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EN INTEGRANT L’EQUATION DE SCHRODINGER,
ON OBTIENT :
MECANIQUE
QUANTIQUE
A.
en fonction de
B.
en fonction de
et
C.
de manière probabiliste
en fonction
D.
en fonction de
COURS 2 – EQUATION, DE, SCHRODINGER, INDEPENDANT DU, TEMPS,
QUENTIN GLORIEUX
3P001 – UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE 2015-2016
RAPPEL,COURS, 1
COURS 2,– EQUATION,DE,SCHRODINGER,
INDEPENDANT DU,TEMPS
En Mécanique Quantique on introduit la fonction d’onde :
1.
Mesure de l’impulsion d’une particule et transformée de Fourier'(p)
La description complète de l’état d’une particule de masse m dans
l’espace à l’instant t se fait au moyen d’une fonction d’onde complexe.
2.
Les observables en Mécanique Quantique
On peut calculer la valeur moyenne de la position à partir de la fonction
d’onde :
3.
Relations d’incertitude d’Heisenberg
4.
Equation de Schrödinger en présence d’une force conservative
5.
Résolution de l’équation de Schrödinger
On introduit les ondes de De Broglie
avec
et
solutions de l’équation de Schrödinger
•
•
Introduction à la mécanique ondulatoire
3
Pour une particule libre
Pour une marche de potentiel : effet tunnel
Introduction à la mécanique ondulatoire
4
PAQUET D’ONDES
MESURE,DE,L,IMPULSION,
D’UNE,PARTICULE
•
Projet : comment trouver la vitesse v ou l’impulsion p=mv d’une
particule quantique ?
•
L’onde plane monochromatique (OPM) est un outil important en
Physique, MAIS elle ne peut pas décrire une véritable fonction d’onde
car elle n’est pas normalisée.
•
Pour résoudre ce problème, on introduit le paquet d’ondes. C’est une
superposition linéaire à coefficients complexes d’OPM. En vertu du
principe de superposition, si l’OPM est solution (non normalisable) de
l’équation de Schrödinger, alors une superposition linéaire l’est aussi.
•
Une somme discrète donne :
•
On utilisera plutot, une somme continue :
• Resultat probabiliste comme pour la position
• On introduit '(p) la fonction d’onde dans l’espace des
positions.
• Il y a un lien de transformée de Fourier entre
et '(p)
•
Notions sur la transformée de Fourier
On remarque que :
Introduction à la mécanique ondulatoire
5
est la TF de
(et vice-versa)
Introduction à la mécanique ondulatoire
6
QUELQUES,NOTIONS,SUR,LES,SERIES DE,FOURIER
INTRODUCTION,A,LA,TRANSFORMEE DE,FOURIER
Toutes fonctions T-périodiques peuvent se décomposer comme une
somme de fonctions sinusoidales de la façon suivante :
•
avec cn (f ) =
1
T
Z
T /2
f (t)e
n
i2⇡ T t
Question : Peut-on toujours exprimer une fonction non-périodique
g(x) de L2 comme une somme continue d’exponentielles oscillantes ?
?
dt.
T /2
•
OUI ! On sait même donner les coefficients
•
En Physique on utilise les notations suivantes (en 1D) :
:
1
4 X sin (2⇡(2k 1)f t)
⇡
(2k 1)
k=1
✓
◆
4
1
1
=
sin(2⇡f t) + sin(6⇡f t) + sin(10⇡f t) + · · ·
⇡
3
5
xcarre (t) =
TF
!'
Animation de la synthèse additive
d'un signal carré par augmentation
du nombre d'harmoniques.
Introduction à la mécanique ondulatoire
1
'(p) := p
2⇡~
Z
+1
(x)e
ipx/~
dx
1
1
On se placera dans l’espace S de Schwartz : fonctions C décroissant
plus vite que toute puissance de x à l’infini.
7
Introduction à la mécanique ondulatoire
8
INVERSION,DE,LA,TRANSFORMEE DE,FOURIER
•
DEUX,PROPRIETES,IMPORTANTES,DE,LA,TF,(I)
On sait donc que l’on peut exprimer une fonction non-périodique (x)
de L2 comme une somme continue d’exponentielles oscillantes dont
les coefficients sont :
1
'(p) := p
2⇡~
Z
La transformée de Fourier est une isométrie :
Produit scalaire
h
+1
(x)e
ipx/~
dx
= h'1 |'2 i
Théorème de Parseval-Plancherel.
1
Cela implique :
A partir de la fonction d’onde dans l’espace position, on peut donc
calculer la fonction d’onde dans l’espace impulsion.
•
1| 2i
est de carré sommable ssi
l’est aussi.
Pour construire un paquet d’onde, on choisira donc des coefficients
de carré sommable. Dans ce cas
est automatiquement une
fonction d’onde physiquement acceptable !
Inversement, peut on retrouver la fonction d’onde (x) si on connait
sa transformée de Fourier '(p) ?
Deux cas limites (on y reviendra) :
Et bien OUI ! C’est la formule d’inversion de la TF :
•
Approximation d’une onde plane.
•
Approximation d’une particule bien localisée.
On dit que '(p) est la TF directe de (x) et (x) la TF réciproque de '(p)
Introduction à la mécanique ondulatoire
9
A QUEL FACTEUR MULTIPLICATIF DANS L’ESPACE DES
POSITIONS CORRESPOND LA DERIVATION DANS
L’ESPACE DES IMPULSIONS
DEUX,PROPRIETES,IMPORTANTES,DE,LA,TF,(II)
Dérivation et transformée de Fourier.
On part de
A.
B.
On dérive sous l’intégrale :
C.
D.
On en déduit :
Dériver par rapport à x dans l’espace position correspond à multiplier
par
dans l’espace impulsion
Introduction à la mécanique ondulatoire
Introduction à la mécanique ondulatoire
11
10
DISTRIBUTION, EN,IMPULSIONS
NOTION,D’OPERATEUR
•
On a
Proposition :
Si une particule est dans l’état
pour son impulsion est :
et
,alors la distribution de probabilité
De même on a :
On verra auTD2 pourquoi cette proposition est justifiée.
On a donc :
•
Peut-on exprimer
à l’aide de
On peut généraliser cette notation, en utilisant la notion d’opérateur :
?
•
est une multiplication par
• pˆx est
fois la dérivée par rapport à
Cela peut se généraliser à toutes les quantités physiques
Introduction à la mécanique ondulatoire
13
DEFINITION,DES,OBSERVABLES
•
Introduction à la mécanique ondulatoire
14
PRINCIPE,DE,CORRESPONDANCE
A toute grandeur physique A on peut associer une observable Â.
On a déja vu les observables r̂ et p̂
 est un opérateur linéaire hermitien agissant dans l’espace des
fonctions d’onde.
Z
Z h
h
i
i⇤
Hermitien si :
⇤
(x)
Â
(x)
dx
=
 1 (x)
2
2 (x)dx
1
•
A l’aide du principe de correspondance on peut déduire toutes les
observables à partir de r̂ et p̂ :
Produit scalaire
On géneralise alors les resultats précedents à la valeur moyenne d’un
observable pour un grand nombre de réalisations :
hait =
Z
⇤
h
i
(r, t) Â (x) dx
Comme  est hermitien alors hai est réel.
•
A noter : on verra au cours 3 que les seules valeurs possibles lors
d’une mesure d’une observable  sont les valeurs propres de Â.
Introduction à la mécanique ondulatoire
15
Introduction à la mécanique ondulatoire
16
POURQUOI,LA,TRANSFORMEE,DE,FOURIER,?
QUE VAUT LE COMMUTATEUR
[x̂, p̂x ] = x̂p̂x
A.
p̂x x̂
0
B. Iˆ pour l’identité
C. i~Iˆ
~ˆ
D.
I
2
•
Formalisme des observables
•
Paquet d’ondes
•
Inégalités de Heisenberg
•
Solution de l’équation de Schrödinger pour une particule libre
Paquet d’ondes :
On a bien la :
•
est la TF de
(et vice-versa)
est une superposition d’ondes de De Broglie
est le poids de l’onde eixp/~ dans ce développement
•
Introduction à la mécanique ondulatoire
18
PAQUET D’ONDES
PRINCIPE,D’INCERTITUDE, D’HEISENBERG
Paquet d’ondes :
Paquet d’ondes :
On voit que :
est la TF de
x p
Les mathématiciens nous disent que
Onde plane
On a toujours :
avec
x=
p
hx2 i
hxi2 et
p=
p
hp2 i
(et vice-versa)
~
2
hpi2
et
n
hp i =
Particule bien localisée
Introduction à la mécanique ondulatoire
19
Z
pn |'(p)|2 dx
Introduction à la mécanique ondulatoire
D’où vient le caractère quantique de
cette inégalité ?
20
QUE SIGNIFIE
A.
B.
C.
x p
EQUATION,DE,SCHRODINGER, POUR,
UNE,PARTICULE,LIBRE
~
2
On a : i~
Le produit de la resolution des
mesures de x et de p doit
toujours être plus grand que ~/2
@ (x, t)
=
@t
~2 @ 2 (x, t)
2m @x2
On cherche une méthode générale de résolution en utilisant la TF.
Il est impossible de préparer une
particule dans un état où sa
position et son impulsion sont
simultanément arbitrairement
bien définies.
On applique la relation :
On a donc :
Le paquet d’onde s’étale dans le
temps.
@ 2 (x, t)
!
@x2
p2
'(p, t)
~2
Puis la TF de l’équation de Schrödinger : i~
D. Si vous mesurez la position d’une
particule vous perturbez son
impulsion.
@'(p, t)
p2
=
'(p, t)
@t
2m
Qui s’intègre en :
Remarque : |'(p, t)|2 = |'(p, 0)|2
Introduction à la mécanique ondulatoire
EQUATION,DE,SCHRODINGER, POUR,
UNE,PARTICULE,LIBRE
RESOLUTION, DE,L’EQUATION,
DE,SCHRODINGER
en fonction de '(p, 0)
On a obtenu
Pour trouver
22
(x, t) il suffit de faire une TF inverse de
:
La condition initiale '(p, 0) se déduit de la fonction d’onde dans
l’espace des positions à t=0 :
Z +1
1
'(p, 0) = p
(x, 0)e ipx/~ dx
2⇡~ 1
•
Equation générale en présence d’une force conservative
•
Etats stationnaires : états propres de l’Hamiltonien
•
Passage d’une marche de potentiel
•
Un effet purement quantique : l’effet tunnel
Méthode générale de résolution de l’équation de Schrödinger pour
une particule libre
Introduction à la mécanique ondulatoire
23
Introduction à la mécanique ondulatoire
24
EQUATION,DE,SCHRODINGER, EN,
PRESENCE,D’UNE,FORCE,CONSERVATIVE
Pour une particule libre on a vu : i~
@ (x, t)
=
@t
EQUATION,DE,SCHRODINGER, EN,
PRESENCE,D’UNE,FORCE,CONSERVATIVE
~2 @ 2 (x, t)
2m @x2
On va garder une structure identique à i~
@
= Ĥ
@t
En présence d’un potentiel V (x̂) , on a : Ĥ =
Cette équation peut s’écrire en utilisant le formalisme des opérateurs :
p̂
@ (x, t)
@ (x, t)
p̂2
=
(x, t) avec (x, t) ! i~
@x
@t
2m
On peut introduire le Hamiltonien (opérateur énergie totale du
système) qui coïncide ici avec l’énergie cinétique :
p̂2
+ V (x̂)
2m
L’équation de Schrödinger qui régit l’évolution de la fonction d’onde (x, t)
d’une particule de masse m en mouvement dans un potentiel V (x̂)
s’écrit :
i~
p̂2
Ĥ =
2m
i~
@ (x, t)
=
@t
~2 @ 2 (x, t)
+ V (x̂) (x, t)
2m @x2
On a alors une écriture compacte de l’équation de Schrödinger :
Equivalent au principe fondamental de la dynamique.
@
i~
= Ĥ
@t
Introduction à la mécanique ondulatoire
25
FONCTIONS,PROPRES,DE,L’ENERGIE,
ETATS,STATIONNAIRES
EVOLUTION, TEMPORELLE
On rappelle la forme d’un état stationnaire solution de l’équation de
Schrödinger : (x, t) = ↵ (x)e iE↵ t/~
Pour un potentiel quelconque que l’on ne précisera pas, supposons que l’on
trouve 3 valeurs possibles de E : E1 < E2 < E3
On réalise une mesure de l’énergie de la particule et on trouve la valeur E2
Apres cette mesure, la position de la particule :
p̂2
+ V (r̂)
2m
@ (x, t)
L’équation de Schrödinger s’écrit : i~
= Ĥ (x, t)
@t
On introduit les fonctions propres de Ĥ :
L’Hamiltonien s’écrit : Ĥ =
Ĥ
↵ (x)
= E↵
Introduction à la mécanique ondulatoire
↵ (x)
où E↵ sont donc les valeurs propres (réelles) de Ĥ .
Ce sont donc des états du système d’énergie bien définie.
A.
oscille à E1 /~
Dans ce cas les solutions de l’équation de Schrödinger sont :
B.
oscille à
C.
oscille à
(x, t) =
↵ (x)e
iE↵ t/~
D. n’oscille pas
Equation de Schrödinger indépendant du temps en 3D :
~
2m
2
Introduction à la mécanique ondulatoire
↵ (r)
+ V (r)
↵ (r)
= E↵
↵ (r)
27
26
FONCTIONS,PROPRES,DE,L’ENERGIE,
ETATS,STATIONNAIRES
Les états stationnaires sont de la forme
(x, t) =
ETATS,PROPRES,DE,L’ENERGIE,
EVOLUTION,TEMPORELLE
iE↵ t/~
↵ (x)e
Les états propres sont de la forme
Pourquoi les nomme-t-on ainsi ?
• La probabilité de présence est indépendante du temps
a (x)|
↵ (x)e
iE↵ t/~
On considère une fonction d’onde (x, t) définit à t=0 par :
X
(x, t = 0) =
C↵ ↵ (x)
Ce sont les états propres de l’Hamiltonien donc de l’observable énergie.
| (x, t)|2 = |
(x, t) =
↵
En raison de la linéarité de l’équation de Schrödinger on a :
2
• La valeur moyenne de tout observable ne dépendant pas
explicitement du temps est également indépendante du temps.
(x, t) =
X
C↵
↵ (x)e
iE↵ t/~
↵
Toutes les fonctions d’ondes peuvent s’écrire ainsi (voir cours 5)
• Un état d’énergie bien définie n’est pas en mouvement !
On l’appellera donc un état stationnaire.
CONCLUSION : L’évolution dans le temps d’une fonction d’onde pour
un système isolé est donc immédiatement connue si l’on connait les
solutions stationnaires de l’équation de Schrödinger
Introduction à la mécanique ondulatoire
29
Introduction à la mécanique ondulatoire
30
POTENTIEL,CONSTANT
MARCHE,DE,POTENTIEL
Plaçons nous dans une zone de l’espace où V est constant.
Prenons la situation suivante :
L’équation de Schrödinger indépendant du temps s’écrit à 1D :
~2
2m
00
(x) + V (x) = E (x)
qui s’intègre en :
•
•
ou
(x) = ⇠+ eipx/~ + ⇠ e
~2
2m
00
ipx/~
(x) + (V
On cherche des solutions de
la forme : (x, t) = (x)e iEt/~
E) (x) = 0
avec p2 /2m = E
•
V
Dans ce cas les solutions s’écrivent :
Si E -V>0 alors p est réel et la fonction d’onde est une
superposition d’onde plane monochromatique se dirigeant vers la
gauche et vers la droite.
avec
2
Si E –V<0 alors p /2mest négative, donc p est complexe. La
fonction d’onde est une somme d’éxponentielles réelles.
Classiquement la particule ne peut pas pénetrer dans cette zone.
Quantiquement nous allons voir que c’est un peu différent !
Introduction à la mécanique ondulatoire
Cas 1 : E < V0
A l aide de la continuité en x=0 de
31
Introduction à la mécanique ondulatoire
et
0
on en déduit
32
MARCHE,DE,POTENTIEL
EFFET,TUNNEL
Prenons la situation suivante :
Prenons la situation suivante :
On cherche des solutions de
la forme : (x, t) = (x)e iEt/~
On cherche une solutione de
la forme :
•
Cas 2 : E > V0
Dans ce cas les solutions s’écrivent :
avec
et 0 =
p
A l aide de la continuité en x=0 de
2m(E
et
V0 )/~
0
on déduit :
avec
Si on prend une particule incidente venant de gauche :
qui se simplifie pour 0 a
= 0 et ⇠+ = 1
1 en
On peut en déduire
Introduction à la mécanique ondulatoire
33
Introduction à la mécanique ondulatoire
34
BILAN,COURS,1,ET,2
BILAN,COURS,1,ET,2
•
•
La description complète de l’état d’une particule se fait par une
fonction d’onde (r, t) , dont le carré donne la densité de
probabilité de présence au point r, à l’instant t.
L’évolution dans le temps de la fonction d’onde placée dans un
potentiel V(r) est donnée par l’équation de Schrödinger :
@ (x, t)
i~
= Ĥ (x, t)
@t
où Ĥ est l’observable énergie ou Hamiltonien du système considéré.
•
A chaque grandeur physique on associe une observable, opérateur
linéaire hermitien agissant sur les fonctions d’onde. La valeur moyenne hait
à l’instant t d’une observable s’obtient ainsi :
Z
h
i
⇤
hait =
(r, t) Â ⇤ (r, t) dr
•
Ces observables ne commutent pas : [x̂, p̂x ] = i~
•
•
Pour un système isolé dans un potentiel indépendant du temps, les
états propres de l’énergie sont les états stationnaires de la forme :
•
•
L’amplitude de probabilité de l’impulsion de la particule est donnée
par la transformée de Fourier deZ la fonction d’onde (à 1D) :
1
'(p, t) = p
(x, t)e ipx/~ dx
2⇡~
(r, t) =
↵ (r)e
iE↵ t/~
où ↵ (r) est une solution normée de l’équation de Schrödinger independant
du temps :
Ĥ ↵ (r) = E↵ ↵ (r)
Cela entraine la relation d’incertitude d’Heisenberg qui relient les
~
incertitudes sur x et p :
x p
2
Introduction à la mécanique ondulatoire
L’observable position r̂ est la multiplication par r de la fonction d’onde.
L’observable impulsion p̂ est p̂ = i~r
35
Introduction à la mécanique ondulatoire
36