TD Electrocinétique 5

EXERCICES Électrocinétique 5
Multiplication de signaux
 El51. Puissance d’un signal modulé
Un signal modulé en amplitude a l’expression suivante : v(t) = Vm 1+ Km(t) .cos(" p t) où m(t) est un signal
[
]
sinusoïdal d’amplitude Mm.
1°) Après avoir déterminé le spectre du signal v(t), calculer sa puissance définie comme la valeur moyenne du
carré de v(t) (moyenne quadratique).
!
Montrer que lorsque l’indice de modulation vaut 1, la puissance transportée par la porteuse représente 2/3 de
la puissance totale du signal.
Rép : P =

1 2
K2Mm2
Vm (1 +
)
2
2
El52. Codage et décodage d’un son
Un dispositif de codage d’un signal sonore m(t) est réalisé de la façon suivante :
-
On multiplie m(t) par un signal p(t) sinusoïdal de fréquence 12,8 kHz et d’amplitude 10 V :
u(t) = k.m(t).p(t) (où k = 0,1 V-1).
On filtre le signal u(t) obtenu par un filtre passe-bas ne conservant que les composantes du signal
dont la fréquence est inférieure à 12,8 kHz ; soit c(t) le signal codé obtenu.
1°) Pour un signal m(t) sinusoïdal, donner les propriétés des signaux u(t) et c(t) (type de signal, profil
spectral).
2°) Proposer une structure de décodeur permettant de retrouver m(t) : on utilisera des fonctions
élémentaires (filtres, multiplieurs) dont on donnera les caractéristiques importantes (type de filtre, bande
passante…)
3°) Le signal traité par un ensemble de codeur - décodeur est un signal audio et on admet que l’oreille
n’est sensible qu’au profil spectral du signal reçu, mais insensible à la présence d’un éventuel déphasage de
chacune des composantes spectrales présentes. Est-il nécessaire de disposer du signal p(t) utilisé lors du
codage ou peut-on se contenter d’utiliser un oscillateur délivrant un signal de fréquence 10V et de fréquence
12,8 kHz lors du décodage ? Justifier la réponse.
El53. Altimétrie par satellite
Un altimètre embarqué à bord d’un satellite doit mesurer sa distance à l’océan qu’il survole. Pour cela,
il émet des signaux chirp (« pépiement ») de forme sinusoïdale mais de fréquence variable selon la loi : f =
13,825 – 0,03.t où f est exprimée en gigahertz et t en microseconde. Chaque chirp dure 115,5 µs.
1°) Si l’on admet que l’océan se comporte comme un miroir vis-à-vis des ondes électromagnétiques et
que l’atmosphère est assimilable à du vide (célérité des ondes c = 3.108 m.s-1), quelle altitude maximale est
utilisable pour qu’il y ait superposition au niveau du satellite, de signaux émis et reçu appartenant au même
chirp ? En quoi ce choix est-il déraisonnable ?
2°) En pratique, on utilise donc lors du retour de l’impulsion écho, une impulsion de référence,
rigoureusement identique à l’impulsion émise, mais retardée par rapport à celle-ci d’une durée T0 supposée
parfaitement connue. Le traitement consiste alors en une multiplication de signaux (référence et écho) suivie
d’un filtrage passe-bas. Quelle opération permet alors de déterminer l’altitude ?
3°) La bande passante du filtre passe-bas est égale à 40 MHz. Quelle est la valeur maximale du retard entre
les impulsions écho et référence ?

Rép : 1°) h < 17,3 km ; 3°)T0 = 13,3 µs
El54. Filtrage d’un signal modulé en amplitude
Un signal modulé en amplitude a pour expression S m (1+ mcos"t)cos(# p t) où f p =
"p
2#
est la fréquence
porteuse et m l’indice de modulation. Ce signal traverse un filtre passe-bande de fréquence centrale fp et de
cœfficient de qualité Q.
1°) Rappeler la forme canonique de la fonction
! de transfert d’un filtre passe
! bande du second ordre. Montrer
que pour une fréquence proche de fp, il est possible d’utiliser l’expression approchée suivante de la fonction de
transfert :
G0
.
1+ 2 jQ f " f p / f p
(
)
2°) En considérant que les diverses composantes du signal subissent dans le filtre une atténuation et un
déphasage différents, montrer que le rôle du filtre peut se résumer à l’introduction d’un déphasage sur le signal
modulant
et à une diminution de l’indice de modulation. Chiffrer cette dernière si la fréquence modulante F =
!
Ω/2π est 0,5% de la fréquence porteuse et pour un cœfficient de qualité égal à 50.
m
Rép : m’ =
1 + 4Q2F2/fp2
El55. Dispositif ohmmètre
On désire étudier un dispositif de mesure de résistance pure dont la structure est donnée ci-dessous :
- « M » est une cellule comportant des multiplieurs analogiques ( z = k .x " y ) ;
- « O » est un oscillateur sinusoïdal délivrant un signal d’amplitude 10V et de fréquence 1 kHz ;
- « F » est un filtre passe-bas et « I » un intégrateur ;
- « V » est un voltmètre (mesure de valeur moyenne). !
La résistance à mesurer Rx peut varier de 100 Ω à 1 MΩ . On dispose de plus d’un jeu de résistances étalon
Re (en pratique, on utilise des boîtes AOIP).
La durée d’amortissement du régime transitoire précédant la stabilisation du signal de sortie doit être
inférieure à 0,1s pour toutes les valeurs possibles de Rx dans la gamme proposée.
L’utilisateur place la résistance à mesurer et la résistance étalon qui convient et déduit la valeur de Rx de la
tension indiquée en sortie.
1°) En supposant que le rôle de « F » consiste à ne conserver que la composante de plus basse fréquence du
signal Um, déterminer l’équation différentielle vérifiée par Us.
2°) L’intégrateur « I » doit-il être inverseur ou non ?
3°) Décrire le fonctionnement du dispositif. Comment doit-on choisir numériquement la valeur de Re pour
chaque gamme de mesure de Rx ?
4°) De quels paramètres dépend la tension Us en régime établi (Rx et Re fixés) ? Discuter la précision de la
méthode.
5°) Comment peut-on faire pour satisfaire la condition donnée sur le temps d’établissement ? Proposer une
relation entre les différentes grandeurs intervenant dans le dispositif.
O
U0
Um
M
Uf
F
I
Us
U0
Um
V
Re
Ur
Rx
Ur
Bloc M
 El56 Mesure d’impédance
On considère le montage ci-dessous comportant un A.O., un multiplieur et un filtre passe-bas de fréquence
de coupure f = 100Hz . L’A.O. est supposé idéal de gain infini ; il fonctionne en régime linéaire. Le générateur
délivre une tension sinusoïdale u(t) = U mcos("t) avec f =
fixées
! par l’expérimentateur.
Z
!
!
"
= 10 kHz . Les valeurs de U m et R0 sont connues et
2#
!
Passe-bas
R0
-
∞
s(t )
+
u( t )
!
1°) Montrer que la mesure de la
tension s permet d’accéder à la partie
réelle de Z.
2°) Quelle fonction faudrait-il
introduire dans le montage afin que l’on
accède à la partie imaginaire de Z ?
 El57 De l’utilité de la non-linéarité
On considère le montage suivant :
u1
×
A R
•
e
×
vA
vB
AO
B
• +
C
S
•
s
u2
×
us
Le circuit ci dessus
réalisant la fonction
us(t) = K. u1(t).u2(t)
L’amplificateur opérationnel est supposé idéal et on négligera la tension de seuil de la diode.
1) On alimente le circuit avec une tension sinusoïdale : e(t) = E sin (!0 t ) . Donner le spectre en amplitude de
vA(t)
2) Déterminer les caractéristiques du filtre RC pour que la composante sinusoïdale de vA(t) soit atténuée de 40
dB
en sortie du filtre. Que vaut alors vB(t) ?
3) Déterminer, dans ces conditions de fonctionnement, la tension s(t). Quel est le rôle de la diode ?
4) Quelle est la fonction réalisée par ce montage ? Peut-on le généraliser à tout type de signal d’entrée e(t)
périodique ?
 El58 Boucle à verrouillage de phase
Lors de la réception du signal modulé en amplitude, il est nécessaire (pour la détection synchrone) de
produire le signal e0 (t) = E0sin("0 t) . Cette opération, qui s'appelle reconstitution de porteuse, repose sur
l'emploi d'une boucle à verrouillage de phase (figure 1) comprenant les éléments suivants :
!
Multiplieur
vd(t)
Filtre F
vf (t)
OCT
v s(t)
v e(t)
figure 1 : circuit de reconstitution de porteuse
• un multiplieur de sortie vd(t) réalisant vd (t) = Kve (t).vs (t) ,
• un filtre passe-bas noté F dont la transmittance vaut 1 pour tous les signaux de fréquence très inférieure à f0
et de sortie vf(t).
• un oscillateur contrôlé en tension
(OCT), délivrant un signal sinusoïdal vs(t) d'amplitude constante Es de
!
pulsation ωs, proportionnelle à la tension de sortie du filtre F: ωs = ω0 + Ks vf .
La boucle est verrouillée lorsque la fréquence du signal incident est égale à celle du signal de sortie de
l'oscillateur OCT.
1 - Pour des tensions ve(t) = Esin (ω0t+ϕe) et vs(t) = Escos(ω0t+ϕs) , et en supposant que les dérivées
temporelles de ϕe et ϕs sont très inférieures à ω , montrer que la tension de sortie du filtre F s'écrit
v f (t) = K f sin(" e # " s ) . Préciser l'expression de Kf.
2 - Lorsque la boucle est verrouillée, quelle particularité présente la phase de la sortie par rapport à celle de
l'entrée ?
3 - Quelle relation simple lie vf(t) à ϕe et ϕs pour un régime proche du verrouillage ? Quel intérêt voyezvous au verrouillage de phase ?
4 - Le signal ve(t) est modulé en amplitude : ve(t) = E[1+m cosΩt].sin(ω0t). Exprimer la tension de
commande de l'OCT en supposant le régime proche du verrouillage. En déduire l'équation différentielle vérifiée
par ϕs.
5 - En déduire que le signal de sortie de l'OCT se fixe rapidement à la valeur vs(t) = Es cos (ω0t) , qu'il y ait
ou non une modulation d'amplitude sur la porteuse.
6 - L'oscillateur contrôlé en tension alimente un filtre introduisant un déphasage ϕ et une atténuation A à la
fréquence f0. Quelle doit être la valeur de ϕ pour obtenir le signal eo(t)?
7 - Quelle est l'influence de l'atténuation introduite par ce dernier filtre ?
8 - Proposer un schéma synoptique complet du " détecteur synchrone " et conclure sur son intérêt.
0
dϕs
dϕs
1
= k0vf(t) ; 2°) vf(t) = kmVemVsm sin(ϕe(t) - ϕs(t)) ; 3°)
+ k0Kϕs = k0Kϕe ;
dt
2
dt
ϕe0
4°) ϕs(t) = ϕe0(1-e-t/ ) et ωs = ω0 + τ e-t/ ; 5°) ϕs(t) = (at-τ) + aτe-t/
Rép : 1°)
τ
τ
τ
 El59. Modulation de fréquence
On admettra ici que les amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire.
1
#
1. Proposer un montage réalisant l’intégration d’un signal d’entrée x(t) : y(t) = "
$ x(t)dt avec τ >0.
2. Le filtre (D) ci-dessous (où R' et ρ désignent des résistances et C' une capacité) est réglé pour que v2 (t)
soit en retard de phase de π/2 par rapport à v1(t). A quelle condition ceci est-il réalisé ?
!
3. Dans le montage (S), R1, R2, R3 et R4 désignent des résistances.
! A quelle condition (S) fonctionne-t-il en
soustracteur ?
R3
"
R1
"
-
-
+
v1
R'
+
!
v2
C'
v
v2
R2
!
vs
R4
Filtre (D)
Filtre (S)
4. On associe ces réseaux selon le schéma ci-dessous, dans lequel (S) est utilisé en soustracteur et où un
multiplieur fournit en sortie une tension K " y " v1 proportionnelle aux tensions y et v1 imposées à l'entrée.
x
Intégrateur
(R,C)
y
Kyv1
Multiplieur
!
Réseau (S)
vs
v2
v1
Réseau (D)
On impose à l'entrée de l'ensemble les tensions : x (t) = x0 cos ("t) et v1 (t) = V1 cos ("1t)
De plus, on s'assure que y(t=0) = 0. Montrer que la tension de sortie de l'ensemble s'écrit :
vs t = U 0 1+ " 2 sin2 #t sin #1t + $
! des données et du
! temps t.
où on exprimera α, tan ϕ et U0 en fonction
()
( ) (
)
5. On suppose que le coefficient α est petit devant 1. Montrer qu'on peut mettre vs (t) sous la forme
approchée : vs (t) " U 0 sin(#(t)!
) . On convient d’appeler pulsation instantanée du signal vs(t) la grandeur
" t = d# t / dt . Justifier le nom de modulation de fréquence donné à ce type de modulation.
!
()
()
! El510.Effet Doppler
Lorsqu’un onde acoustique ou électromagnétique est réfléchie par un mobile en mouvement, la fréquence de
l’onde réfléchie est différente de celle de l’onde incidente : c’est l’effet Doppler.
Si le mobile se dirige vers la source d’onde, la relation entre les fréquences est : fr = fi(1-2v/c) où fi est la
fréquence de l’onde incidente, fr est celle de l’onde réfléchie, v la vitesse d’éloignement du mobile et c la
célérité de l’onde.
Cet effet peut être utilisé pour mesurer la vitesse d’objets (étoiles, voitures, sang dans les artères…). Une
méthode de mesure de l’écart en fréquence défini précédemment est basée sur l’utilisation d’un circuit
multiplieur.
Son schéma fonctionnel est le suivant :
kui(t)ur(t)
ui(t)
us (t)
ur(t)
PSI Brizeux
1°- Donner l’expression de us(t) si ui(t) est sinusoïdale de fréquence fi. Quelle doit être la fréquence de coupure
du filtre passe-bas si on souhaite que us(t) transporte en lieu l’information ici intéressante ?
2° - Donner la relation entre la vitesse du mobile et la fréquence du signal us(t).
3° - Applications : v = 100 km.h-1 :
ondes ultrasonores : fi = 100 kHz et c = 340 m.s-1
ondes centimétriques (radar) : fi = 10 GHz et c = 3.108 m.s-1
ondes lumineuses (vélocimétrie laser) : fi = 5.1014 kHz et c = 3.108 m.s-1
Que peut-on penser de la faisabilité et de la précision des mesures ?
 El511. Démodulation non cohérente d’un signal
Ce type de détection est utilisé lorsque la fréquence de la porteuse est faible.
On considère un signal e(t) modulé en amplitude , de fréquence de porteuse fp = 2400 Hz ; on note A(t) son
amplitude instantanée : e(t) = A(t).cos(ωpt).
On admettra que A(t) est positif à chaque instant et que son profil spectral occupe l’intervalle de fréquence
[200 ; 1600 Hz].
1°) Lorsque A(t) est un signal sinusoïdal de fréquence F comprise dans l’intervalle [200 ; 1600 Hz], montrer
que e(t) est la somme de signaux sinusoïdaux dont on indiquera les fréquences. En déduire l’intervalle de
fréquences occupé par le spectre de e(t).
2°) On envisage une démodulation par redressement suivi d’un filtrage.
a) soit f(t) = cos(! p t) . Donner la formule mathématique de la décomposition en série de Fourrier de f(t), en
se limitant aux fréquences inférieures ou égales à 4fp.
b) Montrer que le signal e(t) redressé peut être considéré comme une somme de termes dont l’un est
proportionnel à A(t), les suivants étant modulés par A(t).
c) Quel type de filtre faut-il alors utiliser après le redressement pour ne conserver que le terme utile ?
3°) On considère le dispositif ci-dessous dans lequel on considèrera les composants comme idéaux.
R
R
R
R
+
R
e(t)
u(t)
+
Montrer que si e(t) est non nul, les deux diodes ne peuvent pas être bloquées simultanément.
Exprimer u(t) en fonction de e(t) lorsque e(t) > 0 puis lorsque e(t) < 0. Quelle est la fonction de ce montage ?
Le compléter pour obtenir le détecteur souhaité.