« Électrostatique, Magnétostatique et Induction »

Année Universitaire 2013-2014
2ème semestre
Énoncés des travaux dirigés et des travaux pratiques
Unité d’Enseignement
LP203
« Électrostatique, Magnétostatique et Induction »
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2

FORMULAIRE MATHÉMATIQUE
Systèmes de coordonnées
OM
 x
exy eyz ez
d ldx exdy eydz ez
d dxdydz
OM e z e
z
d ld
e
d
e
dz e
z
d d d dz
OM r e
r
d ldr e
r
rd
e
rsin d
e
d r
2
sin drd d
Gradient d'un champ scalaire
f
(M)
s)(sphérique
sin
11
grad
ues)(cylindriq
1
grad
nes)(cartésien grad
e
f
r
e
f
r
e
r
f
f
e
z
f
e
f
e
f
f
e
z
f
e
y
f
e
x
f
f
r
z
zyx
Divergence d'un champ vectoriel )M(A
s)(sphérique
sin
1)sin(
sin
1)(1
div
ues)(cylindriq
1
)(
1
div
nes)(cartésien div
2
2
A
r
A
rr
Ar
r
A
z
A
AA
A
z
A
y
A
x
A
A
r
z
z
y
x

4
Rotationnel d'un champ vectoriel )M(A
)(1
)(
sin
11
)(sin
sin
1
tr
)(
11
tr
tr
e
A
r
rA
r
e
r
rA
A
r
e
A
A
r
Ao
e
AA
e
A
z
A
e
z
A
A
Ao
e
y
A
x
A
e
x
A
z
A
e
z
A
y
A
Ao
rr
r
z
zz
z
x
y
y
zx
x
y
z
Laplacien d'un champ scalaire f défini parfdiv(grad f)
f
2f
x2
2f
y2
2f
z2 (cartésiennes)
f1
f
1
2
2f
2
2f
z2 (cylindriques)
f1
r2
rr2
f
r
1
r2sin
sin
f
1
sin
2f
2
 (sphériques)
Laplacien d'un champ vectoriel )M(A
AA
x
e
x
A
y
e
y
A
z
e
z
AA
A
2
2
2
A
e
A A
2
2
2
A
e
1 A
z
e
z
AA
r
2
r
2
A
r
1
sin
(sin A )
1
sin
A
e
r
A 2
r
2
A
r
A
2sin
2
cos
sin
2
A
e
A 1
r
2
sin
A
cotg
A
A
2sin
A
e
Opérateur
BA 
grad.
z
B
A
y
B
A
x
B
ABA zyx
grad.

5
Relations vectorielles
CBABCACBA
BCABACACBCBA
BAAAAABBA
..
....
0. 0
vrotv
2
v
gradvgrad.v
grad. grad.divdivrot
grad. grad.rotrot. grad
div gradrotrot
rot.rot.div
rot gradtor
div. grad div
grad grad grad
graddiv 0 gradrot 0rot div
2
BAABBAABBA
BAABABBABA
AAA
BAABBA
AfAfAf
AfAfAf
fggffg
fffA
Opérateur nabla
 est un opérateur différentiel vectoriel défini en coordonnées cartésiennes par :
z
e
y
e
x
ezyx
ainsi :
f
f
x
e
x
f
y
e
y
f
z
e
z
gr ad f
A e
x
A
x
e
y
A
y
e
z
A
zdiv 
A
A e
x
A
x
e
y
A
y
e
z
A
zr
ot  A
L'opérateur 
 n'est pas un vecteur et ne doit pas être considéré comme tel dans les calculs (il n'y a
pas commutativité de la multiplication scalaire avec 
par exemple).
On peut cependant retrouver très rapidement les relations données ci-dessus en l'exprimant avec la
notation d'Einstein : i
i
e  , où i, représentant x, y ou z , court de 1 à 3 et où la sommation sur
l'indice est représenté deux fois.
i et
ij désignent les dérivées première et seconde par rapport aux
variables indicées par i et j.