2 Chapitre 1 La charge électrique 1.1 L’électromagnétisme Les philosophes grecs de l’Antiquité savaient qu’un morceau d’ambre frotté exerce une attraction sur de petites brindilles de paille. Cette observation, qui remonte loin dans le temps, marquait un premier pas en direction de l’ère de l’électronique actuelle. (D’ailleurs, le mot « électron » vient du grec êlektron, qui signifie « ambre ».) Les Grecs ont également observé qu’une certaine pierre maintenant appelée la « magnétite », qu’on trouve à l’état naturel, exerce une attraction sur les particules de fer. À partir de ces modestes bases, les sciences de l’électricité et du magnétisme se sont développées chacune de leur côté durant des siècles, et ce jusqu’en 1820. À ce moment-là, Hans Christian Oersted a découvert un lien entre ces deux disciplines. Il a remarqué qu’un courant électrique circulant à l’intérieur d’un fil peut faire dévier l’aiguille d’une boussole. Il faut noter qu’Oersted a fait cette découverte alors qu’il préparait une démonstration à l’intention de ses étudiants de physique. La nouvelle science de l’électromagnétisme (qui allie les phénomènes électriques et magnétiques) a été le fruit des travaux de chercheurs de plusieurs pays. L’un des plus talentueux a été Michael Faraday. Expérimentateur de grand talent, il savait se faire une représentation visuelle des phénomènes physiques, pour lesquels il manifestait aussi une forte intuition. Comme preuve de ce don particulier, précisons qu’aucun de ses carnets de notes ne contient une seule équation. Au milieu du XIXe siècle, James Clerk Maxwell a transposé les principes de Faraday sous forme mathématique et y a ajouté plusieurs idées personnelles. Ainsi, il a réussi à asseoir solidement les fondements théoriques de l’électromagnétisme. Le tableau 11.1 (p. 261) présente les lois élémentaires de l’électromagnétisme, appelées les « équations de Maxwell ». Ce sujet sera abordé peu à peu au fil des chapitres ultérieurs. Toutefois, vous devriez y jeter un coup d’œil afin de comprendre l’objectif visé. 1.2 La charge électrique Figure 1.1 L’adhérence électrostatique est un phénomène électrique qui se produit par temps sec. La faible charge qui circule à l’intérieur des bouts de papier et du peigne de plastique les fait s’agglutiner comme elle fait adhérer les vêtements à la peau. Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. Si vous marchez sur une moquette par temps sec, vous pouvez déclencher une étincelle en approchant vos doigts d’une poignée en métal. Des publicités télévisées offrent des produits contre l’adhérence électrostatique des vêtements (voir la figure 1.1). À plus grande échelle, la foudre tient du même principe. Chacun de ces phénomènes donne un faible aperçu de l’immense charge électrique présente dans les objets qui nous entourent, même dans notre corps. La charge électrique est une caractéristique intrinsèque des particules fondamentales qui constituent ces objets, peu importe où ces particules se trouvent. L’immense charge présente dans les objets environnants est en général imperceptible. En effet, ces objets contiennent une quantité égale de deux types de charges : la charge positive et la charge négative. Grâce à cette égalité ou à cet équilibre entre les charges, on dit qu’un objet est électriquement neutre, c’est-à-dire qu’il ne contient aucune charge résultante. S’il existe un déséquilibre entre ces deux types de charges, l’objet contient alors une charge nette. Lorsqu’on dit qu’un objet est chargé, cela signifie qu’un déséquilibre (ou une charge nette) existe entre les deux types de charges. Ce déséquilibre est toujours très minime si on le compare avec la totalité des charges positive et négative présentes dans l’objet. Les objets chargés exercent des forces réciproques entre eux. Pour le démontrer, on charge une tige de verre en frottant un carré de soie avec l’une de ses extrémités. Aux points de contact entre la tige de verre et la soie, de faibles quantités de charge passent de l’une à l’autre pour rompre quelque peu la neutralité électrique de chacune. (On frotte la soie avec l’extrémité de la tige afin d’accroître le nombre de points de contact. Ainsi, on accroît la quantité de la charge, quoique infime, ainsi transférée.) Supposons qu’on suspend à un fil la tige chargée afin de l’isoler électriquement de son environnement pour que sa charge reste inchangée. Si on approche une autre tige de verre chargée (voir la figure 1.2 a), les tiges se repoussent l’une l’autre. Cela signifie que sur chaque tige s’exerce une force dans une direction opposée de sa voisine. Toutefois, si on frotte avec de la fourrure une tige de plastique et qu’on l’approche de la tige de verre suspendue au fil (voir la figure 1.2 b), les deux tiges seront attirées l’une par l’autre. Cela signifie que sur chacune de ces tiges s’exerce une force dans la direction de sa voisine. 1.3 Les conducteurs et les isolants F +++ ++++++++ + + Verre + + +++++ ++++++++ + + Verre F 3 On peut comprendre ces deux démonstrations en fonction des charges positive et négative. Lorsqu’on frotte une tige de verre avec de la soie, le verre perd une partie de sa charge négative et se retrouve avec un léger déséquilibre positif (représenté par les signes positifs à la figure 1.2 a). Lorsqu’on frotte une tige de plastique avec de la fourrure, le plastique se retrouve avec un léger surplus de sa charge négative (représenté par les signes négatifs à la figure 1.2 b). Ces deux démonstrations illustrent la règle ci-après. Des charges électriques identiques se repoussent, alors que des charges électriques opposées ➤s’attirent. a) +++ Verre ++++++++ + + F F – – –––– Plastique –––––––– – – b) Figure 1.2 a) Deux tiges dotées d’une même charge se repoussent. b) Deux tiges dotées d’une charge opposée s’attirent. Les signes indiquent une charge nette positive et les signes une charge nette négative. À la section 1.4, cette règle sera présentée sous forme quantitative. La loi de Coulomb décrivant la force électrostatique (ou force électrique) entre deux charges sera étudiée. On emploie le terme électrostatique pour préciser que les charges sont stationnaires ou qu’elles se déplacent très lentement. C’est Benjamin Franklin qui a choisi de façon arbitraire les signes et les appellations « négatif » et « positif » pour désigner les types de charge électrique. Il aurait aussi bien pu les substituer l’un à l’autre ou employer d’autres contraires afin de distinguer les deux types de charges. (Franklin était un homme de science de réputation internationale. On a même prétendu que ses réussites sur le plan diplomatique auprès du gouvernement français pendant la guerre d’indépendance des États-Unis étaient attribuables à la réputation dont il jouissait à titre de scientifique.) L’attraction et la répulsion qui s’exercent entre des corps chargés trouvent plusieurs applications industrielles, par exemple dans la peinture au pistolet et le poudrage électrostatique, le ramassage de la cendre légère à l’intérieur des cheminées, l’impression au jet d’encre sans impact et la photocopie. La figure 1.3 montre une bille porteuse comme on en trouve dans les photocopieurs de marque Xerox. Cette bille est couverte de poudre (ou particules) d’encre (toner) qui adhère à la bille sous l’effet de la force électrostatique. La poudre d’encre est de l’encre sèche, colorée, réduite en fines particules, contenant une résine sensible à la chaleur, et qui se fixe par chauffage sur le support d’impression utilisé dans les photocopieurs et les imprimantes. Les particules d’encre accumulées sur la bille, porteuses d’une charge négative, sont attirées vers un tambour rotatif sur lequel s’est formée une image, de charge positive, du document qu’on veut photocopier. Une feuille de papier chargée attire ensuite la poudre d’encre, après quoi cette dernière y adhère sous l’effet de la chaleur pour faire la copie en question. 1.3 Les conducteurs et les isolants Figure 1.3 Une bille porteuse dans un photocopieur Xerox. La bille est couverte de particules d’encre qui y adhèrent sous l’effet d’une force d’attraction électrostatique. Le diamètre de cette bille est d’environ 0,3 mm. Dans certains types de matériaux, par exemple le métal, l’eau du robinet et le corps humain, une partie de la charge négative se déplace librement. Ces matériaux sont appelés des conducteurs. À l’intérieur d’autres matériaux, notamment le verre, l’eau pure et le plastique, la charge se déplace plus difficilement. On parle alors de nonconducteurs ou d’isolants. Si vous frottez une tige de cuivre à l’aide d’un tricot de laine en tenant la tige d’une main, vous ne pourrez pas la charger car la tige et vous-même êtes conducteurs. Le frottement provoquera un léger déséquilibre de la charge présente dans la tige, mais l’excédent passera aussitôt de la tige au sol (qui se trouve en contact avec la surface terrestre) par votre intermédiaire, et la charge de la tige sera vite neutralisée. Ainsi, lorsqu’on établit une trajectoire de conducteurs entre un objet et la surface terrestre, on procède à une mise à la terre de cet objet. Lorsqu’on neutralise ce même objet (en supprimant tout déséquilibre de la charge négative ou positive), on le décharge. Plutôt que de tenir une tige de cuivre dans votre main, si vous la saisissez à l’aide d’une poignée isolante, vous éliminez la trajectoire de la mise à la terre et vous pouvez charger la tige en la frottant, mais vous devez éviter de la toucher avec votre main. Les conducteurs et les isolants doivent leurs propriétés à la structure et à la nature électrique de certains constituants de l’atome. Les atomes sont formés de protons chargés positivement, d’électrons négatifs et de neutrons électriquement neutres. Les protons et les neutrons sont étroitement rassemblés à l’intérieur du noyau central. Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 14 Chapitre 1 La charge électrique EXERCICES ET PROBLÈMES www La solution se trouve sur le site Web, à l’adresse ci-dessous : www.dlcmcgrawhill.ca/physique SECTION 1.4 La loi de Coulomb 1E. Quelle doit être la distance entre une charge ponctuelle q1 26,0 C et une charge ponctuelle q2 47,0 C pour que la grandeur de la force électrostatique entre elles soit de 5,70 N ? 2E. Une charge ponctuelle de 3,00 106 C se trouve à 12,0 cm d’une autre charge ponctuelle de 1,50 106 C. Calculez la grandeur de la force exercée sur chacune des charges. 3E. Deux particules de même charge, maintenues à une distance de 3,2 103 m, sont libérées. On observe que l’accélération initiale de la première particule est de 7,0 m/s2 et que celle de la deuxième est de 9,0 m/s2. Si la masse de la première particule est de 6,3 107 kg, quelles sont a) la masse de la deuxième particule et b) la grandeur de la charge de chaque particule ? www 4E. Deux sphères isolées, conductrices et identiques (1 et 2) sont porteuses d’une même charge. De plus, la distance les séparant est grande si on la compare à leurs diamètres (voir la figure 1.16 a). La force électrostatique que la première sphère exerce sur la deuxième Supposons qu’une troisième sphère identique (3), neutre au est de F. départ et pourvue d’un manche isolant, touche d’abord la sphère 1 (voir la figure 1.16 b), puis la sphère 2 (voir la figure 1.16 c) pour ensuite être retirée (voir la figure 1.16 d). En fonction de la grandeur F, quelle est la grandeur de la force électrostatique F′ qui s’exerce à présent sur la sphère 2 ? F F 1 2 1 3 2 a) b) 1 2 3 F' c) 1 2 F' d) Figure 1.16 Exercice 4 +q –q 5P. À la figure 1.17, quelles sont a les composantes a) horizontale et b) verticale de la force électrostatique résultante qui s’exerce sur la particule chargée dans le coin a a inférieur gauche du carré si q 1,0 107 C et a 5,0 cm ? www a 6P. Les charges ponctuelles q1 –2q +2q et q2 se trouvent sur l’axe des x Figure 1.17 Problème 5 respectivement aux points x a et x a. a) Quel doit être le rapport entre q1 et q2 pour que la force électrostatique résultante sur la charge ponctuelle Q placée à x a/2 soit nulle ? b) Refaites l’exercice précédent, cette fois avec une charge ponctuelle Q placée à x 3a/2. 7P. Deux sphères conductrices identiques et fixes s’attirent avec une force électrostatique de 0,108 N lorsqu’une distance de 50,0 cm sépare leurs centres. Les sphères sont ensuite reliées par un fil conducteur. Lorsqu’on retire le fil, les sphères se repoussent avec une force électrostatique de 0,036 0 N. Quelles étaient les charges initiales des deux sphères ? 8P. À la figure 1.18, trois particules d d q1 q2 q3 chargées sont alignées et séparées par des distances d. Les charges Figure 1.18 Problème 8 q1 et q2 sont fixes. La charge q3 peut se déplacer, mais elle est en équilibre (elle ne subit aucune force électrostatique). Trouvez la valeur de q1 en fonction de q2. 9P. Deux particules libres (c’est-à-dire libres de se déplacer), porteuses de charges q et 4q, sont éloignées d’une distance L. On place une troisième charge de sorte que le système soit en équilibre. a) Trouvez la position, la grandeur et le signe de la troisième charge. b) Montrez que l’équilibre est instable. www 10P. Deux particules fixes, porteuses des charges q1 1,0 C et q2 3,0 C, se trouvent à 10 cm l’une de l’autre. À quelle distance de chacune doit-on poser une troisième charge pour qu’aucune force électrostatique résultante ne soit exercée sur cette dernière ? 11P. a) Quelle devrait être la charge identique que la Lune et la Terre devraient avoir afin de compenser leur attraction gravitationnelle ? Doit-on connaître la distance entre ces planètes afin de répondre à cette question ? Expliquez votre réponse. b) Combien de kilogrammes d’hydrogène faudrait-il employer pour fournir la charge positive calculée précédemment ? 12P. Les charges et les coordonnées de deux particules chargées maintenues en place sur le plan xy sont les suivantes : q1 3,0 C, x1 3,5 cm, y1 0,50 cm, et q2 4,0C, x2 2,0 cm, y2 1,5 cm. a) Calculez la grandeur et la direction de la force électrostatique exercée sur q2. b) À quel endroit pourriez-vous situer une troisième charge q3 4,0 C afin que la force électrostatique résultante exercée sur q2 soit nulle ? 13P. Une charge Q est divisée en deux parties q et Q q qui sont ensuite éloignées d’une certaine distance. Quelle doit être la valeur de q par rapport à Q afin que la force de répulsion électrostatique entre les deux charges soit maximale ? www 14P. Une particule porteuse d’une charge Q est fixée à deux des coins opposés d’un carré, et une particule de charge q est fixée aux deux autres coins. a) Si la force électrostatique résultante exercée sur chacune des particules Q est nulle, quelle est la valeur de Q par rapport à q ? b) Le cas échéant, quelle est la valeur de q pour que la force électrostatique exercée sur chaque particule soit nulle ? Expliquez votre réponse. 15P. À la figure 1.19, deux billes conductrices ayant une même masse m et une même charge q θθ sont suspendues à des fils non conducteurs d’une longueur L. Utilisez l’hypothèse des petits L L angles, tan sin . q q x Figure 1.19 Problème 15 Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 22 Chapitre 2 Les champs électriques z 2.5 Le champ électrique d’un dipôle électrique E(+) P E(–) r(+) z r(–) + +q + p d Centre du dipôle – a) –q – b) Figure 2.8 a) Un dipôle électrique. Les vecteurs champ électrique E() et E() au point P sur l’axe du dipôle résultent des deux charges du dipôle. Le point P se trouve à une distance r() et r() de chacune des charges qui constituent le dipôle. b) Le moment dipolaire p pointe de la charge négative vers la charge positive. La figure 2.8 montre deux particules de charges q et q, séparées par une distance d. Ainsi qu’on l’a précisé pour la figure 2.5, cette configuration est celle d’un dipôle électrique. On veut déterminer le champ électrique que le dipôle de la figure 2.8 a) produit au point P, soit à une distance z à partir du point médian du dipôle et sur l’axe passant par les particules ou l’axe dipolaire. En raison de la symétrie, le champ électrique E au point P (également les champs E() et E() découlant des charges distinctes qui forment le dipôle) doit être le long de l’axe dipolaire, qu’on nomme ici l’axe des z. En se basant sur le principe de superposition pour les champs électriques, on détermine que la grandeur E du champ électrique au point P est la suivante : E = E (+) − E (−) q q 1 1 = − 2 2 4πε0 r(+) 4πε0 r(−) q q = − . (2.5) 4πε0 (z − 12 d)2 4πε0 (z + 12 d)2 Après quelques manipulations algébriques, on peut reformuler cette équation ainsi : d −2 d −2 q 1− . − 1+ E= (2.6) 4πε0 z 2 2z 2z En général, on s’intéresse à l’effet électrique d’un dipôle à de grandes distances en comparaison avec les dimensions de ce dernier, c’est-à-dire des distances telles que z d. Avec de telles distances, on obtient d /2z 1 à partir de l’équation 2.6. On peut donc développer les deux quantités exprimées entre les crochets à l’aide du développement du binôme (voir l’annexe D) afin d’obtenir 2d 2d 1+ + ... − 1 − + ... . 2z(1!) 2z(1!) d q d 1+ + ... − 1 − + ... . Par conséquent, E = (2.7) 4πε0 z 2 z z Les termes non écrits des deux développements de l’équation 2.7 correspondent à des puissances supérieures de d/z. Étant donné que d/z 1, l’apport de ces termes est de moins en moins important et, pour déterminer la valeur approximative de E à de grandes distances, on peut les ignorer. Par la suite, on peut reformuler approximativement l’équation 2.7 comme suit : 2d q 1 qd . E= = (2.8) 2 4πε0 z z 2πε0 z 3 Le produit qd, qui implique les deux propriétés intrinsèques q et d du dipôle, est le module p d’une quantité vectorielle appelée le moment dipolaire électrique p du dipôle. (L’unité de p est le coulomb-mètre). Par conséquent, on peut récrire l’équation 2.8 ainsi : E= 1 p 2πε0 z 3 (le champ dipolaire). (2.9) On considère que p s’oriente de l’extrémité négative du dipôle vers l’extrémité positive (voir la figure 2.8 b). On peut employer p afin de préciser l’orientation d’un dipôle. L’équation 2.9 démontre qu’on ne peut déterminer les valeurs de q et de d séparément en mesurant le champ électrique d’un dipôle à des points éloignés, mais seulement leur produit. Le champ à des points éloignés serait inchangé si, par exemple, q était doublée et d était simultanément réduite de moitié. Par conséquent, le moment dipolaire est une propriété fondamentale d’un dipôle. Bien que l’équation 2.9 ne soit valable que pour les points éloignés le long de l’axe dipolaire, il s’avère que E est proportionnelle à 1/r 3 pour tous les points éloignés, peu importe leur direction par rapport à l’axe dipolaire. Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. Exercices et problèmes SECTION 2.7 Le champ électrique d’un disque chargé 25E. La face supérieure d’un disque ayant un rayon de 2,5 cm a une densité de charge surfacique de 5,3 C/m2. Quelle est la grandeur du champ électrique produit par le disque à un point de son axe central à une distance z 12 cm du disque ? 26P. À quelle distance le long de l’axe central d’un disque de plastique de charge uniforme et de rayon R la grandeur du champ électrique égale-t-elle la moitié de la grandeur du champ au centre de la surface du disque ? SECTION 2.8 Une charge ponctuelle à l’intérieur d’un champ électrique 27E. Un champ électrique accélère un électron dans la direction est à 1,8 109 m/s2. Déterminez la grandeur et la direction du champ électrique. 28E. Un électron initialement au repos est placé à l’intérieur d’un champ électrique uniforme dont la grandeur est de 2,00 104 N/C. Calculez l’accélération de l’électron (ignorez les effets gravitationnels). 29E. Une particule alpha (le noyau d’un atome d’hélium) a une masse de 6,64 1027 kg et une charge de 2e. Déterminez la grandeur et la direction du champ électrique qui équilibrera la force de gravité agissant sur cette particule. 30E. Calculez la grandeur de la force produite par un dipôle électrique de moment dipolaire de 3,6 1029 C m sur un électron se trouvant à 25 nm du centre du dipôle, le long de l’axe dipolaire. Supposez qu’il s’agit d’une grande distance par rapport à la séparation de la charge dans le dipôle. www 31E. Une décharge électrique peut se former dans l’air humide lorsque le champ électrique atteint 3 106 N/C (les molécules s’ionisent). Dans ce champ, déterminez la grandeur de la force électrostatique qui s’exerce a) sur un électron et b) sur un ion auquel il manque un électron. 32E. Un système nuageux chargé établit un champ électrique dans l’air à proximité de la surface de la Terre. Une force électrostatique se dirigeant vers le sol de 3,0 106 N agit sur une particule chargée de 2,0 109 C lorsqu’elle entre dans ce champ. a) Quelle est la grandeur du champ électrique ? b) Déterminez la grandeur et la direction de la force électrostatique qui s’exercerait sur un proton placé dans ce champ. c) Calculez la force de gravité qui s’exerce sur le proton. d) Dans ce cas, quel est le rapport entre la grandeur de la force électrostatique et la grandeur de l’attraction gravitationnelle ? dont la grandeur moyenne est d’environ 33E. Un champ électrique E, 150 N/C, se trouve dans l’atmosphère à proximité de la surface terrestre et est orienté vers la Terre. On souhaite faire flotter dans ce champ une sphère de soufre pesant 4,4 N en la chargeant. a) Quelle charge permettra d’y parvenir (précisez le signe et la grandeur) ? b) Précisez pourquoi une telle expérience est peu réaliste. 34E. On peut produire des faisceaux de protons à haute vitesse à l’intérieur d’une espèce de pistolet dans lequel un champ électrique provoque l’accélération des protons. a) Quelle serait l’accélération d’un proton si le champ électrique du pistolet était de 2,00 104 N/C ? b) Quelle vitesse le proton atteindrait-il si le champ produisait une accélération sur une distance de 1,00 cm ? 35E. Un électron se déplaçant à la vitesse de 5,00 108 cm/s pénètre dans un champ électrique d’une grandeur de 1,00 103 N/C. Il se déplace le long des lignes de champ dans la direction qui ralentit son mouvement. a) Quelle distance l’électron parcourra-t-il à l’intérieur du champ avant de s’immobiliser momentanément ? b) Combien de temps se sera écoulé avant cet arrêt ? c) Si la zone où règne le champ électrique ne fait que 8 mm de long (une distance trop courte pour que l’électron s’immobilise à l’intérieur de celle-ci), quelle fraction de l’énergie cinétique initiale de l’électron sera perdue dans cette zone ? • 37 36E. Dans le cadre de l’expérience de Millikan, on suspend une goutte d’huile d’un rayon de 1,64 m et d’une densité de 0,851 g/cm3 à l’intérieur d’une chambre C (voir la figure 2.14) à l’aide d’un champ électrique orienté vers le bas de 1,92 105 N/C. Déterminez la charge de cette goutte en fonction de e. 37P. Au cours d’une de ses expériences, Millikan a observé que les mesures de charge suivantes apparaissaient, entre autres, à différents moments sur une même goutte : 6,563 1019 C 19 8,204 10 C 11,50 1019 C 13,13 1019 C 19 19,71 1019 C C 22,89 1019 C 18,08 1019 C 26,13 1019 C 16,48 10 À partir de ces données, quelle peut être la valeur de la charge élémentaire e? 38P. Un champ électrique uniforme est créé entre deux plaques de charges opposées. On libère un électron initialement au repos à la surface de la plaque négative et il atteint la surface de la plaque positive, 2 cm plus loin, en l’espace de 1,5 108 s. a) Quelle est la vitesse de l’électron au moment où il touche la deuxième plaque ? b) Quelle est la grandeur du champ électrique E ? www 39P. À un instant donné, les composantes de la vitesse d’un électron se déplaçant entre deux plaques parallèles chargées sont vx 1,5 105 m/s et vy 3 103 m/s. On suppose que le champ électrique entre les plaques est E (120 N/C)j. a) Quelle est l’accélération de l’électron ? b) Quelle sera la vitesse de l’électron après que sa coordonnée x aura changé de 2,0 cm ? 40P. Deux grandes plaques parallèles Plaque Plaque de cuivre à 5,0 cm l’une de l’autre positive p négative e ont un champ électrique uniforme entre elles (voir la figure 2.39). On libère un électron de la plaque négative au moment où un proton E est libéré de la plaque positive. Négligez la force que les particules Figure 2.39 Problème 40 exercent l’une sur l’autre et déterminez la distance qui les sépare de la plaque positive au moment où elles se croisent. (La grandeur du champ électrique n’est pas utile pour résoudre ce problème. Cela vous étonne-t-il ?) www 41P. On dépose un bloc de 10 g porteur d’une charge de 8,00 105 C à l’intérieur d’un champ électrique E (3,00 103)i 600j où E est exprimé en newtons par coulomb. a) Déterminez la grandeur et la direction de la force qui s’exerce sur le bloc. b) Si le bloc est initialement au repos à l’origine à t 0, quelles seront ses coordonnées à t 3,00 s ? 42P. À la figure 2.40, un champ électrique uniforme E orienté d vers le haut d’une grandeur de E 2,00 103 N/C a été établi entre v0 θ deux plaques horizontales en chargeant la plaque inférieure L positivement et la plaque supérieure Figure 2.40 Problème 42 négativement. Les plaques ont une longueur L 10,0 cm, et elles se trouvent à une distance d 2,0 cm. Un électron est envoyé entre les plaques depuis l’extrémité gauche de la plaque inférieure. La vitesse initiale v0 de l’électron forme un angle 45° avec la plaque inférieure, et sa grandeur est de 6,00 106 m/s. a) L’électron touchera-t-il une des plaques ? b) Le cas échéant, déterminez laquelle. Trouvez ensuite à quelle distance horizontale de l’extrémité gauche l’électron frappera. Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 3.4 Le théorème de Gauss 43 y Exemple 3.2 Un champ électrique variable E 3,0xi 4,0j traverse le cube de Gauss (voir la figure 3.5). (E est exprimé en newtons par coulomb et x en mètres.) Déterminez le flux électrique qui traverse la face droite, la face gauche et la face supérieure. Surface de Gauss x SOLUTION : Le concept clé veut qu’on détermine le flux qui traverse la surface en intégrant le produit scalaire E d A sur chacune des faces. La face droite : Un vecteur surface A est toujours perpendiculaire à sa surface et s’oriente toujours en pointant vers l’extérieur d’une surface de Gauss. Par conséquent, le vecteur d A de la face droite du cube doit s’orienter dans le sens des x positifs. Sous forme de vecteur unitaire, on peut écrire • Figure 3.5 Exemple 3.2 Un cube de Gauss, dont une arête est posée sur l’axe des x, se trouve à l’intérieur d’un champ électrique variable. d A dAi. La face gauche : Afin de déterminer le flux qui traverse la face gauche, on procède comme on l’a fait pour la face droite. Toutefois, deux facteurs sont différents : 1) le vecteur surface infinitésimal d A s’oriente vers les x négatifs et, par conséquent, d A dAi; 2) le terme x paraît encore à l’intégration, et sa valeur est constante sur la face gauche. Cependant, sur cette même face, x 1,0 m. En raison de ces deux changements, le flux g qui traverse la face gauche est donc À partir de l’équation 3.4, on détermine le flux qui traverse la face droite ainsi : d = = E · dA = (3,0xi + 4,0j) · (dAi) [(3,0x)(dA)i · i + (4,0)(dA)j · i] = x = 1,0 m x = 3,0 m z (3,0x dA + 0) = 3,0 g 12 N m2/C. • On peut maintenant faire l’intégration sur la face droite. Toutefois, on constate que x a la même valeur partout sur cette face, à savoir x 3,0 m. Cela signifie que x peut être remplacé par cette constante. Dans ce cas, d = 3,0 s = (3,0) dA = 9,0 dA. = (3,0xi + 4,0j) · (dAj) [(3,0x)(dA)i · j + (4,0)(dA)j · j] L’intégrale correspond simplement à la surface A 4,0 m2 de la face droite. Ainsi, on obtient d = (9,0 N/C)(4,0 m2 ) = 36 N · m2/C. (réponse) La face supérieure : Le vecteur surface infinitésimal d A pointe vers les y positifs et, par conséquent, d A dAj . Le flux s qui traverse la face supérieure est donc x dA. = (0 + 4,0 dA) = 4,0 = 16 N · m2/C . (réponse) dA (réponse) 3.4 Le théorème de Gauss Le théorème de Gauss établit le rapport entre le flux net d’un champ électrique à travers une surface fermée (une surface de Gauss) et la charge nette qint qui se trouve à l’intérieur de cette surface. Il se formule ainsi : = qint ε0 (le théorème de Gauss). (3.6) Si on lui substitue l’équation 3.4 (qui définit le flux électrique traversant une surface), le théorème de Gauss peut se formuler comme suit : qint E · dA = ε0 (le théorème de Gauss). (3.7) Les équations 3.6 et 3.7 ne sont valables que si la charge nette se trouve dans le vide ou (en bonne approximation) dans l’air. À la section 5.8, nous modifierons le théorème de Gauss pour tenir compte de situations où un matériau tel que le mica, l’huile ou le verre est présent. Dans les équations 3.6 et 3.7, la charge nette qint est la somme algébrique de toutes les charges positives, négatives ou nulles qui se trouvent à l’intérieur de la surface de Gauss. On tient compte du signe plutôt que de simplement préciser la grandeur de la Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. Exercices et problèmes ++++ ++++ ++++ libres (e) qui sont attirés vers le fil Particule Signal positif. Toutefois, le champ électrique est d’une telle grandeur que, – pendant le temps qui s’écoule – avant leurs collisions avec d’autres – – – – atomes de gaz, les électrons libres – – – – reçoivent suffisamment d’énergie – – pour ioniser ces atomes à leur tour. – – – Davantage d’électrons libres sont – e – – ainsi produits, et le procédé se – – Fil – répète jusqu’à ce que les électrons – chargé – – – atteignent le fil. L’avalanche d’élec– – trons qui s’ensuit se transmet au fil. – – Un signal est alors émis, qui sert à enregistrer le passage de la particule ionisante originale. Sup- Cylindre chargé posez que le rayon du fil central est Figure 3.30 Problème 23 de 25 m, le rayon du cylindre de 1,4 cm et la longueur du tube de 16 cm. Si le champ électrique sur la paroi intérieure du cylindre est de 2,9 104 N/C, quelle est la charge positive nette du fil central ? 24P. On répartit une charge ayant une densité linéique uniforme de 2 nC/m le long d’une fine tige longue et non conductrice. La tige est entourée par un long cylindre coaxial creux et conducteur (le rayon intérieur est de 5,0 cm et le rayon extérieur de 10 cm). La charge nette sur le conducteur est nulle. a) Quelle est la grandeur du champ électrique à 15 cm de l’axe du cylindre ? Quelle est la densité surfacique de charge b) de la surface intérieure ? c) de la surface extérieure du conducteur ? 25P. Une charge est distribuée de façon uniforme à l’intérieur du volume d’un cylindre infiniment long de rayon R. a) Démontrez que, à une distance r de l’axe du cylindre (alors que r R), E= ρr , 2ε0 où est la densité volumique de charge. b) Déterminez la valeur de E lorsque r R. www SECTION 3.8 L’application du théorème de Gauss à des symétries planaires 26E. La figure 3.31 présente les coupes transversales de deux grandes feuilles parallèles et non conductrices portant une même densité surfacique de charge . Déterminez E aux points qui se trouvent a) audessus des feuilles, b) entre les feuilles et c) au-dessous des feuilles. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Le champ électrique à la surface du photorécepteur doit demeurer inchangé. Déterminez la charge du nouveau tambour photorécepteur. 17E. Une ligne de charge infinie produit un champ de 4,5 104 N/C à une distance de 2,0 m. Déterminez la densité linéique de la charge. 18P. La figure 3.28 présente une section d’un long tube de métal à paroi mince de rayon R qui porte à sa surface une charge par unité de longueur y. Dérivez les équations qui expriment E en fonction de la distance r de l’axe du tube dans + + les deux situations suivantes : + + + a) r R et b) r R. Représentez + + + + + + graphiquement vos résultats en + + + + fonction des valeurs de r allant de + + + r 0 jusqu’à r 5,0 cm, en sup+ + + posant que 2,0 108 C/m et R + + R 3,0 cm. (Indice : Utilisez des + surfaces de Gauss cylindriques ayant le même axe que le tube de métal.) Figure 3.28 Problème 18 19P. Une très longue tige cylindrique et conductrice d’une longueur L, porteuse d’une charge nette q, est entourée d’un cylindre conducteur creux coaxial à la longue tige (également d’une longueur L) dont la charge nette est de 2q (voir la figure 3.29). Employez le théorème de Gauss afin de déterminer a) le champ électrique en des points +q extérieurs au cylindre creux, b) la –2q distribution de la charge sur le cylindre creux et c) le champ élecFigure 3.29 Problème 19 trique dans la région entre le cylindre creux et la tige. 20P. Un long fil rectiligne porte une densité linéique de charge négative dont la grandeur est de 3,6 nC/m. Le fil doit être placé coaxialement à l’intérieur d’un cylindre non conducteur mince dont le rayon extérieur mesure 1,5 cm. Ce cylindre doit porter une charge positive sur sa surface extérieure, de densité surfacique uniforme σ, de façon que le champ électrique à l’extérieur du cylindre soit nul. Calculez la valeur appropriée de σ. 21P. Deux longs cylindres coaxiaux et chargés ont des rayons de 3,0 cm et de 6,0 cm. La charge par unité de longueur du cylindre intérieur est de 5,0 106 C/m, et celle du cylindre extérieur est de 7,0 106 C/m. Déterminez le champ électrique pour a) r 4,0 cm et b) r 8,0 cm, où r est la distance radiale depuis l’axe central commun. www 22P. Un long cylindre plein et non conducteur, dont le rayon est de 4,0 cm, a une densité volumique de charge variable qui est une fonction de la distance radiale r depuis l’axe du cylindre. La densité s’exprime par la fonction ρ Ar2, où A 2,5 µC/m5. Quelle est la grandeur du champ électrique à une distance radiale a) de 3,0 cm et b) de 5,0 cm de l’axe du cylindre ? 23P. La figure 3.30 montre un compteur de Geiger-Müller, un détecteur de particules ionisantes (qui provoquent l’ionisation des atomes). Il est constitué d’un fil central mince porteur d’une charge positive qu’entoure un cylindre métallique, circulaire et concentrique porteur d’une charge négative de même grandeur que l’autre charge. Par conséquent, un puissant champ électrique radial est établi à l’intérieur du cylindre. Ce dernier contient un gaz inerte à basse pression. Lorsqu’une particule ionisante entre dans le détecteur par la paroi du cylindre, elle ionise quelques-uns des atomes de gaz. Cette réaction produit des électrons 57 Figure 3.31 Exercice 26 27E. Une plaque de métal carrée de 8,0 cm de côté et dont l’épaisseur est négligeable porte une charge nette de 6,0 106 C. a) Déterminez la grandeur E du champ électrique à proximité du centre de la plaque (soit à 0,5 mm de distance), en supposant que la charge est distribuée uniformément sur les deux faces de la plaque. b) Déterminez la valeur de E à une distance de 30 m (longue par rapport à la taille de la plaque), en supposant que la plaque est une charge ponctuelle. 28E. Une grande surface plane et non conductrice a une densité de charge uniforme . On a fait un petit trou circulaire de rayon R au milieu de la surface (voir la figure 3.32). Sans tenir compte des Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. Exercices et problèmes 42P. On peut considérer qu’un atome d’hydrogène est constitué d’un proton central de charge positive e et d’un électron dont la charge négative e est répartie autour du proton avec une densité volumique de charge ρ Ae(2r/a0). Ici, A est une constante, a0 0,53 1010 m représente le rayon de Bohr et r désigne la distance à partir du centre de l’atome. a) En considérant que l’atome d’hydrogène est électriquement neutre, déterminez la valeur de A. b) Ensuite, déterminez le champ électrique que l’atome produit en un point situé sur le rayon de Bohr. 43P. La figure 3.34 montre une sphère de rayon a, porteuse d’une charge q distribuée uniformément dans son volume, qui est concentrique avec une sphère creuse et conductrice dont le rayon intérieur est b et le rayon extérieur c. La charge nette de cette sphère creuse est q. Trouvez les expressions du champ électrique en fonction du rayon r a) pour r a, b) pour a r b, c) pour b r c et d) pour r c. e) Quelles sont les charges sur les surfaces intérieure et extérieure de la sphère creuse ? 59 un point quelconque de celle-ci. a) Démontrez qu’on peut déterminer r /3ε0. (Remarquez le champ électrique au point P à partir de E ρ que le résultat est indépendant du rayon de la sphère.) b) On creuse une cavité sphérique à l’intérieur de la sphère (voir la figure 3.36). En vous basant sur le principe de superposition, démontrez que le champ électrique est uniforme en tout point à l’intérieur de la cavité et qu’il équivaut à E ρ a /3ε0, où a est le vecteur position depuis le centre de la sphère jusqu’au centre de la cavité. (Remarquez que les rayons de la sphère et de la cavité ne déterminent aucunement le résultat.) a Figure 3.36 Problème 46 a 47P*. Une distribution volumique de charge non uniforme et à symétrie sphérique produit un champ électrique d’une grandeur E Kr 4 qui pointe radialement vers l’extérieur depuis le centre de la sphère. Ici, r représente la distance radiale à partir de ce centre et K est une constante. Quelle est la densité volumique de la distribution de charge ? b +q c –q Problème supplémentaire Figure 3.34 Problème 43 44P. La figure 3.35 a) présente une sphère creuse ayant une densité volumique de charge uniforme . Tracez le graphique de E en fonction de r dans le domaine 0 r 30 cm, où E est le champ électrique de la sphère creuse. Supposez que ρ 1,0 106 C/m3, a 10 cm et b 20 cm. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + a + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + b + + + + + a) q + b a b) Figure 3.35 Problèmes 44 et 45 45P. La figure 3.35 b) montre une sphère creuse non conductrice, d’un rayon intérieur a et d’un rayon extérieur b, d’une densité de charge volumique positive ρ A/r (entre a et b), où A est une constante et r, la distance depuis le centre de la sphère. De plus, une charge ponctuelle positive q se trouve au centre de la sphère. Quelle doit être la valeur de A pour que le champ électrique à l’intérieur de la sphère (a r b) soit uniforme ? (Indice : La constante A est fonction de a mais pas de b.) 46P*. Une sphère non conductrice a une densité volumique de charge ρ. Supposez que r est le vecteur depuis le centre de la sphère jusqu’en 48. Le mystère des brisures de chocolat. Les explosions déclenchées par des décharges électrostatiques constituent un grave danger dans les installations de manutention de grain et de poudre. Une telle explosion est survenue dans les années 1970 dans une usine de confection de biscuits aux brisures de chocolat. Les ouvriers avaient l’habitude de décharger les sacs de poudre qu’on venait de leur livrer dans un bac de chargement. La poudre était ensuite soufflée à l’intérieur de canalisations en CPV (concentration pigmentaire volumique) mises à la terre jusqu’à destination du silo d’entreposage. On trouvait au fil de ce parcours deux conditions propices à une explosion : 1) la grandeur du champ électrostatique atteignait 3,0 106 N/C, voire davantage, de sorte qu’un claquage diélectrique et, conséquemment, des étincelles, étaient à craindre ; 2) l’énergie d’une étincelle était de 150 mJ ou plus, de sorte qu’elle pouvait provoquer une explosion. Regardons ici la première condition pour la poudre circulant à l’intérieur des canalisations en CPV. Supposez qu’on souffle une nappe de poudre de chocolat porteuse d’une charge négative à l’intérieur d’une canalisation cylindrique en CPV dont le rayon R 5,0 cm. Supposez maintenant que la poudre et sa charge sont distribuées uniformément à l’intérieur de la canalisation avec une densité de charge volumique . a) En vous servant du théorème de Gauss, déterminez l’expression de la grandeur du champ électrique E à l’intérieur de la canalisation en fonction de la distance radiale r du centre de la canalisation. b) La grandeur s’accroîtelle ou décroît-elle en fonction de r ? c) Le champ électrique E pointe-t-il radialement vers l’intérieur ou l’extérieur ? d) En supposant que la densité volumique de charge a une valeur de 1,1 103 C/m3 (ce qui était une situation type chez le fabricant de biscuits), déterminez la grandeur maximale du champ électrique et l’endroit où celle-ci est atteinte. e) Des étincelles pouvaient-elles se former et, si tel est le cas, à quel endroit ? (Cet exemple se poursuit au problème 57 du chapitre 4.) Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 64 Chapitre 4 Le potentiel électrique Le travail d’une force extérieure Supposons qu’on déplace une particule de charge q du point i au point f dans un champ électrique à l’aide d’une force extérieure. Au cours du mouvement, cette force accomplit un travail Wext sur la charge, alors que le champ électrique effectue sur elle un travail W. À partir du théorème de l’énergie cinétique, K Kf Ki Wnet , la variation K de l’énergie cinétique de la particule est la suivante : K Kf Ki Wext W. (4.11) Supposons à présent que la particule est au repos avant et après le mouvement. Alors, Kf et Ki sont toutes deux nulles, et l’équation 4.11 se ramène à Wext W. (4.12) Autrement dit, le travail Wext que la force extérieure accomplit en cours de mouvement est égale à l’inverse additif du travail W accompli par le champ électrique, à condition que l’énergie cinétique ne subisse aucune variation. En faisant appel à l’équation 4.12 pour introduire Wext dans l’équation 4.1, on peut mettre en relation le travail de la force extérieure et la variation de l’énergie potentielle de la particule au cours du mouvement. On obtient alors U Uf Ui Wext. (4.13) De même, en se basant sur l’équation 4.12 afin de faire apparaître Wext dans l’équation 4.7, on peut relier le travail Wext et la différence de potentiel électrique V entre le point de départ et le point d’arrivée de la particule. On obtient alors Wext q V. (4.14) Le travail Wext peut être positif, négatif ou nul, selon le signe et la grandeur de q et de V. C’est le travail qu’il faut effectuer afin de déplacer une particule de charge q dans une différence de potentiel V sans que l’énergie cinétique de cette particule soit modifiée. ✔ VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 2: Dans le schéma de la rubrique Vérifiez vos connaissances 1, nous déplaçons un proton du point i au point f dans un champ électrique uniforme. a) La force extérieure que nous exerçons accomplit-elle un travail positif ou négatif ? b) Le proton se déplace-t-il vers un point de potentiel plus élevé ou moins élevé ? 4.3 Les surfaces équipotentielles V1 III I IV V2 V3 II V4 Figure 4.2 Des sections de quatre surfaces équipotentielles possédant les potentiels électriques suivants : V1 100 V, V2 80 V, V3 60 V et V4 40 V. On aperçoit quatre trajectoires quelconques qu’une charge d’essai peut emprunter. Deux lignes de champ électrique sont également illustrées. Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. L’ensemble des points adjacents qui ont un même potentiel électrique constitue une surface équipotentielle, qui peut être imaginaire ou réelle. Le champ électrique n’accomplit aucun travail net sur une particule chargée, alors que celle-ci se déplace entre les points i et f d’une même surface équipotentielle. Ce principe découle de l’équation 4.7 qui veut que W soit nul lorsque Vf Vi . Puisque le travail (et, par conséquent, l’énergie potentielle et le potentiel électrique) est indépendant de la trajectoire, W 0 quelle que soit la trajectoire entre les points i et f, et peu importe que cette trajectoire se situe entièrement ou non sur la surface équipotentielle. La figure 4.2 présente une famille de surfaces équipotentielles associée avec le champ électrique produit par une distribution quelconque de charges. Le travail accompli par le champ électrique sur une particule chargée alors que celle-ci se déplace d’une extrémité à l’autre des trajectoires I et II est nul, car chacune des trajectoires s’amorce et se termine sur la même surface équipotentielle. Le travail accompli alors que la particule chargée se déplace d’une extrémité à l’autre des trajectoires III et IV n’est pas nul, mais sa valeur est la même pour les deux trajectoires, car leurs potentiels sont identiques au départ et à l’arrivée. En effet, les trajectoires III et IV relient la même paire de surfaces équipotentielles. Par symétrie, on sait que les surfaces équipotentielles produites par une charge ponctuelle ou par une distribution de charge à symétrie sphérique forment une famille de sphères concentriques. Dans un champ électrique uniforme, les surfaces forment une famille de plans perpendiculaires aux lignes de champ. En fait, les surfaces équipoten- 72 Chapitre 4 Le potentiel électrique Une ligne de charge P d x L La figure 4.13 a) illustre une fine tige non conductrice de longueur L, possédant une charge positive d’une densité linéique uniforme . On cherche à déterminer le potentiel électrique V attribuable à la tige au point P, à une distance perpendiculaire d à partir de l’extrémité gauche de la tige. Soit un élément de longueur dx sur la tige (voir la figure 4.13 b). Cet élément de la tige (comme n’importe quel autre) porte une charge infinitésimale a) dq dx. P d (4.33) Il engendre un potentiel électrique dV au point P, qui se trouve à une distance r (x2 d2)1/2 de l’élément. Si on considère l’élément comme une charge ponctuelle, on peut employer l’équation 4.32 afin de reformuler ainsi le potentiel dV : r x dx dV = x b) Figure 4.13 a) Une fine tige de charge uniforme engendre un potentiel électrique V au point P. b) Un élément de charge engendre un potentiel infinitésimal dV au point P. 1 dq λ dx 1 . = 4πε0 r 4πε0 (x 2 + d 2 )1/2 (4.34) D’une part, la charge de la tige est positive et, d’autre part, on a supposé que V 0 à l’infini. Alors, après avoir lu la section 4.5, on sait que dV doit être positif dans l’équation 4.34. On détermine ensuite le potentiel total V engendré par la tige au point P. On fait donc l’intégration de l’équation 4.34 sur la longueur de la tige, depuis x 0 jusqu’à x L, en se servant de l’intégrale 17 qu’on trouve à l’annexe D. On obtient alors L 1 λ dV = dx 2 2 1/2 0 4πε0 (x + d ) L λ dx = 4πε0 0 (x 2 + d 2 )1/2 L λ = ln x + (x 2 + d 2 )1/2 0 4πε0 λ 2 2 1/2 = ln L + (L + d ) − ln d . 4πε0 V = On peut simplifier ce résultat en faisant appel à la relation générale ln A ln B ln(A/B). On obtient alors λ L + (L 2 + d 2 )1/2 . V = ln 4πε0 d P r (4.35) Étant donné que V est la somme des valeurs positives de dV, le potentiel électrique devrait être positif. Toutefois, peut-on dire que l’équation 4.35 produit un résultat positif ? Étant donné que l’argument du logarithme est toujours supérieur à un, le logarithme est un nombre positif et V est assurément positif. z Un disque chargé R' dR' R Figure 4.14 Un disque de plastique de rayon R, dont la face supérieure est chargée avec une densité surfacique de charge . On cherche à déterminer le potentiel V au point P sur l’axe central du disque. Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. À la section 2.7, on a calculé la grandeur du champ électrique en certains points de l’axe central d’un disque de plastique de rayon R possédant une densité de charge uniforme sur une face. Ici, nous recherchons une expression pour V(z), soit le potentiel électrique en n’importe quel point de l’axe central. À la figure 4.14, on considère un élément de surface qui consiste en un anneau plat de rayon R et d’une largeur radiale dR . Il porte une charge donnée par : dq = σ (2πR )(dR ), où (2πR )(dR ) est l’aire de la face supérieure de l’anneau. Toutes les portions de cet élément de surface chargé se trouvent à la même distance r du point P sur l’axe du disque. 4.12 Le potentiel d’un conducteur chargé et isolé 77 Si les signes des charges sont opposés et qu’il y a donc une force d’attraction, alors l’agent extérieur fait un travail négatif sur le système en déplaçant la charge q2 à partir d’une grande distance pour la rapprocher de q1 et la laisser finalement au repos. Ce travail diminue l’énergie emmagasinée dans le système, qui ne peut donc pas être récupérée. (Sans un agent extérieur, q2 aurait tendance à accélérer vers q1; l’agent doit donc retenir q2 afin de l’immobiliser à la position désirée.) Si q1 et q2 , de signes opposés, sont initialement rapprochées l’une de l’autre, un agent extérieur devra fournir un travail positif U afin de les éloigner d’une grande distance. Lorsqu’on applique ce concept aux atomes ou aux molécules, cette énergie prend le nom d’énergie de liaison, d’ionisation ou encore de dissociation. Cette quantité représente l’énergie qui doit être fournie, par exemple, pour arracher un électron à un atome ou encore pour dissocier une molécule telle KCl en un ion K et un ion Cl. Exemple 4.7 Deux protons dans un noyau de 238U sont à une distance de 6,0 fm l’un de l’autre. Quelle est l’énergie potentielle associée à la force électrique agissant entre ces deux particules ? SOLUTION : Ici le concept clé veut que l’on considère les protons comme un système de deux charges ponctuelles, dont l’énergie potentielle peut être déterminée à partir de l’équation 4.43, où q1 q2 1,60 1019 C. On obtient U= où on a posé que U 0 dans la situation où les deux protons sont très éloignés l’un de l’autre. Les deux protons sont maintenus en place par l’interaction nucléaire forte, qui est attractive et responsable de la stabilité du noyau. Contrairement au cas de la force électrique, il n’y a pas d’expression mathématique simple pour représenter l’énergie potentielle associée à l’interaction nucléaire forte. 1 q1 q2 (8,99 × 109 N · m2/C2 )(1,60 × 10−19 C)2 = 4πε0 r 6,0 × 10−15 m = 3,8 × 10−14 J = 2,4 × 105 eV = 240 keV, Exemple 4.8 Deux objets, l’un ayant une masse de 0,002 2 kg et une charge q1 de 32 C, et l’autre ayant une masse de 0,003 9 kg et une charge de 18 C, sont initialement placés à une distance de 4,6 cm. L’objet 1 étant maintenu en position fixe, on relâche l’objet 2 à partir de l’état de repos. Quelle est la vitesse de l’objet 2 lorsque les deux objets sont à une distance de 2,3 cm ? On suppose que les deux objets se comportent comme des charges ponctuelles. SOLUTION : Ici, le concept clé se rapporte au principe de conservation de l’énergie. À mesure que les charges se rapprochent sous l’action de la force électrique, la diminution de l’énergie potentielle est compensée par une augmentation égale d’énergie cinétique. L’état initial correspond à l’instant où l’objet 2 est relâché (où Ki 0), et l’état final correspond à l’instant où la distance de séparation est de 2,3 cm. En se basant sur le principe de conservation de l’énergie, on doit avoir Ui Ki Uf Kf , ou encore, avec Ki 0, K f = Ui − Uf = −U = − q1 q2 4πε0 1 1 − rf ri = −(8,99 × 109 N · m2/C2 )(32 × 10−6 µC) (18 10 6 = 113 J, vf = 2K f = m2 1 1 − µC) 0,023 m 0,046 m 2(113 J) = 240 m/s. 0, 003 9 kg Si on fixe plutôt l’objet 2 et qu’on relâche l’objet 1, l’énergie cinétique aura la même valeur de 113 J à l’instant où la distance de séparation sera de 2,3 cm, car l’énergie est une propriété du système entier. Si on relâchait les deux objets à partir de l’état de repos en les laissant s’approcher mutuellement, l’énergie cinétique totale des deux objets serait encore de 113 J, avec une distance de séparation de 2,3 cm. Il serait alors possible de déterminer la vitesse individuelle de chaque objet en appliquant le principe de conservation de la quantité de mouvement.ET RÉSUMÉ 4.12 Le potentiel d’un conducteur chargé et isolé À la section 3.6, on a conclu que E 0 en tous les points intérieurs d’un conducteur isolé. On a utilisé le théorème de Gauss pour prouver qu’une charge excédentaire placée sur un conducteur isolé repose entièrement sur sa surface. (Ce raisonnement est valable même lorsque le conducteur possède une cavité interne vide.) Ici, on se base sur le premier de ces faits pour prouver une extension du second : Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 80 Chapitre 4 Le potentiel électrique à partir de V La détermination de E La composante de E , dans une direction quelconque, correspond à l’inverse additif de la dérivée du potentiel par rapport à la distance dans cette direction : Es = − ∂V . ∂s (4.40) L’énergie potentielle d’un système de charges ponctuelles L’énergie potentielle d’un système de charges ponctuelles est égale au travail nécessaire afin d’assembler le système à partir des charges initialement au repos et infiniment distantes l’une de l’autre. Lorsque deux charges sont éloignées d’une distance r, On peut déterminer les composantes x, y et z de E à partir de Ex = − ∂V ; ∂x Ey = − ∂V ; ∂y Ez = − ∂V . ∂z U= W = (4.41) Lorsque E est uniforme, l’équation 4.40 est ramenée à E= − V , s (4.42) 1 q1 q2 . 4πε0 r (4.43) Le potentiel d’un conducteur chargé À l’état d’équilibre, une charge excédentaire placée sur un conducteur se trouvera dans sa totalité à la surface extérieure de ce dernier. La charge se répartira d’elle-même de sorte que le conducteur sera porté à un potentiel uniforme, même à ses points intérieurs. où s est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles. Le champ électrique est nul dans la direction parallèle à une surface équipotentielle. QUESTIONS 1. La figure 4.21 illustre trois 3 trajectoires sur lesquelles on peut déplacer une sphère A chargée posi+A B + 2 tivement pour la rapprocher de la 1 sphère B, qui est fixe. a) Ce mouvement conduira-t-il la sphère A à un potentiel électrique inférieur ou Figure 4.21 Question 1 supérieur ? Le travail accompli b) par la force extérieure et c) par le champ électrique (de la sphère B) est-il positif, négatif ou nul ? d) Classez les trajectoires par ordre décroissant selon le travail accompli par la force extérieure. 2. La figure 4.22 montre quatre paires de particules chargées. On suppose que V 0 à l’infini. Pour quelles paires existe-t-il un autre point où le potentiel net est nul sur l’axe représenté a) entre les particules ? b) à leur droite ? c) S’il y a lieu, le champ électrique est-il nul au même endroit où le potentiel est nul ? d) Pour chacune des paires, existe-t-il des points en dehors de l’axe (ailleurs qu’à l’infini) où V 0 ? –2q +6q +3q 1) +12q –4q 2) +q –6q 3) –2q 4) Figure 4.22 Questions 2 et 8 3. La figure 4.23 représente un –4q –2q +q réseau carré de particules chargées, d chacune étant tenue à une distance d de sa voisine. Quel est le potentiel électrique au point P situé au centre du carré si le potentiel électrique –5q +5q P est nul à l’infini ? 4. La figure 4.24 illustre quatre configurations dans lesquelles les particules chargées se trouvent –2q +4q toutes à une même distance du –q point d’origine. Classez les configuFigure 4.23 Question 3 rations par ordre décroissant en fonction du potentiel électrique net à l’origine. Supposez que le potentiel est nul à l’infini. Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. +2q –2q –2q –2q –9q +2q –3q –q –2q a) –4q +2q b) –7q c) d) Figure 4.24 Question 4 5. a) À la figure 4.25 a), quel est a) Q + R P le potentiel au point P dû à une Q charge Q qui se trouve à une dis40°(Plein angle) R tance R du point P? On suppose P que V 0 à l’infini. b) À la figure 4.25 b), la même charge Q b) a été distribuée uniformément Q sur un arc de cercle de rayon R. Quel est le potentiel au point P qui se trouve au centre du cercle ? c) À la figure 4.25 c), la même R P charge Q est distribuée uniformément sur la circonférence d’un cercle de rayon R. Quel est le potentiel au point P, le centre du cercle ? d) Classez les trois c) situations par ordre décroissant Figure 4.25 Question 5 selon la grandeur du champ électrique établi au point P. 6. La figure 4.26 illustre trois ensembles de coupes transversales de surfaces équipotentielles ; tous les trois occupent des régions de même dimension spatiale. a) Classez les configurations par ordre décroissant selon la grandeur du champ électrique présent dans la zone. b) Dans quel ensemble le champ électrique se dirige-t-il vers le bas de la page ? 20 V 40 60 80 100 1) –140 V –10 V –120 –30 –100 2) Figure 4.26 Question 6 –50 3) 81 Exercices et problèmes 7. La figure 4.27 représente le potentiel électrique V en fonction de x. a) Classez les cinq zones par ordre décroissant selon la grandeur de la composante x du champ électrique à l’intérieur de ces zones. Quel est le sens du champ le long de l’axe des x b) dans la zone 2 ? c) dans la zone 4 ? V 1 2 3 4 5 x 9. La figure 4.28 illustre un système constitué de trois particules chargées. Si vous déplacez la particule portant la charge q du point A au point D, la valeur des éléments suivants sera-t-elle positive, négative ou nulle ? a) La variation de l’énergie potentielle électrique du système de trois particules. b) Le travail de la force électrostatique résultante sur la particule déplacée. c) Le travail de la force que vous exercez. d) Quelles seraient les réponses à ces trois questions si le déplacement s’effectuait du point B au point C ? 10. Revenons à la situation présentée à la question 9. Le travail de votre force est-il positif, négatif ou nul si le déplacement se fait a) de A à B ? b) de A à C ? c) de B à D ? d) Classez ces mouvements par ordre décroissant selon le travail accompli par votre force. Figure 4.27 Question 7 8. La figure 4.22 illustre quatre paires de particules chargées. La distance entre les charges est toujours la même. a) Classez les paires par ordre décroissant selon leur énergie potentielle électrique. b) Lorsqu’on augmente la distance entre les particules formant chaque paire, l’énergie potentielle de la paire s’accroît-elle ou décroît-elle ? d +q A d +Q d B d C d +Q D Figure 4.28 Questions 9 et 10 EXERCICES ET PROBLÈMES www La solution se trouve sur le Web, à l’adresse ci-dessous : www.dlcmcgrawhill.ca/physique SECTION 4.2 Le potentiel électrique 1E. Une batterie d’automobile de 12 V peut faire circuler dans un circuit une charge nette de 84 A h (ampère-heure) d’une borne à l’autre. a) Quelle charge cela représente-t-il, en coulombs ? (Indice : Consultez l’équation 1.3.) b) Si cette charge dans sa totalité subit une différence de potentiel de 12 V, quelle somme d’énergie entre en jeu ? 2E. La différence de potentiel électrique entre le sol et un nuage au cours d’un orage est de 1,2 109 V. Quelle est la variation d’énergie potentielle électrique d’un électron (exprimée en électron-volts) qui circule entre le sol et ce nuage ? 3P. Lors d’un coup de foudre, la différence de potentiel entre un nuage et le sol est de 1,0 109 V, et la charge qui passe de l’un à l’autre est de 30 C. a) Calculez la chute d’énergie de la charge ainsi transférée. b) Si toute cette énergie pouvait provoquer l’accélération d’une automobile de 1 000 kg à partir du repos, quelle serait la vitesse finale du véhicule ? c) Si cette énergie pouvait faire fondre de la glace, quelle quantité de glace fondrait à une température de 0 °C ? La chaleur latente de fusion de la glace est de 3,33 105 J/kg. • SECTION 4.4 La détermination du potentiel à partir du champ 4E. À la figure 4.29, le champ Ligne de champ électrique effectue un travail de électrique 3,94 1019 J sur un électron qui A se déplace du point A au point B. Quelles sont les différences de potentiel électrique a) VB VA ? B b) VC VA ? et c) VC VB ? C 5E. Une feuille non conductrice et infinie a une densité surfacique Équipotentiels de charge 0,10 C/m2 sur une face. Quelle est la distance entre des Figure 4.29 Exercice 4 surfaces équipotentielles consécutives dont la différence de potentiel est de 50 V ? 6E. Deux grandes plaques conductrices et parallèles se trouvent à 12 cm l’une de l’autre ; leurs charges, distribuées sur les faces intérieures, sont égales mais de signes opposés. Une force électrostatique de 3,9 1015 N agit sur un électron placé quelque part entre les plaques. (Ne tenez pas compte des effets de bord.) a) Déterminez le champ électrique à l’endroit où se trouve l’électron. b) Quelle est la différence de potentiel entre les plaques ? 7P. Un compteur de Geiger-Müller est doté d’un cylindre métallique de 2,00 cm de diamètre ; un fil de 1,30 104 cm de diamètre est tendu le long de son axe. Si la différence de potentiel entre le fil et le cylindre est de 850 V, quel est le champ électrique à la surface a) du fil ? b) du cylindre ? (Indice: Utilisez le résultat du problème 23 du chapitre 3.) 8P. Le champ électrique à l’intérieur d’une sphère non conductrice de rayon R, porteuse d’une charge distribuée uniformément dans son volume, s’oriente radialement. Sa grandeur est E(r) = qr . 4πε0 R 3 Ici q (positive ou négative) représente la charge nette à l’intérieur de la sphère et r, la distance à partir du centre de la sphère. a) Si V 0 au centre de la sphère, déterminez le potentiel électrique V(r) à l’intérieur de la sphère. b) Quelle est la différence de potentiel électrique entre un point de la surface et le centre de la sphère ? c) Si q est positive, lequel de ces deux points se trouve au potentiel le plus élevé ? 9P*. Une charge q est distribuée uniformément à l’intérieur d’un volume sphérique de rayon R. a) En supposant que V 0 à l’infini, démontrez qu’on peut déterminer le potentiel à une distance r du centre, où r R, à partir de l’équation suivante : V = q(3R 2 − r 2 ) . 8πε0 R 3 (Indice: Consultez la section 4.9.) b) Pourquoi ce résultat diffère-t-il de celui du problème 8 a) ? c) Quelle est la différence de potentiel entre un point à la surface et le centre de la sphère ? d) Pourquoi ce résultat ne diffère-t-il pas de celui du problème 8 b) ? Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 5 La capacité Lorsqu’une personne souffre de fibrillation ventriculaire, une forme courante de crise cardiaque, les cavités cardiaques ont du mal à pomper le sang, car les fibres musculaires se contractent et se détendent de façon imprévisible. Pour sauver la vie d’une victime de fibrillation ventriculaire, il faut transmettre un choc aux muscles cardiaques afin de rétablir leur rythme normal. On administre alors au patient une décharge de 20 A à travers la cage thoracique. Cette décharge transfère 200 J d’énergie électrique en l’espace de 2 ms. Une puissance électrique d’environ 100 kW est nécessaire à cette opération. Bien qu’il soit facile de produire une telle puissance dans un hôpital, la situation est plus compliquée dans une ambulance. Loin de l’hôpital, où trouvet-on l’énergie nécessaire à la défibrillation ? La réponse à cette question se trouve dans ce chapitre. Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 104 Chapitre 5 La capacité QUESTIONS 1. La figure 5.18 représente le graphique de la charge en fonction de la différence de potentiel de trois condensateurs plans dont l’aire des plaques et les distances entre elles figurent au tableau. Établissez le lien entre chacune des courbes et les condensateurs. q Condensateur 1 2 3 Aire A 2A A Distance d d 2d a b c V Figure 5.18 Question 1 2. La figure 5.19 illustre un interrupteur ouvert, une pile dont la différence de potentiel est V, un ampèremètre A et trois condensateurs sans charge identiques ayant une capacité C. Lorsque l’interrupteur est fermé et que le circuit atteint l’équilibre, quelles sont a) la différence de potentiel aux bornes de chaque condensateur ? b) la charge sur la plaque gauche de chaque condensateur ? c) Au cours du chargement, quelle est la charge nette qui passe dans l’ampèremètre ? C C C A + V – 5. Quelle est la capacité équivalente de trois condensateurs, chacun ayant une capacité C, s’ils sont branchés à une pile a) en série ? b) en parallèle les uns avec les autres ? c) Sur quel schéma trouve-t-on une capacité équivalente dont la charge est accrue ? 6. Vous devez relier à une pile les capacités C1 et C2, dont C1 est supérieure à C2, d’abord individuellement, puis en série et, pour terminer, en parallèle. Classez ces configurations par ordre décroissant selon la charge qui y est emmagasinée. 7. Au départ, on relie une simple capacité C1 à une pile. Ensuite, on ajoute la capacité C2 en parallèle. a) La différence de potentiel de la capacité C1 et b) la charge q1 accumulée sur C1 sont-elles à présent supérieures, égales ou inférieures à ce qu’elles étaient précédemment ? c) La capacité équivalente C12 de C1 et C2 est-elle supérieure, égale ou inférieure à celle de C1? d) La charge totale emmagasinée dans C1 et C2 est-elle supérieure, égale ou inférieure à la charge emmagasinée précédemment dans C1? 8. Refaites la question 7, en ajoutant cette fois la capacité C2 en série. 9. La figure 5.22 montre trois circuits, dont chacun est constitué d’un interrupteur et de deux condensateurs chargés au départ comme on l’indique. Lorsque les interrupteurs seront fermés, dans quel circuit (le cas échéant) les charges du condensateur gauche a) augmenterontelles ? b) diminueront-elles ? c) demeureront-elles les mêmes ? Figure 5.19 Question 2 3. Quels sont, pour chacun des circuits de la figure 5.20, les condensateurs qui sont branchés en série, en parallèle ou qui ne sont pas branchés selon l’un ou l’autre de ces modes ? b) a) c) Figure 5.20 Question 3 4. a) Les condensateurs C1 et C3 de la figure 5.21 a) sont-ils branchés en série ? b) Les condensateurs C1 et C2 de la même figure sont-ils en parallèle ? c) Classez par ordre décroissant les capacités équivalentes des quatre circuits de la figure 5.21. C3 C1 C2 + – C3 a) C2 C1 b) C1 3q 6q 3q 2C C 3C C 2C 2C + – 2) C2 C C3 d) C2 Figure 5.21 Question 4 Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 3) 10. Deux sphères métalliques isolées A et B ont, respectivement, des rayons R et 2R et une même charge q. a) La capacité de la sphère A est-elle supérieure, égale ou inférieure à celle de la sphère B ? b) La densité d’énergie à l’extérieur de la surface de A est-elle supérieure, égale ou inférieure à celle qu’on trouve à l’extérieur de la surface de B ? c) La densité d’énergie à une distance de 3R du centre de la sphère A est-elle supérieure, égale ou inférieure à celle qui se trouve à même distance du centre de la sphère B ? d) L’énergie totale du champ électrique engendré par la sphère A est-elle supérieure, égale ou inférieure à celle de la sphère B ? 11. Lorsqu’on insère un diélectrique entre les plaques de l’un de ces deux condensateurs identiques (voir la figure 5.23), les propriétés suivantes de ce condensateur augmentent-elles, diminuent-elles ou demeurent-elles les mêmes ? a) Sa capacité. b) Sa charge. c) Sa différence de potentiel. d) Son énergie potentielle. e) Qu’en est-il des mêmes propriétés de l’autre condensateur ? + – C3 c) 6q Figure 5.22 Question 9 + – – + C1 3q 1) – + + – 6q κ + – P C Figure 5.23 Question 11 114 Chapitre 6 Le courant et la résistance Exemple 6.3 Quelle est la vitesse de dérive des électrons de conduction à l’intérieur d’un fil de cuivre dont le rayon r 900 µm alors qu’un courant uniforme i 17 mA y circule ? On suppose que chaque atome de cuivre apporte un électron de conduction au courant et que la densité de courant est uniforme d’un bout à l’autre de la section transversale du fil. SOLUTION : Trois concepts clés sont ici en cause : 1. La vitesse de dérive vd est fonction de la densité de courant J et du nombre n d’électrons de conduction par unité de volume, selon l’équation 6.7, qu’il est possible d’exprimer en termes de grandeur comme J nevd . 2. Étant donné que la densité de courant est uniforme, sa grandeur J est reliée au courant i et au diamètre du fil, selon l’équation 6.5 (J i/A, où A est l’aire de la section transversale du fil). 3. Puisqu’on se fonde sur la prémisse qu’il se trouve un électron de conduction par atome, le nombre n d’électrons de conduction par unité de volume est le même que le nombre d’atomes par unité de volume. n = (6,02 × 1023 mol−1 )(8,96 × 103 kg/m3 ) 63,54 × 10−3 kg/mol = 8,49 × 1028 électrons/m3 n 8,49 1028 m3. ou À présent, on associe les deux premiers concepts pour formuler l’équation suivante : i = nevd . A Lorsqu’on remplace A par πr 2 ( 2,54 106 m2) et qu’on recherche la valeur de vd , on obtient vd = = i ne(πr 2 ) 17 × 10−3 A (8,49 × 1028 m−3 )(1,6 × 10−19 C)(2,54 × 10−6 m2 ) = 4,9 × 10−7 m/s, (réponse) À partir de ce dernier concept, on peut formuler l’équation suivante : ( ) ( )( ) ( ) atomes atomes n par unité par mole de volume moles par unité de masse masse par unité . de volume Le nombre d’atomes par mole correspond simplement au nombre d’Avogadro (NA 6,02 1023 mol1). Les moles par unité de masse sont l’inverse de la masse par mole, qui est ici la masse molaire M du cuivre. La masse par unité de volume est la masse volumique ρmasse du cuivre. Par conséquent, n = NA 1 M ρmasse = NAρmasse . M Après s’être reporté à l’annexe E pour connaître la masse molaire M et la masse volumique ρ masse du cuivre, on peut poser l’équation suivante (en procédant à la conversion de quelques unités) : qui représente une vitesse de 1,8 mm/h, plus lente que celle du déplacement d’un escargot. Il serait légitime de vous poser la question suivante : Si la vitesse de dérive des électrons est aussi lente, pourquoi la lumière se fait-elle aussi rapidement lorsqu’on ferme l’interrupteur ? La confusion qui règne autour de cette question vient de ce fait qu’on ne fait pas la distinction entre la vitesse de dérive des électrons et la vitesse à laquelle sont transmises dans les fils les variations apportées à la configuration du champ électrique. La seconde vitesse est à peu près celle de la lumière. Peu importe où les électrons se trouvent à l’intérieur du fil, ils amorcent leur dérive presque ensemble (tout comme ceux qui sont présents dans l’ampoule). De même, lorsqu’on ouvre le robinet d’un tuyau d’arrosage et que ce dernier est plein d’eau, une onde de pression parcourt le tuyau à la vitesse du son. Toutefois, la vitesse à laquelle l’eau circule dans le tuyau – marquée à l’aide d’un colorant – est beaucoup plus lente. 6.4 La résistance et la résistivité Lorsqu’on applique une même différence de potentiel entre les extrémités de tiges de cuivre et de verre de forme géométrique similaire, on provoque des courants différents. La caractéristique du conducteur qui entre en jeu est sa résistance électrique. En effet, celle-ci dépend du matériau du conducteur et de ses caractéristiques géométriques telles que ses dimensions et sa forme. On détermine la résistance entre deux bornes d’un conducteur en appliquant une différence de potentiel V entre ces bornes, puis on mesure le courant i qui en résulte. La résistance R se formule alors ainsi : R = V i (la définition de R). (6.8) L’unité SI exprimant la résistance qui découle de l’équation 6.8 est le volt par ampère. Cette association est si répandue qu’on lui attribue une appellation propre, l’ohm () : Figure 6.7 Un assortiment de résistances. Les bandes circulaires sont des codes de couleurs qui désignent la valeur de la résistance. Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 1 ohm 1 1 volt par ampère 1 V/A. (6.9) On appelle simplement résistance un conducteur dont la fonction à l’intérieur d’un circuit consiste à fournir une résistance précise (voir la figure 6.7). Sur un schéma de circuit, 135 7.4 Les autres circuits à maille simple 7.4 Les autres circuits à maille simple On élargit ici le concept de circuit à maille simple (voir la figure 7.3) de deux manières. La résistance interne La figure 7.4 a) illustre une pile réelle, dont la résistance interne est représentée par r, reliée à une résistance externe R. La résistance interne de la pile est la résistance électrique de ses matériaux conducteurs et, par conséquent, il s’agit d’une caractéristique intrinsèque de cette pile. Toutefois, à la figure 7.4 a), on a dessiné la pile comme si on pouvait la séparer en une pile ayant avec une f.é.m.E et une résistance r. L’ordre des symboles importe peu. Si on applique la loi des mailles dans le sens horaire à partir du point a, on obtient les différences de potentiel suivantes : E ir iR 0. (7.3) En isolant le courant, on obtient i = E R +r . (7.4) Il faut noter que cette équation se ramène à l’équation 7.2 dans le cas d’une pile idéale, c’est-à-dire si r 0. La figure 7.4 b) est la représentation graphique des différences de potentiel électrique dans le circuit. (Afin de mieux faire le lien entre la figure 7.4 b) et le circuit fermé de la figure 7.4 a), on peut imaginer qu’on enroule le graphique pour former un cylindre dont le point a à gauche chevauche le point a à droite.) On peut alors voir comment la traversée du circuit ressemble à une randonnée en montagne s’achevant par le retour au point de départ. On revient de la même façon vers l’élévation (le potentiel) de départ. Dans cet ouvrage, lorsqu’on ne précise pas qu’une pile est réelle ou si on ne donne aucune résistance interne, on peut en général supposer qu’elle est idéale. Toutefois, dans la réalité, les piles sont bien sûr toutes réelles et elles ont une résistance interne. Les résistances en série La figure 7.5 a) montre trois résistances reliées en série à une pile idéale dont la f.é.m. estE . Cette expression a cependant peu de relation avec la configuration géométrique des résistances sur un schéma. L’expression en série signifie plutôt que les résistances sont raccordées l’une à la suite de l’autre par un fil et qu’une différence de potentiel V est appliquée aux deux extrémités de la série. À la figure 7.5 a), les résistances sont reliées les unes aux autres entre a et b, et la pile maintient une différence de potentiel V i i b r i R – a Pile réelle i Potentiel (V ) a + b r R Vb ir iR Va Pile réelle i a) a Va Résistance b) Figure 7.4 a) Un circuit à maille simple contenant une pile réelle dont la résistance interne est r et la f.é.m.,E . b) Le même circuit étendu sur une ligne. On aperçoit également les potentiels observés en traversant le circuit dans le sens horaire. On attribue de façon arbitraire une valeur nulle au potentiel Va , alors que les autres potentiels de ce circuit sont tracés par rapport à Va . Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 7.6 Les circuits à mailles multiples 139 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 1re stratégie : Faire une hypothèse sur le sens du courant Lorsqu’on tente de résoudre un problème concernant un circuit, on n’a pas besoin de connaître à l’avance le sens du courant. En effet, on peut supposer son sens, bien que cela puisse nous sembler incorrect. Ainsi, supposons que le courant de la figure 7.6 a) se dirige dans le sens antihoraire, c’est-à-dire qu’on inverse le sens des flèches qui y figurent. Si on applique la loi des mailles dans le sens antihoraire à partir du point a, on obtient E 1 ir1 iR ir2 E 2 0 ou i = − E1−E2 . R + r1 + r2 En substituant les valeurs numériques de l’exemple 7.1, on obtient i 240 mA. Le signe négatif permet de déduire que le courant circule dans le sens contraire à celui qu’on avait supposé au départ. 7.6 Les circuits à mailles multiples La figure 7.7 représente un circuit où se trouve plus d’une maille. Pour simplifier, on suppose que les piles sont idéales. Ce circuit compte deux nœuds aux points b et d, de même que trois branches raccordées à ces nœuds. Il s’agit de la branche de gauche (bad), de la branche de droite (bcd) et de la branche médiane (bd). Quels sont les courants qui circulent dans ces branches ? On désigne chacun des courants de façon arbitraire à l’aide d’un indice différent selon les branches. Ainsi, le courant i1 a une même valeur partout dans la branche bad ; i2 a une même valeur partout dans la branche bcd et il en va de même pour i3 à l’intérieur de la branche bd. On convient de façon tout aussi arbitraire du sens des courants. Plaçons-nous au nœud d ; la charge parvient à ce nœud par les courants entrants i1 et i3 , et elle en ressort par le courant sortant i2 . Étant donné qu’il ne peut y avoir d’accumulation ni de perte de charge sur un nœud, la somme de courant entrant doit égaler la somme de courant sortant : i1 i3 i2. (7.15) On peut facilement vérifier que cette condition appliquée au nœud b entraîne exactement la même équation. L’équation 7.15 découle d’un principe général : LOI DES NŒUDS: La somme algébrique des courants qui entrent dans un nœud ➤estLAégale à la somme des courants qui en sortent. 1 a i1 2 b + – R1 – + i3 R3 R2 c i2 d Figure 7.7 Un circuit à mailles multiples constitué de trois branches : la branche de gauche bad, la branche de droite bcd et la branche médiane bd. Le circuit est également constitué de trois mailles : la maille de gauche badb, la maille de droite bcdb et la grande maille badcb. Il s’agit de la loi des nœuds de Kirchhoff. Elle provient du principe de la conservation de la charge dans le cas d’un courant continu ; aucune charge ne s’accumule sur un nœud ni ne s’y perd. Par conséquent, nos principaux outils servant à résoudre des circuits complexes sont la loi des mailles (fondée sur la conservation de l’énergie) et la loi des nœuds (fondée sur la conservation de la charge). L’équation 7.15 est une équation à trois inconnues. Afin de résoudre complètement le circuit (c’est-à-dire pour déterminer les trois courants), on doit faire appel à deux autres équations incluant ces mêmes inconnues. On les obtient en se basant sur la loi des mailles. Dans le circuit de la figure 7.7, on peut choisir parmi trois mailles : la maille de gauche (badb), la maille de droite (bcdb) ou la grande maille (badcb). Puisque le choix des mailles importe peu, on choisit ici la maille de gauche et celle de droite. Si on parcourt la maille de gauche à partir du point b dans le sens antihoraire, la loi des mailles donne ceci : E 1 i 1R1 i 3R3 0. (7.16) Si on parcourt la maille de droite à partir du point b dans le sens antihoraire, la loi des mailles donne ceci : i 3R3 i 2 R2 E 2 0. (7.17) On dispose à présent de trois équations (7.15, 7.16 et 7.17) relatives aux trois courants inconnus qu’on peut résoudre à partir de plusieurs méthodes. Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 148 Chapitre 7 Les circuits Exemple 7.5 On décharge un condensateur d’une capacité C à travers une résistance R. a) En exprimant le temps en nombre de constantes de temps τ RC, à quel moment la charge instantanée accumulée sur le condensateur atteindra-t-elle la moitié de sa valeur de départ ? SOLUTION : Deux concepts clés interviennent ici. En premier lieu, l’énergie U emmagasinée dans le condensateur est reliée à la charge q du même condensateur par l’équation 5.1 (U Q2/2C). En second lieu, cette charge décroît en fonction de l’équation 7.36. Si on associe ces deux idées, on obtient SOLUTION : À partir du concept clé en cause, la charge du condensateur varie selon l’équation 7.36 : q q0et/RC, où q0 est la charge de départ. On veut déterminer le temps t auquel q 12 q0 ou auquel 1 2 q0 q0et/RC. t = −ln 12 RC = 0,69RC = 0,69τ . q2 q2 = 0 e2t/RC U0e2t/RC, 2C 2C où U0 est l’énergie emmagasinée au départ. On veut déterminer le moment auquel U 12 U0 ou auquel 1 2t/RC . 2 U0 U0e (7.41) Lorsque q0 est annulée, on s’aperçoit que le temps recherché est caché à l’intérieur de l’argument d’une fonction exponentielle. Afin d’isoler le symbole t à l’équation 7.41, on prend le logarithme naturel des deux membres de l’équation. (Le logarithme naturel est la fonction inverse de la fonction exponentielle.) On obtient alors t , ln 12 = ln(et/RC) = − RC ou U = (réponse) b) À quel moment l’énergie emmagasinée dans le condensateur atteint-t-elle la moitié de sa valeur de départ ? On annule U0 , et on prend les logarithmes naturels des deux membres de l’équation. Ainsi, 2t ln 12 = − RC ou t = −RC ln 12 = 0,35RC = 0,35τ . 2 (réponse) La charge met plus de temps (0,69 τ par rapport à 0,35τ) à chuter à la moitié de sa valeur de départ que n’en met l’énergie emmagasinée à atteindre la moitié de sa valeur initiale. Un tel résultat n’est-il pas étonnant ? RÉVISION ET RÉSUMÉ La f.é.m. Une source de f.é.m. fait un travail sur les charges afin de maintenir une différence de potentiel entre ses bornes de sortie. Si dW est le travail que le dispositif accomplit pour transporter la charge positive dq de la borne négative à la borne positive, alors la f.é.m. (le travail par unité de charge) du dispositif se formule ainsi : E = dW dq (la définition deE ). (7.1) Le volt est l’unité SI exprimant la f.é.m. et la différence de potentiel. Le dispositif de f.é.m. idéal n’a aucune résistance interne. La différence de potentiel entre ses bornes est égale à la f.é.m. Un véritable dispositif de f.é.m. a une résistance interne. La différence de potentiel entre ses bornes est égale à la f.é.m. seulement en l’absence de courant à l’intérieur du dispositif. L’analyse des circuits La différence de potentiel aux bornes d’une résistance R lorsqu’on la traverse dans le sens du courant se lit iR ; dans le sens opposé, elle se lit iR. La différence de potentiel lorsqu’on traverse un dispositif de f.é.m. idéal de la borne négative à la borne positive vaut E ; dans le sens opposé, elle vaut E . Le principe de la conservation de l’énergie conduit à la loi des mailles : Les circuits à maille simple Le courant circulant dans un circuit à maille simple qui contient une résistance R, une source de f.é.m.E et une résistance interne r se formule comme suit : E i = , (7.4) R +r qui se réduit à i E /R pour un dispositif de f.é.m. idéal, où r 0. La puissance Lorsqu’une pile réelle (dont la f.é.m. estE et la résistance interne r) agit sur les porteurs de charge présents dans le courant qui la traverse, le taux P de transfert d’énergie vers les porteurs de charge se formule ainsi : P iV, (7.11) où V est la différence de potentiel entre les bornes de la pile. Le taux Pr de transfert d’énergie sous forme de chaleur à l’intérieur de la pile se formule comme suit : Pr i 2r. (7.13) Le taux Pfém auquel l’énergie chimique se transforme à l’intérieur de la pile se formule ainsi : Pfém iE . (7.14) La loi des mailles : La somme algébrique des différences de potentiel rencontrées en parcourant une maille fermée d’un circuit est nulle. Le principe de la conservation de la charge conduit à la loi des nœuds : La loi des nœuds: La somme des courants qui entrent dans un nœud est égale à la somme des courants qui en sortent. Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. Les résistances en série Les résistances en série sont traversées par un même courant. La résistance équivalente qui peut remplacer un ensemble de résistances en série se formule comme suit : Réq = n j =1 Rj (n résistances en série). (7.7) 152 Chapitre 7 Les circuits 24E. En vous reportant à la figure 7.7, calculez la différence de potentiel entre les points c et d en utilisant tous les trajets possible. Supposez queE 1 4,0 V,E 2 1,0 V, R1 R2 10 et R3 5,0 . 25E. On relie en parallèle neuf fils de cuivre de longueur l et de diamètre d afin de former un seul conducteur composite ayant une résistance R. Quel doit être le diamètre D d’un fil de cuivre unique de longueur l pour que sa résistance soit identique à celle du fil composite ? 26P. À la figure 7.30, déterminez la résistance équivalente entre les points a) F et H et b) F et G. (Indice : Supposez qu’une pile est reliée à chaque paire de points.) 5,00 Ω 5,00 Ω 5,00 Ω H F 5,00 Ω 5,00 Ω R2 R3 + – 1 R1 + – 2 Figure 7.33 Problème 31 31P. À la figure 7.33,E 1 3,00 V,E 2 1,00 V, R1 5,00 , R2 2,00 , R3 4,00 et les deux piles sont idéales. Quel est le taux auquel l’énergie est dissipée a) dans R1 ? b) dans R2 ? c) dans R3 ? Quelle est la puissance d) de la pile 1 ? e) de la pile 2 ? www 32P. En vous reportant au circuit de la figure 7.34, quelle doit être la valeur de R pour que la pile idéale transfère l’énergie vers les résistances a) au taux de 60,0 W ? b) à un taux maximal ? c) à un taux minimal ? d) Évaluez ces taux. 12,0 Ω G 7,00 Ω Figure 7.30 Problème 26 27P. On vous confie un certain nombre de résistances de 10 . Chacune de ces résistances peut produire au maximum 1,0 W avant d’être détruite. Quelle quantité minimale de ces résistances vous faudra-t-il assembler en série ou en parallèle pour former une résistance de 10 qui pourra produire au moins 5,0 W ? 28P. a) Quelle est la résistance équivalente du réseau représenté à la figure 7.31 ? b) Déterminez le courant à l’intérieur de chaque résistance. Supposez que R1 100 , R2 R3 50 , R4 75 , E 6,0 V et que la pile est idéale. R1 + – R2 R4 R + – 24,0 V Figure 7.34 Problème 32 33P. a) Calculez le courant qui circule dans chacune des piles idéales de la figure 7.35. Supposez que R1 1,0 , R2 2,0 ,E 1 2,0 V et queE 2 E 3 4,0 V. b) Calculez Va Vb . R1 R3 + – Figure 7.31 Problème 28 29P. On relie en parallèle deux piles ayant une f.é.m.E et une résistance interne r à une résistance R (voir la figure 7.32 a]). a) Quelle doit être la valeur de R pour obtenir un taux de dissipation d’énergie maximal ? b) Quel est ce taux de dissipation maximal de l’énergie ? 30P. On vous confie deux piles ayant une f.é.m.E et une résistance interne r. Vous pouvez les relier soit en parallèle (voir la figure 7.32 a]), soit en série (voir la figure 7.32 b]) afin d’établir un courant dans une résistance R. a) Élaborez les formules du courant circulant dans R dans les deux cas. Quelle configuration fournira le courant le plus élevé b) si R r ? c) si R r ? + – r + – + – 1 + – R1 2 b Figure 7.35 Problème 33 34P. Dans le circuit de la figure 7.36,E a une valeur constante mais R est variable. Déterminez la valeur de R qui se traduira par le chauffage maximal de cette résistance. La pile est idéale. 35P. Un fil de cuivre dont le rayon a 0,250 mm est doté d’une gaine d’aluminium ayant un rayon extérieur b 0,380 mm. a) Un courant i 2,00 A circule à l’intérieur du fil composite. En vous reportant au tableau 7.1, calculez le courant qui circule dans chaque matériau. b) Si une différence de potentiel V 12,0 V entre les extrémités du fil produit ce courant, quelle est la longueur du fil composite ? 2,00 Ω 5,00 Ω a) + – 3 R2 R1 r R R R1 a + – r r 4,00 Ω R + – b) Figure 7.32 Problèmes 29 et 30 Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. Figure 7.36 Problème 34 196 Chapitre 9 Les champs magnétiques produits par un courant Appliquons maintenant le théorème d’Ampère, B · ds = µ0 i int , P2 P1 Figure 9.18 Les lignes de champ magnétique dans un vrai solénoïde de longueur finie. Le champ est fort et uniforme aux points intérieurs comme P1, mais il est relativement faible aux points extérieurs comme P2 . d B h c a i b (9.23) au solénoïde idéal de la figure 9.19, où B est uniforme dans le solénoïde et égal à zéro à l’extérieur dusolénoïde. On utilise un parcours d’intégration de forme rectangulaire abcda. On écrit B · ds comme la somme de quatre intégrales, une pour chaque segment de boucle : b c B · ds = B · ds + B · ds a b (9.24) d a + B · ds + B · ds . c d La première intégrale du membre de droite de l’équation 9.24 est Bh, où B est la grandeur du champ uniforme B à l’intérieur du solénoïde et h la longueur (arbitraire) du segment allant de a à b. La deuxième intégrale de même que la quatrième sont égales à zéro parce que, pour chaque élément ds de ces segments, B est soit perpendiculaire à ds , soit égal à zéro. Par conséquent, le produit B • ds est égal à zéro. La troisième intégrale, qui est prise le long d’un segment situé à l’extérieur du solénoïde, est aussi égale à zéro parce que B 0 en tout point à l’extérieur. Donc, B · ds a la valeur Bh pour la boucle rectangulaire entière. Le courant intérieur net iint encerclé par le parcours d’intégration rectangulaire dans la figure 9.19 n’est pas le même que le courant i dans les spires du solénoïde, car les spires passent plus d’une fois à travers cette boucle. On suppose un nombre de spires n par unité de longueur du solénoïde. Donc, la boucle comprend nh spires et i int i(nh). Figure 9.19 L’application du théorème d’Ampère à une section d’un long solénoïde idéal parcouru par un courant i. Le parcours d’intégration est le rectangle abcd. Le théorème d’Ampère donne alors Bh 0inh ou B 0in (un solénoïde idéal). (9.25) Même si on a dérivé l’équation 9.25 pour un solénoïde idéal et infiniment long, elle est valable pour les solénoïdes réels si on l’applique seulement aux points intérieurs, à bonne distance des extrémités du solénoïde. L’équation 9.25 concorde avec le fait expérimental que la grandeur B du champ magnétique ne dépend pas du diamètre ou de la longueur du solénoïde, et que B est uniforme dans toute la largeur du solénoïde. Un solénoïde représente donc une façon pratique d’établir un champ magnétique uniforme connu dans une expérimentation, tout comme un condensateur plan (ou un condensateur à plaques parallèles) fournit un moyen pratique d’établir un champ électrique uniforme connu. Le champ magnétique d’une bobine toroïdale i a) Parcours d’intégration i La figure 9.20 a) montre une bobine toroïdale, qu’on peut décrire comme un solénoïde en forme de beigne. Quel champ magnétique B est établi en ses points intérieurs (au cœur du beigne) ? On peut trouver ce champ à l’aide du théorème d’Ampère et de la symétrie propre au beigne. D’après la symétrie, on voit que les lignes de B forment des cercles concentriques à l’intérieur de la bobine, et qu’elles sont dirigées comme dans la figure 9.20 b). r b) B Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. Figure 9.20 a) Une bobine toroïdale parcourue par un courant i. b) Une section transversale horizontale de la bobine. Le champ magnétique intérieur (dans le tube en forme de beigne) peut être déterminé en appliquant le théorème d’Ampère et en utilisant un parcours d’intégration comme dans l’illustration. 154 Chapitre 7 Les circuits 45E. Combien de constantes de temps doivent s’écouler avant qu’un condensateur non chargé au départ, présent dans un circuit RC en série, atteigne 99 % de sa charge finale ? 46E. Dans un circuit RC en série,E 12,0 V, R 1,40 M et C 1,80 µF. a) Calculez la constante de temps. b) Déterminez la charge maximale qui s’accumulera sur le condensateur. c) Quel temps faut-il pour que la charge atteigne 16,0 µC ? 47E. On relie en série une résistance de 15,0 k et un condensateur, après quoi on leur applique de manière soudaine une différence de potentiel de 12,0 V. La différence de potentiel aux bornes du condensateur augmente à 5,00 V en 1,30 µs. a) Calculez la constante de temps du circuit. b) Déterminez la capacité du condensateur. www 48P. La différence de potentiel entre les plaques d’un condensateur fuyant (dont la charge fuit d’une plaque à l’autre) de 2,0 µF chute au quart de sa valeur de départ en 2,0 s. Quelle est la résistance équivalente entre les plaques du condensateur ? 49P. On relie en série une résistance de 3,00 M et un condensateur de 1,00 µF à une pile idéale dont la f.é.m. estE 4,00 V. Une seconde après le raccordement, quel est le taux auquel a) la charge du condensateur augmente ? b) l’énergie est emmagasinée à l’intérieur du condensateur ? c) l’énergie thermique est produite à l’intérieur de la résistance ? d) la pile fournit de l’énergie ? 50P. On charge un condensateur C initialement neutre jusqu’à pleine capacité à l’aide d’une source de f.é.m. constante reliée en série à une résistance R. a) Démontrez que l’énergie finale emmagasinée dans le condensateur représente la moitié de l’énergie fournie par la source de f.é.m. b) En intégrant le terme i 2R sur le temps, démontrez que l’énergie thermique que produit la résistance représente également la moitié de l’énergie fournie par la source de f.é.m. 51P. On décharge un condensateur porté initialement à une différence de potentiel de 100 V à travers une résistance, alors qu’on ferme l’interrupteur qui les relie à un moment t 0. Lorsque t 10,0 s, la différence de potentiel aux bornes du condensateur est de 1,00 V. a) Quelle est la constante de temps du circuit ? b) Quelle est la différence de potentiel aux bornes du condensateur lorsque t 17,0 s ? R 52P. La figure 7.42 représente le circuit d’un feu clignotant comme ceux qu’on pose sur les grands axes routiers pour diriger les automo- + C L bilistes. La lampe fluorescente L – (dont la capacité est négligeable) est reliée en parallèle au condensateur C d’un circuit RC. Un courant Figure 7.42 Problème 52 circule à l’intérieur de cette lampe seulement lorsque sa différence de potentiel atteint la tension de claquage VL . Le cas échéant, le condensateur se décharge complètement par la lampe, et le feu clignote brièvement. Supposez que l’on veuille produire deux clignotements par seconde. Quelle serait la résistance R d’une lampe ayant une tension de claquage VL 72,0 V reliée à une pile idéale de 95,0 V et à un condensateur de 0,150 µF ? 53P. On décharge un condensateur de 1,0 µF qui emmagasine au départ 0,50 J d’énergie à travers une résistance de 1,0 M. a) Quelle est la charge initiale du condensateur ? b) Quel courant circule à l’intérieur de la résistance lorsque la décharge débute ? c) Déterminez l’expression de VC , la différence de potentiel aux bornes du condensateur et VR , la différence de potentiel aux bornes de la résistance, en fonction du temps. d) Exprimez le taux de production de l’énergie thermique à l’intérieur de la résistance en fonction du temps. www Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 54P. Le contrôleur d’un jeu électronique est fait d’une résistance variable reliée aux plaques d’un condensateur de 0,220 µF. Ce dernier est porté à une différence de potentiel de 5,00 V, puis on le décharge à travers la résistance. Une minuterie interne mesure le temps que met la différence de potentiel entre les plaques à décroître jusqu’à 0,800 V. Si le temps de décharge doit se situer entre 10,0 µs et 6,00 ms, dans quel intervalle la résistance doit-elle pouvoir varier ? 55P*. Sur le circuit de la figure 7.43,E 1,2 kV, C 6,5 µF, R1 R2 R3 0,73 M. Alors que C est neutre, on ferme l’interrupteur S (à t 0). a) Déterminez le courant qui circule dans chacune des résistances lorsque t 0 et t → ∞ . b) Tracez qualitativement le graphique de la différence de potentiel V2 aux bornes de R2 en fonction du temps allant de t 0 à t ∞ . c) Quelles sont les valeurs numériques de V2 aux bornes de R2 à t 0 et à t → ∞ ? d) Quelle est l’interprétation physique de t → ∞ ? R1 + – S R3 R2 C Figure 7.43 Problème 55 Problème supplémentaire 56. Une crise cardiaque ou une électrocution? Cette histoire fait suite au problème 45 du chapitre 6. La figure 7.44 représente le trajet électrique que le courant emprunte à travers un des pieds du pique-niqueur pour monter vers son torse (jusqu’au cœur) avant de redescendre et de s’échapper par l’autre pied. a) À partir des données disponibles, déterminez la différence de potentiel entre les pieds de l’homme en supposant que la distance de la tige fuyante au premier pied est de 0,50 m inférieure à la distance la séparant du second pied b) Supposez que la résistance d’un pied en contact avec le sol humide a une valeur caractéristique de 300 et que la résistance de la cage thoracique a la valeur communément acceptée de 1 000 . Quelle était alors la valeur du courant qui traversait le torse de l’homme ? c) Un courant oscillant entre 0,10 A et 1,0 A suffit à déclencher la fibrillation du cœur humain. La fibrillation subie par la victime est-elle attribuable à la fuite de courant ? 0,50 m Figure 7.44 Problème 56 10.6 Les générateurs et les moteurs Courant de Foucault B a) Pivot B b) Figure 10.12 a) Lorsque vous retirez une plaque conductrice d’un champ magnétique, un courant de Foucault est induit dans la plaque. Une boucle typique d’un courant de Foucault est illustrée. b) On fait osciller comme un pendule une plaque conductrice tournant sur son pivot dans la région d’un champ magnétique. Lorsque la plaque entre dans le champ et en sort, un courant de Foucault est induit dans la plaque. 217 Les courants de Foucault Supposons qu’on remplace la boucle de courant de la figure 10.10 par une plaque conductrice. Si on retire la plaque du champ magnétique comme on l’a fait avec la boucle de courant (voir la figure 10.12 a), le mouvement du champ par rapport au conducteur induit encore un courant dans le conducteur. Donc, on rencontre de nouveau une force d’opposition et on doit effectuer un travail à cause du courant induit. Dans le cas de la plaque, toutefois, les électrons de conduction composant le courant induit ne suivent pas un parcours, comme c’était le cas dans la boucle. Les électrons tournoient plutôt à l’intérieur de la plaque, comme s’ils étaient pris dans un remous. Un tel courant se nomme le courant de Foucault et peut être représenté (voir la figure 10.12 a) comme s’il suivait un parcours simple. Comme dans la boucle de courant de la figure 10.10, le courant induit dans la plaque produit une énergie mécanique qui est dissipée sous forme d’énergie thermique. Cette dissipation est plus apparente à la figure 10.12 b) ; une plaque conductrice a un mouvement de rotation sur son pivot et se balance en pénétrant un champ magnétique à la manière d’un pendule. Chaque fois que la plaque entre dans le champ et en sort, une portion de son énergie mécanique est transférée sous forme d’énergie thermique. Après plusieurs oscillations, il ne reste plus d’énergie mécanique et la plaque réchauffée pend sur son pivot. ✔ VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 3 : Ce schéma représente quatre boucles de fil dont les côtés ont une longueur de L ou de 2L. Les quatre boucles se déplaceront dans une région de champ magnétique uniforme B (qui sort directement de la page) à la même vitesse constante. Classez par ordre décroissant les quatre boucles selon la f.é.m. maximale induite lorsqu’elles traverseront le champ. S i Axe C i 10.6 Les générateurs et les moteurs B dA i Pour illustrer la loi de l’induction de Faraday, nous expliquerons ici le principe qui sous-tend le fonctionnement des générateurs et des moteurs électriques. La figure 10.13 montre les composants de base d’un générateur. Une boucle de fil conducteur tourne à une vitesse angulaire constante dans un champ magnétique extérieur. (Un dispositif qui n’est pas illustré sur la figure doit produire la rotation de la boucle. Dans les centrales électriques, ce dispositif peut être une turbine actionnée par une chute d’eau ou la vapeur d’une bouilloire.) Pour simplifier, on suppose que le champ magnétique est uniforme dans la région de la boucle. Le flux magnétique à travers la boucle est exprimé par la relation B BA cos . Le mouvement de rotation de la boucle fait en sorte que l’angle entre le champ magnétique et les vecteurs surface d A représentant des portions de la boucle varie en fonction du temps selon l’équation t. La f.é.m. induite dans la boucle tournante est E =− R Résistance externe i Figure 10.13 Un générateur simple. Le mouvement de rotation de la bobine produit un courant qui change de sens au cours d’une révolution. Le courant est dirigé vers une résistance externe. Le contact électrique se fait par le glissement des brosses sur les anneaux, tous les deux en métal. dB d = −BA (cos ωt) = BAω sin ωt. dt dt (10.18) S’il y a un nombre N de tours de fil conducteur, le flux net est simplement multiplié par N. Ainsi, la f.é.m. nette devientE NBA sin t. La f.é.m. induite varie en fonction du temps selon une fonction sinusoïdale (voir la figure 10.14). Si le générateur est branché à une résistance externe R, un courant induit i E /R est produit dans le circuit ; ce courant circule à l’intérieur de la boucle tournante et des fils branchés à la résistance externe. La figure 10.14 montre que le courant change de sens au cours d’une révolution. Un tel courant est appelé un courant alternatif (CA). La f.é.m. produite par ce générateur est elle-même appelée la f.é.m. alternative ou la tension CA. On veut maintenant déterminer le sens du courant induit dans la boucle. Lorsque cette dernière est dans la position indiquée à la figure 10.13, un petit déplacement angulaire produit une diminution du flux. Donc, d’après la loi de Lenz, le courant induit Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 238 Chapitre 10 L’induction et l’inductance uniforme B dont la grandeur est de B 0,50 T. La boucle subit ensuite une rotation, de sorte que N décrit un N mouvement conique par rapport à θ la direction du champ, à un taux constant de 100 révolutions/min ; Boucle l’angle ne change pas durant ce processus. Quelle est la f.é.m. induite Figure 10.40 Problème 10 dans la boucle ? 11P. À la figure 10.36, supposez que le flux dans la boucle est de B(0) à l’instant t 0. Supposez ensuite que le champ magnétique B varie de façon continue mais non précisée, en grandeur et en direction, de sorte qu’à l’instant t le flux est égal à B(t). a) Démontrez que la charge nette q(t) qui a traversé la résistance R en un temps t est de q(t) = 1 [ B (0) − B (t)] R et qu’elle est indépendante du type de variation de B. b) Si B(t) B(0) dans un cas particulier, on a q(t) 0. Le courant induit est-il nécessairement nul pendant l’intervalle de 0 à t ? 12P. Une petite boucle circulaire ayant une aire de 2,00 cm2 est placée de façon concentrique dans le plan d’une grande boucle circulaire dont le rayon mesure 1,00 m. Le courant dans la grande boucle varie uniformément, passant de 200 A à 200 A (un changement de sens) en un temps de 1,00 s à partir de t 0. a) Quel est le champ magnétique produit au centre de la petite boucle par le courant de la grande boucle à t 0, t 0,500 s et t 1,00 s ? b) Quelle est la f.é.m. induite dans la petite boucle à t 0,500 s ? (Étant donné la petite taille de la boucle, supposez que le champ B produit par la boucle extérieure est uniforme dans l’aire de la petite boucle). 13P. Supposez que 100 spires de fil de cuivre isolé sont enroulées autour d’un cylindre de bois dont la section transversale est de 1,20 103 m2. Les deux bornes terminales sont reliées à une résistance. La résistance nette du circuit est de 13,0 . Si un champ magnétique uniforme est appliqué longitudinalement sur le cylindre et varie de 1,60 T dans un sens jusqu’à 1,60 T dans l’autre sens, quelle quantité de charge circule dans le circuit ? (Indice: Consultez le problème 11.) www 14P. À un certain endroit, le champ magnétique de la Terre a une grandeur B 0,590 gauss. Il est incliné vers le bas et forme un angle de 70,0° avec l’horizontale. Une bobine de fil plate et circulaire est placée horizontalement. Elle a un rayon de 10,0 cm, elle comporte 1 000 spires et a une résistance nette de 85,0 . La bobine est reliée à un multimètre qui a une résistance de 140 . La boucle accomplit une demi-révolution autour d’un diamètre, et elle se retrouve de nouveau à l’horizontale. Quelle quantité de charge circule dans le multimètre pendant le retournement ? (Indice: Consultez le problème 11.) 15P. Une boucle de fil carrée de 2,00 m de côté est perpendiculaire à un champ magnétique uniforme, et la moitié de l’aire de la boucle se trouve dans le champ (voir la figure 10.41). La boucle comprend une pile de 20,0 V dont on peut B négliger la résistance interne. Si la grandeur du champ varie en fonction du temps de sorte que B 0,042 0 0,870t, où B est 20,0 V exprimée en teslas et t en secondes, quels sont a) la f.é.m. nette dans le circuit ? b) le sens du courant dans Figure 10.41 Problème 15 la pile ? Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. z 16P. Un fil est plié en trois segments circulaires ayant chacun un rayon c r 10 cm (voir la figure 10.42). Chaque segment forme le quadrant d’un cercle, ab étant situé dans r le plan des xy, bc dans le plan des yz r et ca dans le plan des zx. a) Si un b y r champ magnétique uniforme B pointe dans la direction positive x, a quelle est la f.é.m. produite dans x le fil lorsque B augmente à un taux de 3,0 mT/s ? b) Quel est le sens Figure 10.42 Problème 16 du courant dans le segment bc? 17P. Une bobine rectangulaire de N spires, d’une longueur a et d’une largeur b, subit une rotation à une fréquence f dans un champ magnétique uniforme B (voir la figure 10.43). La bobine est reliée à des cylindres également en rotation, avec lesquels le contact se fait par des brosses de métal. a) Démontrez que la f.é.m. induite dans la bobine (en fonction du temps t) est donnée par E = 2πfNabB sin (2πft) = E 0 sin (2πft). C’est là le principe de fonctionnement des génératrices commerciales à courant alternatif. b) Concevez une boucle qui produira une f.é.m. deE 0 150 V avec une rotation de 60,0 révolutions/s dans un champ magnétique uniforme de 0,500 T. www Contact à glissement B b R a Figure 10.43 Problème 17 18P. Un fil rigide plié pour former un demi-cercle de rayon a subit une rotation à une fréquence f dans un champ magnétique uniforme (voir la figure 10.44). Quelles sont a) la fréquence et b) l’amplitude de la f.é.m. variable induite dans la boucle ? a B R Figure 10.44 Problème 18 19P. Une génératrice d’électricité comporte 100 spires de fil formant une boucle rectangulaire de 50,0 cm sur 30,0 cm, entièrement placée dans un champ magnétique uniforme de grandeur B 3,50 T. Quelle est la valeur maximale de la f.é.m. produite lorsque la boucle accom www plit 1 000 révolutions/min sur un axe perpendiculaire à B? 20P. À la figure 10.45, un fil forme une boucle circulaire fermée avec un rayon R 2,0 m et une résistance de 4,0 . Le cercle est centré sur un long fil rectiligne. À l’instant t 0, le courant dans le long fil rectiligne est de 5,0 A, et il est dirigé vers la droite. Par la suite, le courant varie à un taux i 5,0 A (2,0 A/s2)t 2. (Le fil rectiligne est isolé, et il n’y a pas de contact électrique entre ce dernier et le fil 284 Chapitre 12 Les oscillations électromagnétiques et le courant alternatif L’amplitude du courant On commence avec la figure 12.11 a) où le phaseur représente le courant de l’équation 12.56 à un instant arbitraire t. La longueur du phaseur est l’amplitude I du courant, sa projection sur l’axe vertical est le courant i à un instant t et son angle de rotation est la phase ωt du courant à l’instant t. Dans la figure 12.11 b), les phaseurs représentent les tensions dans R, L et C au même instant t. Chaque phaseur est orienté selon l’angle de rotation du phaseur de courant I de la figure 12.11 a), en se basant sur les données du tableau 12.2 : La résistance : Le courant et la tension sont ici en phase, et l’angle de rotation du phaseur de tension VR est donc le même que celui du phaseur I. Le condensateur : Le courant est en avance de 90° sur la tension, et l’angle de rotation du phaseur de tension VC est inférieur de 90° à celui du phaseur I. L’inducteur : Le courant est ici en retard de 90° sur la tension, et l’angle de rotation du phaseur de tension vL est donc supérieur de 90° à celui du phaseur I. La figure 12.11 b) montre également les tensions instantanées vR , vC et vL dans R, C et L à l’instant t. Ces tensions sont les projections des phaseurs correspondants sur l’axe vertical de la figure. Dans la figure 12.11 c), le phaseur représente la f.é.m. appliquée selon l’équation 12.55. La longueur du phaseur est l’amplitudeE m de la f.é.m., la projection du phaseur sur l’axe vertical est la f.é.m.E à un instant t et l’angle de rotation du phaseur est la phase ωt de la f.é.m. à un instant t. D’après la loi des mailles, on sait qu’en tout instant, la somme des tensions vR , vC et vL est égale à la f.é.m.E appliquée : E vR vC vL. (12.57) Donc, à l’instant t, la projection deE de la figure 12.11 c) est égale à la somme algébrique des projections vR , vC et vL de la figure 12.11 b). En fait, puisque les phaseurs tournent ensemble, cette égalité est toujours valable. Cela signifie que le phaseurE m de la figure 12.11 c) doit être égal à la somme vectorielle des trois phaseurs de tension VR , VC et VL de la figure 12.11 b). I i ωdt – φ a) VL b) m VR vL ωdt – φ vC VC m φ ωdt V L – VC c) vR VR ωdt ωdt – φ d) Figure 12.11 a) Un phaseur représentant le courant alternatif dans le circuit RLC de la figure 12.7 à l’instant t. L’amplitude I, la valeur instantanée i et la phase (ωt ) sont indiquées. b) Les phaseurs représentant les tensions dans l’inducteur, la résistance et le condensateur, orientés par rapport au phaseur de courant en a). c) Un phaseur représentant la f.é.m. alternative qui fournit le courant en a). d) Le phaseur de la f.é.m. est égal à la somme vectorielle des trois phaseurs de tension en b). Dans ce cas, les phaseurs de tension VL et VC ont été ajoutés pour obtenir leur phaseur net (VL VC ). Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. 288 Chapitre 12 Les oscillations électromagnétiques et le courant alternatif Exemple 12.7 Dans la figure 12.7, R 200 , C 15,0 µF, L 230 mH, f 60,0 Hz etE m 36,0 V. (Ces paramètres sont ceux qui sont utilisés dans les exemples 12.4, 12.5 et 12.6.) On trouve ensuite I = Em 36,0 V = = 0,164 A. Z 219 (réponse) a) Quelle est l’amplitude I du courant ? SOLUTION : Le concept clé est que l’amplitude I du courant dépend de l’amplitudeE m de la f.é.m. de la source et de l’impédance Z du circuit, d’après l’équation 12.62 (I E m /Z). Donc, on doit trouver Z, qui dépend de la résistance R du circuit, de la réactance capacitive XC et de la réactance inductive XL . L’unique résistance du circuit est la résistance donnée R. La réactance capacitive est causée par la capacité C et, d’après l’exemple 12.6, XL 86,7 . L’impédance du circuit est donc Z = = b) Quelle est la constante de phase du courant dans le circuit par rapport à la f.é.m. de la source ? SOLUTION : Le concept clé est le suivant : la constante de phase dépend de la réactance inductive, de la réactance capacitive et de la résistance du circuit, d’après l’équation 12.65. On résout cette équation pour trouver et on obtient XL − XC 86,7 − 177 = tan−1 R 200 = −24,3◦ = −0,424 rad. (réponse) = tan−1 R 2 + (XL − XC )2 (200 )2 + (86,7 − 177 )2 = 219 . La constante de phase négative concorde avec le fait que la charge est surtout capacitive ; ainsi, XC > XL . 12.10 La puissance dans les circuits à courant alternatif Dans le circuit RLC de la figure 12.7, la source d’énergie est la génératrice de courant alternatif. Une partie de l’énergie fournie est emmagasinée dans le champ électrique du condensateur, une autre partie est emmagasinée dans le champ magnétique de l’inducteur et une dernière partie est dissipée sous forme d’énergie thermique dans la résistance. En régime permanent – tel qu’on le suppose ici – l’énergie moyenne emmagasinée dans le condensateur et dans l’inducteur sont toutes deux constantes. Le transfert net d’énergie se produit donc de la génératrice vers la résistance, où l’énergie électromagnétique est dissipée sous forme d’énergie thermique. D’autre part, le taux instantané auquel l’énergie est dissipée dans la résistance peut être récrit à partir des équations 6.22 et 12.29 : sin θ +1 0 0 P i 2R [I sin(ωt ]2R I 2R sin2(ωt ). π 2π 3π θ –1 a) sin2 θ +1 0 0 L’énergie est dissipée dans la résistance au taux moyen donné par la moyenne temporelle de l’équation 12.68. Dans un cycle complet, la valeur moyenne de sin , où est une variable, est nulle (voir la figure 12.14 a]), mais la valeur moyenne de sin2 est de 12 (voir la figure 12.14 b]). (Dans la figure 12.14 b), il faut noter que les régions ombrées situées au-dessous de la courbe mais au-dessus de la ligne de 12 ont exactement la même surface que les régions non ombrées situées au-dessous de cette ligne). Donc, on peut écrire, d’après l’équation 12.68, I 2R = Pmoy = 2 + –12 π 2π 3π θ b) Figure 12.14 a) Le graphique de sin en fonction de . Dans un cycle, la valeur moyenne de la fonction est nulle. b) Le graphique de sin2 en fonction de . Dans un cycle, la valeur moyenne de la fonction est de 12 . Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. (12.68) 2 I √ R. 2 (12.69) √ La quantité I / 2 est nommée la valeur efficace de l’intensité du courant i : I I eff = √ 2 (la valeur efficace du courant). (12.70) On peut maintenant récrire l’équation 12.69 sous cette forme : 2 Pmoy I eff R (la puissance moyenne). (12.71) 292 Chapitre 12 Les oscillations électromagnétiques et le courant alternatif Toutefois, le faible courant alternatif primaire Imag induit un flux magnétique B dans le noyau de fer. Puisque le noyau se prolonge dans la bobine secondaire, ce flux induit s’étend également dans les spires de cette bobine secondaire. D’après la loi de Faraday sur l’induction (voir l’équation 10.6), la f.é.m. induite par spireE tour est la même dans la bobine primaire et dans la bobine secondaire. De plus, la tension Vp entre les bornes de la bobine primaire est égale à la f.é.m. qui y est induite, et la tension Vs entre les bornes de la bobine secondaire est aussi égale à la f.é.m. qui y est induite. On peut donc écrire dB Vs Vp E tour = = = dt Np Ns et ainsi Vs = Vp Ns Np (la transformation de la tension). (12.79) Si Ns Np , le transformateur est survolteur puisqu’il élève la tension primaire Vp à une plus grande tension Vs . De la même façon, si Ns Np , le dispositif est alors un transformateur dévolteur. Jusqu’à maintenant, avec l’interrupteur S ouvert, aucune énergie n’est transférée de la génératrice vers le reste du circuit. On ferme maintenant S pour relier la bobine secondaire à la charge résistive R. (En général, la charge comprendrait aussi des éléments inductifs et capacitifs, mais on ne considère ici que la résistance R.) On constate que l’énergie est maintenant transférée à partir de la génératrice. On explique maintenant pourquoi. Plusieurs phénomènes se produisent lorsqu’on ferme l’interrupteur S. 1. Un courant alternatif Is apparaît dans le circuit secondaire, provoquant une dissipation d’énergie Is2R ( Vs2/R) dans la charge résistive. 2. Ce courant produit son propre flux magnétique dans le noyau de fer, et ce flux induit (d’après les lois de Faraday et de Lenz) une f.é.m. opposée dans les spires de la bobine primaire. 3. La tension Vp de la bobine primaire ne peut varier en réaction à cette f.é.m. opposée, parce qu’elle doit toujours être égale à la f.é.m.E fournie par la génératrice. Le fait de fermer l’interrupteur S n’y change rien. 4. Pour maintenir Vp , la génératrice produit maintenant (en plus de Imag) un courant alternatif Ip dans le circuit primaire ; l’amplitude et la constante de phase de Ip sont précisément celles qui sont requises pour que la f.é.m. induite au primaire par Ip annule la f.é.m. produite au primaire par le courant Is du secondaire. Puisque la constante de phase de Ip n’est pas de 90° comme celle de Imag , ce courant Ip peut transférer de l’énergie à la bobine primaire. On veut relier Is à Ip . Plutôt qu’analyser le processus complexe en détail, on applique simplement le principe de la conservation de l’énergie. Le taux auquel la génératrice transfère l’énergie à la bobine primaire est égal à IpVp . Le taux auquel la bobine primaire transfère ensuite l’énergie à la bobine secondaire (par le biais du champ magnétique reliant les deux bobines) est IsVs . Comme on suppose qu’aucune énergie n’est perdue durant le processus, le principe de la conservation de l’énergie implique que IpVp IsVs . En substituant Vs de l’équation 12.79, on trouve Is = Ip Np Ns (la transformation des courants). (12.80) Cette équation indique que le courant Is dans la bobine secondaire peut différer du courant Ip dans la bobine primaire, selon le rapport du nombre de spires Np /Ns . Le courant Ip apparaît dans le circuit primaire à cause de la charge résistive R dans le circuit secondaire. Pour trouver Ip , on substitue Is Vs /R dans l’équation 12.80, et on substitue ensuite Vs de l’équation 12.79. On trouve 1 Ns 2 Ip = Vp. (12.81) R Np Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. RÉPONSES AUX SECTIONS Vérifiez vos connaissances, Questions, Exercices et problèmes CHAPITRE 1 VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. C et D s’attirent, B et D s’attirent. 2. a) Vers la gauche b) Vers la gauche c) Vers la gauche 3. a) 1, 3, 2 b) Inférieur 4. 15e (la charge nette de 30e est également répartie). QUESTIONS 1. Non, seulement pour les particules chargées, les objets chargés semblables aux particules et les sphères creuses (notamment les sphères solides) de charge uniforme. 2. Tous s’équivalent. 3. a et b 4. a) Entre elles b) Charge positive c) Instable 5. 2q2/4πε0r2, vers le haut de la page 6. a et d s’équivalent, ensuite b et c s’équivalent. 7. a) Identique b) Inférieure c) S’annulent d) S’additionnent e) Les composantes qui s’additionnent f) La direction positive de y g) La direction négative de y h) La direction positive de x i) La direction négative de x 8. a) Neutre b) Négative 9. a) Une possibilité b) Véritablement 10. Quand suffisamment d’électrons se sont déplacés vers l’extrémité éloignée de la tige, tout autre électron de conduction est repoussé, tant par les électrons accumulés à l’extrémité de la tige que par les charges négatives de la tige. 11. Non (la charge est répartie entre la personne et le conducteur). EXERCICES ET PROBLÈMES 1. 1,39 m 2. 2,81 N 3. a) 4,9 107 kg b) 7,1 1011 C 4. 38 F 5. a) 0,17 N b) 0,046 N 6. a) q1 9q2 b) q1 25 q2 7. Soit 1,00 C et 3,00 C, soit 1,00 C et 3,00 C 8. q1 4q2 9. a) La charge 4q/9 doit se trouver sur la droite où les deux charges positives se rejoignent, à une distance L/3 de la charge q. 10. 14 cm de q1, 24 cm de q2 11. a) 5,7 1013 C, non b) 6,0 105 kg 12. a) F21 34,5 N ; 10,3° b) x3 8,4 cm et y3 2,7 cm √ Q 13. q Q/2 14. a) q = √ b) q = −2Q 2 15. b) 2,4 108 C 2 2 √ 1 qQ L 1+ b) 3qQ/(4πε0 W ) 16. x 3,1 cm 17. a) 2 2 4πε0 Wh 18. 2,89 109 N 19. 1,32 1013 C 20. 0,19 MC 21. a) 3,2 1019 C b) Deux 22. a) 8,99 1019 N b) 625 23. 6,3 1011 24. r 5,1 m 25. 122 mA 26. 13 MC 27. a) 0 b) 1,9 109 N 28. 1,7 108 N 29. a) 9B b) 13N c) 12C Q 2 α (1 − α) 30. a) F = 4πε0 d 2 pas alignés). d) Elles s’annulent. e) Elles s’additionnent. f) Vers celles qui s’additionnent g) Vers y 6. Elles sont toutes égales. 7. e, b, puis a et c sont égales, ensuite d (zéro) 8. a) Vers la droite b) Pour q1 et q3, elle augmente ; pour q2, elle diminue ; pour n, elle demeure la même. 9. a) Vers le bas b) 2 et 4 vers le bas et 3 vers le haut 10. a) Positif b) Identique 11. a) 4, 3, 1, 2 b) 3, puis 1 et 4 sont égales, ensuite 2 12. L’excès de charges accumulées crée un champ électrique, la proximité d’un second corps, de préférence un corps pointu, concentre cet excès et augmente le champ électrique, causant ainsi un claquage diélectrique dans l’air (l’étincelle). EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 6,4 1018 N b) 20 N/C 4. 56 pC 5. Erés = 6,4 × 105 N/C, vers l’est 6. 3,07 1021 N/C, radialement vers l’extérieur 8. 50 cm de q1 et 100 cm de q2 10. 0. 11. Erés = q/πε0 a 2 12. 1,02 105 N/C, vers le haut p 14. 6,88 1028 C m 15. Erés ≈ −k 3 17. 0,51 r 19. Erés = − ε πq2 R 2 j 20. |q|π2ε0r2, à la verticale vers le bas √ 0 21. z = R/ 2 22. a) q/L b) q/4 πε0a(L a) 25. 6,3 103 N/C √ 26. R/ 3 27. −0,010 2 N/C i 28. 3,51 1015 m/s2 29. 2,03 107 N/C, vers le haut 30. 6,6 1015 N 31. a) 4,8 1013 N b) 4,8 1013 N 32. a) 1,5 103 N/C, vers le haut b) 2,4 1016 N, vers le haut c) 1,6 1026 N, vers le sol d) 1,5 1010 33. a) 0,029 C 34. a) 1,92 1012 m/s2 b) 1,96 105 m/s 35. a) 7,12 102 m b) 2,85 108 s c) 11,2 % 36. 5,0e 37. (1,641 0,004) 1019 C 38. a) 2,7 106 m/s b) 1 000 N/C 39. a) −2,1 × 1013 m/s2 j b) v (1,5 105i) (2,8 106j ) 40. 27µm 41. a) F 0,245 N, θ 11,3° 42. a) Oui b) La plaque supérieure, 2,73 cm 43. a) 9,30 1015 C m b) 2,05 1011 J 44. a) 0 b) 8,5 1022 N m c) 0 45. 2pE cos θ0 46. (1/2π), pE/I 47. a) 1 103 N/C b) Non uniforme • • • CHAPITRE 3 VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. a) EA b) EA c) 0 d) 0 2. a) 2 b) 3 c) 1 3. a) Égal b) Égal c) Égal 4. a) 50e b) 150e 5. 3 et 4 sont à égalité, puis 2 et 1 QUESTIONS 1. a) 12 N m2/C b) 0 2. a) a2 b) πr2 c) 2πrh 3. a) Les quatre b) Aucune (elles sont égales). 4. Toutes s’équivalent. 5. a) S3, S2, S1 b) Toutes s’équivalent. c) S3, S2, S1 d) Toutes s’équivalent (0). 6. Toutes s’équivalent. 7. a) 2, 1, 3 b) Toutes s’équivalent. 8. a) Toutes s’équivalent (E 0). b) Toutes s’équivalent. 9. a) a, b, c, d b) a et b s’équivalent, puis c et d. EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 693 kg/s b) 693 kg/s c) 347 kg/s d) 347 kg/s e) 575 kg/s 2. 0,015 N m2/C 3. a) 0 b) 3,92 N m2/C c) 0 d) 0 pour chaque champ 4. a) 2q et 2q ou les quatre charges b) 2q et q c) Impossible 5. 2,0 105 N m2/C 6. πa2E 7. a) 8,23 N m2/C b) 8,23 N m2/C c) 72,8 pC dans chaque cas 8. a) 1,3 108 C/m3 b) 8,2 1010 e/m3 9. 3,54 µC R-1 • CHAPITRE 2 VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. a) Vers la droite b) Vers la gauche c) Vers la gauche d) Vers la droite (la charge de p et de e est la même, et p est plus éloigné) 2. Elles sont toutes égales. 3. a) En direction de y b) En direction de x c) En direction de y 4. a) Vers la gauche b) Vers la gauche c) Elle diminuera. 5. a) Elles sont toutes égales. b) 1 et 3 sont égales, 2 et 4 sont égales. QUESTIONS 1. a) En direction de x b) Vers le sol et vers la droite c) A 2. a) À gauche b) Non 3. Deux points : un à gauche des particules, l’autre entre les protons 4. q/4πε0d2, vers la gauche 5. a) Oui b) Il s’en approche. c) Non (les vecteurs champ ne sont • • • • • Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. Réponses aux sections 24. a) 35 pF b) 21 nC c) 6,3 µJ d) 0,60 MV/m e) 1,6 J/m3 25. 0,27 J 26. 10 ¢ 27. a) 2,0 J 28. a) q1 0,211 mC, q2 0,105 mC, q3 0,316 mC b) V1 V2 21,1 V, V3 78,9 V c) U1 2,22 mJ, U2 1,11 mJ, U3 12,5 mJ 29. a) 2 V b) Ui ε0AV2/2d, Uf 2Ui c) ε0AV2/2d 30. a) q1 q2 0,333 mC, q3 0,400 mC b) V1 33,3 V, V2 66,7 V, V3 100 V c) U1 5,6 mJ, U2 11 mJ, U3 20 mJ 32. 0,11 J/m3 34. 4,0 35. Pyrex 36. a) 6,2 cm b) 280 pF 37. 81 pF/m 38. a) 0,73 nF ε0 A 2κ2 κ3 2 κ1 + b) 28 kV 39. 0,63 m 42. 43. a) 10 kV/m 4d κ2 + κ3 b) 5,0 nC c) 4,1 nC 44. a) 13,4 pF b) 1,15 nC c) 1,13 104 N/C ab ab d) 4,33 103 N/C 45. a) C 4πε0κ b−a b) q 4πε0κV b−a 1 c) q′ q 1− κ 46. a) 7,2 b) 0,77 µC 48. a) 4,9 mJ b) Non CHAPITRE 6 VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. 8 A, vers la droite 2. a) à c) Vers la droite 3. a) et c) s’équivalent, puis b) 4. Le dispositif 2 5. a) et b) s’équivalent, ensuite d), puis c) QUESTIONS 1. a, b et c s’équivalent, ensuite d (nul) 2. a), b) et c) s’équivalent, ensuite d) 3. b), a), c) 4. Elle augmente. 5. Égalité entre A, B et C, puis égalité entre A B et B C, puis A B C 6. a) à d) dessus-dessous, devant-derrière, gauche-droite 7. a) à c) 1 et 2 s’équivalent, puis 3 8. C, ensuite A et B s’équivalent, puis D 9. C, A, B 10. a) Les conducteurs 1 et 4 ; les semi-conducteurs 2 et 3 b) 2 et 3 c) Les quatre matériaux EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 1 200 C b) 7,5 1021 2. 6,7 µC/m2 3. 5,6 ms 4. a) 2,4 105 A/m2 b) 1,8 1015 m/s 5. a) 6,4 A/m2, nord b) Non ; l’aire de la section transversale 6. Calibre 14 7. 0,38 mm 8. a) 0,654 µA/m2 b) 83,4 MA 9. a) 2 1012 b) 5 000 c) 10 MV 10. a) J0A/3 b) 2J0A/3 11. 13 min 12. 2,0 106 (Ω m)1 13. 2,0 108 Ω m 14. 0,536 Ω 15. 100 V 16. a) 1,53 kA b) 54,1 MA/m2 c) 10,6 108 Ω m ; platine 17. 2,4 Ω 18. a) 250 °C b) Oui 19. 54 Ω 20. 2R 21. 3,0 22. a) 6,00 mA b) 1,59 108 V c) 21,2 nΩ 23. 8,2 104 Ω m 24. a) 38,3 mA b) 109 A/m2 c) 1,28 cm/s d) 227 V/m 25. 1 900 °C 26. a) 1,73 cm/s b) 3,24 pA/m2 27. a) 0,43 %, 0,001 7 %, 0,003 4 % 28. 0,40 Ω 29. a) R ρL/πab 31. 560 W 32. 14 kC 33. a) 1,0 kW b) 26 ¢ 34. 11,1 Ω 35. 0,135 W 36. a) 28,8 Ω b) 2,60 1019 s1 37. a) 10,9 A b) 10,6 Ω c) 4,5 MJ 38. a) 5,85 m b) 10,4 m 39. 660 W 40. a) 4,46 $ pour un mois de 31 jours b) 144 Ω c) 0,833 A 41. a) 3,1 1011 b) 25 µA c) 1 300 W, 25 MW 42. a) 1,3 105 A/m2 b) 94 mV 43. a) 17 mV/m b) 243 J 44. a) i ρπR2v b) 17 µA c) Non, le courant est perpendiculaire à la différence de potentiel radial. d) 1,3 W e) 260 mJ f) À la sortie de 2 2 la canalisation à l’intérieur du silo 45. a) J I/2πr b) E ρ I/2πr ρI 1 1 − c) V = d) 0,16 A/m2 e) 16 V/m f) 0,16 MV 2π r b • • • • • CHAPITRE 7 VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. a) Vers la droite b) Tous s’équivalent. c) b, puis a et c s’équivalent d) b, puis a et c s’équivalent 2. a) Les trois s’équivalent. b) R1, R2, R3 3. a) Inférieure b) Supérieure c) Égale 4. a) V/2, i b) V, i/2 5. a) 1, 2, 4, 3 b) 4, égalité entre 1 et 2 ; 3 QUESTIONS 1. 3, 4, 1, 2 2. a) En série b) Parallèle c) Parallèle 3. a) Non b) Oui c) Toutes s’équivalent. 4. a) Égale b) Supérieur 5. En parallèle, R2, R1, en série 6. 2,0 A 7. a) Égale b) Identiques R-3 c) Inférieure d) Supérieur 8. 60 µC 9. a) Inférieure b) Inférieur c) Supérieure 10. a) Toutes s’équivalent. b) 1, 3, 2 11. c, b, a EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 320 $ b) 4,8 ¢ 2. 11 kJ 3. 14 h 24 4. a) Antihoraire b) Pile 1 c) B 5. a) 0,50 A b) P1 1,0 W, P2 2,0 W c) P1 6,0 W fournis, P2 3,0 W absorbés 6. a) 80 J b) 67 J c) 13 J représentant l’énergie thermique produite à l’intérieur de la pile 7. a) 14 V b) 100 W c) 600 W d) 10 V, 100 W 9. a) 50 V b) 48 V c) B est relié à la borne négative 10. 10 V 11. 2,5 V 12. a) 994 Ω b) 9,9 104 W 13. 8,0 Ω 14. Le câble 15. a) r1 r2 b) La pile ayant r1 16. a) 1 000 Ω, 0,30 V b) 2,3 103 18. 4,0 Ω et 12 Ω 19. 5,56 A 20. 4,50 Ω 21. i1 50 mA, i2 60 mA, Vab 9,0 V 22. 0,00 A, 2,00 A, 2,40 A, 2,86 A, 3,00 A, 3,60 A, 3,75 A, 3,94 A 23. a) L’ampoule 2 b) l’ampoule 1 24. Vd Vc 0,25 V, pour les différents trajets 25. 3d 26. a) 2,50 Ω b) 3,13 Ω 27. 9 28. a) 120 Ω b) i1 51 mA, i2 i3 19 mA, i4 12 mA 29. a) R r/2 b) Pmax 2/2r 30. a) En série : 2/(2r R), en parallèle : 2/(r 2R) b) En série c) En parallèle 31. a) 0,346 W b) 0,049 9 W c) 0,709 W d) 1,26 W e) 0,158 W 32. a) 19,5 Ω b) 0 c) ∞ d) 82,3 W, 57,6 W 33. a) La pile 1, 0,67 A en moins ; la pile 2, 0,33 A en plus ; la pile 3, 0,33 A en plus b) 3,3 V 34. 1,43 Ω 35. a) Cu : 1,11 A, Al : 0,893 A b) 126 m 36. a) 13,5 kΩ b) 1 500 Ω c) 167 Ω d) 1 480 Ω 37. 0,45 A 38. a) 12,5 V b) 50 A 39. 3,0 % 42. a) a : 70,9 mA, 4,70 V ; b : 55,2 mA, 4,86 V b) a : 66,3 Ω ; b : 88,0 Ω 44. a) 0,41τ b) 1,1τ 45. 4,6τ 46. a) 2,52 s b) 21,6 µC c) 3,40 s 47. a) 2,41 µs b) 161 pF 48. 0,72 MΩ 49. a) 0,955 µC/s b) 1,08 µW c) 2,74 µW d) 3,82 µW 51. a) 2,17 s b) 39,6 mV 52. 2,35 MΩ 53. a) 1,0 103 C b) 1,0 103 A c) VC 1,0 103 et V, VR 1,0 103 et V d) P e2t W 54. 24,8 Ω à 14,9 kΩ 55. a) Si t 0, i1 1,1 mA, i2 i3 0,55 mA ; si t ∞, i1 i2 0,82 mA, i3 0 c) Si t 0, V2 400 V ; si t ∞, V2 600 V d) Après que plusieurs constantes (τ 7,1 s) se sont écoulées, le régime permanent est atteint. CHAPITRE 8 B 0 2. a) 2, puis 1 VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. a) z b) x c) F et 3 à égalité (zéro) b) 4 3. a) z et z, à égalité ; y et y à égalité ; x et x à égalité (zéro) b) y 4. a) L’électron b) Dans le sens des aiguilles d’une montre 5. En direction de y 6. a) Toutes les orientations sont égales. b) 1 et 4 à égalité, puis 2 B doivent être perpenet 3 à égalité QUESTIONS 1. a) Non, car v et F et F B doivent être perpendiculaires diculaires b) Oui c) Non, car B E b) F B 4. 2, 5, 6, 9, 10 2. a, b et c s’équivalent, puis d (zéro) 3. a) F 5. a) Négative b) Égale c) Égal d) Un demi-cercle 6. Entrant dans la page : a, d, e ; sortant de la page : b, c, f (la particule est chargée 1 b) Le champ B 1 entre dans la page ; négativement) 7. a) B le champ B2 sort de la page. c) Plus court 8. 1i, 2e, 3c, 4a, 5g, 6j, 7d, 8b, 9h, 10f, 11k 9. a) Fil 1 : 180° ; fil 2 : 270° ; fil 3 : 90° ; fil 4 : 0° ; fil 5 : 315° ; fil 6 : 225° ; fil 7 : 135° ; fil 8 : 45° b) Fils 1 et 2 à égalité, puis fils 3 et 4 à égalité c) Fil 8, puis fils 5 et 6 à égalité, puis fil 7 10. a) Positif b) 1 et 2 s’équivalent, puis 3 est à zéro EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 6,2 1018 N b) 9,5 108 m/s2 c) Demeure constante à 550 m/s 2. a) 9,56 1014 N, 0 b) 0,267° 3. a) 400 km/s b) 835 eV 4. a) (6,2 1014 N)k b) (6,2 1014 N)k Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. R-4 Réponses aux sections 5. a) Vers l’est b) 6,27 1014 m/s2 c) 2,98 mm 6. a) 1,4 1018 N b) 1,6 1019 N c) 1,0 1018 N 7. a) 3,4 104 T, horizontale et vers la gauche b) Oui, si sa vitesse est la même que celle de l’électron 8. a) 3,75 km/s 9. 0,27 mT 10. (11,4 V/m)i (6,00 V/m)j (4,80 V/m)k 11. 6,8 105 V/m 12. 7,4 µV 13. b) 2,84 103 14. 38,2 cm/s 15. 21 µT 16. a) 1,11 107 m/s b) 0,316 mm 17. a) 2,05 107 m/s b) 467 µT c) 13,1 MHz d) 76,3 ns 18. 127 u 19. a) 0,978 MHz b) 96,4 cm 20. a) 2,60 106 m/s b) 0,109 µs c) 0,140 MeV d) 70,0 kV √ 22. a) 1,0 MeV b) 0,50 MeV 23. rd 2rp ; r∝ rp 24. a) 495 mT b) 22,7 mA c) 8,17 MJ où ω eB/m 25. v(t) v0xi v0y cos (ωt)j v0y sin (ωt)k, 26. a) 0,36 ns b) 0,17 mm c) 1,5 mm 27. a) 0,252 T b) 130 ns 28. a) q b) πm/qB 29. a) 18 MHz b) 17 MeV 30. 240 m 31. a) 8,5 MeV b) 0,80 T c) 34 MeV d) 24 MHz e) 34 MeV, 1,6 T, 34 MeV, 12 MHz 32. 28,2 N, horizontale et vers l’ouest 33. 20,1 N 34. 467 mA, de gauche à droite 35. (2,5 103 N)j (0,75 103 N)k 36. 0,10 T, à 31° de la verticale 37. a) 3,3 108 A b) 1,0 1017 W c) Totalement irréaliste 38. 4,3 103 N m, y négatif 39. a) 0, 0,138 N, 0,138 N 42. 2πaiB sin θ, normale dans le plan de la boucle (vers le haut) 44. a) 542 Ω, reliée en série avec le galvanomètre b) 2,52 Ω, reliée en parallèle 45. qvaB/2 46. 2,45 A 47. 2,08 GA 48. a) 12,7 A b) 0,080 5 N m 49. a) 0,184 A m2 b) 1,45 N m 50. a) 0,30 A m2 b) 0,024 N m 51. a) 20 min b) 5,9 102 N m 52. a) 2,86 A m2 b) 1,10 A m2 53. 0,335 A m2, 297° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe des y positifs, dans le plan des yz 54. a) (8,0 104 N m) (0,12i 0,90j 1,0k) b) 6,0 104 J 55. a) (6,00 104 N/m2) y dl k b) (18,8 µN)k 56. (0,10 V/m)k 57. a) 77° b) 77° 58. 2,0 T • • • • • • • • • • • CHAPITRE 9 VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. a, c, b 2. b, c, a 3. d, a et c à égalité, b 4. d, a, b et c à égalité (zéro) QUESTIONS 1. c, d, a et b à égalité 2. a) Il entre dans la page. b) Plus grand 3. c, a, b 4. b, d, c, a (zéro) 5. a) 1, 3, 2 b) Inférieur à 45° 6. a, b et d à égalité, c 7. c et d à égalité, b, a 8. b, a, d, c (zéro) 9. d, a et e à égalité, b, c 10. a) 2 opposé à 4 b) 2 et 4 opposés à 6 c) 1 et 5 opposés à 3 et 6 d) 1 et 5 opposés à 2, 3 et 4 EXERCICES ET PROBLÈMES 1. a) 3,3 µT b) Oui 2. 12 nT 3. a) 16 A b) D’ouest en est 4. Suivant une ligne parallèle au fil à une distance de 4,0 mm 5. a) µ0qvi/2πd, antiparallèle à i b) Même grandeur, parallèle à i 6. 0 7. 2 rad 8. µ 0i 1 1 , entrant dans le plan de la page 9. µ 0iθ 1 1 , 4 R1 R2 4π b a sortant de la page 10. a) 0 b)µ0i/4R, entrant dans le plan de la page c) Même résultat que b) 18. 2µ0 i/8πa,entrant dans le plan de la page 19. (µ0i/2π) 1n(1 /d), vers le haut 20. 200 µT, entrant dans le plan de la page 21. a) Il est impossible d’avoir une autre valeur que B 0 à mi-chemin entre les fils. b) 30 A 22. En tout point parallèle situé entre les deux fils à une distance d/4 du fil parcouru par le courant i 23. 4,3 A, sortant de la page 24. À partir de la gauche : (46,9 µN/m)j, (18,8 µN/m)j, 0, (18,8 µN/m)j, (46,9 µN/m)j 25. 80 µT, vers le haut 26. 0,338 µ0i2/a, vers le centre du carré 27. 0,791 µ0i2/πa, 162° sens antihoraire à partir ( ( Physique 2 © Les Éditions de la Chenelière inc. ( ( de l’horizontale 28. b) 2,3 km/s 29. 3,2 mN, en direction du fil 30. 5µ0i 31. a) (2,0 A)µ0 b) 0 34. 1 : (2,0 A)µ0 ; 2 : (13,0 A)µ0 35. µ0J0r2/3a 36. a) 0,13 µT b) 0,14 µT 38. 3i/8, entrant dans le plan de la page 40. 5,71 mT 41. 0,30 mT 42. 108 m 43. a) 533 µT b) 400 µT 46. 0,272 A 47. a) 4,77 cm b) 35,5 µT √ 48. a) 4 ; b) 1/2 49. 0,47 A m2 50. 8µ0Ni/5 5R 51. a) 2,4 A m2 2 11 b) 46 cm 52. b) ia2 54. b) (0,060 A m)j c) (9,6 10 T)j , µ i 1 1 0 + entrant dans le plan de (4,8 1011 T))j 56. a) 4 a b 1 2 2 la page b) iπ(a b ), entrant dans le plan de la page 57. a) 79 µT 2 b) 1,1 106 N m 58. a) (µ0i/2R)(11/π), sortant de la page √ b) (µ0i/2πR)( 1 + π 2 ), sortant de la page à un angle de 18° • • • • CHAPITRE 10 VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 1. b, d et e à égalité, a et c à égalité (zéro) 2. a et b à égalité, c (zéro) 3. c et d à égalité, a et b à égalité 4. b, sortant ; c, sortant ; d, entrant ; e, entrant 5. d et e 6. a) 2, 3, 1 (zéro) b) 2, 3, 1 7. 1 et 2 à égalité, 3 QUESTIONS 1. a) Toutes à égalité (zéro) b) 2, puis 1 et 3 à égalité (zéro) 2. Il en sort. 3. a) Il entre. b) Antihoraire c) Plus grande 4. a) Vers la gauche b) Vers la droite 5. 3, 1, 2 6. d et c s’équivalent, puis b, a 7. c, b, a 8. c, a, b 9. a) Plus élevé b) Égal c) Égal d) Égal (zéro) 10. a, 2 ; b, 4 ; c, 1 ; d, 3 EXERCICES ET PROBLÈMES 1. 1,5 mV 2. µ0nAi0ω cos ωt 3. a) 31 mV b) De la droite vers la gauche 4. a) 11mV b) 0 c) 11 mV 5. a) 1,1 103 Ω b) 1,4 T/s 6. b) 58 mA 7. 30 mA 8. 0,452 V 9. a) µ0iR2πr2/2x3 b) 3µ0iπR2r2v/2x4 c) Dans le même sens que le courant dans la grande boucle 10. 0 11. b) Non 12. a) 1,26 104 T, 0, 1,26 104 T b) 5,04 108 V 13. 29,5 mC 14. 15,5 µC 15. a) 21,7 V b) Antihoraire 16. a) 24 µV b) de c à b 17. b) Concevez-la de façon que Nab (5/2π) m2 18. a) f b) π2a2fB 19. 5,50 kV 20. 0 21. 80 µV, sens horaire 22. a) 0,598 µV b) Sens antihoraire 23. a) 13 µWb/m 2r + b µ0 ia ln b) 2 µ0iabv/πR (4r2 b2) b) 17 % c) 0 24. a) 2π 2r − b π 25. 3,68 µW 26. A2B2/R∆t 27. a) 48,1 mV b) 2,67 mA c) 0,128 mW 28. v mgR/B22 29. a) 600 mV, vers le haut b) 1,5 A, sens horaire c) 0,90 W d) 0,18 N vers la gauche e) Même que c) 30. a) 85,2 T m2 b) 56,8 V c) 1 31. a) 240 µV b) 0,600 mA c) 0,144 µW d) 2,88 108 N e) Même que c) 32. 1 : 1,07 mV ; 2 : 2,40 mV ; 3 : 1,33 mV 33. a) 71,5 µV/m b) 143 µV/m 34. 0,15 V/m 36. a) 2,45 mWb b) 0,645 mH 37. 0,10 µWb 38. a) µ0i/ b) πµ0R2/ 40. a) Il décroît. b) 0,68 mH 41. Faites varier le courant à 5,0 A/s. 42. a) 16 kV b) 3,1 kV c) 23 kV 43. b) Afin que le champ magnétique variable d’un inducteur n’induise pas de courant dans l’autre inducteur • c) L éq = N L n 44. b) Afin que le champ magnétique variable n=1 d’un inducteur n’induise pas de courant dans l’autre inducteur c) N 1 1 = 45. 6,91 L 46. 12,3 s L éq Ln n=1 47. 46 Ω 48. a) b) 0,135 c) 0,693 L 49. a) 8,45 ns b) 7,37 mA 50. (42 20t) V 51. 12,0 A/s 52. a) 0,29 mH b) 0,29 ms 53. a) i1 i2 3,33 A b) i1 4,55 A, i2 2,73 A c) i1 0, i2 1,82 A (inversé) d) i1 i2 0 54. I. a) 2,0 A b) 0 c) 2,0 A d) 0 e) 10 V f) 2,0 A/s II. a) 2,0 A b) 1,0 A c) 3,0 A