Asservissement en vitesse d`un moteur à courant continu

Principes et méthodes de commande
des entraînements à vitesse variable
Asservissement en vitesse d'un moteur à
courant continu
Thomas Dupas
Pierre Fritsch
4 mai, 9 mai, 7 juin 2005
Supélec, campus de Metz
Au cours de ces 3 séances de travaux de laboratoire, on cherche à asservir en vitesse un
moteur à courant continu alimenté par un servo amplicateur. Dans un premier temps,
on modélise le moteur et son bloc d'alimentation, et on simule ce modèle. On conçoit
ensuite une commande pour le système en vue du respect d'un cahier des charges xé
en s'aidant de simulations. Enn, on réalise cette régulation et on confronte théorie,
simulation et pratique.
Schéma du système
Table des matières
1 Modélisation et simulation en boucle ouverte
1.1 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Modélisation du servo-amplicateur . . . .
1.1.2 Calcul du moment d'inertie total équivalent
1.1.3 Fonctions de transfert du moteur . . . . . .
1.1.4 Schéma-bloc du système . . . . . . . . . . .
1.2 Étude en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Simulation du bloc amplicateur . . . . . . . . . .
1.4 Simulation du système complet . . . . . . . . . . .
1.4.1 Modélisation du moteur . . . . . . . . . . .
1.4.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Synthèse et simulation des correcteurs
2.1 Régulation simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Choix du régulateur : régulateur PI . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Calcul du régulateur : réglage fréquentiel dans le plan de Bode
2.1.3 Vérication : simulation de la réponse indicielle . . . . . . . . .
2.2 Régulation cascade : boucle de régulation de courant . . . . . . . . . .
2.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Capteur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Objectifs de la boucle de régulation de courant . . . . . . . . .
2.2.4 Synthèse du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Vérication par simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Intérêt d'une telle boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Régulation cascade : boucle de régulation de vitesse . . . . . . . . . . .
2.3.1 Synthèse du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Simulation de la réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Respect du cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Réalisation et validation expérimentale
3.1 Réalisation d'un limiteur de courant . . . . . . . . .
3.2 Étude de la réponse indicielle . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Vérication du modèle du capteur de courant
3.2.2 Modélisation des frottements secs . . . . . . .
3.3 Identication du modèle linéaire . . . . . . . . . . . .
3.4 Réalisation du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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5
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12
12
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14
14
15
15
18
18
18
19
19
19
22
22
22
23
25
26
26
26
26
26
28
29
3.5 Validation du cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4
Partie 1
Modélisation et simulation en boucle
ouverte
1.1 Mise en équation
Mettons le système en équation.
1.1.1 Modélisation du servo-amplicateur
Le servo-amplicateur est un hacheur quatre quadrants à modultaion de largeur d'impulsion. Étant utilisé dans son régime linéaire, il peut être considéré comme une constante
d'amplication Ka = 6, associée à une constante de temps du premier ordre τa = 12 17 1kHz ,
soit τa = 29, 4 µs. La fonction de transfert de cet amplicateur s'écrit donc
Hampli (p) =
Um (p)
Ka
=
,
U (p)
1 + τa p
(1.1)
où l'on note U (p) la consigne et Um (p) la tension de commande du moteur.
1.1.2 Calcul du moment d'inertie total équivalent
Le moment d'inertie total équivalent rapporté à l'axe du moteur est donné par
Jeq = Jr + Jred +
Jvol
N2
avec :
Jr = 22, 5 · 10−5 kg · m2 moment d'inertie du moteur et du réducteur,
Jvol = (πR 2eρ)R moment d'inertie du volant, où R = 8 cm, e = 4, 7 cm et ρ =
2, 7 · 10−3 kg · m2 , soit Jvol = 8, 2 · 10−3 kg · m2 ,
N = 6 facteur de réduction.
D'où :
2
2
Jeq = 4, 52 · 10−4 kg · m2
5
Fig.
1.1: Schéma-bloc du moteur
1.1.3 Fonctions de transfert du moteur
Le moteur est une machine à courant continu, caractérisée par son équation mécanique
um = Rim + L
et son équation électrique
Jeq
dim
+ φ0 ωm
dt
dωm
= φ0 im − f ωm − cr .
dt
En appliquant la transformation de Laplace, ces deux équations s'écrivent
Um (p) = (R + Lp) Im (p) + φ0 Ω(p)
(Jeq + f )Ωm (p) = φ0 Im (p) − Cr (p)
et mènent au schéma-bloc de la gure 1.1.
Le moteur se comporte donc comme un système
à deux entrées : tension de commande um et couple résistant cr (perturbation)
et à deux sorties : vitesse de rotation ωm et courant d'induit im .
En considérant qu'il n'y a pas de couple résistant (cf. théorème de superposition), on
obtient les fonctions de transfert du moteur en vitesse et en courant :
Hωm (p) =
Ωm (p)
Kv
=
Um (p)
1 + (τm + µτe ) p + τm τe p2
Him (p) =
f + Jeq p
Im (p)
=
.
Um (p)
(R + Lp)(f + Jeq p) + φ20
(1.2)
Ces fonctions de transfert font intervenir les constantes de temps électrique et mécanique du moteur :
τe =
L
= 2, 4 · 10−3 s
R
6
Fig.
1.2: Schéma-bloc du système (en boucle ouverte)
τm =
ainsi que les constantes
Km =
µ=
RJeq
= 13, 7 · 10−3 s,
φ20 + Rf
φ20
φ0
= 6, 06 V−1 · s−1
+ Rf
φ20
Rf
= 30, 3 · 10−3 .
+ Rf
1.1.4 Schéma-bloc du système
En assemblant les modélisations de l'amplicateur (paragraphe 1.1.1) et du moteur
(paragraphe 1.1.3), on aboutit au schéma-bloc du système donné par la gure 1.2.
1.2 Étude en boucle ouverte
Les équations (1.1) et (1.2) conduisent à la fonction de transfert du système en boucle
ouverte :
Hω (p) =
Um (p) Ωm (p)
Ka
Km
Ωm (p)
=
= Hampli (p)·Hωm (p) =
U (p)
U (p) Um (p)
1 + τa p 1 + (τm + µτe ) p + τm τe p2
En comparant les constantes de temps intervenant dans cette fonction de transfert, on
réalise que la constante de temps du pont est très faible devant les constantes de temps
du moteur : τa τe et τa τm ; on peut donc la négliger, et on obtient alors comme
fonction de transfert pour cet élément :
Hampli ' Ka = 6.
7
La fonction de transfert du système en boucle ouverte devient alors
Hω (p) =
Ka Km
1 + (τm + µτe ) p + τm τe p2
La constante de temps mécanique τm dépend linéairement de J , mais aussi de f et φ0 .
f est généralement faible, on a alors µ 1. On peut négliger µτe devant τm et on pose
τm ' τm + τe . Avec ces approximations, on peut mettre Hω (p) sous la forme simpliée :
Hω (p) =
Ω(p)
Kv
=
,
U (p)
(1 + τm p)(1 + τe p)
où τm = 13, 7 · 10−3 s , τe = 2, 4 · 10−3 s et Kv = Ka Km = 36, 36 V−1 · s−1 .
Cette expression permet d'obtenir (cf. schéma-bloc g. 1.2) la fonction de transfert
pour le courant induit :
Hi (p) =
f + Jeq p
f + Jeq p
Im (p)
Kv
Hω (p) =
=
.
U (p)
φ0
φ0
(1 + τm p)(1 + τe p)
Les diagrammes de Bode de ces fonctions de transfert pour la vitesse et le courant sont
données en g. 1.3 et g. 1.4.
1.3 Simulation du bloc amplicateur
On considère le bloc amplicateur seul, sans le moteur, qu'on alimente par une source
de tension idéale de 60 V. Modélisons le hacheur quatre quadrants ainsi que son système
de commande MLI à l'aide de SimPowerSystems et de Simulink.
On réalise la commande MLI par comparaison d'un signal triangulaire périodique avec
un seuil réglable entre −10 V et +10 V, qui constitue l'entrée de l'amplicateur. La
tension moyenne de commande du moteur variera linéairement avec les modications de
cette entrée.
On charge le hacheur avec un circuit RL série de mêmes caractéristiques que l'induit
du moteur (R = 0, 8 Ω, L = 1, 9 H).
Le schéma utilisé et les résultats de la simulation sont illustrés par la gure 1.5.
La tension de sortie est en créneaux : les signaux de commande des MOSFET sont
bien ceux attendus.
Le courant de sortie, quant à lui, a l'allure générale de la charge d'un circuit RL, mais,
quand on le regarde de près, il présente une ondulation à la même période que le hachage.
Cette ondulation s'explique par le fait que la charge est alimentée par une tension hachée.
On observe donc des harmoniques introduites par le hacheur sur les signaux de sortie,
qui ont pour fréquence fondamentale la fréquence de découpage.
8
Fig.
1.3: Diagramme de Bode de la fonction de transfert pour la vitesse en boucle ouverte
Hω (p)
9
Fig.
1.4: Diagramme de Bode de la fonction de transfert pour le courant en boucle ouverte Hi (p)
10
Fig.
1.5: Résultat de la simulation du bloc amplicateur (schéma en haut) tracé du
courant (en haut) et de la tension de sortie (au milieu) ; en bas, génération du
signal de commande MLI de rapport cyclique α = 75% par comparaison d'un
signal triangulaire périodique avec un seuil réglable (commande).
11
1.4 Simulation du système complet
Dans Simulink, on connecte maintenant le bloc amplicateur précédent à quelque chose
qui ressemble davantage au moteur considéré. On remplace donc la charge RL par une
charge plus élaborée.
1.4.1 Modélisation du moteur
On cherche à modéliser une machine à courant continu à aimant permanent. Ce type
de moteur n'existe pas comme modèle dans Simulink. On fait donc appel à une DC
Machine1, une machine à courant continu à excitation séparée, et on essaie de modéliser
les aimants permanents comme s'il s'agissait d'une bobine traversée par un courant.
On réalise cette excitation virtuelle en branchant une source de tension de 16 V aux
bornes d'une bobine Laf = 1 H. En prenant Rf = 100 Ω, le moteur est alors traversé
par un courant If = 0, 16 A. La constante de ux résultante φ0 = Laf If = 0, 16 V · s est
bien la même que celle générée par les aimants.
L'induit du moteur est caractérisé par R = 0, 8 Ω et L = 1, 9 H.
1.4.2 Simulation
La gure 1.6 présente le nouveau schéma, faisant intervenir la DC Machine1, et donne
la réponse indicielle en vitesse et courant induit du système.
La réponse en vitesse est celle d'un second ordre sans dépassement à tangente à l'origine
nulle. Le courant, après une brutale augmentation au démarrage (constante de temps τe ),
diminue et se stabilise près de sa valeur en régime permanent (constante de temps τm ).
Juste après le démarrage, i.e. au cours des premières 4 ms, c'est la constante de temps
électrique du moteur qui xe son comportement. Il a ainsi la même réponse qu'un circuit
RL. On retrouve donc ici le modèle de la première partie : la réponse en courant du moteur
(g. 1.6) se superpose avec la réponse en courant du circuit RL (g. 1.5) au démarrage.
Ensuite, on observe une diérence entre les deux courbes ; la constante de temps mécanique du moteur prend le dessus, la vitesse se stabilise et il y a décroissance du courant
induit. On atteint le régime permanent.
Les mêmes ondulations de courant se présententent, dues à l'alimentation par une
tension hachée. Notons de plus l'introduction du coecient de frottement visqueux et les
non-linéarités qu'il introduit.
12
Fig.
1.6: Résultats de la simulation du système complet : vitesse (en haut) et courant
(en bas) pour une entrée en échelon
13
Partie 2
Synthèse et simulation des correcteurs
On se propose maintenant de faire la synthèse d'un correcteur assurant le respect du
cahier des charges suivant :
Erreur statique nulle vis-à-vis de la consigne, autrement dit présence d'une intégration dans la boucle ouverte ;
Indépendance vis-à-vis d'une perturbation indicielle du couple résistant, ce qui implique que l'intégrateur doit se siter en amont de la perturbation ;
Marge de phase de 45, i. e. phase supérieure à -135à la pulsation de coupure ;
Temps de réponse indicielle τm le plus court possible, inférieur ou égal à 10 ms dans
le régime linéaire, ce qui représente une pulsation de coupure en boucle ouverte
ωc ≥ 300 rad/s1 .
Génératrice tachymétrique
Pour assurer la boucle de retour, on fait appel à une génératrice tachymétrique de
constante de fem Kω = 57, 3 · 10−3 V · s et de bande passante 150 Hz, sa fonction de
transfert est donc :
Htachy (p) =
Kω
1+
p
2π·150 rad/s
.
Cette génératrice tachymétrique introduit une inertie de 0, 5 · 10−5
néglige devant l'inertie totale équivalente.
kg · m2
que l'on
2.1 Régulation simple
2.1.1 Choix du régulateur : régulateur PI
Dans un premier temps, on fait appel à un régulateur PI, de fonction de transfert
1
HP I (p) = K 1 +
τi p
.
Le schéma de principe du système ainsi corrigé est donné g. 2.1.
Ce correcteur, grâce à son action intégrale, permet d'annuler l'écart entre la consigne et
la mesure, ainsi que l'eet des perturbations constantes intervenant en aval du régulateur.
1
en utilisant la relation ωc τm ' 3
14
Fig.
2.1: Schéma de principe de la correction PI
2.1.2 Calcul du régulateur : réglage fréquentiel dans le plan de Bode
Le réglage fréquentiel du régulateur PI se fait en deux phases :
d'abord, on ajuste le gain de façon à obtenir la pulsation de coupure souhaitée
ωc = 300 rad/s ;
puis on place l'action intégrale dans les basses fréquences de façon à obtenir la marge
de phase souhaiteé (phase de -135à la pulsation de coupure ωc ).
On aboutit ainsi aux paramètres K = −18, 5 dB et τi = 6, 5 · τm = 89, 05 · 10−3 s. En
gure 2.2, les diagrammes de Bode des fonctions de transfert en boucle ouverte corrigée.
2.1.3 Vérication : simulation de la réponse indicielle
Testons l'ecacité de cette régulation en simulant la réponse indicielle du système en
boucle fermée. Le schéma Simulink de la régulation, donné g. 2.3, conduit aux réponses
indicielles en vitesse et en courant g. 2.4.
On mesure sur la réponse indicielle en vitesse :
le temps de premier maximum τm = 9 ms, qui est bien inférieur aux 10 ms imposées
par le cahier des charges ;
et le dépassement D% = 10%.
On teste également la résistance à un échelon de perturbation. La gure 2.5 donne la
réponse en vitesse et en courant du système soumis à un tel échelon de perturbation,
et montre que le système est capable de réguler la vitesse malgré une telle variation de
couple. Pour cela, il fournit de l'énergie électrique, ce qui se traduit par une stabilisation
de la réponse en courant sur une valeur négative.
Un tel correcteur PI présente toutefois un inconvénient majeur : il sut d'observer la
réponse en courant g. 2.4 pour s'en convaincre. À un échelon de 5 V, le système répond
avec une intensité qui 50 A en 10 ms ! De tels pics d'intensité peuvent être destructifs
pour le système, car ils induisent des couples élevés. Il faudrait donc réguler le courant,
an de l'empêcher de prendre des valeurs trop élevées, en vue de protéger le système.
15
Fig.
2.2: Réglage du régulateur PI : diagramme de Bode de la fonction de transfert pour
la vitesse en boucle ouverte corrigée, tachymètre inclus
Fig.
2.3: Schéma Simulink de la régulation PI
16
Fig.
Fig.
2.4: Régulation PI Réponse indicielle du schéma donné g. 2.3 pour un échelon
de 5 V en entrée à t = 1 s, en vitesse (en bas) et en courant (en haut)
2.5: Régulation PI (schéma g. 2.3) Réponse à un échelon de perturbation survenant à t = 2 s
17
Fig.
2.6: Schéma de principe de la régulation cascade
2.2 Régulation cascade : boucle de régulation de courant
2.2.1 Principe
Pour remédier au problème précédent, on utilise une régulation cascade en courant
puis en vitesse.
Pour ce faire, on exprime la fonction de transfert du système en boucle ouverte comme
le produit de deux fonctions de transfert intermédiaires :
On arrive au résultat
H1 (p) =
φ20
f + Jeq p
+ (R + Lp)(f + Jeq p)
H2 (p) =
φ0
f + Jeq p
en modiant le schéma-bloc du système (g. 1.2) de sorte que la boucle de retour
prenne son départ en Im (p) et non en Ωm (p).
On crée donc un bouclage autour de la partie courant du système, qui fait intervenir
un capteur de courant et un correcteur, comme illustré g. 2.6.
2.2.2 Capteur de courant
Le capteur de courant fournit une tension proportionnelle à l'intensité de l'induit, avec
un gain Ki = 12 et une bande passante à 1500 Hz. Sa fonction de transfert est donnée par
Hcour (p) =
Ki
1+
18
p
2π·1500 rad/s
.
La réponse indicielle du système en boucle ouverte, capteur de courant inclus, est
donnée g. 2.7. On y constate que le capteur réagit en 1 ms et présente un dépassement
de 24 %.
2.2.3 Objectifs de la boucle de régulation de courant
Fixons-nous des objectifs sur la boucle de courant an de pouvoir faire la synthèse du
correcteur :
on veut un dépassement limité (c'est pour ça qu'on fait une régulation cascade !),
que l'on assure par une marge de phase de 45;
il faut que la boucle de courant soit rapide devant la boucle de vitesse (c'est la boucle
la plus interne) ; disons qu'elle doit être au moins dix fois plus rapide, ce qui revient
à prendre pour pulsation de coupure ω1 = 10 · ωc = 3000 rad/s.
2.2.4 Synthèse du correcteur
Au vu des diagrammes de Bode de la boucle ouverte en courant non corrigée, on
constate qu'une action proportionnelle surait à remplir les deux conditions ci-dessus.
Nous avons toutefois besoin d'une action intégrale dans la régulation de courant, de façon
à annuler l'erreur statique vis-à-vis de la consigne, et à assurer l'indépendance face à une
perturbation qui interviendrait en aval de cet intégrateur. On choisit donc un régulateur
PI, de fonction de transfert
R1 (p) = K1 · 1 +
1
Ti1 p
On ajuste les paramètres K1 et Ti1 dans le domaine fréquentiel, de façon à satisfaire
les conditions qu'on s'est xées au paragraphe précédent. On obtient :
K1 = 1, 8
Ti1 =
2
= 6, 67 · 10−4 s
ω1
La réponse fréquentielle de la boucle ouverte corrigée par ce régulateur PI est donnée
gure 2.8 et montre que ces paramètres permettent d'assurer une pulsation de coupure
ω1 = 3000 rad/s et une marge de phase de 45, qui sont les paramètres désirés.
2.2.5 Vérication par simulation
Assurons-nous que cette boucle interne fonctionne avant de passer à la boucle de vitesse. Pour ce faire, on simule sa réponse indicielle, qui fait apparaître (g. 2.9) un dépassement de 26 % et un temps de réponse de 0, 8 ms, et vérie de ce fait les contraintes
qu'on lui a imposées.
19
Fig.
2.7: Réponse indicielle du système en boucle ouverte (test du capteur de courant).
De haut en bas : réponse du capteur de courant, consigne, et vitesse du moteur.
20
Fig.
2.8: Régulation cascade diagramme de Bode des fonctions de transfert de la boucle
de régulation de courant ouverte corrigée (cf. schéma en g. 2.6)
Fig.
2.9: Régulation cascade Réponse indicielle de la boucle de courant corrigée
21
Fig.
2.10: Régulation cascade schéma de principe
2.2.6 Intérêt d'une telle boucle
Les avantages de cette régulation cascade sont les suivants :
le régime transitoire est plus rapide ;
l'eet des perturbations en couple est d'autant plus réduit que la boucle de courant
est rapide vis-à-vis de la boucle de vitesse ;
la boucle de courant permet la régulation du courant, et on peut donc :
limiter le couple, c'est-à-dire travailler en régime transitoire à couple constant,
réguler le couple (ou l'eort) transmis à la charge,
et limiter le courant pour des questions de sécurité du moteur et du convertisseur
associé.
2.3 Régulation cascade : boucle de régulation de vitesse
On imbrique à présent la boucle de courant dans une boucle de vitesse, comme illustré
par la gure 2.10.
2.3.1 Synthèse du correcteur
On utilise un régulateur PI pour réguler la boucle de vitesse.
R2 (p) = K2 · 1 +
1
Ti2 p
On ajuste les paramètres K2 et Ti2 de façon à satisfaire le cahier des charges que l'on
s'est xé :
22
Fig.
2.11: Régulation cascade boucle de régulation de vitesse diagramme de Bode
des fonctions de transfert de la boucle ouverte corrigée représentée g. 2.10
K2 = 9, 5
Ti2 = 10 ms
Le diagramme de Bode des fonctions de transfert de la boucle ouverte corrigée est donné
gure 2.11 et montre que ces paramètres permettent d'assurer, pour l'ensemble de la
régulation cascade, une pulsation de coupure ωc = 300 rad/s et une marge de phase de
45.
2.3.2 Simulation de la réponse indicielle
On simule la réponse indicielle de la régulation cascade dont on vient de faire la synthèse, grâce au schéma Simulink en gure 2.12. Sur cette réponse indicielle, on relève un
dépassement de 24,2 % et un temps de réponse de 6, 3 ms, ce qui est conforme à nos
attentes.
Pour ce qui est du courant, on observe toujours un pic au démarrage, mais d'intensité
moins élevée qu'avec le régulateur PI simple (à comparer avec la réponse en courant g.
2.4). L'objectif est atteint.
23
Fig.
2.12: Régulation cascade Réponse indicielle de la boucle de vitesse corrigée en
haut, le courant, en bas, la vitesse
24
2.3.3 Respect du cahier des charges
La régulation cascade dont nous venons de faire la synthèse permet donc de satisfaire
les critères du cahier des charges xé. En eet :
l'erreur statique est nulle vis-a-vis de la consigne (cf. g. 2.12) ;
la présence des deux intégrateurs assure l'indépendance vis-à-vis d'une perturbation
indicielle du couple résistant ;
la marge de phase vaut 45(cf. g. 2.11), ce qui correspond aux 24,2 % de dépassement observés sur la g. 2.12 ;
le temps de réponse indicielle est de 6, 3 ms, inférieur aux 10 ms imposées (cf. g.
2.12).
25
Partie 3
Réalisation et validation expérimentale
Cette partie vise à valider la synthèse du correcteur de la partie précédente et à analyser
l'origine d'éventuelles discordances entre modèle théorique et expérience.
3.1 Réalisation d'un limiteur de courant
Avant de relier l'amplicateur au moteur, il est nécessaire de s'assurer que le courant
traversant le moteur ne dépassera jamais son courant nominal spécié à 6 A. Si on admet
les courants de ±4 A, il faut donc limiter à Umax = 2 V la tension de consigne ui en entrée
de l'amplicateur. Pour réaliser cette limitation, on exploite le phénomène de saturation
à V + = 12 V des amplicateurs opérationnels alimentés en ±15 V, en câblant la mise en
série de deux gains inverses K = UV = 6 et K1 .
La réalisation de ce limiteur donne le résultat attendu, comme illustré par la gure
3.1, qui représente sa sortie pour une entrée sinusoïdale. On observe eectivement la
limitation de la tension à Umax = 2 V, et partout ailleurs la sortie du circuit saturateur
recopie son entrée. Le limiteur fonctionne comme prévu.
On relie à présent l'amplicateur et le moteur à la sortie de ce saturateur.
+
max
3.2 Étude de la réponse indicielle
3.2.1 Vérication du modèle du capteur de courant
À l'aide du logiciel Olcom, on trace la réponse indicielle de la boucle ouverte avec
capteur de courant, donnée en gure 3.2. Sur la réponse en courant, on relève le temps
de réponse du capteur de courant : il est inférieur à 1 ms, ce qui est très rapide. De plus,
il ne présente pas de dépassement par rapport à sa valeur nale. À l'échelle du système,
on peut donc considérer que le capteur de courant recopie immédiatement la consigne
avec un gain K = 0, 83.
Cette réponse est à comparer avec la réponse simulée par Simulink, représentée gure
2.7. À part un léger dépassement du courant sur la simulation, les deux courbes se
superposent. On constate que le modèle du capteur de courant cadre bien avec la réalité.
3.2.2 Modélisation des frottements secs
De plus, la réponse indicielle nous permet de mettre en évidence les frottements secs.
26
Fig.
Fig.
3.1: Vérication du bon fonctionnement du limiteur
3.2: Réponse indicielle du système avec capteur de courant. Cette gure est à comparer avec la réponse théorique du capteur, donnée gure 2.7.
27
Fig.
3.3: Mise en évidence des frottements secs par réponse indicielle du système en
boucle ouverte, en utilisant une consigne de courant centrée sur zéro.
Pour ce faire, nous étudions la réponse indicielle en vitesse du moteur en boucle ouverte
avec la consigne de courant centrée sur zéro. Celle-ci est représentée gure 3.3. On y
observe une rupture de pente à chaque changement de signe de la vitesse. Cette nonlinéarité est due aux frottements secs, qui s'opposent au mouvement dans les deux sens
de rotation.
Avant le changement de sens, le couple exercé sur l'arbre vaut C 2−C , ensuite il vaut
C +C
. La rupture de pente correspond donc à 2 · Cr . On mesure cette rupture de pente
2
sur la courbe en g. 3.3 : elle vaut ∆ω
∆t = 17, 81 V/s. On en déduit le couple résistant
relatif aux frottements secs :
m
m
r
r
1
∆ω
Cr = Jeq
= 4 · 10−3 N · m
2
∆t
3.3 Identication du modèle linéaire
À l'aide du module analyse harmonique du logiciel, on trace les diagrammes de Bode
de la fonction de transfert vitesse sur consigne de courant dans la plage de 0, 1 Hz à
10 Hz.
28
Fig.
3.4: Diagramme de Bode de la fonction de transfert vitesse sur consigne de courant,
dans la plage 0, 1 Hz à 10 Hz.
Pour s'assurer de la validité de la mesure, on prend quelques précautions qui permettent
au système de rester en régime linéaire :
on ajoute un oset de tension à la consigne de courant an d'avoir une vitesse qui
ne s'annule plus (évite les perturbations dues aux frottements secs) ;
on veille à ne pas faire saturer le bloc limiteur de courant ;
on adapte l'amplitude de la consigne de courant pour conserver une amplitude de la
mesure de vitesse raisonnable.
Le résultat est donné gure 3.4. La modélisation de cette réponse fréquentielle sous la
K
forme d'un premier ordre 1+τ
p donne une constante de temps τωm ' 16, 1 s et un
gain Kωm = 11, 4 .
ωm
ωm
3.4 Réalisation du correcteur
On câble le correcteur qu'on a déterminé au paragraphe 2.3.1 : une boucle de vitesse
de la régulation cascade, avec un régulateur PI caractérisé par K = 9, 5 et Ti = 10 ms.
Avec cette régulation, le système ne remplit pas le cahier des charges. En eet, sur sa
réponse indicielle gure 3.5, on observe un dépassement supérieur à 50 % et un temps
de réponse qui avoisine les 50 ms. Néanmoins ces valeurs n'ont aucun sens, vu qu'on a
quitté le régime linéaire.
Ce défaut s'explique par le fait que l'action intégrale, qui se charge lorsque le courant
29
Fig.
3.5: Câblage du correcteur PI (boucle de vitesse de la régulation cascade) déterminé
au paragraphe 2.3.1 (cascade avec K = 9, 5 et Ti = 10 ms)
est saturé, prend du temps à se décharger ensuite. L'action intégrale détériore donc
le temps de réponse du système, tout en lui imposant un fort dépassement. La solution
pour remédier à cette imperfection passerait par le gel de l'action intégrale de la boucle de
vitesse tant que l'action proportionnelle sature. Malheureusement, réaliser un tel câblage
n'est pas possible sur la maquette.
3.5 Validation du cahier des charges
À cause de la saturation de courant, on ne peut pas réaliser de commande qui satisfasse
le cahier des charges, celui-ci étant exprimé en régime linéaire. La commande réalisée
permet d'en faire la meilleure approximation, sachant que le moteur donne son maximum
pendant les phases de saturation.
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