Turbulence en milieu stratifié

ECOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE LYON MASTER 2 - 2008
Rapport de stage
Turbulence en milieu stratifié
Etude expérimentale et rôle de l’instabilité zigzag
Pierre AUGIER
LadHyX,
Ecole Polytechnique
Sous la direction de Paul BILLANT et Jean-Marc CHOMAZ

TABLE DES MATIÈRES 2
Table des matières
1 Contexte et motivations 3
1.1 Eléments de dynamique des fluides géophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Caractéristiques et effets physiques prépondérants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Echelles caractéristiques et différents régimes d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Quelques observations en milieu naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Limitations des modélisations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Nature de la (des) turbulence(s) géophysique(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Cascade turbulente, turbulence 3D, turbulence 2D et quantités conservées . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Turbulence quasi-géostrophique et cascade de pseudo-enstrophie potentielle . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Mécanismes, dynamique des structures et instabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Interprétations des données de turbulence géophysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Milieux stratifiés, instabilité zigzag et régime turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Dynamique "en couche" et instabilité zigzag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Lois d’échelle et nombre de Reynolds de flottabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Dispositif expérimental et technique de mesure 10
2.1 Présentation générale du dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Mécanisme de forçage, création de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Système de visualisation et vélocimétrie par images de particules (PIV) . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Ordres de grandeur et séries de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Résultats et discussions 15
3.1 Ecoulement après l’allumage d’un moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Descriptionqualitative ...................................... 16
3.1.2 Evolution temporelle de l’énergie, de l’enstrophie et des spectres . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Présentation générale de l’écoulement "6 moteurs" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Champs de vitesse horizontaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Champs de vitesse verticaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Comparaison entre écoulements produits par différents forçages (variation de T)............ 22

1 CONTEXTE ET MOTIVATIONS 3
Introduction
La dynamique de l’atmosphère et des océans est d’une complexité prodigieuse. La prédiction dans ce domaine
constitue un des enjeux les plus fascinant de la science d’aujourd’hui. Cela nécessite une double démarche (i) d’appro-
fondissement de la compréhension des nombreux phénomènes impliqués (démarche analytique, impliquant un large
ensemble de disciplines scientifiques) et (ii) de synthèse pour saisir les interactions entre phénomènes, la globalité et
la complexité des systèmes étudiés (démarche synthétique, dans laquelle les modélisations numériques constituent un
puissant outil).
Une connaissance fine des mécanismes en jeu dans la turbulence en milieu stratifié aidera à avancer dans ces deux
directions. D’un côté, ce type de turbulence est impliqué dans de nombreux processus dans l’atmosphère et l’océan. De
l’autre, sa compréhension permettra l’amélioration des paramétrisations sous mailles utilisées dans les modélisations
numériques.
La turbulence et les instabilités hydrodynamiques sont deux grands thèmes de recherche de l’hydrodynamique
physique. Ces deux axes sont intrinsèquement liés, par exemple par le problème de la transition à la turbulence. Ils se
rejoignent aussi par l’étude de la turbulence dans l’espace physique et de la dynamique des structures qui la composent
(tourbillons, filaments et nappe de vorticité, etc.).
Depuis une dizaine d’années, des progrès significatifs ont été réalisés dans la compréhension de la turbulence en
milieu stratifié, notamment grâce à des expériences sur les instabilités [Billant and Chomaz, 2000] et à des travaux
alliant théorie et études numériques sur les deux axes instabilités et turbulence [e.g. Billant and Chomaz, 2001, Lind-
borg, 2006, Brethouwer et al., 2007]. La découverte d’une nouvelle instabilité hydrodynamique, appelée instabilité
zigzag et ayant pour effet de découper en tranches des tourbillons d’axes verticaux en milieu stratifié, a mené à la
mise à jour de l’existence d’un régime turbulent fortement stratifié associé à une cascade directe d’énergie. Le rôle de
l’instabilité zigzag dans ce régime est cependant encore mal compris.
C’est pour cela que nous avons durant ce stage monté et étudié une expérience mêlant les axes instabilités et turbu-
lence. Le principe est de s’appuyer sur les travaux expérimentaux sur l’instabilité zigzag pour réaliser une expérience
de turbulence forcée par des tourbillons d’axes verticaux. En plus de la mise au point de l’expérience, le travail a
consisté à caractériser l’écoulement obtenu.
Le travail continuera en thèse. Ce rapport de stage de Master 2 est donc aussi un document de travail pour le début
de la thèse. Nous approfondissons ainsi parfois plus que nécessaire pour une stricte conpréhension du travail réalisé
pendant le stage.
Dans une première partie, nous dresserons un état des connaissances de manière à souligner les problèmes et
questions ouverts en lien avec la turbulence en milieu stratifié. La deuxième partie sera consacrée à la présentation du
dispositif expérimental. Les résultats obtenus seront présentés et discutés dans la troisième partie.
1 Contexte et motivations
Ce stage a consisté en la réalisation et l’étude d’une expérience de turbulence en milieu stratifié. Ce type de turbu-
lence est rencontré dans les écoulements océaniques et atmosphériques dans une certaine gamme d’échelle[Lindborg,
2006]. Nous commencerons donc par quelques généralités sur la dynamique des deux enveloppes fluides de notre pla-
nète. Notre présentation n’a bien sûr aucune ambition à l’exhaustivité et est orientée de façon à mettre en lumière les
questions et les problèmes ouverts concernant la turbulence dans un milieu stratifié. Dans cette optique, nous serons
ensuite amenés à faire quelques rappels et précisions sur d’autres types de turbulence (3D, 2D et quasi-géostrophique).
Cela nous permettra d’aborder les notions de cascades directe et inverse, de non-localité des interactions, de structures
cohérentes et de montrer en quoi la compréhension profonde des instabilités hydrodynamiques est nécessaire à l’étude
de la turbulence en général et de la turbulence en milieu stratifié en particulier.
1.1 Eléments de dynamique des fluides géophysiques
1.1.1 Caractéristiques et effets physiques prépondérants
Dans cette sous-partie, on présente quelques caractéristiques générales des écoulements océaniques et atmosphé-
riques et deux effets les organisant radicalement : la rotation planétaire et la stratification, c’est à dire la variation de
la densité selon la verticale.
Nombre de Reynolds exceptionnellement grand. Les forces visqueuses sont négligeables sur une gamme d’échelle
allant du rayon terrestre jusqu’au centimètre. Les forçages à grandes échelles et à temps longs tendent à créer des
écoulements dynamiquement instables qui se brisent et se reforment continuellement [Dritschel et al., 1999]. Cette
dynamique hautement hors-équilibre est associée à la création d’une très large gamme d’échelles de structures. Ainsi
l’étude des instabilités hydrodynamiques et de l’aspect turbulent des écoulements est au coeur du problème.

1 CONTEXTE ET MOTIVATIONS 4
Stratification. On considère ici le cas d’une stratification stable : le fluide léger est en équilibre stable au dessus du
fluide plus dense. Le gradient vertical de densité est du dans l’océan à des gradients de température et de salinité et
dans l’atmosphère à des gradients de température1et de pression.
Intuitivement, on peut entrevoir deux conséquences physiques : (i) sous l’effet de la flottabilité, les mouvements
verticaux sont fortement inhibés (l’équilibre hydrostatique domine sur la verticale) et (ii) une particule fluide mise
en mouvement vertical oscille à la fréquence dite de Brunt-Väisälä N=p−(g/ρ)dρ/dz, où gest l’accélération
de pesanteur et ρla densité. Typiquement Nest d’ordre 10−3rad/s dans les océans profonds et 10−2rad/s dans la
thermocline et l’atmosphère [Otheguy, 2005].
A ces deux conséquences, on peut associer lorsque Nest grand devant la fréquence caractéristique U/lhdes mou-
vements du fluide (Uest la vitesse horizontale caractéristique et lhl’échelle horizontale typique) deux types de mou-
vements très différents : (i) des mouvements quasi-2D non-propagatifs (modes de rotation à dynamique lente) et (ii)
des ondes de gravité propageant l’énergie selon la verticale (modes divergents à dynamique rapide). Cette distinction
intuitive se théorise grâce à une analyse multi-échelle (basée sur la différence des échelles de temps d’évolution) per-
mettant de dissocier les équations d’évolution des deux types de mouvement interagissant faiblement entre eux. Pour
cela, on introduit le nombre de Froude horizontal Fh=U/(Nlh)et le nombre de Froude vertical Fv=U/(Nlv), où
lvest l’échelle caractéristique verticale. La distinction entre les mouvements ondulatoires et rotationels est valide si
ces deux nombres de Froude sont petits car les termes d’interaction sont de l’ordre du Froude vertical Fv. Dans cette
limite, les mouvements rotationels ont une dynamique 2D. En fait, dans certains cas, cette distinction n’a plus de sens.
Voyons tout de suite pourquoi.
La dynamique associée aux modes de rotation est dite en couche car ils mettent en jeu des structures très aplaties
d’épaisseur caractéristique lv∼U/N appelée échelle de flottabilité [Billant and Chomaz, 2001]. En d’autres termes,
la cohérence verticale est très faible. Cette loi d’échelle lv∼U/N liant la hauteur caractéristique lvà l’échelle de
flottabilité se reformule en terme du rapport d’aspect, α≡lv/lh∼Fh.
Cette loi d’échelle implique Fv∼1et donc la distinction entre les mouvements divergents (des ondes, supposées
rapides) et les mouvements rotationels (des tourbillons aplatis, supposés lents) ne s’applique plus [Lindborg and Bre-
thouwer, 2007] [Billant and Chomaz, 2001]. Une autre conséquence est que les mouvements rotationels ne sont pas
2D.
Avant de présenter le système d’équation qui nous permettra d’aller plus avant dans la présentation, il nous semble
utile de présenter une particularité des fluides géophysiques et se faisant d’introduire une quantité fondamentale pour
l’étude de leur dynamique : la vorticité potentielle. La particularité provient de la capacité d’un couplage des gradients
de densité et de pression à créer de la vorticité (cela se manifeste par un terme dit barocline dans l’équation de la
vorticité). Ainsi, le théorème de Kelvin (conservation de la circulation de la vitesse sur un contour matériel) n’est pas
applicable dans sa version classique. Le théorème d’Ertel [1942] exhibe une quantité scalaire conservée (aux effets
visqueux près) en suivant la particule fluide, appelée vorticité potentielle et égale2à(ω·∇ρ)/ρ, où ωest la vorticité.
Pour les fluides stratifiés newtoniens incompressibles et sous l’approximation de Boussinesq, les équations de
Navier-Stokes (conservation de la quantité de mouvement et de la masse) et l’équation de la conservation de l’énergie
interne s’écrivent :
∂u
∂t +u·∇u=−∇p−bˆz +ν∇2u,
∇·u= 0,(1)
∂b
∂t +u·∇b=N2w+κ∇2b,
Pour obtenir cette formulation, on a décomposé la densité totale ρtot en sa moyenne ρtot plus les fluctuations
notées simplement ρ. On définit aussi une densité de référence ρ0. Les densités sont redimensionnées en accélération
en multipliant par g/ρ0. Elles deviennent ainsi des flottabilités notées respectivement btot,btot,bet b0=g.uest la
vitesse, wsa composante verticale, νet κsont respectivement la viscosité dynamique et la diffusivité et ˆz est le vecteur
unité dans la direction verticale. La pression pa été redimensionalisée en énergie par unité de masse en divisant par
ρ0. Puisque dans la suite, on ne considère que des profils linéaires de densité moyenne, la fréquence de Brunt-Väisälä
N=p−(g/ρ0)dρtot/dz est constante.
On peut vérifier que le système d’équation (1) admet une vorticité potentielle égale à
Π≡ω·∇btot =−N2ωz+ω·∇b, (2)
où ωzest la composante verticale de la vorticité. On remarque que cette quantité conservée se compose d’un terme
linéaire N2ωzet d’un terme non-linéaire ω·∇b.
1En fait, il faut considérer la température potentielle.
2La formule donnée constitue en fait un cas particulier [Pedlosky, 1987].

1 CONTEXTE ET MOTIVATIONS 5
Nous reviendrons plus loin sur ce système d’équation et cette quantité conservée en s’intéressant aux ordres de
grandeur des différents termes.
La prise en compte de la rotation planétaire permet d’interpréter les cartes météo (le lien entre gradient de pression
et vitesse notamment). Nous renvoyons le lecteur intéressé aux très nombreux livres traitant de la dynamique des
fluides tournants (Cushman-Roisin [1994] et Pedlosky [1987] par exemple). Pour être succinct, nous rappelons sans
justification que la force de Coriolis se traduit par une force massique selon l’horizontale égale à −fˆz ∧uh, où uh
est la vitesse horizontale et f= 2Ω sin λ(Ωest le vecteur rotation de la planète dans un référentiel galiléen et λla
latitude). Dans les latitudes moyennes, f∼10−5rad/s.
Pour quantifier l’importance de la rotation par rapport à l’inertie pour un écoulement de vitesse caractéristique U
et de taille horizontale caractéristique lh, on définit un nombre sans dimension, le nombre de Rossby Ro =U/(flh).
A faible Rossby, l’écoulement se caractérise en première approximation par un équilibre entre la force de Coriolis
et le gradient horizontal de pression (la pression est proportionnelle à la fonction de courant et la divergence de
la vitesse horizontale est nulle). On parle d’un écoulement "géostrophique". A cet ordre d’approximation, la dérivée
verticale de la vitesse horizontale est nulle et la vitesse verticale est nulle ou constante (théorème de Taylor-Proudman).
Même si ce théorème ne s’applique strictement qu’à des écoulements lents et faiblement non-linéaires, le caractère
bidimensionnel des écoulements fortement tournant a été montré numériquement et expérimentalement.
Cette approximation (d’ordre 0 en Ro) n’est pas satisfaisante dans le sens où elle n’offre pas d’équation d’évolution
du système. Pour remédier à ce problème, on peut par exemple pousser l’approximation à l’ordre plus loin, c’est à dire
au premier ordre en Ro. On appelle ce développement "l’approximation quasi-géostrophique".
L’approximation quasi-géostrophique (Fh<1et Ro < 1)consiste en un développement perturbatif en Ro de la
vitesse pour obtenir une équation d’évolution pour la pression (qui est proportionnelle à la fonction de courant, qui
contient toute l’information sur l’écoulement) dans la limite de forte rotation planétaire et de forte stratification. C’est
une limite très intéressante en pratique car elle correspond très bien aux conditions qui prévalent aux grandes échelles
(voir sous-partie 1.1.2).
Avant de présenter la formulation très condensée qui émerge de ce développement, revenons un instant sur les
tendances des deux effets prédominants. On a vu que la rotation comme la stratification ont tendance à inhiber les
mouvements verticaux, c’est à dire à rendre l’écoulement anisotrope. Mais on a vu aussi que les deux effets sont
en compétition pour le choix de l’échelle verticale, la rotation tend à allonger les échelles verticales alors que la
stratification tend à les diminuer.
Ce rapport des deux effets l’ordre de grandeur de α:α=lv/lh∼f /N. Dans l’océan profond, lv/lh∼f/N ∼
0,1−0,01 alors que dans la proche atmosphère et la thermocline lv/lh∼f/N ∼0,01 −0,001. Les structures
tourbillonnaires "quasi-géostrophiques" (par exemple les belles dépressions des cartes météo) ont un aspect très aplati.
En redimensionalisant convenablement les grandeurs (notamment avec une dilatation de zpar N/f), l’évolution
d’un écoulement quasi-géostrophique est donnée par trois équations [Charney, 1971] : (i) une équation de conservation
d’une vorticité potentielle notée q(que Charney appelle pseudo-vorticité potentielle car le terme de convection ne
contient à cet ordre d’approximation que la vitesse horizontale) (∂t+uh· ∇)q= (1/Re)∂zzq, (ii) une équation
reliant cette quantité à la pression (fonction de courant) q=∇2pet (iii) l’équation donnant la vitesse horizontale à
partir de la fonction de courant uh=ˆz ∧ ∇hp.
Pour comparer la pseudo-vorticité potentielle à la vorticité potentielle “stratifiée“ de l’équation (2), on la développe
en utilisant les grandeurs dimensionnées q=−N2ωz+f∂zb. On remarque que le terme non-linéaire est négligeable
dans l’approximation quasi-géostrophique, ce qui a une importance théorique considérable.
1.1.2 Echelles caractéristiques et différents régimes d’écoulement
Dans cette sous-partie, on associe aux deux régimes présentés des domaines d’échelles spatiales. Pour cela, préoc-
cupons nous de leurs limites.
D’abord la limite aux grandes échelles de l’approximation quasi-géostrophique. L’océan comme l’atmosphère
sont deux fines enveloppes : leur hauteur Hest bien inférieure à leur étendue horizontale. Les structures "quasi-
géostrophiques" dont la "hauteur quasi-géostrophique" lhf/N est supérieure à Hsont influencées par le rapport
d’aspect aplati du milieu dans lequel elles évoluent. En terme de taille caractéristique horizontale, cette influence
borne le domaine d’échelle dans lequel l’approximation quasi-géostrophique s’applique telle que nous l’avons vue :
lh< Rd≡HN/f.Rd, appelé le rayon de déformation de Rossby est de l’ordre de 1000km dans l’atmosphère et de
50km dans l’océan profond.
A petite échelle, le nombre de Froude Fh=U/(Nlh)devient supérieur à 1, les écoulements ne sont plus influencés
par la stratification et retrouvent leur isotropie.