« Électrostatique, Magnétostatique et Induction »

Année Universitaire 2013-2014
2ème semestre
Énoncés des travaux dirigés et des travaux pratiques
Unité d’Enseignement
LP203
« Électrostatique, Magnétostatique et Induction »
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2
FORMULAIRE MATHÉMATIQUE
Systèmes de coordonnées









OM   e  zez
OM  x ex  y ey  zez
OM  r er












dl  dx ex  dy ey  dzez dl  d e   d e  dzez dl  dr er  rd e  r sin  d e
d  dxdydz
d   d d dz
d  r 2sin dr d d
Gradient d'un champ scalaire f (M)
f  f  f 
e  e  e
x x y y z z
f  1 f  f 
grad f  e 
e  e

   z z
1 f 
f  1 f 
grad f  er 
e
e 
r
r sin  
r 
grad f 
(cartésiennes)
(cylindriques)
(sphériques)

Divergence d'un champ vectoriel A( M )
 A A A
div A  x  y  z
x y
z
 1  ( A ) 1 A A
div A 

 z
 
  z
2
 1  (r A )
1  ( A sin  )
1 A
r
div A  2


r

r
r sin 
r sin  
(cartésiennes)
(cylindriques)
(sphériques)

Rotationnel d'un champ vectoriel A( M )
   A A    A A    A A  
ro t A   z  y ex   x  z e y   y  x ez
z 
x 
y 
 z
 y
 x
   1 Az A    A Az   1   ( A ) A  
e
e  
e  
ro t A  



  
  z
 z  
   z 
 
1   (sin A ) A   1  1 Ar  (rA )   1   (rA ) Ar  
e  
e  



ro t A 

e
r sin  

  r r  sin  
r   r  r
  
défini par f  div(grad f )
Laplacien d'un champ scalaire f
f 
2 f 2 f 2 f


x 2 y 2 z 2
(cartésiennes)
f 
1   f  1  2 f  2 f

 
      2  2 z 2
(cylindriques)
f 
1  
1   2 f 
f  1  2 f 


r
sin

r 2 r  r  r 2 sin 
  sin   2 
 


(sphériques)
Laplacien d'un champ vectoriel A( M )




 A    Ax  ex   Ay  ey    Az  ez
 
A
A

2 A  
2 A  1
 A  A  2  2   e  A  2  2   e   Az  ez
   
   



 
2
1  (sin A ) 
1  A  
 A  Ar  2  Ar 

 er
 sin   

r 
sin 


2  A
A
cos  A  
 A  2  r 
 2
 e
2
r   2sin  sin   


A  A  
1   A
A
 cotg  
A  2

 e
r sin   
 2sin   



Opérateur A.grad B





B
B
B
A.grad B  Ax
 Ay
 Az
x
y
z


4
Relations vectorielles



 
 
   
 
A  B  B  A
A A  0
A. A  B  0
  
  
  
  
A. B  C  B. C  A  C. A  B   A. C  B
  
    
A  B  C  A.C B  A.B C

    
     
 

 
divgrad f   f
grad  fg   f grad g   g grad f 



div fA  grad f .A  f divA


 
rot  fA  grad f  A  f rot A
 
 


divA  B   B.rot A  A.rot B



rotrot A  grad div A  A
 

 
 
 

grad A.B   A  rot B  B  rot A  B.grad  A  A.grad B
 
 
 

 

rot A  B    B divA  AdivB  B.grad  A  A.grad  B
v.gradv  grad v2  v  rotv

div rot A  0

rot grad f  0
2

Opérateur nabla 

 est un opérateur différentiel vectoriel défini en coordonnées cartésiennes par :

      
  ex  e y  ez
x
y
z


f  f  f 
ex  ey  ez  grad f
f 
x
y
z




    A  A  A

ainsi :
 ey 
 ez 
 div A
  A  ex 
x
y
z




    A  A  A
 
  A  ex 
 ey 
 ez 
 rot A
x
y
z


 n'est pas un vecteur et ne doit pas être considéré comme tel dans les calculs (il n'y a
L'opérateur 

pas commutativité de la multiplication scalaire avec 
 par exemple).
On peut cependant retrouver très rapidement les relations données ci-dessus en l'exprimant avec la
 
notation d'Einstein :   ei  i , où i, représentant x, y ou z , court de 1 à 3 et où la sommation sur
l'indice est représenté deux fois.  i et  ij désignent les dérivées première et seconde par rapport aux
variables indicées par i et j.
5
 

Variation d'un champ Ar  sur un déplacement infinitésimal dr

  
dA  dr. grad . A




  
    A
dA  dr. grad . A
dt si A  A  r, t 
t

ou



Si 
r est le rayon-vecteur en un point quelconque et A
 un champ constant:

 
r 
div r  3
rot r  0
gradr   er
r


r
1
r
1
div 3      0
grad   3
r
r
r
r



A
A 
A.r
1
div   A.grad    3
   0
r
r
r
r
Relations intégrales

* (C) est un chemin fermé, dl un déplacement élémentaire
sur la courbe (C) et (S) une surface quelconque (non

fermée), s'appuyant sur (C), dont la normale unitaire N
 est

orientée en concordance avec dl ( suivant la règle du tirebouchon de Maxwell, par exemple,
alors :


  
 
A. dl   rot A . N dS
(C)
(S)



f dl   N dS grad f

(C)
(S)


(Relation de Stokes)

* (S) est une surface fermée quelconque
délimitant un domaine (D) et dont la normale

unitaire N est orientée vers l'extérieur,
alors :



 

A. N dS   div Ad
(S)
(D)


f . N dS   grad f d
(S)
(D)
 


N dS A   rot Ad
(S)
(D)
6
(Théorème Greeen-Ostrogradski)
TD 1 et 2
Outils mathématiques
1 – Produit vectoriel
   
 
Calculer les produits vectoriels eX  eY , eZ  eY , et eY  eY .
2 – Coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques
Définir, dans le système de coordonnées le plus approprié, les surfaces suivantes :
a)
P : plan infini (xOy) passant par O
b)
disque D de centre O, compris dans le plan (xOy), de rayon R
c)
tube T d’axe (Oz), de rayon R, compris entre les plans z = 0 et z = H
d)
sphère Sph et boule B de centre O et de rayon R
e)
cône Co de sommet O, d’axe (Oz), de hauteur h, d’angle 
3 – Intégrales surfaciques, volumiques
Calculer, par une intégrale, les quantités suivantes :
a)
aire du disque D
b)
surface du tube T ; volume compris dans le tube T
c)
aire de la sphère Sph et volume de la boule B
d)
aire du cône Co
Calculer la charge totale portée par :
e)
le disque D portant la charge surfacique (,) = 0.sin()
f)
le tube T portant la charge surfacique (,z) = 0.sin()
g)
le cylindre délimité par le tube T, et portant la charge volumique w(,,z) =
w0.sin().
4 – Intégrale volumique
1. Calculer la charge électrique contenue dans une sphère de centre O et de rayon R, la densité
volumique de charge étant uniforme et égale à 0.
2. Calculer la charge électrique contenue dans une sphère de centre O et de rayon R, la densité
ar
(r désigne la distance au centre).
volumique de charge étant donnée par (r)  K e
r
Que devient-elle quand R tend vers l'infini ?
5 – Gradient et circulation
a) Calculer les composantes, dans la base locale associée aux coordonnées sphériques, du
gradient de la fonction
 f (r,,) = cos() / r².
Ex = kx3, k étant une constante. Calculer le
b) Soit un champ E orienté suivant un axe (Ox) avec


potentiel V dont dérive ce champ (i.e. V tel que E  gr ad V : ce sera vu au TD suivant).

c) Calculer le potentiel V dont dérive le champ E de composantes Ex = 2(ax+by3) et Ey = 2(ay +
3bxy²) avec a et bconstantes. Calculer la circulation de ce champ entre le point (x=0, y=0) et le
point (x=1, y =0). Vérifier qu’elle est égale à V(0,0) – V(1,0).
d) Même question avec un champ de composantes Ex = -kx et Ey = -ky.
7
6 – Divergence et rotationnel
Dessiner dans le plan l'allure du champ de vecteur v et calculer sa divergence puis son
rotationnel pour :




a ) v  x ex
b ) v  y ex




c ) v  e (coordonnées polaires planes)
d ) v   e
7 - Développements limités
On rappelle ci-dessous la formule de Taylor :
2
3
n
f (a  x)  f (a)  x f ' (a)  x f ' ' (a)  x f ' ' ' (a)  .....  x f ( n) (a)  ...
2!
3!
n!
1!
Calculer les développements limités au voisinage de 0 de sin x, cos x, exp x, (1  x) n .
Exercices supplémentaires
Circulation et rotationnel

 e
1. Calculer la circulation de v 
le long du cercle d'équation z  h et x 2  y 2  R2 .



2. Calculer la circulation de v  e le long du cercle précédent. Retrouvez le résultat en utilisant le
théorème de Stokes.
Flux

 e
Calculer le flux de v 
à travers un tube d'axe Oz et de rayon R et de hauteur h.

Pourquoi ne peut-on pas appliquer le théorème d'Ostrogradski ?
Gradient
Soient x, y et z les coordonnées cartésiennes d'un point M par rapport à un repère orthonormé direct
  
R (O, ex, ey, ez ) et U(M) une fonction des trois coordonnées de M.
1. Exprimer la différentielle de U(M) à l'aide des coordonnées cartésiennes de M puis,
successivement à l'aide des coordonnées cylindriques (  ,  , z) de M dans R et des coordonnées
sphériques (r,  ,  ) de M dans R.

2. En exprimant le vecteur déplacement élémentaire d l à l'aide des coordonnées cartésiennes,
cylindriques et sphériques de M respectivement, en déduire les composantes du vecteur grad U
dans chacun de ces systèmes de coordonnées.
8
TD 3 et 4
Force, champ et potentiel électrique
Exercice 1
  
L’espace est rapporté à un repère orthonormé O, ex , e y , ez  . Aux points A=(a,0,0), B=(0,a,0),
C=(−a,0,0) etD=(0,−a,0) se trouvent quatre charges ponctuelles identiques de valeur q.

1. Exprimer le champ électrique créé par ces charges en un point quelconque de l’axe O, ez  .
2. Retrouver le résultat précédent en utilisant le plus possible des arguments de symétrie.

3. Exprimer le potentiel créé par ces charges sur l’axe O, ez  en sommant les contributions des 4
charges.

4. Retrouver l’expression du champ électrique sur l’axe O, ez  en utilisant les propriétés de
symétrie du champ électrique et l’expression du potentiel trouvée au 3).
5. Que deviennent les résultats précédents si on met des charges +q en A et C et −q en B et D ?
Exercice 2
Dans cet exercice, Q désigne une valeur positive.
1. Pour les 4 représentations ci-dessous on a dessiné les lignes de champ et les équipotentielles
associées, créées par deux charges. En justifiant, dites à quelle représentations correspondent les
distributions suivantes : Q,3Q ; Q,Q ; Q,Q ; Q,Q, et où se trouvent les charges.
9
2. Même question avec trois charges. Les distributions sont : Q,Q,Q ; 0,Q,3Q ; Q,Q,3Q ;
Q,Q,Q.
10
3. Sur la figure ci-dessous, on a représenté des équipotentielles créées par trois charges Q placées au
sommet d'un triangle équilatéral. Tracer quelques lignes de champ.
11
Exercice 3 : Champ et potentiel créés par une distribution linéique de charge
On considère une spire circulaire de centre O, de rayon R, d’axe Oz uniformément chargée avec une
densité linéique de charge . On cherche à exprimer le champ et le potentiel en un point M de
l’axe Oz.
a. Exprimer le potentiel dV créé en M par un élément chargé Rd de la spire (faire un schéma et
faire apparaître d. En intégrant, exprimer le potentiel V créé en M par la spire.
b. Donner la relation entre le potentiel et le champ électrostatique. En déduire le champ en M.
Exercice 4 : Champ et potentiel créés par un plan uniformément chargé
1. On cherche à exprimer le potentiel et le champ électrique créés par un disque de rayon R portant
une densité surfacique uniforme de charge σ, sur l’axe Oz perpendiculaire au disque et passant
par son centre. On choisira comme origine des potentiels l’infini (V(∞)=0). Pour cela, exprimer
tout d’abord le potentiel créé en M par une charge surfacique dq=dS (on exprimera dS dans les
coordonnées cylindriques). En déduire V(M) par intégration, puis le champ électrique.
2. En déduire l’expression du potentiel et du champ électrique juste au dessus du disque (c’est à dire
pour z<<R). Quelles sont les surfaces équipotentielles ? Cette situation correspond à un plan
infini uniformément chargé, pourquoi ?
3. On met face à face, parallèles et distants de e, deux plans dont les dimensions sont très grandes
devant e. L’un porte la densité uniforme de charge +σ, l'autre la densité uniforme de charge -σ.
Donner l'expression du champ électrique entre ces plans, loin des bords. Calculer la circulation
du champ électrique, en déduire la différence de potentiel entre les deux plans.
Exercice 5 : extrait d’examen
On place une charge q à l’origine O sur un axe Ox et une charge -2q en un point A, d’abscisse
d>0, sur le même axe.
1. Calculer le potentiel V(x) en tout point de l’axe des x ; on utilisera la convention: V=0 à
l’infini. On détaillera les expressions dans chacune des régions de l’axe des x.
2. Quel(s) est (sont) le(s) point(s) de l’axe des x où V(x)=0 ?

3. Calculer le champ électrostatique E(x) en tout point de l’axe des x. On détaillera les
expressions dans chacune des régions de l’axe des x.
4. Quel(s) est (sont) le(s) point(s) de l’axe des x où le champ électrostatique est nul ?
Exercice supplémentaire.
  
L’espace est rapporté à un repère orthonormé O, e x , e y , ez . Aux points O, A=(0,0,a) et C=(0,0,−a)


se trouvent des charges ponctuelles respectivement de valeur 2q, q et q.

1. Déterminer le champ électrique créé par ces charges en M sur l’axe O, ez  puis en N situé dans
 
le plan O, e x , e y  .
2. Retrouver les directions du champ en utilisant le plus possible des arguments de symétrie.

 
3. Calculer le potentiel créé par ces charges sur l’axe O, ez  puis sur le plan O, e x , e y  .

 
4. En déduire les expressions du champ électrique sur l’axe O, ez  puis dans le plan O, e x , e y  .
12
TD 5
Energie potentielle électrostatique
Exercice 1 : Système de charges ponctuelles
1. Calculer l'énergie d'interaction électrostatique du système de charges
ci-contre susceptible de représenter la molécule de CO2.
2. On considère un modèle simplifié unidimensionnel illimité d’un cristal ionique, constitué par une
rangée de charges +q et q en alternance, équidistantes de a.
Calculer l'énergie d'interaction d'un ion avec tous les autres.
Évaluer le rapport entre cette énergie et celle d’un couple (+q, q) isolé.
N.B. : ce rapport est appelé constante de Madelung.
Exercice 2 : Énergie libérée par la fission d’un noyau d’uranium 235
Dans le mécanisme de fission nucléaire, un neutron possédant une énergie cinétique réduite
(neutron lent) vient heurter le noyau d’un élément fissile, en l’occurrence un noyau d’uranium 235
235
U . Sous le choc, ce noyau se décompose en noyaux plus légers en libérant de l’énergie, ainsi
92
qu’un ou deux neutrons nécessaires à la poursuite de la réaction en chaîne.
Dans le modèle développé ci-après, l’énergie de fission trouve son origine dans la différence
d’énergie potentielle électrostatique entre le noyau initial et les noyaux fils engendrés. Selon le
modèle dit de la goutte liquide, nous assimilerons le noyau de 235
U à une sphère de rayon a, de
92
charge volumique uniforme et de charge totale Q=Ze. Il ne s’agit que d’une interprétation
grossière de la réalité et l’encart : « du modèle à la réalité » donne des précisions physiques.
1. Distributions de charges
a. Calculer la densité volumique de charge  en fonction de Z, e et a.
b. Calculer la charge q(r) contenue dans une sphère de rayon r  a prise au sein du noyau.
Ze 3
r2
( 
) , et à
2. On donne le potentiel électrostatique à l’intérieur du noyau : Vint (r) 
4 0 2a 2a3
Ze 1
l’extérieur : Vext (r ) 
. On se propose de calculer l’énergie électrostatique  p du noyau par
4 0 r
deux méthodes :
a. Trouver  p à l’aide de l’intégrale donnant l’expression de l’énergie électrostatique d’une
distribution continue de charge en fonction du potentiel.


b. A partir du potentiel, établir les expressions des champs électrostatiques Eint (r) et Eext (r) à
l’intérieur et à l’extérieur du noyau en fonction de r. En déduire l’énergie électrostatique  p du
noyau.
13
3. Énergie libérée lors de la fission d’un noyau
En supposant qu’un seul neutron est éjecté (en plus du neutron incident) lors de la fission, nous
U produit deux noyaux fils
considérerons ici pour simplifier que la brisure du noyau de 235
92
identiques, de charges volumiques  comme le noyau père. Outre l’énergie cinétique, négligeable,
communiquée par le neutron incident, la brisure du noyau requiert une énergie  coh égale à 130
MeV. Cette énergie, prélevée sur la réaction de fission elle-même, sert à vaincre les forces
d’attraction entre nucléons responsables de la cohésion du noyau.
a. En assimilant le noyau de 235
U et les deux noyaux fils à des gouttes liquides parfaitement
92
sphériques, relier le rayon a’ de ces derniers au rayon a (on négligera ici le neutron éjecté).
b. Relier de même l’énergie potentielle électrostatique p ' d’un noyau fils à  p . Exprimer
l’énergie utilisable  r récupérée lors de la fission d’un noyau de
235
92
U.
Application numérique : a = 9 fm. Donner la valeur numérique de  r en eV.
Du modèle à la réalité
 Le modèle de la goutte liquide, dû à Von Weizsäcker sur une suggestion de Bohr, a été conçu
initialement pour trouver un moyen de déterminer le plus exactement possible la masse d’un
nucléide avec la seule connaissance des deux paramètres qui l’identifient : Z et A.
 Lors de la fission de l’uranium 235, en moyenne 2,5 neutrons, et non pas 1, sont libérés après capture
d’un neutron lent.
 Le cas de la fission binaire (un noyau se brise en deux fragments) est effectivement le plus fréquent.
 Les fragments de fission sont de tailles très différentes : le cas des deux fragments identiques
proposé dans l’énoncé est impossible puisque le 117
Pd ne fait pas partie des produits de fission
46

connus à ce jour.
Les produits de fission les plus probables correspondent aux noyaux dont l’un des paramètres Z ou A
avoisine l’un des nombres dit « magiques » : Z=50 et A=80.
Exercice supplémentaire :
Dans l’exercice 2, on propose une troisième méthode pour calculer l’énergie électrostatique du
noyau : construction d’une sphère chargée uniformément en volume en agglomérant des charges
élémentaires amenées depuis l’infini.
a. Calculer la charge dq(r) contenue dans une coquille sphérique de rayon r, centrée en O et
d’épaisseur dr.
b. Calculer le potentiel V r à la surface d’une sphère de rayon r et de charge q(r) répartie
uniformément en volume.
c. Donner l’expression du travail dWr nécessaire pour amener une charge ponctuelle dq de
l’infini à la distance r, en fonction du potentiel V r calculé à la question précédente. Montrer que
le travail est identique si cette même charge dq, initialement répartie uniformément dans une
coquille sphérique de rayon infini et centrée en O, est amenée dans la coquille décrite dans la
question 3. a.
d. Calculer le travail W nécessaire pour construire le noyau par empilement successif de coquilles
élémentaires de charges dq(r). Comment retrouve-t-on l’expression de  p ?
14
Théorème de Gauss
TD 6 et 7
Exercice 1 : Notion d’angle solide
1. Sous quel angle solide voit-on un cube depuis un point situé à l'intérieur, au centre d'une face, en
un sommet, au milieu d'un côté ?
2. Déterminer l'angle solide délimité par le cône de sommet O de la figure en fonction de sa hauteur
h et du rayon a de sa base. Exprimer le résultat en fonction de  si h  5,1 cm et a  2,5 cm .
Donner son expression pour a  h
O
h
a
.
Exercice 2 : Flux du champ électrostatique

1. Calcul de flux dans un cas général
On considère un contour circulaire de centre C, de rayon R, d'axe Ox,
tel que OC=a. On considère une surface ouverte
,
de forme
quelconque, s'appuyant sur ce contour.
Soit une charge ponctuelle (q> 0) au point O.
R
O
a
C
Calculer le flux du champ électrique envoyé par q à travers 
Facultatif
2. A l’intérieur du cube défini par 0  x  a; 0  y  a; 0  z  a, le champ électrostatique est de le
forme : E x  Kx 2 ; E y  E z  0.
Calculer le flux sortant du champ électrostatique à travers la surface du cube. En déduire la charge
totale du cube. Déterminer la distribution volumique de charge à l’intérieur du cube. Vérifier que
cette distribution redonne la charge totale calculée précédemment.
Exercice 3 : Distributions linéiques, surfaciques et volumiques de charges
1. On considère unfil infini portant une densité linéique uniforme de charge > 0. Calculer, le
champ électrique E(M) en tout point Mde l'espace.
2. Deux sphères concentriques métalliques de rayons a et b  a portent les charges respectives
Q  0 et -Q, uniformément réparties. Déterminer le champ et le potentiel électrostatiques en tout
point de l'espace et représenter leurs graphes en fonction de la distance r au centre des sphères.
3. Une distribution volumique de charge  x , symétrique par rapport au plan x  0 , est répartie
entre deux plans parallèles illimités d'équations respectives x  a et x  a .
15
a. En exploitant les symétries et invariances de la distribution, déterminer le champ
électrostatique créé en tout point de l'espace (on exprimera le résultat sous la forme d’une
intégrale).
b. Calculer le champ et le potentiel si la charge volumique est uniforme.
k
où k est une constante et r la distance
r
 
est
à l'origine (r > 0) en utilisant le théorème de Gauss. Vérifier que l'équation locale div E 
4. Déterminer le champ créé par une charge volumique  
0
satisfaite.
5.Déterminer le champ et le potentiel créés par une charge volumique uniforme 0 répartie à
l’intérieur d’un cylindre de révolution illimité de rayon a :
a. en utilisant le théorème de Gauss;
 
b. à partir de l'équation div E  . Utiliser des arguments de symétrie afin de préciser la
0
valeur du champ électrique sur l’axe du cylindre.
On choisira l'origine du potentiel à la surface du cylindre contenant les charges.
c.Représenter l’allure du graphe du champ et du potentiel en fonction de la distance r à l’axe
du cylindre.
Exercice 4 : Champ et potentiel créés par une sphère uniformément chargée
1. Soit une sphère creuse de rayon R, portant une charge répartie uniformément avec une densité
surfacique .
a. Trouver l'expression du champ électrostatique en un point M situé à la distance r du centre O
de la sphère (r > R). En déduire le potentiel en M.
b. Quel est le champ électrostatique à l’intérieur de la sphère ? En déduire le potentiel à
l’intérieur de la sphère.

c. Relier la discontinuité du champ E à travers la surface de la sphère à 
d. La Terre, de rayon R = 6400 km, porte à sa surface une densité de charges moyenne négative
et constante, '=- 10.10-10C.m-2. À quel potentiel serait portée la Terre si on l'assimilait à une
sphère chargée isolée dans l'espace ?
e. Quelle est la différence de potentiel entre la tête et les pieds d’un homme ordinaire ?
Commenter. Pourquoi ne ressentons-nous pas cette différence de potentiel ?
Remarque : En fait, les charges électriques présentes dans l'air diminuent notablement ce potentiel
par effet d'écran, néanmoins, avec la condition V  0 quand r   cela donne effectivement
une idée de la différence de potentiel qui existe entre la Terre et les couches extérieures de son
atmosphère. Il vaut mieux écrire que la Terre est au potentiel zéro, et l'ionosphère à un potentiel
positif de plusieurs centaines de milliers de volts.
16
2. Une boule de rayon R et de centre O est chargée uniformément en volume avec la densité
volumique . Exprimer le champ électrique dans tout l’espace. Y a-t-il une discontinuité du
champ électrique ?
Exercices supplémentaires
Modélisation de l’atome d’hydrogène
L'atome d'hydrogène peut être considéré comme constitué d'un proton et d'un électron portant
respectivement les charges +e et -e. Le mouvement du proton, beaucoup plus lourd que l'électron,
est négligeable et l'on peut admettre que l'électron se déplace autour du proton immobile sous l'effet
de l'interaction coulombienne. Cependant les lois de la mécanique classique ne s'appliquent pas à
cette échelle microscopique et la mécanique quantique permet seulement de prévoir que la densité
volumique w de probabilité de présence de l'électron est indépendante du temps et, si l'atome
d'hydrogène est dans son état fondamental, de la forme :
w(r )  Ce
 2r
a
; où r est la distance au proton, C une constante de normalisation et a une distance
caractéristique de l'atome.
Tout se passe donc comme si l'on avait un "nuage électronique" statique de charge volumique
(r)  e w(r) .
a. Calculer la charge dq située entre r et r+dr et en déduire à quelle distance du proton l'on
trouve un maximum de charges négatives dans une couche sphérique fine d'épaisseur donnée.
A quoi ceci correspond-il, en termes de probabilité, pour l'électron ?
b. Calculer la constante de normalisation.
c. Calculer le champ électrostatique électronique moyen à partir du théorème de Gauss (ou
en intégrant l'équation locale). En déduire le champ de l’atome.
17
Distribution de charges à symétrie sphérique (extrait examen juin 2013)
Une distribution de charges présentant la symétrie sphérique autour de O crée un potentiel donné
Q
 r 
par : V (r) 
exp  en coordonnées sphériques.
 a 
4 0 r
1) Quelles sont les dimensions de Q et a ?
2) Quelle est la relation entre le champ électrostatique et le potentiel ? En déduire le champ
électrostatique E(r) créé par cette distribution de charges.
3) Exprimer le flux  du champ électrostatique à travers une sphère de centre O et de rayon r.
Interpréter ce résultat à l’aide du théorème de Gauss.
4) Quelle est la valeur limite de ce flux quand r   ? Qu’en déduisez-vous concernant la
distribution des charges ?
5) Quelle est la valeur limite de ce flux quand r  0 ? Qu’en déduisez-vous concernant la
distribution des charges ?
6) Rappeler l’expression du théorème de Gauss sous forme locale (équation de MaxwellGauss). On notera  la densité volumique de charges. En déduire (r)
Equation de Laplace
Vérifier que le potentiel créé par une charge ponctuelle Q satisfait l’équation de Laplace en tout
point de l’espace (sauf au point où se trouve la charge que l’on prendra comme origine des
coordonnées).
18
TD 8
Dipôles électrostatiques
Exercice 1 : Moment dipolaire permanent de la molécule H2O
La molécule d’eau H-O-H est une molécule « coudée », telle que les deux liaisons O-H font entre
elles un angle  = 104,30°, tandis chaque liaison O-H a pour longueur  = 97 pm.
L’atome d’oxygène présente un excès de charge négative égal à 2e et chaque atome d’hydrogène
un excès de charge positive égal à - e, assurant la neutralité globale de la molécule (on rappelle la
charge de l’électron e = - 1,602 ·10-19 C).
a. Calculer le moment dipolaire permanent p de la distribution de charges constituée par la
molécule d’eau.
Application numérique : Le moment dipolaire de la molécule d’eau est égal à 1,855 D (on rappelle
que 1 D = 3,336 ·10-30 C.m, avec D pour debye, unité adaptée aux ordres de grandeur des moments
dipolaires de molécules).
Quelle est la valeur de la fraction de charge élémentaire  ?
b. La molécule d’eau est plongée dans un champ électrostatique uniforme E . Faire le bilan
des actions subies par p .
Exercice 2 : Interaction charge ponctuelle-dipôle induit
Un champ électrostatique a un effet opposé sur le noyau d’un atome et sur son cortège
électronique. Sous l’effet de ce champ, les barycentres des charges positives et négatives de l’atome
ne sont donc plus confondus. On dit que la charge ponctuelle a induit un dipôle dans l’atome. Ce



dipôle induit s’écrit p  E où E est le champ électrostatique appliqué à l’atome et  un
coefficient de proportionnalité qui s’appelle la polarisabilité.
a . La force d’interaction entre une charge ponctuelle et un dipôle induit est-elle attractive ou
répulsive ?
b. Rappeler la force exercée par un champ électrostatique non uniforme sur un dipôle.
Appliquer ce résultat, en coordonnées sphériques, à un champ E(r) er non uniforme.
c. Calculer le travail à fournir pour déplacer l’atome de l’infini à une distance r de l’origine
dans le champ E(r) er .
d. E r étant la composante du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q,
déterminer l’énergie potentielle d’interaction entre la charge ponctuelle et l’atome. Par
convention, on considère que l’énergie potentielle d’interaction est nulle quand la charge et
l’atome sont infiniment éloignés.
e. Calculer l’énergie potentielle d’interaction entre un ion Li+ et un atome de xénon distants
de 0,2 nm. La polarisabilité du xénon est donnée par : = 4,56 10-40 C.m2.V-1 .
19
Exercice 3 : Interactioon charge-diipôle
a. Quelle est
e l’énergiee potentiellee d’une chaarge ponctu
uelle q danss un potentiiel électrosttatique V ?


E?
Quelle est l’énergie pootentielle d’’un dipôle p dans un champ
c
b. Rappeleer l’expresssion de la force
f
subiee par un dip
pôle plongéé dans un champ élecctrique nonn


uniforme, puis
p celle de
d la force subie
s
par unne charge ponctuelle
p
p
plongée
danns un champ
p électriquee
quelconquee.

Soit un prooton en un point
p
A et une
u moléculle d’eau quii porte un moment
m
dipoolaire p en
n un point B
 
tel que AB
B  L et   (AB, p) .
c. Calculer l’énergie potentiellee du protonn dans le champ
c
de la
l moléculee d’eau et celle de laa
molécule d’eau
d
dans le
l champ duu proton. Coomparer les deux résulttats.
d. On supppose que = 0 ; calcuuler la forcee subie parr le proton et celle suubie par le dipôle ; less
comparer. Les forces sont-elles attractives ouu répulsivess? Même quuestion pourr =π.
e.ANdans le cas de l’hhydratation du lithium : l’ion Li+ et
e la molécuule d’eau soont éloignéss de 0,2 nm..
On rappellle la valeur de
d la constaante de Bolttzmann kB = 1,381·10-223 JK-1.
Calcuuler l’énergie d’interraction élecctrostatique ion-moléccule (mêmee si r n’esst pas trèss
granddevannt les dimennsions de laa molécule d’eau,
d
on s’intéresse à l’ordre
l
de ggrandeur).
Com
mparer le réssultat obtenuu à kBT (éneergie d’agitaation thermiique des moolécules à T).
T
Concclure sur le comportem
ment suivi paar les moléccules d’eau.
Exercice supplément
s
taire : Cham
mp à grandee distance de
d la molécuule CO2
On représeente la moléécule de diooxyde de caarbone O=C
C=O, en plaççant la charrge + 2q en un point C
et la charge - q en deuux points O1 et O2 sym
métriques paar rapport à C. La longuueur de chaaque liaisonn
C=O, égalee à la distannce CO1 ou CO2, est nootée a.
On se proppose d’étuddier le cham
mp créé par cette distrib
bution en un
u point M éloigné, à cet
c effet onn
C  a ett   CO1,C
CM .
pose r  CM


a. Caalculer le moment
m
dipoolaire de laa distributio
on de chargges constituuée par la molécule
m
dee
diioxyde de caarbone.
b. Dééterminer lee potentiel créé
c en M par la distrib
bution de charges, en foonction de r et de .
c. Calculer les composante
c
es radiale et orthoradialle du champp électrostattique créé en M.
20
TD 9
Conducteurs en équilibre
Exercice 1 : Cavité dans un conducteur - «cage de Faraday » - notion d’écran électrique.
C
C
On considère un conducteurCà l’équilibre possédant une cavité vide de charge (voir figure).
a. Quelles sont les valeurs du champ et du potentiel dans la cavité du conducteur ? Quelle est la
charge totale Qint portée par la surface bordant cette cavité ?
b. Le conducteur Cest initialement isolé et neutre. La cavité contient maintenant une charge q .
En utilisant le théorème de Gauss, déterminer la charge Qint portée par la surface bordant la
cavité.
En déduire la charge Qext portée par la surface extérieure du conducteur.
c. Reprendre les mêmes questions qu’au b. si le conducteur est relié à la terre.
d. Onplaceunecharge q'àl’extérieurdeC.Lacharge Qint portéeparlasurfaceintérieureest‐elle
modifiée?Onenvisageralesdeuxcas:conducteurisoléetconducteurreliéàlaTerre.
Exercice 2 : capacité d’un condensateur sphérique
Un condensateur sphérique, placé dans l’air sec ( = 0), est constitué de deux armatures
métalliques concentriques, de rayons R1 et R2 (R1<R2).
a. Grâce aux invariances de la distribution de charges, déterminer la direction du champ
électrostatique E entre les armatures ainsi que les variables dont il dépend.
b. Déterminer E entre les deux armatures en fonction de la charge totale Q portées par
l’armature (1).
c. En déduire la différence de potentiel V1 - V2 entre les armatures (1) et (2), puis la capacité
C du condensateur.
d. On pose e = R2 - R1 . Que devient l’expression de la capacité C si e<<R1 ? Conclure.
Application numérique :
Calculer la valeur de la capacité du condensateur sphérique constitué par la Terre, de rayon 6371
km, et l’ionosphère, située vers 90 km d’altitude (l’ionosphère est la partie supérieure de
l’atmosphère, la présence d’un grand nombre d’ions fait de cette zone une zone conductrice).
21
Exercice 3 : capacité d’un condensateur cylindrique
Un condensateur cylindrique, placé dans l’air sec ( = 0), est constitué de deux armatures
métalliques coaxiales de longueurs infinies et de rayons R1 et R2 (R1<R2).
a. Grâce aux invariances de la distribution de charges, déterminer la direction du champ
électrostatique E entre les armatures ainsi que les variables dont il dépend.
b. Déterminer E en fonction de la charge Q portée par une longueur h de l’armature (1).
c. En déduire la différence de potentiel V1 - V2 entre les armatures (1) et (2), puis la capacité
C d’une longueur h du condensateur.
Remarque : on définit aussi la capacité par unité de longueur égale à C/h .
d. Si, en un point M entre les armatures, la norme du champ électrostatique dépasse la valeur
maximale Em, il se produit une étincelle entraînant la destruction du condensateur. Quelle tension
maximale Um peut-on appliquer entre les deux armatures ?
Application numérique :
Calculer la valeur de la capacité par unité de longueur d’un condensateur cylindrique de
rayons R1 = 19 cm et R2 = 20 cm.
Calculer la tension maximale Um, ainsi que la charge électrique maximale Qm
correspondante, quand le champ électrostatique maximal vaut : Em = 4·106 V m-1 .
e. On pose e = R2 - R1, que devient l’expression de la capacité C si e<<R1 ? Conclure.
Exercice supplémentaire : capacité d’un condensateur plan
Un condensateur plan, placé dans l’air sec ( = 0), est constitué de deux armatures conductrices
planes de surface S, parallèles entre elles, et séparées d’une distance e l’une de l’autre.
a.On néglige les effets de bords. Donner, qualitativement, les conditions que doivent vérifier
les armatures pour que l’approximation reste valable.
b. Grâce aux invariances de la distribution de charges, déterminer la direction du champ
électrostatique E entre les armatures ainsi que les variables dont il dépend.
c. Déterminer E entre les deux armatures en fonction de la charge surfacique  puis de la
charge totale Q portées par l’armature (1).
d. En déduire la différence de potentiel V1 - V2 entre les armatures (1) et (2), puis la capacité
C du condensateur.
Application numérique :
Calculer la valeur de la capacité d’un condensateur plan dont les caractéristiques sont : S = 100 cm2
1
et e = 0.5 mm. On rappelle que
 9 10 9 C-1.V.m.
4 0
22
Maagnétostatique ; loii de Biot et
e Savart
TD 10
Exercice 1 : champ d’une portionn rectiligne de
d conducteeur

On désire calculer le champ maggnétique B((M ) créé par une portioon de fil connducteur reectiligne, dee
a parcouruee par un couurant I, en unn point M repéré par lees angles dee la figure 1.
longueur a,
Figure 1

1. Exprimeer tout d’aboord le cham
mp dB(M ) créé par le co
ourant traveersant l’élém
ment dl en P.
P Exprimerr

B ).
dl et PM enn fonction de
d . Intégreer sur pouur trouver B(M
2. On désirre en déduiire le champp créé par un
u courant angulaire
a
innfiniment loong de demi-angle  , à
la distancee OM=L duu sommet suur la bissecttrice (figuree 2). Pour le
l demi-fil infini parallèle à l’axee
Ox, que vaalent  et  ? En déduirre le champ créé par cee demi-fil enn M. Par sym
métrie, quel champ estt

créé en M par l’autre demi-fil
d
? En
E déduire le champ tottal en M.
A partir dee ce résultat, trouver le champ crééé par un cou
urant rectiliggne illimité..
Figuure 2
Exercice 2 : champ suur l’axe d’ennroulementss circulairess
Une spire circulaire
c
d rayon a est
de
e parcouruue par un co
ourant d’inteensité I. Onn cherche à exprimer
e
lee

champ B en
e un point M situé sur l’axe de syymétrie de laa spire à une distance x du centre de
d la spire.
1. Quels son
nt les plaans d’antiisymétrie pour
p
cettee
disttribution de courant ? En
E déduire la direction
n du champp
maggnétique surr l’axe Ox.
2. Exprimer
E
le champ dB(M
B ) créé enn M par un élément dee


la spire, puis lee produit sccalaire dB( M ) ez en fonction dee


I
x2
Figuree 3
a, x et I. Intégrer et montreer que : B(M
M )  0 (1
 2 )3/2 ex
2a
a
23
Exercice 3 : bobines de Helmholtz
Deux bobines plates de même axe et comportant
chacuneNspires de rayonasont distantes de 2b.Elles sont
parcourues par un courant de même sens et de même
intensitéI.
1. En utilisant les résultats de l’exercice2-1, déterminer le
champ en un point P de l’axe, à la distance x du point
central O.
2. Donner un développement de ce champ au second ordre en x et en déduire la relation qui doit
exister entre a et b pour que les termes enx2 s’annulent.
B0)  Ba /2
lorsque cette condition est réalisée.
3. Calculer numériquement
B0
On donne : 5 / 4 
3 / 2
 0,716 et 2 3 / 2  0,354
Exercices supplémentaires
Champ d’un conducteur en spirale
Un fil conducteur parcouru par un courant I est enroulé régulièrement
en spirale, à spires jointives, entre deux cercles concentriques de
rayons a et b. Calculer le champ d’induction magnétique au centre
sachant qu'il y a N enroulements.
Champ d’un bobinage hémisphérique au centre de la sphère
Un fil est bobiné sur une sphère isolante, de rayona, de
sorte que les spires soient parallèles et jointives, formant
une couche deNspires recouvrant uniformément la moitié
de la sphère. Déterminer le champ d’induction

magnétique B au centre de la sphère lorsque le fil est
parcouru par un courant
24
TD 11
Magnétostatique ;théorème d’Ampère
Exercice 1 : fil conducteur
On considèreun fil conducteur cylindrique, de rayon R et de longueur infinie, parcouru par un
courant d’intensité I et de densité de courant uniforme.
1. En analysant les symétries du problème, déterminer la direction du champ magnétique en tout
point de l’espace. De quelle variable dépend le module du champ magnétique ? Que vaut le
champ magnétique en chaque point de l’axe du cylindre ?
2. En utilisant l’expression locale du théorème d’Ampère, calculer le champ magnétique à
l’intérieur du fil.
3. En admettant que le champ magnétique doit être continue et en utilisant l’expression locale du
théorème d’Ampère, calculer le champ magnétique à l’extérieur du fil.
Exercice 2 : câble coaxial
On considère un câble coaxial infiniment long. Le conducteur central, de rayon R1 est parcouru par
un courant de densité uniforme et d’intensité I. Le retour de ce courant est assuré par le « tube »
cylindrique de rayon intérieur R2 et de rayon extérieur R3 (R1<R2<R3). Dans le « tube », la densité
de courant est aussi uniforme.
On souhaite exprimerle champ magnétique en tout point de l’espace.
1. Quelles sont les symétries et invariances de cette distribution de courant ? En déduire la direction
du champ magnétique et les variables dont il dépend.
2. Exprimer les densités de courant dans les espaces définis par les cylindres.
3. En appliquant la forme locale du théorème d’Ampère, exprimer le champ en tout point de
l’espace.
Exercice 3 : champ toroïdal
Un tokamak peut prendre la géométrie d’un tore d’axe z dont les sections par des plans contenant
l’axe des z sont des cercles de rayon r centrés sur un cercle de rayon R (R>r). N spires « géantes »
(plusieurs mètres de diamètres) entourent le tore et sont traversées par un courant I. Il se créé ainsi
unchamp magnétique dit « toroïdale ».
1. Quelles sont les symétries et invariances de la distribution de courant ? En déduire la direction
duchamp toroïdale ?
25
2. Calculer le champ magnétique créé par ce solénoïde torique en tout point de l’espace.
Figures : à gauche, schéma de principe d’un tokamak (www.euronuclear.org). À droite, schéma du
futur tokamak ITER (www.iter.org). Deutons, tritons et électrons vont être portés à des centaines de
millions de degrés pour fusionner. L’induction magnétique sert à confiner ces particules.
3. (A.N.) Dans le tokamak ITER, le grand rayon R mesure 6,2 m et le champ toroïdal doit être porté
à 5,3 T. Quel doit être l’intensité IT  NI dans les spires pour obtenir un tel champ toroïdal sur le
cercle de rayon R sur lequel sont centrés les cercles de rayon r ?
26
Forces magnétiques
TD 12
Exercice 1 : effet Hall
Un ruban métallique de section rectangulaire
d’épaisseur a et de largeur b est parcouru par un
courant continu d’intensité I. On considérera par la
  
suite le trièdre direct O, ex , e y , ez




1. Les électrons de conduction (charge -e) sont animés d’une vitesse de dérive v de sens opposé à ex .
a. Sachant qu’il
y a n électrons de conduction par unité de volume, exprimer la densité de

courant j et l’intensité I.

b. Exprimer la norme de la vitesse v en fonction de I, n, e, a et b.


2. Le ruban est maintenant plongé dans un champ magnétique B = B ez .

a. Donner l’expression de la force magnétique Fm à laquelle est soumis un électron ;
représenter cette force sur un dessin.
b. Par suite de l’existence d’une force magnétique il se produit un régime transitoire pendant
lequel des électrons viennent s’accumuler sur l’une des faces du ruban que l’on appellera
[1]. Représenter cette face [1] sur le dessin.
À l’accumulation des électrons sur la face [1] correspond un déficit d’électrons sur laface opposée
(face [2]) qui devient chargée positivement. Cette situation crée un champ électrique EH (champ de
Hall).

c. Donner la direction et le sens de. Représenter EH sur un dessin.
3. Le régime transitoire cesse rapidement et il s’établit un régime stationnaire
où la force

magnétique est exactement équilibrée par la force électrostatique due à EH .

a. Exprimer le champ EH en fonction de I, B et n.
b. Calculer la différence de potentiel V H entre les faces [1] et [2].
c. La mesure de la différence de potentiel V H permet de déterminer expérimentalement la
valeur de B. Exprimer B en fonction de V H .
A.N. : V H  5,2 10 6 V ; n  6 1028 m3 ; e  1,6 1019 C ; I  5 A ; a  0,1 mm . Calculer B.
Exercice 2 : circuit triangulaire
Un circuit a la forme d’un triangle rectangle isocèle dont les cotés de l’angle droit ont une longueur
a. Il est parcouru par un courant d’intensité I et placé dans un champ magnétique extérieur uniforme

B parallèle à l’hypoténuse.
Déterminer l’ensemble des actions agissant sur ce circuit.
27
Exercice 3 : cyclotron
Un cyclotron comporte deux boîtes métalliques hémicylindriques
creuses (les dees), de diamètre d ( d  90 cm ), séparées par un
intervalle et entre lesquelles on établit une tension sinusoïdale de
fréquence f et d'amplitude U  200 kV .
Les dees sont situés dans l'entrefer d'un électroaimant qui fournit un

champ B uniforme parallèle aux génératrices des dees. On injecte
des protons (masse m  1,67  1027 kg , charge e) dans une direction

perpendiculaire à B avec une vitesse initiale v 0 négligeable.
On donne B  1,5 T .
La trajectoire des protons dans les dees est circulaire uniforme (on note le rayon r, et la vitesse v).
1. Exprimer en fonction de m, v, et r l’accélération d’un proton dans un dee. Montrer que le temps
de passage d'un proton dans un dee s’exprime sous la forme : .
2. Comment faut-il choisir la fréquence f pour que le proton soit accéléré à chaque passage entre les
dees ?
3. En supposant que l'on s'arrange pour que la tension soit maximale à chaque passage entre les
dees, calculer la vitesse et l'énergie cinétique d’un proton à la sortie des dees.
De combien augmente l’énergie cinétique du proton à chaque passage dans le champ électrique ?
En déduire le nombre de tours effectués par le proton avant sa sortie du dee.
Exercices supplémentaires
Principe du moteur à courant continu
Une roue à rayons en cuivre de longueur a peut tourner autour de son
axe, qui est horizontal, et est en contact avec un bain de mercure. Un
courant d'intensité I arrive par le mercure et repart par le moyeu O.
Calculer le moment du couple exercé sur le disque lorsqu'on applique

un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au plan du disque.
Spectromètre de masse
Dans le spectromètre de masse de la figure, des atomes de
lithium, possédant des masses de 6 et 7 uma, sont ionisés
(dépouillés d’un électron) puis accélérés par une différence de
potentiel de 900 V à partir d’une vitesse quasi nulle. Ils entrent
ensuite dans un champ magnétique uniforme B  0,04 T .
Après avoir parcouru un demi-cercle, ils arrivent sur un film
photographique et y produisent deux taches distantes de x.
Calculer la valeur de x. On donne: 1 uma  1,66  10 27 kg .
(EPFL Lausanne)
28
Phénomènes d’induction
TD 13
Extrait d’examen
On considère un fil conducteur rectiligne infini, d’axe z’z, parcouru par un courant d’intensité i1.
1. Quel est le système de coordonnées le plus approprié pour l’étude de ce système ? Identifier les
invariances de
 ce système et en déduire toutes les conséquences sur le champ d’induction
magnétique B1 créé par le courant i1.

2. Calculer le champ d’induction magnétique B1 créé par le fil infini en un point M de l’espace.
Un cadre rectangulaire conducteur ABCD (longueur L = AB = CD et largeur  = AD = BC) est
placé au voisinage du fil infini et dans un plan contenant l’axe z’z. Ce cadre est considéré comme
purement résistif, de résistance R.
Le côté AB, parallèle au fil infini et situé à la distance d de celui-ci, comporte un interrupteur (K) de
dimension négligeable devant la taille du circuit.
z
B
i1

C
d
L
P
Q
(K)
A
D
z'

3. Calculer le flux 1 du champ d’induction magnétique B1 à travers le cadre ABCD ; on précisera
l’orientation du vecteur unitaire perpendiculaire à la surface choisie et le sens positif du courant i2
circulant dans le cadre qui en découle.
On cherche maintenant à étudier le système dans diverses configurations.
4. Premier cas : le cadre est immobile, l’interrupteur (K) est fermé et le courant i1 = I1 est constant
et positif.
Existe-t-il une force électromotrice e induite dans le cadre ? Si oui exprimer celle-ci en fonction des
données de l’énoncé.
5. Deuxième cas : le cadre est immobile et le courant parcourant le fil infini varie au cours du temps
selon la loi : i1(t) = a·t + b (a et b constantes positives).
a. L’interrupteur (K) est fermé.
i. Préciser le sens du courant induit circulant dans le cadre en justifiant votre réponse.
ii. Calculer l’intensité i2(t) de ce courant induit.
29
b. L’interrupteur (K) est maintenant ouvert.
i. Que peut-on mesurer aux bornes P et Q de l’interrupteur ?
ii. Déterminer la valeur de la grandeur physique correspondante.
6. Troisième cas : le cadre est immobile, l’interrupteur (K) est fermé et le courant circulant dans le
fil infini varie selon la loi : i1(t) = Im·sin(w1t).
a. Déterminer l’intensité i2(t) du courant induit dans le cadre.
b. Tracer sur un même graphe l’allure des courbes représentatives des fonctions i1(t) et i2(t).
7. Quatrième cas : le courant i1 = I1 est constant et positif, et l’interrupteur (K) est fermé. Le cadre
est mis en mouvement de telle sorte que les côtés (AB) et (CD) restent parallèles au fil infini.
Déterminer la f.e.m. induite dans les deux cas suivants :
a. la distance d est constante, le cadre tourne autour de
l’axe z’z à la vitesse angulaire w2 (voir figure ci-contre),
b. la distance d varie au cours du temps selon la loi d(t) =
d0 + v·t où d0 et v sont des constantes positives : le cadre
s’écarte de l’axe z’z à la vitesse v, dans un mouvement de
translation rectiligne uniforme (voir figure ci-contre).

v
8. En quoi consiste l’approximation "le cadre est considéré comme purement résistif" ?
Exercices supplémentaires
Loi de Lenz
Une spire carrée de côté a (10 cm) de résistance R (0,1 ) est placée dans un champ magnétique
uniforme dont la norme varie avec le temps comme l’indique la figure suivante :
C
B
D
0,5T
B
A
0
E
1
t
Enoncer la loi de Lentz et déterminer le sens et l’intensité du courant induit. On négligera le flux
créé par le courant induit à travers son propre circuit.
30
Circuit mobile dans un champ magnétique
1. Donner l’expression de la force électromotrice induite et  pour une spire rectangulaire de côtés
a et b tournant à la vitesse angulaire Ω constante autour d’un axe Oz. Cet axe est parallèle au
côté de longueur b et passe par
des côtés de longueur a. La spire est plongée dans un
 le milieu

champ magnétique constant B  B0ex perpendiculaire à l’axe de rotation.
2. Comparer avec le cas où la spire précédente
mais le champ (toujours
 est immobilisée


perpendiculaire à l’axe Oz) devient variable : B  B0 cost ex  B0 sint ey .
3. Calculer la force électromotrice dans un circuit constitué de deux rails parallèles horizontaux


(directionex ) fermé par un barreau conducteur perpendiculaire (directioney ) et de longueur l. Le


barreau est mobile, animé d’une vitesse v  v ex et reste en contact avec les rails. Il est plongé


dans un champ magnétique constantB  B0ez .
31
UPMC-Sorbonne Universités
LP203
TP1 : Magnétostatique
Durée : 4 heures.
Ce TP comprend trois expériences. La première consiste à observer le champ magnétique
créé par une bobine, lorsque celle-ci est alimentée par un courant continu. On déduira des
mesures le nombre de spires contenu dans la bobine. La seconde utilise deux bobines dans
la configuration dite de Helmholtz afin de créer un champ magnétique quasi-uniforme. Une
seconde évaluation du nombre de spires des bobines sera faite. La troisième utilise le montage précédent pour mesurer les oscillations d’une aiguille aimantée placée dans le champ
magnétique uniforme.
Pour cela, on dispose de :
– un générateur de courant continu,
– un ensemble de deux bobines avec support gradué,
– un teslamètre (sonde à effet Hall fixée à une règle graduée),
– une résistance variable (rhéostat),
– un multimètre,
– un aimant ou une aiguille aimantée avec support,
– un chronomètre
– et des fils électriques.
On n’oubliera pas, pour toute séance de travaux pratiques :
– de préciser l’incertitude liée à chaque série de mesures,
– de munir chaque figure d’un titre, d’axes, d’unités et d’une légende si nécessaire,
– et de représenter les points expérimentaux par une croix (+) dont la taille dépendra de
l’erreur (par contre on n’indiquera pas de barre d’erreur pour une courbe théorique).
1
Étude théorique préparatoire (à faire avant la séance de TP)
La troisième expérience du TP portera sur le mouvement d’une aiguille aimantée placée
dans un champ magnétique extérieur. L’aiguille, orientée suivant le vecteur unitaire ~u situé
~ = B~ex
dans le plan horizontal, est libre de tourner autour de l’axe vertical (Oz). On notera B
~ = M~u le moment dipolaire magnétique de
le champ magnétique (supposé uniforme), M
l’aiguille et φ(t) l’angle entre les vecteurs unitaires ~ex et ~u (orienté de ~ex vers ~u).
La position d’équilibre stable de cette aiguille est φ = 0 (aiguille parallèle au champ
magnétique) : c’est le principe de la boussole. Si on l’écarte de sa position d’équilibre, elle
oscillera autour de cette position avec une période T que l’on cherche à calculer (puis le
mouvement sera amorti sous l’effet des frottements, non inclus ici dans le modèle).
~ sous
1. On verra en cours que le moment des forces subies par un dipôle magnétique M
~
l’effet d’un champ B est égal à :
~Γ = M
~ ×B
~
(1)
Exprimer ~Γ en fonction de M , B, φ et ~ez .
2. On rappelle que, pour un solide mobile autour d’un axe fixe (Oz) subissant une force
de moment ~Γ, le théorème du moment cinétique s’écrit :
J
d2 φ ~
= Γ.~ez
dt2
(2)
En déduire une équation différentielle (non linéaire) sur φ(t).
3. Montrer que pour de petits angles (faire un développement limité en φ...) cette équation
différentielle se simplifie sous forme d’une équation linéaire du type :
d2 φ
+ ω2φ = 0
dt2
(3)
et exprimer ω en fonction de M , J et B.
4. En déduire l’expression de la période T des petites oscillations de l’aiguille.
5. Conclusion : l’expérience consistera à mesurer T pour différentes valeurs de B. Montrer
que T est proportionnelle à B α et donner la valeur de α. Montrer que le tracé de log(T )
en fonction de log(B) doit être, d’après notre modèle, une droite de coefficient directeur
α.
2
1
Topographie du champ d’induction magnétique créé
par une bobine
Le but de cette expérience est de mesurer à l’aide de la sonde à effet Hall le champ
magnétique créé par une bobine. On prendra la bobine mobile de l’ensemble fourni (support
+ bobines) afin de pouvoir mesurer le champ d’induction magnétique de part et d’autre de
celle-ci. Pour que les effets du champ magnétique terrestre soient négligeables, on s’assurera
que le courant continu traversant la bobine a une intensité assez forte (autour de 1 A), mais
ne dépassez pas 1,5 A !
1. Réalisation du montage
Fixer au préalable une valeur pour la résistance variable, Rrh , à l’aide du multimètre.
Mesurer également la résistance interne des deux bobines.
Réaliser le circuit, constitué de la bobine mobile branchée en série avec le rhéostat,
le tout alimenté par le générateur de courant continu, délivrant un courant noté I. On
positionnera le centre de la bobine à 13 cm.
Indiquer la valeur de I utilisée.
Réaliser un schéma du branchement de la bobine en précisant le sens de passage du
courant (on peut le connaı̂tre en regardant en-dessous des bobines de quelle façon
elles sont reliées). En déplaçant la petite aiguille aimantée tout autour de la bobine,
déterminer qualitativement la direction du champ magnétique en différents points autour de la bobine et tracer sur le schéma l’allure des lignes de champ.
2. Mesure du champ d’induction magnétique B
A l’aide du teslamètre, mesurer le champ d’induction magnétique B pour différentes
positions x de la sonde le long de l’axe de la bobine. On remplira le tableau 1 donné
dans le compte-rendu.
Reporter les valeurs expérimentales de B en fonction de x sur du papier millimétré (ne
pas relier les points).
3. Estimation du nombre de spires de la bobine
La courbe théorique est donnée par :
B(d) =
µ0 N I
1
,
h
i3
2R
d 2 2
1+ R
(4)
où d est la distance du point de mesure par rapport au centre de la bobine le long de
son axe, µ0 = 4π 10−7 N A−2 est la perméabilité du vide, R = 6, 5 cm est le rayon de
la bobine et N , le nombre de spires.
La valeur de x correspondant à d = 0 (position du centre de la bobine) peut être
déterminée comme étant la valeur de x où on a mesuré un champ magnétique maximal. Quelle est cette valeur de x ? Quel est le champ magnétique maximal B(d = 0)
mesuré ?
En déduire la valeur de N .
Avec cette même valeur de N , calculer les valeurs théoriques de B(d) et compléter le
3
tableau 1 du compte-rendu.
Tracer la courbe théorique sur le même graphe que les points expérimentaux (on sera
amené à effectuer une double échelle, en x et en d, sur l’axe des abscisses).
4. Conclusions
Quelles sont vos conclusions concernant cette expérience ? Quelle expérience (faisable
avec le matériel de TP) pourrait-on encore faire pour vérifier la loi proposée ?
2
Topographie du champ d’induction magnétique créé
par deux bobines
On souhaite créer un champ magnétique quasi-uniforme en utilisant les deux bobines
simultanément. Les deux bobines ont le même nombre de spires, N , et la distance entre les
deux bobines est fixée égale au rayon des bobines (configuration de Helmholtz).
1. Réalisation du montage
Réaliser le montage à partir du précédent en branchant la deuxième bobine en série
avec la première et en fixant la distance entre les deux bobines à R. On choisira le
branchement de la seconde bobine de sorte que l’intensité circule dans le même sens
pour les deux bobines. Faire un schéma du montage sur le compte-rendu en indiquant
de façon très claire comment les bobines sont reliées.
Indiquer l’intensité qui traverse le circuit.
2. Mesure du champ d’induction magnétique B
A l’aide du teslamètre, mesurer le champ d’induction magnétique B pour différentes
valeurs de x. On veillera à prendre des points tous les 0,5 cm au voisinage des bobines.
On remplira le tableau 2 donné dans le compte-rendu.
Reporter les valeurs expérimentales de B en fonction de x sur du papier millimétré (ne
pas relier les points).
3. Estimation du nombre de spires des bobines
La valeur théorique de B au centre du système est donnée par :
32
4
µ0 N I
B=
.
5
R
(5)
En déduire une autre estimation de N .
Conclure : le champ magnétique est-il bien quasi-uniforme entre les deux bobines ?
4. Influence du branchement des bobines
Que se passe-t-il si les deux bobines sont branchées en série mais que le courant circule
dans des sens opposés ?
Que se passe-t-il si les bobines sont branchées en parallèle (avec le courant dans le
même sens pour les deux bobines) ?
4
3
Oscillations d’une aiguille aimantée
Le but de cette expérience est de mettre en évidence, dans le cadre d’une approximation
linéaire (approximation des petites oscillations), la nature du couple de rappel qu’exerce un
champ magnétique sur un aimant. Il ne s’agit pas de faire de la métrologie très précise, ni
de déterminer complètement l’expression du couple exercé.
On dispose donc d’une aiguille aimantée (ou d’un aimant) qu’on place dans le champ
magnétique créé par les bobines de Helmholtz. L’aimant doit pouvoir tourner librement en
l’absence de champ sur un axe vertical. Lorsque les deux bobines sont sous tension, alimentées
par le générateur de courant continu, l’aiguille est alignée avec le champ, suivant l’axe des
bobines. On perturbe l’équilibre en forçant l’aiguille à tourner d’un angle φ petit, puis on
la lâche à partir de cette position initiale.
1. Mesure de la période des oscillations
A l’aide du chronomètre, mesurer la période T des oscillations pour différentes valeurs du courant I, c’est-à-dire pour différentes valeurs du champ B (on supposera ici
que B et I sont toujours proportionnels et on ne mesurera pas B pour chaque valeur
de I). Décrire succintement le procédé expérimental utilisé pour chaque mesure. On
pourra être amené à répéter une même mesure deux ou trois fois, puis effectuer une
moyenne des résultats.
Remplir le tableau 3 du compte-rendu.
2. Reporter les valeurs expérimentales de T en fonction de I sur du papier log-log.
Quelle est l’allure de la courbe obtenue sur le papier log-log ?
En déduire la puissance α de I (donc de B), à laquelle la période T semble proportionnelle.
5
UPMC-Sorbonne Universités
LP203
TP1 : Magnétostatique
Date:
Nom1:
Nom2:
Groupe: 1.
Topographie du champ magnétique créé par une bobine
1.1.
Schémadumontage,sensdesbranchementsetlignesdechamp:
1.2.
ValeurdeRrh:
Valeursdesrésistancesinternes
desbobines:
Intensitéducourantdansle
circuit:
Champd’inductionmagnétiqueenfonctiondeladistanceaucentredelabobine
tableau1+graphe1
(lespointsexpérimentauxdoiventapparaîtresousformede+)
1.3.
CalculdelavaleurdeNdéduitedelavaleurexpérimentalepourd=0
Lenombredespiress’élèveàN=
Courbethéorique:Utiliserpourcelalacolonne4dutableau1etfaireapparaîtreles
valeurssurlegraphe1sousformedecourbe.
TP1:Magnétostatique
x(cm)
Bexp(mT)
d(cm)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Bthéo(mT)
Tableau1
1.4. Conclusion?
Autre(s)expérience(s)pourvérifierlaloiproposéeaveclematérielduTP?
TP1:Magnétostatique
UPMC-Sorbonne Universités
LP203
2.
Topographie du champ d’induction magnétique créé par deux
bobines identiques en configuration de Helmholtz
2.1.
Schémadumontageaveclesdeuxbobinesbranchéesensérie
(représenterdefaçontrèsclairecommentsontreliéeslesbobines):
•Intensitéducourantquiparcourtlecircuit:
2.2. Champd’inductionmagnétiqueenfonctiondeladistanceaucentredusystème
forméparles2bobinesenconfigurationdeHelmholtz
tableau2+graphe2
x (cm)
Bmes (mT)
x (cm)
Bmes (mT)
Tableau2
TP1:Magnétostatique
2.3.
Calculdunombredespires
Lenombredespiresdéduitdecettemesureest:N=
Conclusion?
2.4.
Influencedubranchementdesbobines
•Branchementdesbobinesensérieensensopposés.
MesuredeBaucentredesdeuxbobines:
•Branchementdesbobinesenparallèledanslemêmesens.
MesuredeBaucentredesdeuxbobines:
Àl’aidedecourbesqualitatives,expliquerlesvaleursobtenues
Branchementsérieinitial
Branchementsérie‐inversé
Branchementparallèle
TP1:Magnétostatique
UPMC-Sorbonne Universités
LP203
3.
Oscillations d’une aiguille aimantée
3.1.
Mesuredelapériodedesoscillations(utiliserletableau3)
Procédéexpérimentalpourchaquemesure(ougroupedemesures):
Exemple:«pourlesmesures1,4,7et8,nousavons...»
n°dela
mesure
I
(A)
nombre
duréedelamesure
d’oscillations
(s)
T
(s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tableau3
TP1:Magnétostatique
3.2.
CourbeT=f(I)graphe3surlepapierlog‐logci‐dessous
graphiquen°3:représentationdeT=f(I)
Alluredelacourbe?puissance?Commentaireséventuels:
TP1:Magnétostatique
UPMC-Sorbonne Universités
LP203
TP2 : Induction magnétique
Le but de ce second TP est de mettre en évidence les phénomènes d’induction de façon
quantitative et en particulier, d’établir la loi de Faraday :
dΦ
,
(1)
dt
qui relie la force électromotrice induite e à la dérivée par rapport au temps du flux Φ du
~ Cette loi présente plusieurs caractéristiques importantes
champ d’induction magnétique, B.
que le TP mettra en évidence : loi linéaire, intervention d’une dérivée temporelle, intervention d’un flux. La force électromotrice, contrairement à ce que son nom indique, est homogène
à une tension et s’exprime en Volts.
e=−
En pratique, il s’agira de :
(i) construire un circuit électrique de deux bobines, alimentées en courant alternatif i(t),
montées dans la configuration de Helmholtz vue au TP1 (distance entre les bobines égale
~
à leur rayon) afin de générer un champ magnétique B(t)
variable au cours du temps mais
uniforme dans l’espace entre les deux bobines ;
~
(ii) placer une petite bobine dans le champ B(t)
ainsi créé, en alignant l’axe de la petite
bobine avec l’axe des bobines de Helmholtz ;
(iii) visualiser et mesurer à l’oscilloscope la force électromotrice induite e(t) dans la petite
bobine, en la comparant au courant i(t) parcourant le circuit.
Pour cela, on dispose de :
– un générateur basse fréquence (GBF),
– un rhéostat (résistance variable),
– deux bobines de Helmholtz de rayon R=6,5 cm, comprenant N =95 spires,
– une petite bobine de rayon r=2,5 cm, placé au milieu des deux grandes bobines, et
comprenant n spires dont on déterminera la valeur par deux façons différentes,
– un oscilloscope numérique,
– un multimètre,
– deux câbles coaxiaux et des fils.
Soit S la surface d’une spire des bobines de Helmholtz et s la surface d’une spire de la petite
bobine. Avec les valeurs de R et r données ci-dessus, on a un rapport d’environ égal à 7
~
entre S et s si bien que l’on peut considérer que B(t)
est uniforme sur toute la surface de la
petite bobine et égal à :
32
4
µ
N
i(t)
0
~
~ez ,
(2)
B(t)
= B(t) ~ez =
R
5
où ~ez est un vecteur unitaire parallèle à la direction de l’axe des bobines de Helmholtz et où
µ0 = 4π 10−7 N A−2 .
1
Étude théorique préparatoire (à faire avant la séance de TP et à rendre - une par personne)
~ à travers une surface S.
1. Rappeler la définition du flux d’un vecteur B
~ Le
2. Une spire circulaire de rayon r est traversée par un champ magnétique uniforme B.
~
vecteur unitaire ~en normal à la surface délimitée par la spire fait un angle θ avec B.
~ à travers la spire.
Exprimer le flux de B
3. La petite bobine contient n spires de rayon r, la normale à leur surface faisant un angle
~ Donner l’expression de flux Φ de B
~ à travers la petite bobine, en fonction
θ avec B.
de B, n, r et θ.
4. En utilisant l’expression de B donnée par la relation (2), récrire Φ en fonction, entre
autres, de i(t).
5. En appliquant la loi de Faraday (équation 1), donner l’expression de la tension e(t)
aux bornes de la petite bobine.
6. On suppose maintenant que les bobines de Helmholtz sont parcourues par un courant
sinusoı̈dal : i(t) = I0 cos(ωt + ϕ0 ), avec ω = 2πν où ν est la fréquence du courant
sinusoı̈dal. Donner l’expression de e(t) en fonction, entre autres, de ν.
7. En écrivant e(t) sous la forme : e(t) = E cos(ωt + ϕ), et en l’identifiant avec l’expression déterminée à la question précédente (question 6), exprimer E et ϕ. On donnera
l’expression de E en fonction de n, r, µ0 , N , R, I0 , ν et θ.
8. En prenant θ = 0, récrire E sous la forme :
E=
1
n I0 ν,
C1
(3)
où C1 est une constante. Donner l’expression de la constante C1 et calculer sa valeur
numérique.
9. Pour θ = 0 et à fréquence fixée, on peut écrire E sous la forme :
E=
1
n I0 ,
C2
(4)
où C2 est une constante. Exprimer C2 en fonction de C1 et donner sa valeur numérique
pour ν = 500 Hz.
2
Étude expérimentale
Avant toute chose, afin de se familiariser rapidement avec l’utilisation de l’oscilloscope et du
GBF, visualiser une tension sinusoı̈dale fournie par le GBF. On mesurera sa valeur efficace
et sa valeur crête-à-crête. 1 On vérifiera que la fréquence ν mesurée par l’oscilloscope correspond bien à celle indiquée sur le GBF.
1. Réalisation du montage
Fixer au préalable une valeur pour la résistance variable, Rrh , du rhéostat, à l’aide
du multimètre.
Réaliser le circuit du TP, constitué des deux bobines de Helmholtz branchées en série
avec le rhéostat, le tout alimenté par le GBF délivrant une tension eg (t). Placer la petite
bobine (non reliée au circuit) sur son support au milieu des deux bobines de Helmholtz
de telle sorte que θ = 0. Visualiser sur CH1 la tension aux bornes du rhéostat (ce qui
donnera accès à l’intensité i(t) dans le circuit) et sur CH2 la f.e.m. induite e(t) aux
bornes de la petite bobine.
Dessiner le circuit, en précisant la masse, le sens du courant, l’emplacement de la petite
bobine et les branchements à l’oscilloscope. On prendra garde, pour la réalisation du
circuit, que la borne noire de chaque entrée de l’oscilloscope est reliée à la masse de
l’oscilloscope, laquelle est reliée via l’alimentation secteur à la masse du générateur. Si
donc une borne noire de l’oscilloscope est reliée à un point du circuit qui ne soit pas
la masse, on aura un court-circuit entre ce point et la masse (problème de boucle de
masse).
Mesurer Ueff , la valeur efficace de la tension aux bornes du rhéostat. Mesurer Ieff , la
valeur efficace de l’intensité du courant parcourant le circuit à l’aide du multimètre 2 .
Vérifier la cohérence de ces deux mesures.
2. Mise en évidence de la force électromotrice induite
On utilisera ici le générateur de tension à la fréquence de 500 Hz, en régime sinusoı̈dal,
carré ou triangulaire. Une remarque préliminaire est que la forme des créneaux et des
triangles mesurés aux bornes du rhéostat est un peu déformée. Expliquer pourquoi
cette déformation dépend de la valeur de Rrh . Pour cela, on pourra exprimer l’intensité
du courant, i(t), en fonction des impédances des éléments constituant le circuit et de
la tension d’alimentation eg (t) (on rappelle l’impédance d’une bobine : Z = jLω). On
ajustera la valeur de Rrh de telle sorte que les créneaux et les triangles soient aussi peu
déformés que possible, afin que le courant i(t) soit lui aussi successivement sinusoı̈dal,
carré et triangulaire.
Représenter, aussi précisément que possible, ce que vous observez sur l’écran de l’os1. On rappelle que pour une tension sinusoı̈dale u(t) = U0 cos(ωt
+ ϕ), U0 est l’amplitude du signal, la
√
valeur crête-à-crête vaut 2U0 et la valeur efficace Ueff vaut U0 / 2.
2. Un multimètre mesure des valeurs efficaces.
3
cilloscope quand la tension d’alimentation est :
(i) sinusoı̈dale,
(ii) carrée,
(iii) triangulaire.
On indiquera les calibres de la fréquence et des tensions des voies CH1 et CH2.
Comment interpréter les figures observées en lien avec la loi de Faraday ? Quelle caractéristique importante de la loi de Faraday est ainsi mise en évidence ?
3. Mesure de l’amplitude de e(t) en fonction de ν à I0 fixé : première évaluation de n.
Revenir en signal sinusoı̈dal. L’intensité du courant dans le circuit est donc de la
forme : i(t) = I0 cos(ωt + ϕ0 ). La force électromotrice se met alors sous la forme :
e(t) = E cos(ωt + ϕ).
Mesurer E pour une dizaine de valeurs de fréquence, ν = ω/2π, à amplitude I0 du
courant fixée. Attention, si on varie ν tout en maintenant constante l’amplitude de
eg (t), l’amplitude de i(t) sera modifiée (cf calcul d’impédances de la partie précédente).
Pour maintenir I0 constant tout au long de l’expérience, il est donc nécessaire d’ajuster
l’amplitude de eg (t) (réglage du GBF) à chaque nouvelle fréquence. De plus, choisir
une valeur de Rrh pas trop élevée, qui restera donc fixe tout au long de l’expérience.
On choisira des fréquences comprises entre 100 Hz et 2-3 kHz.
D’après l’étude théorique (cf. question 8, équation 3), comment l’amplitude E doit-elle
varier avec ν ?
Tracer les variations de E avec ν sur papier millimétré, où l’on fera figurer l’origine
(ν=0, E=0). D’après l’étude théorique (cf. question 8, équation 3), comment l’amplitude E doit-elle varier avec ν ? Votre tracé est-il en accord avec la loi de Faraday, telle
qu’elle est exprimée dans l’équation (3) ? Quelle caractéristique importante de la loi de
Faraday est ici mise en évidence ?
Mesurer le coefficient directeur de la droite obtenue. En déduire la valeur de n, le
nombre de spires de la petite bobine.
4. Mesure de l’amplitude de e(t) en fonction de I0 à ν fixé : deuxième évaluation de n.
Fixer la fréquence à 500 Hz. Mesurer E pour une dizaine de valeur de I0 .
D’après l’étude théorique (cf. question 9, équation 4), comment l’amplitude E doit-elle
varier avec I0 ?
Tracer les variations de E avec I0 sur papier millimétré, où l’on fera figurer l’origine
(I0 =0, E=0). Votre tracé est-il en accord avec la loi de Faraday, telle qu’elle est exprimée dans l’équation (4) ? Quelle caractéristique importante de la loi de Faraday est
ici mise en évidence ?
Mesurer le coefficient directeur de la droite obtenue. En déduire la valeur de n. Comparer cette deuxième évaluation de n à celle de la question précédente.
5. Mesure de l’amplitude de e(t) en fonction de θ à ν et I0 fixés.
4
Fixer les valeurs de ν et de I0 . Mesurer E pour quelques valeurs de θ, l’angle entre le
~ et le normale à la surface des spires de la petite bobine.
champ B
Tracer E en fonction de cos θ. D’après l’étude théorique (cf. question 6), préciser comment E doit varier avec cos θ. Le tracé obtenu est-il en accord avec la théorie ? Quelle
caractéristique importante de la loi de Faraday est ici mise en évidence ?
5
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LP203
TP2 : Induction magnétique
Date: Groupe:
NomPrénom1:
NomPrénom2:
Etude expérimentale
1. Montage
Rrh=
Ueff=
Vérificationdelacohérencedesmesures:
Ieff=
2. Mise en évidence de la loi de Faraday
ValeurdeRrhchoisiepourl’expérience:
Pourquoil’alluredelatensionauxbornesdeRrhdépend‐elledeRrh?
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(i)
tensiond’alimentationsinusoïdale
(ii)
‐Balayage:
Fréquence:
Calibre:
‐CH1:auxbornesdeRrh
ValeurC‐C:
Calibre:
‐CH2:auxbornesdelapetitebobine
ValeurC‐C:
Calibre:
tensiond’alimentationcarrée
(iii)
‐Balayage:
Fréquence:
Calibre:
‐CH1:auxbornesdeRrh
ValeurC‐C:
Calibre:
‐CH2:auxbornesdelapetitebobine
ValeurC‐C:
Calibre:
tensiond’alimentationtriangulaire ‐Balayage:
Fréquence:
Calibre:
‐CH1:auxbornesdeRrh
ValeurC‐C:
Calibre:
‐CH2:auxbornesdelapetitebobine
ValeurC‐C:
Calibre:
LP203
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LP203
ConclusionenlienaveclaloideFaraday:
3. Mesure de E en fonction υ de à I0 fixé : première évaluation de n
ValeurdeI0choisie:
Attention:Eestlavaleurmaximaledelatensionauxbornesdelapetitebobinealorsque
l’oscilloscopedonneEeffetEcc.Demême,I0estl’amplitudemaximaleducourant.
υ(Hz)
E(mV)
υ(Hz)
E(mV)
AccorddutracéE=f(υ)aveclaloideFaraday?
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LP203
Calculdunombredespiresndelapetitebobineàpartirdutracé:
4. Mesure de E en fonction I0 de à υ fixé : deuxième évaluation de n
Fréquence:500Hz
ValeurdeRrhchoisie:
Ucc(mV)
I0(mA)
E(mV)
Ucc(mV)
I0(mA)
E(mV)
NB:Uccdésignelatensioncrête‐à‐crêteauxbornesdelarésistance
AccorddutracéE=f(I0)aveclaloideFaraday?
UPMC-Sorbonne Universités
Calculdunombredespiresndelapetitebobineàpartirdutracé:
LP203
Conclusionsurlavaleurden
5. Mesure de E en fonction de θ à υ et I0 fixés
Fréquence:500HzValeurdeI0choisie:
θ
cosθ
E(mV)
θ
cosθ
E(mV)
AccordaveclaloideFaraday?