en fonction du temps
Bas-droite: Evolution temporelle de la différence entre température potentielle (K) du
panache et celle de l’environnement en fonction du temps.
par le fait que l’équation sur f est linéaire et que f et les autres variables d’états sont pris
à des points de grilles différents. L’avantage de ce schéma est qu’il est physique (il ne
produit pas de valeur négative) et conservatif. Il correspond en réalité parfaitement à une
équation de bilan dans une maille. Les conditions aux limites sont des flux nuls au sol et
quand la vitesse verticale s’annule.
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