Notions fondamentales pour la théorie des graphes

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Notions fondamentales pour la théorie des graphes
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26 Septembre 2007
Un bon ouvrage de référence qui explique en détail ces concepts (et qui traite de la théorie des graphes) est le
livre de Matoušek et Nešetˇ ril, “Introduction aux mathématiques discrètes”, chapitres 1 et 2. Pour ceux qui visent
le CAPES, un fichier pdf (plein d’exemples “concrets” de situations où les graphes apparaissent) est disponible à
l’adresse
www.irem.univ-mrs.fr/productions/graphes.pdf
Il couvre toute la matière de la théorie des graphes pour les terminales ES. Le dénombrement (et par extension le
principe d’inclusion-exclusion) n’est pas matière à examen.
1 Ensembles finis.
On ne fera pas de rappel sur la théorie moderne des ensembles puisqu’on ne sera concerné que par les ensembles
finis, la théorie naïve des ensembles est alors tout à fait suffisante.
Remarque 1.1:Pour les intéressés, le paradoxe célèbre de Russell provenant d’une conception intuitive des en-
sembles est comparable à l’histoire du soldat-barbier : il a pour ordre de raser uniquement les soldats qui ne se rasent
pas eux-mêmes. L’homme ne peut alors pas se raser sans contrevenir à cet ordre. Pour un mathématicien, il était plus
embêtant de considérer l’ensemble Ade tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Effectivement, on
est alors bien mal pris car Ane peut pas se contenir. Or si Ane se contient pas, il devrait appartenir à A,c’àd. se
contenir. Avec une définition convenable, An’est pas un ensemble.
Un ensemble Bcontient un autre ensemble A, relation qui est notée A⊂B, si ∀a,a∈A⇒a∈B. On vérifie
facilement avec cette définition que l’ensemble vide est toujours contenu dans un ensemble. Souvent on regardera
des ensembles d’ensembles, le plus simple est l’ensemble de tous les sous-ensembles de A, noté P(A). Pour les
graphes, on notera aussi P2(A)ou A
2pour l’ensemble de tous les sous-ensemble de cardinalité 2. Notons qu’une
paire ordonnée ou couple peut s’écrire comme un ensemble d’ensembles :
(x,y) = {{x},{x,y}}
Le produit cartésien A×Best l’ensemble des paires ordonnées dont le premier membre appartient à Aet le second
àB. En général, A×B6=B×A. D’autres définitions usuelles sont celles de l’union, l’intersection et la différence :
X∩Y={z|z∈Xet z∈Y}
X∪Y={z|z∈Xou z∈Y}
X\Y={z|z∈Xet z/∈Y}
Si on voit ∩et ∪comme des opérations (e.g. +et ·sur les réels), on a alors les propriétés de commutativité,
associativité et distributivité. Les lois de Morgan sont aussi dignes de mention :
X\(A∪B)=(X\A)∩(X\B)et X\(A∩B)=(X\A)∪(X\B)

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2 La récurrence.
Le principe de la démonstration par récurrence s’énonce par cette proposition d’aspect trivial
Proposition 2.1: Soit Xun sous-ensemble des entiers naturels N:={0,1,2,3,...}qui possède les propriétés sui-
vantes :
(a) Le nombre k0appartient à X,c’àd. k0∈X
(b) Si tous les entiers compris entre k0et k(inclusivement) sont des éléments de X, alors k+1appartient lui aussi
àX,c’àd. ∀k≥k0,∀j∈N,(k0≤j≤k)⇒j∈X⇒k+1∈X.
Alors Xest l’ensemble {n∈N|n≥k0}.
Remarque 2.2:La proposition ci-haut s’appelle le plus souvent “récurrence forte”. une formulation équivalente de
la récurrence (rarement avec un épithète) est de remplacer (b)dans la proposition ci-haut par
(b’) Si k≥k0est un élément de X, alors k+1 appartient lui aussi à X,c’àd. ∀k≥k0,(k∈X)⇒k+1∈X.
Cette propriété peut soit être vue comme une propriété de base des entiers naturels, ou comme la conséquence
de l’axiome suivant : “Tout sous-ensemble des entiers naturels possède un plus petit élément”. Une autre façon
d’exprimer cette idée est de dire que l’arrangement des entiers naturels selon leur grandeur est “bien ordonné”. Ce
sont des points de vue équivalents.
Une preuve par récurrence est de vouloir montrer un énoncé qui dépend d’un entier naturel P(n). On pose ensuite
X={n∈N|P(n)est vraie }. Ensuite
a. On choisit le plus petit k0qui nous intéresse et on essaie de montrer que P(k0)est vraie, c’àd. k0∈X.
b. Y étant parvenu, on supppose que pour un k≥k0donné, pour n’importe quel k0≤j≤k,P(j)est vraie ;
cette partie s’appelle le plus souvent hypothèse d’induction. Cette supposition faite, on tente alors de montrer
que P(k+1)est vraie. Ceci revient à vérifier que ∀k≥k0,∀j∈N,(k0≤j≤k)⇒j∈X⇒k+1∈X;
l’hypothèse d’induction correspond à la partie qui précède la deuxième implication (⇒).
La proposition 2.1 permet de conclure que X={n∈N|n≥k0},c’àd. que P(n)est vraie pour tout n≥k0.
Cette méthode de preuve se développe essentiellement à force d’exercices ; les sources d’erreurs sont multiples,
et parfois subtiles. Voici un argument fallacieux classique :
EXERCICE 1: On s’intéresse à démontrer la proposition suivante P(n):“tout groupe de npersonnes est constitué
uniquement d’hommes ou uniquement de femmes.” On commence avec P(1), où c’est vrai puisque une personne
donnée est toujours un homme ou une femme. On suppose ensuite que l’assertion P(j)est vraie pour tout 1≤j≤k,
c’àd. tout groupe de jpersonnes est constitué uniquement d’hommes ou uniquement de femmes. Étant donné un
groupe de (k+1)personnes, si on en enlève l’une d’elles, les autres sont toutes du même sexe puisque, par hypothèse,
tout groupe de kpersonnes est du même sexe. Donc il y a au plus un intru parmi ces (k+1)personnes. Qu’à cela
ne tienne, j’enlève une autre personne que l’intru du groupe des (k+1)personnes, et me voilà avec kpersonnes,
donc toutes du même sexe, en particulier l’intru est du même sexe que les autres. Conclusion, tout groupe de (k+1)
personnes est constitué uniquement d’hommes ou uniquement de femmes. Par récurrence, j’ai démontré que tout
groupe de personne est constitué uniquement d’hommes ou uniquement de femmes. Votre expérience personnelle
vous indique probablement (sic) que cela est faux (pour le meilleur et pour le rire), où est l’erreur ?
Il est aussi un type courant d’erreur qui survient en théorie des graphes dans les preuves par récurrence. En voici
un autre :
EXERCICE 2: Alceste prétend que tout graphe n-régulier possède un nombre pair de sommets. Il montre ce surpre-
nant résultat en faisant une induction sur n,P(n):“tout graphe nrégulier est d’ordre pair”. P(1)est évidente, un
graphe 1-régulier ayant exactement une arête à chaque sommet, il y a précisément deux sommets par arête. Suppo-
sons maintenant que P(j)est vraie si 1≤j≤k. Comme un graphe k+1-régulier s’obtient d’un graphe régulier en

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ajoutant suffisamment d’arêtes, son nombre de sommets est pair. Voilà qui démontre P(k+1)donc par récurrence,
P(n)est vraie pour tout n≥1.
Il y a un problème sérieux dans ce raisonnement, quel est-il ?
EXERCICE 3: Hildebrand est convaincu d’avoir trouvé une preuve fantastique : tout graphe (non-orienté, simple)
dont le degré des sommets est ≥2contient un triangle (un cycle de longueur 3). Voici sa preuve : on prend P(n):“un
graphe de nsommets dont le degré des sommets est ≥2contient un triangle”. P(3)est évident puisque le seul cycle
sur un graphe à 3sommets est le triangle. Supposons que P(j)est vraie lorsque 3≤j≤k, et considérons un graphe
àk+1sommets. Ce dernier s’obtient à partir d’un graphe à ksommets en ajoutant un sommet et suffisamment
d’arêtes, donc par hypothèse d’induction, sa partie à ksommets contient un triangle. Ce triangle est forcément aussi
dans le graphe à k+1sommets, ce qui montre que P(k+1)est vraie. Où est l’erreur ?
Les deux exercices précédents se basent sur une erreur très commune lorsqu’on fait de la récurrence en théorie
des graphes : on veut se servir de l’hypothèse d’induction (P(j)est vraie si k0≤j≤k) en disant que le graphe dont
on veut montrer P(k+1)(il a (k+1)sommets, (k+1)arêtes, est (k+1)régulier, peu importe ce à quoi (k+1)fait
référence) s’obtient rarement d’un graphe dont il est question dans P(j)pour j≤k.
EXERCICE 4: Un arbre est un graphe connexe qui ne contient aucun cycle.
(a) Montrer par récurrence qu’un arbre qui possède nsommets a exactement n−1arêtes.
(b) En conclure que ∑
x∈X
d(x) = 2n−2.
Voici, une application typique de la récurrence (forte). On rappelle qu’une chaîne eulérienne (ou un cycle
eulérien) d’un graphe G= (X,E)est une chaîne (ou un cycle) qui contient toutes les arêtes de Gsans jamais passer
deux fois par la même arête. Souvent une chaîne eulérienne (ou un cycle eulérien) repasse plusieurs fois par le même
sommet par contre.
Théorème 2.3: Si Gest un graphe connexe dont les degrés sont tous pairs, alors Gadmet un cycle eulérien.
Démonstration. Comme Gest connexe aucun degré n’est nul. On pose P(n):“Un graphe connexe dont les degrés
sont pairs et non-nuls dont le nombre d’arête est nadmet un cycle eulérien.” Un tel graphe ne peut exister que s’il a
au moins 3 arêtes, il s’agit alors du triangle. P(3)est vérifier facilement puisque le triangle possède un cycle eulérien.
Supposons que P(j)est vraie lorsque 1 ≤j≤k, et tentons de démontrer P(k+1). Soit G= (X,U)n’importe
quel graphe possédant k+1 arête. Comme le degré est supérieur ou égal à 2, on sait qu’il existe un cycle C0(pour
la démo, on se place dans le cas contraire en supposant qu’il n’y en a pas et on regarde une chaîne de longueur
maximale, comme le degré est ≥2 on peut la prolonger sans revenir sur ses pas, contradiction). Pour éviter toute
redondance sur les arêtes on prend un cycle élémentaire, disons C1, qui est contenu dedans. En tout sommet, C1
contient 0 ou 2 des arêtes qui y passent. On regarde alors le graphe G0= (X,E\C1), il possède des composantes
connexes (en nombre fini, puisqu’il est fini). Soit G0
1,...,G0
kles composantes connexes de G0qui ne sont pas des
points isolés, elles possèdent toutes un sommet en commun avec le cycle C1, appelons le xi, et, surtout, elles forment
chacune un graphe connexe dont les degrés des sommets sont pairs et non-nuls (puisqu’on a retiré un nombre pair
d’arête à chaque sommet et que si un sommet de degré 0 il est seul dans sa composante). Elles ont au plus k−2 arêtes
puique C1en a au moins 3. Par hypothèse, elles possèdent toutes un cycle eulérien, notons les C0
i, pour 1 ≤i≤k.C0 i
passe forcément par le point xi. En insérant, les C0
idans le cycle C1au point x0 i, on parcours toutes les arêtes de G.
D’où P(k+1)est vraie.
Par récurrence on a montré que P(n)est vraie pour tout n≥3, ce qui montre le théorème.
Ce théorème est le coeur du résultat d’Euler (qui était d’ailleurs connu depuis l’antiquité) :
Théorème 2.4: Un graphe Gconnexe possède une chaîne eulérienne si et seulement si il a 0ou 2sommets de degré
impair.

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Démonstration. Supposons que le graphe a une chaîne eulérienne, en tout point qui n’est pas une extrémité elle doit
arriver puis repartir dans une direction différente, et comme elle parcourt toutes les arêtes, tout point qui n’est pas
une extrémité a un nombre pair d’arête. Ainsi, si les extrémités sont distinctes il y a deux sommets d’ordre impair,
et sinon, la chaîne est en fait un cycle, et tous les sommets sont d’ordre pair.
La condition suffisante est contenue dans le théorème 2.3 :
- si aucun sommet n’est de degré impair, comme Gest connexe tous les degrés sont positifs et non-nuls, donc G
possède un cycle eulérien ; - si deux sommets, disons x1et x2, sont de degré impair, on ajoute artificiellement
un sommet auquels eux seuls sont reliés, c’àd. on regarde ˜ G= (X∪z,E∪{{z,x1},{z,x2}}.˜ Gsatisfait aux hypothèses
du théorème précédent, et en retirant ce qu’on vient d’ajouter, le cycle eulérien de ˜ Gdevient une chaîne eulérienne
de Gdont les extrémités sont x1et x2.
3 Fonctions, injections et surjections ; Morphismes de graphes
Une fonction est une recette qui prend un élément d’un ensemble qu’on appelle son domaine pour l’envoyer
dans un autre ensemble. Précisément,
Définition 3.1: Une fonction f:X→Yest l’association d’un élément de Yà chaque élément de X. Dans le vo-
cabulaire précédent, c’est un sous-ensemble fde X×Y, tel que pour tout x, il y ait un seul yde sorte que la paire
(x,y)fasse partie de f. L’élément associé à x∈Xest souvent noté f(x).Xest dit le domaine de f, tandis que
Im f=f(X):={y∈Y|∃x∈X,f(x) = y}est l’image de f. Tandis que f(x)est appelé l’image de x(par f).
Définition 3.2: Soit f:X→Yet g:Y→Zdeux fonctions, alors leur composition notée g◦f:X→Zest définie
par g◦f(x) = g(f(x)).
Dans un langage ensembliste cela s’écrit g◦f={(x,z)∈X×Z|∃y∈Y,(x,y)∈fet (y,z)∈g}. Ce point de vue
rigoureux n’est pas toujours commode à manipuler, d’où la préférence pour le point de vue intuitif.
EXERCICE 5: Donner un exemple de deux fonctions f,g:R→Rtelles que f◦g6=g◦f.
Définition 3.3: Une fonction f:X→Yest dite
a. injective ou une injection si deux points ne peuvent avoir même image, i.e. f (x1) = f(x2)⇒x1=x2,
b. surjective ou une surjection si tout point de l’image est atteint, i.e. ∀y∈Y∃x∈X,f(x) = y,
c. bijective ou une bijection si elle est à la fois injective et surjective.
Notons qu’une fonction f:X→Yest surjective si et seulement si f(X) = Y. D’autre part, toute fonction est
surjective sur son image, ainsi toute injection est une bijection sur son image.
Proposition 3.4: La composée de deux surjections, de deux injection ou de deux bijections sont respectivement une
surjection, une injection ou une bijection. De plus, toute fonction f:X→Ypeut s’écrire comme la composée de
g:X→Zet h:Z→Yoù gest une surjection et hune injection.
Démonstration. Si f1:X→Zet f2:Z→Ysont deux surjections, alors f2(f1(X)) = f2(Z) = Y,c’àd. f2◦f1est
surjective. S’il s’agit de deux injections f2(f1(x1)) = f2(f1(x2)) ⇒f1(x1) = f1(x2)⇒x1=x2,c’àd. f2◦f1est bien
une injection. Comme la bijectivité n’est que la combinaison de l’injectivité et de la surjectivité, il ne reste rien à
démontrer en ce qui concerne les bijections.
Soit maintenant, f:X→Yquelconque, et soit Z=f(X)alors g:X→Zdéfinie par g(x) = f(x)est évidemment
surjective, tandis que h:Z→Ydéfinie par h(z) = zest évidemment injective. D’où f=h◦gavec les propriétés
requises.

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EXERCICE 6: Soit Xun ensemble et IdXla fonction identité sur X:(x) = x. Soit f:X→Yun fonction, montrer
que
(a) il existe une fonction g:Y→Xde sorte que g◦f=IdXsi et seulement si fest injective.
(b) il existe une fonction g:Y→Xde sorte que f◦g=IdYsi et seulement si fest surjective.
(c) il existe une fonction g:Y→Xde sorte que g◦f=IdXet f◦g=IdYsi et seulement si fest bijective.
La bijection est au coeur du dénombrement.
Définition 3.5: Un ensemble fini Aest dit de cardinalité n, noté |A|=n, s’il existe une bijection de Adans
{1,2,...,n}ensemble de cardinalité nulle c’est l’ensemble vide, ∅. Par convention, l’ensemble vide est l’unique
ensemble de cardinalité nulle.
L’exercice qui suit consiste à démontrer que la notion de cardinalité correspond bien à l’idée intuitive qu’on s’en
fait.
EXERCICE 7: Montrer qu’avec la définition ci-haut,
(a) Si deux ensembles ont le même cardinal, il existe une bijection entre eux.
(b) S’il existe une bijection entre deux ensembles, ils ont le même cardinal.
(c) Un ensemble ne peut avoir à la fois cardinal net mpour m6=n. (Supposer que m<net utiliser la récurrence
sur n)
Une autre propriété simple de la cardinalité est que pour deux ensembles A,Btels que A∩B=∅,|A∪B|=
|A|+|B|. En effet, soit pour un ensemble fini X, une fonction bX:X→ {1,...,|X|}, alors la fonction f(x) = bA(x)
si x∈Aet f(x) = |A|+bB(x)si x∈Best une bijection de A∪Bdans {1,...,|A∪B|}. L’hypothèse A∩Best
nécessaire pour que cette fonction soit bien définie (un xne soit pas envoyé vers deux valeurs distinctes).
Proposition 3.6: Soit A,Bdeux ensembles de cardinalité n, alors une injection de Adans Best une bijection.
Démonstration. Soit f:A→Bune injection et considérons B0=f(A), on a déjà remarqué que fétait toujours
surjective sur son image. Donc fest une bijection de AàB0. Comme Aet Bont même cardinal, il y a une bijection
de l’un vers l’autre, et par composition, Best en bijection avec B0; autrement dit Bet B0ont le même cardinal.
Remarquons que B=B0∪(B\B0)et B0∩(B\B0) = ∅, d’où |B|=|B0|+|B\B0|. Si B0(B, on a que B\B06=∅
ce qui implique que |B\B0|6=0 et donc que |B|>|B0|. Ceci contredit le fait que Bet B0ont le même cardinal, la
supposition que B0(Best donc fausse, mais comme il est tout de même vrai que B0⊂B, la seule possibilité qui
reste est que B=B0=f(A); donc fest surjective.
Par la bande, on a aussi exprimé le “principe des tiroirs” : si on veut ranger des objets dans des tiroirs, et qu’il y
a plus d’objets que de tiroirs alors au moins deux objets iront dans un même tiroir
Exemple 3.7:Ceci n’est plus vrai pour les ensembles infinis. Une injection de Ndans Nn’est pas forcément surjec-
tive, c’est le cas par exemple de la fonction f(n) = 2n.
Exemple 3.8:On regarde les suites de kcaractères, chacun des caractères étant un chiffre de 0 à 9. Quel est le
nombre de ces suites qui comptent un nombre pair de chiffres impairs ?
Tout d’abord le nombre des suites de kcaractères est en bijection avec 0,1,...,10k−1, la bijection étant simple-
ment l’écriture décimale. Il y en a donc 10k. Soit Pl’ensemble des suites qui comptent un nombre pair de chiffres
impairs, Iles autres (qui comptent donc un nombre impair de chiffres impairs). Soit f:P→Ila fonction qui associe
à la suite s, la suite f(s)où le premier chiffre de sest modifié comme suit : 0 est changé en 1, 1 en 2, ..., 8 en 9, et
9 en 0. Deux suites distinctes restent distinctes une fois “transformées” par f, donc fest injective. Pour toute suite
s, on construit facilement une suite s0telle que f(s0) = sen faisant la transformation inverse sur s: on retranche 1