Développement d`un modèle physico-numérique de la couche limite

Mini-projet de modélisation
Développement d’un modèle
physico-numérique de la couche limite
convective
Modèle de panache thermique
Plaines de l’Oklahoma et nuages convectifs de couche limite
Etienne VIGNON
M2 OACOS
2014
1
Contents
1 Introduction
3
2 Développement d’un modèle de panache thermique: équations et physique du modèle
3 Résultats des simulations
6
3.1 Résultats de la partie "panache thermique" isolée . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Comparaison du transport vertical dans la couche limite avec et sans les panaches
4 Conclusion
13
2
9
4
1
Introduction
On se propose de développer un modèle de couche limite atmosphérique convective comme
celle qui se développe au dessus des grandes plaines de l’Oklahoma. A l’aube, le soleil
chauffe la surface terrestre, le gradient de température devient égal au gradient adiabatique et la convection s’initie. L’air est brassé et mélangé sur une hauteur de 1000 à 2000m,
entrainant une partie de la couche résiduelle de la couche limite nocturne précédente. Des
nuages peuvent alors se former par entrainement de vapeur de surface jusqu’à son altitude
de saturation. A la fin de la journée, la convection s’arrête, la couche limite se réduit et
atteint hauteur de quelques centaines de mètres dans la nuit. Elle est alors maintenue
uniquement de manière mécanique (cisaillement). Le même cycle repart le lendemain
matin.
Vu la grande étendue des plaines américaines et l’absence de variation de paysage sur
l’horizontal (voir photo sur la première page), on considèrera donc la couche limite comme
homogène horizontalement. Ceci permet alors de réduire l’étude à sa composante selon la
verticale (modèle 1d) et d’utiliser pour l’expression des flux turbulents des approximations
flux-gradient simples (du type a′¯w′ = −K dā
dz ).
Le modèle développé ici utilise comme maquette de base le modèle LMDZ 1d dont la
physique contient essentiellement un calcul de diffusion verticale avec coefficient de diffusion fixé. Le travail d’écriture du code a été divisé en quatre parties. La première est
consacrée au développement de la couche d’Ekman de surface et à la paramétrisation de la
diffusion tubulente. La deuxième s’intéresse au développement du modèle de surface avec
les calculs de température de surface et des flux. La troisième partie, celle qui va nous
interesser ici, concerne le développement d’un modèle de panache thermique. Enfin, une
quatrième et dernière partie s’intéresse à l’implémentation de l’humidité dans les panaches
et à un schéma de nuage.
Figure 1: Schéma de l’évolution temporelle d’une couche limite convective
3
2
Développement d’un modèle de panache thermique: équations et physique du modèle
On présente ici la partie du modèle consacrée au schéma en flux de masse des structures
convectives de la couche limite. On considère tout d’abord que les ascendances se produisent dans une fraction α = 0.1 de la maille, l’autre fraction étant celle où se produisent
les subsidences. Seule la vitesse verticale dans la partie ascendante sera considérée car la
vitesse des subsidences est négligeable (cm/s) par rapport à celle des panaches (m/s). Les
subsidences seront alors uniquement modélisées par le transport turbulent. On considère
le panache comme stationnaire (on néglige les phase de régime transitoire). L’équation de
conservation de la masse dans une maille s’écrit alors:
∂f
=e−d
∂z
(1)
où f = αρw est le flux de masse vertical (avec w la vitesse verticale et ρ la masse volumique de l’air ), e l’entrainement horizontal de l’air environnant et d le détrainement.
L’entrainement et le détrainement sont exprimés de la façon suivante pour conserver la
masse dans la maille en régime stationnaire:
e = max(
∂f
, 0) + ǫ
∂z
(2)
∂f
, 0) + ǫ
(3)
∂z
Avec ces expressions, on représente ainsi (du moins c’est l’idée) l’épaississement du panache
quand on a convergence de masse dans la maille avec pour ǫ = 0, la divergence de f
égal au détrainement (comme l’enclume au sommet des cumulonimbus); et le rétrécissement du panache quand le flux de masse diverge verticalement (divergence de f égale à
l’entrainement comme dans la colonne d’un cumulonimbus).
d = max(−
Les variables transportées par le panache q obéissent quant à elles à l’équation:
∂f qth
= eq − dqth
∂z
(4)
où l’indice th indique la localisation de la variable dans le thermique. Les variables transportées ici sont la température potentielle θ, la quantité d’eau vapeur qx et la quantité
de mouvement horizontale u, v. L’équations d’accélération verticale du panache possède
un terme supplémentaire qu’est la flottabilité γ = g θthθ−θ mais ne comprend pas le terme
d’entrainement en raison de la vitesse verticale négligeable en dehors du thermique:
∂f w
= ργ − dqth
(5)
∂z
On supposera de plus que le détrainement est négligeable devant le terme de production
par flottabilité et que ρα est une constante dans chaque maille.
Une fois que toutes les variables du panache sont calculées, on "active" le thermique
en codant l’influence du transport des variables sur l’environnement. On calcule alors les
flux Fq = f (qth − q) et on injecte leurs divergences dans les équations des tendances.
Tous les schémas numériques utilisés sont des schémas amonts. Ceci est rendu possible
4
Figure 2: Haut-Gauche: Profils verticaux de la température potentielle (K) dans le
panache (rouge) et l’environnement (noire) au bout de mille pas de temps.
Haut-Droite: Profil vertical de la vitesse verticale (m/s) dans le panache au bout de mille
pas de temps
Bas-Gauche: Evolution temporelle de la température potentielle (K) de l’environnement
en fonction du temps
Bas-droite: Evolution temporelle de la différence entre température potentielle (K) du
panache et celle de l’environnement en fonction du temps.
par le fait que l’équation sur f est linéaire et que f et les autres variables d’états sont pris
à des points de grilles différents. L’avantage de ce schéma est qu’il est physique (il ne
produit pas de valeur négative) et conservatif. Il correspond en réalité parfaitement à une
équation de bilan dans une maille. Les conditions aux limites sont des flux nuls au sol et
quand la vitesse verticale s’annule.
5
Figure 3: Gauche: Profils verticaux de l’humidité spécifique le panache (rouge) et
l’environnement (noire) au bout de mille pas de temps (kg/kg)
Droite: Evolution temporelle de l’humidité spécifique (kg/kg) de l’environnement en fonction du temps
3
3.1
Résultats des simulations
Résultats de la partie "panache thermique" isolée
On fait tourner le programme en n’incluant dans la physique que la partie "panache thermique". Les premiers résultats pour un run de 1 jour avec flux de surface imposés sont
visibles sur les figures 2, 3 et 4. On initialise la convection en prenant au sol dans le thermique une température potentielle supérieure à celle du sol. Le gradient de température
potentielle à t=0 au sol est négatif de manière à avoir une atmosphère instable près du
sol et enclencher la convection. Le vent initial est géostrophique et uniquement selon x; sa
vitesse est uniforme (10m/s) sauf au sol ou elle est prise nulle entrainant un fort gradient
vertical dans les basses couches. La paramétrisation des flux turbulents est implémentée
avec un Kz en tangente hyperbolique selon z (configuration initiale).
Regardons tout d’abord la figure 2. L’anomalie chaude de température potentielle initiale génère une flottabilité positive et fait monter des thermiques: c’est la phase de croissance de la couche limite (h ≈ t1/2 ou h est la hauteur de la couche limite et t le temps).
L’ascendance des thermiques se fait en réalité à température potentielle constante comme
on le voit sur la figure en haut à gauche. Ceci génère par rapport à l’environnement une
anomalie chaude de température potentielle dans les basses couches et une anomalie froide
dans la partie haute de la couche limite (voir figures en bas à droite et en haut à gauche).
Après mélange (échange via Fθ ), le gradient de température potentielle de l’environnement
s’annule jusqu’à l’altitude maximale d’ascension du thermique (à environ 3000 pas de
temps). A ce stade pour notre exemple, la température potentielle de l’environnement est
constante jusqu’à 800hPa (voir figure en bas à gauche). L’altitude maximum qu’atteint le
thermique dépend de la CAPE initiale soit de la différence de température entre les thermiques et l’environnement à z=0. Ceci se comprend également par le fait que l’altitude où
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Figure 4: Haut-Gauche: Evolution temporelle de la vitesse zonale (m/s) sans l’influence
de Coriolis.
Haut-Droite: Evolution temporelle de la vitesse méridionale (m/s) sans l’influence de Coriolis.
Bas-Gauche: Evolution temporelle de la vitesse zonale (m/s) avec l’influence de Coriolis.
Bas-droite: Evolution temporelle de la vitesse méridionale (m/s) avec l’influence de Coriolis.
la température potentielle du thermique égale celle de l’environnement est l’altitude où le
thermique commence à descélerer; la flottabilité devient alors négative (voir figure en haut
à droite). Quand la couche limite est établie, on note un très fort gradient de température
potentielle à son sommet (figure en bas à gauche, pas de temps supérieurs à 3000 où figure
en haut à gauche, courbe rouge): c’est l’inversion. Bien que dans la réalité, ces inversions
se produisent et sont très marquées (elles définissent souvent un plafond pour les nuages
de couche limite), elles ne sont pas aussi fortes. Un mélange par cisaillement plus fort
devrait par exemple être pris en compte par le modèle à cette altitude pour atténuer les
gradients.
7
Figure 5: Profils verticaux de la vitesse zonale dans le panache (rouge) et l’environnement
(noire) au bout de mille pas de temps (m/s)
Intéressons nous désormais au transport d’humidité soit à la figure 3. On note le
démarquement de la couche limite par l’humidité transportée depuis le sol et répartie par
convection jusqu’à environ 800hPa. Un fort gradient négatif d’humidité est notable au
niveau de l’inversion.
L’interprétation du profil de vent zonal est un peu plus complexe. Regardons tout d’abord
l’effet sur la vitesse non modfiée par la force de Coriolis sur la figure 4, partie supérieure.
On observe tout d’abord que le vent méridional initialement nul reste nul (cohérent si
l’on prend f=0). On observe ensuite une évolution de la vitesse zonale analogue à celle
de l’humidité: la convection transporte de la quantité de mouvement faible proche du sol
sur toute la hauteur de la couche limite qui se "mélange" avec la vitesse géostrophique de
10m/s. Après homogénéisation, la couche mélangée présente une vitesse zonale d’environ
7m/s.
On ajoute désormais l’effet de la force de Coriolis. Si l’on regarde u dans le panache
(figure 5) soit dans un environnement parfaitement mélangé et neutre sur le plan de la
stabilité, on observe le profil logarithmique caractéristique de la vitesse dans la couche de
surface du au forçace mécanique puis un profil de u constant et sous-géostrophique dans
la couche mélangée. Les profils de u et v dans la couche mélangée de l’environnement sont
quant à eux plus complexes à expliquer. On observe en effet une anomalie faible de u due
au transport par la convection de la faible quantité de mouvement de surface puis une
réaugmentation à des vitesses sur-géostrophiques. Le profil de v (figur 4, en bas à droite)
présente une anomalie positive puis négative dans la couche mélangée et ces anomalies sont
temporellement en quadrature de phase avec celle de u (même figure, en bas à gauche).
Cette évolution du vent et la période caractéristique (≈ 1/2day) est caractéristique d’une
oscillation inertielle. En effet, la couche mélangée n’est pas affectée par des contraintes
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mécaniques. Les pertubations de vent transportées par la convection génèrent donc des
oscillations inertielles au sein de cette couche. Les perturbations sur-géostrophiques pour
u sont alors expliquées par l’addition sur le vent géostrophique de l’oscillation inertielle
quand celle-ci est maximale selon u.
Notons enfin l’élargissement de la couche de surface en fin de journée sur les quatre
panneaux de la figure 4. Ceci est du à la croissance mécanique de la couche d’Ekman,
marqué par un fort gradient vertical de u et de v, en raison de l’affaiblissement de la
convection. Cette anomalie ne devrait pas être présente car nous sommes censés travailler
depuis le début avec des flux radiatifs constants. Cependant, pour des raisons pratiques
(toutes les figures n’ont pas été crée le même jour), la figure 4 a été faite avec la simulation
5 qui inclue une évolution journalière des flux (dont une évolution journalière du flux
solaire!).
3.2
Comparaison du transport vertical dans la couche limite avec et sans
les panaches
Nous souhaitons désormais comparer notre modèle de panache thermique avec un modèle
de diffusion turbulente d’ordre 1. Tout d’abord, rappelons que ce modèle inclue une
paramétrisation physique:
∂q
(6)
ρw′ q ′ = −ρKz
∂z
Notons qu’une telle paramétrisation avec Kz constant n’est pas adaptée pour les couches
limites instables. En effet, l’équation de conservation de l’énergie en régime permanent
deviendrait:
w′ θ ′ = −Kz
∂θ
=0
∂z
(7)
car dans le cas instable, ∂θ
∂z = 0. Donc cela signifierai l’absence de flux de chaleur ce qui
est absurde! Nous allons donc considérer trois cas pour le calcul de Kz (traités et codés
par Aglaé Jezequel):
• Un Kz qui est fonction de z uniquement (du type 1-th(z)) nommé K0
• Un Kz qui dépend du cisaillement de vent Kz = l k
mélange. Il est nommé K1 .
dv
dz
k où l est la longueur de
• Un Kz qui est une fonction du nombre de Richardson et donc prend en compte les
effets de stabilité/instabilité convective. Il sera nommé dans la suite K2 .
L’évolution de la couche limite sur 3 jours utilisant la paramétrisation K2 (la plus aboutie
et qui se veut donc la plus réalitse) et sans modèle de panache est représentée sur la figure 6. Celle utilisant le modèle de panache et une paramétrisation de la turbulence basique
(K0 ) est représentée sur la figure 7. La simulation de 3 jours incluant la paramétrisation
K2 et le modèle de panache est tracée sur la figure 8. Les flux varient selon la journée
selon une évolution caractéristique (variation sinusoidale du flux solaire et calcul interactif
des flux de surface).
La première remarque flagrante est l’incapacité de la paramétrisation des flux turbulents avec K2 à modéliser la convection thermique. En effet, on observe bien sur la figure
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Figure 6: Simulation sur 3 jours utilisant une paramétrisation avec K2 sans modèle de
panache:
Haut-Gauche: Evolution temporelle de la température potentielle (K).
Haut-Droite: Evolution temporelle de l’humidité spécifique (kg/kg).
Bas-Gauche: Evolution temporelle de la vitesse zonale (m/s) avec l’influence de Coriolis.
Bas-droite: Evolution temporelle de la vitesse méridionale (m/s) avec l’influence de Coriolis.
6 (température potentielle) une couche limite beaucoup moins épaisse et beaucoup moins
homogène. Ceci est du en partie à la loi linéaire utilisée pour la paramétrisation (loi de
diffusion) dont le temps caractéristique (≈ ρ/Kz ) est beacoup trop long pour représenter
les phénomènes convectifs. Mais la raison principale est la paramétrisation sous forme
de diffusion elle même. En effet elle crée des flux "contre gradient". Comme le gradient
de θ dans les hautes couches est positif, toute anomalie négative de theta (générée par
une convection) entrainera une augmentation du gradient vertical et donc une réponse
des flux turbulents de telle sorte de rétablir le gradient initial. Ainsi, aucun mécanisme
d’entretient de la convection n’est possible. De plus, comme le gradient de θ est plus faible
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Figure 7: Simulation sur 3 jours utilisant une paramétrisation avec K0 avec modèle de
panache:
Haut-Gauche: Evolution temporelle de la température potentielle (K).
Haut-Droite: Evolution temporelle de l’humidité spécifique (kg/kg).
Bas-Gauche: Evolution temporelle de la vitesse zonale (m/s) avec l’influence de Coriolis.
Bas-droite: Evolution temporelle de la vitesse méridionale (m/s) avec l’influence de Coriolis.
juste au dessus de la couche limite (en raison de la diffusion des hautes températures du
sol la journée) que dans les hautes couches de l’atmosphère, la divergence du flux turbulent
est négative. Ceci entraine une augmentation de θ juste au dessus de la couche limite et
explique l’inclinaison avec le temps des isentropes au dessus de 950hPa. Le gradient de θ
devient fortement positif au dessus de la couche limite et le mélange vertical ainsi que la
formation d’une couche limite épaisse sont alors inhibés Ce phénomène explique également
que la concentration en vapeur d’eau diminue dans les hautes couches (au dessus de la
couche limite mécanique) en fonction du temps.
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Figure 8: Simulation sur 3 jours utilisant une paramétrisation avec K2 avec modèle de
panache:
Haut-Gauche: Evolution temporelle de la température potentielle (K).
Haut-Droite: Evolution temporelle de l’humidité spécifique (kg/kg).
Bas-Gauche: Evolution temporelle de la vitesse zonale (m/s) avec l’influence de Coriolis.
Bas-droite: Evolution temporelle de la vitesse méridionale (m/s) avec l’influence de Coriolis.
On remarque toujours sur la figure 6 (vitesse des vents) la couche d’Ekman dans les
premiers mètres au dessus du sol (là où le cisaillement de vent est fort). Cette couche
d’Ekman est un peu moins élevée que si elle était modélisée avec K0 car la hauteur caractéristique de cette couche est proportionnelle à K 1/2 et que K2 dans les basses couches
est plus faible que le K0 (après discussion avec Aglaé). Les oscillations inertielles du vent
sont également présentes à une altitude où le cisaillement mécanique est faible (juste au
dessus de la couche d’Ekman).
La figure 7 nous montre, par comparaison avec la figure 1, la bonne modélisation du cycle diurne de la couche limite convective avec le modèle de panache: une grande couche
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mélangée la journée qui laisse place la nuit à une couche limite stable (gradient de θ positif)
surmontée d’une couche résiduelle et dont la partie supérieure est entrainée le jour suivant.
Cette simulation est améliorée en ajoutant la paramétrisation K2 sur la figure 8. On note
sur cette dernière figure une inversion au sommet de la couche limite moins marquée (pour
θ), une diffusion progressive des oscillations intertielles (qui sont en fait simplement des
réponses aux perturbations initiales et caractéristiques d’un régime transitoire) dans la
couche mélangée. Ceci est cohérent avec l’implémentation d’une meilleure diffusion turbulente. Cependant, il est notable que la nuit, la couche résiduelle est très (trop) épaisse
et présente des températures trop élevées. De plus, on note l’absence de formation d’une
inversion dans la basse couche limite et d’un jet nocturne au milieu de la nuit. Ces derniers
éléments peuvent s’expliquer par le fait que l’on n’a pas implémenté de refroidissement
radiatif dans l’atmosphère et ouvre donc la voie à une des futures améliorations à apporter
au modèle.
4
Conclusion
Nous avons donc présenté la partie "schéma d’un panache thermique" du modèle 1d de la
couche limite développé lors du cours de modélisation. Nous avons montré que le modèle
de panache simule bien la mise en place d’une couche limite convective ainsi que son cycle
diurne. Ce modèle de panache est fondé sur des équations de conservations et bien que certaines approximations ont été nécessaires pour l’implémenter, il respecte en grande partie
la physique de la convection. Nous avons pu le comparer au modèle de diffusion turbulente du premier ordre et montrer que ce dernier est limité aux couches limites neutres ou
stables car il est incapable de représenter les bonnes échelles spatiales et temporelles de la
convection. Bien que ces premiers résultats soient assez concluants, ils présentent plusieurs
limites. Tout d’abord, nous avons pu voir que l’absence de refroidissement radiatif dans
le modèle se traduit par l’absence de jet nocturne et des températures de l’atmosphère la
nuit trop élevées. De plus, nous avons ici totalement négligé non seulement le contenu en
vapeur d’eau pour la convection (et calculé une température potentielle classique et pas
virtuelle) mais également la formation de nuage et son influence sur les thermiques (traitée
en partie par Thomas Vernaudon). Enfin, nous avons considéré ici un coefficient de diffusion turbulente Kz identique pour le flux de chaleur et le flux de température. Considérer
un nombre de Prandlt non égal à 1 et paramétriser plus précisément la turbulence pourrait
être également une des améliorations à apporter au modèle.
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Les références qui ont servies de support pour aider à l’interprétation des simulations
et rédiger ce rapport furent:
References
[1] Stull R.B..
An Introduction to Boundary Layer Meteorology
Kluver Academic Publisher, 1988
[2] Davies P. A.
Development and mechanisms of the nocturnal jet
Meteorol. Appl. 7, 239–246, 2000
[3] Schroter J. S., Moene A. F. and Holtslag A. A. M.
Convective boundary layer wind dynamics and inertial oscillations: the influence of
surface stress
Q. J. R. Meteorol. Soc. 139: 1694–1711, 2013
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