Td Bilans en mécanique des fluides

PSI Moissan 2013 TD Bilans en m´ecanique des fluides Septembre 2013
Td Bilans en m´ecanique des fluides
I Jet d’eau sur une plaque
Dm
D1
D2
~v
•
∆
hα
Une plaque homog`ene, de largeur 2l, de masse m, est mobile sans frottement autour d’un axe fixe horizontal
∆, co¨ıncidant avec l’un de ses cˆot´es. On envoie sur cette plaque un jet de liquide horizontal, parall`ele et
filiforme ; le liquide est parfait, homog`ene, incompressible de masse volumique µ. Le d´ebit massique Dm
du jet est constant et la vitesse du liquide dans le jet est ~v, ´egalement constante. La distance du jet `a ∆
est not´ee h. La pression du milieu ambiant est uniforme : P0. On n´egligera tout effet de la pesanteur sur
le fluide.
a. Montrer que partout o`u l’´ecoulement est unidirectionnel (trajectoires dans le liquide rectilignes et
parall`eles) la pression dans le liquide est ´egale `a P0.
b. ` A son arriv´ee sur la plaque, on suppose que le liquide s’´ecoule en un film de faible ´epaisseur le long
de cette plaque. D´eterminer alors l’angle αque fait la plaque avec la verticale descendante, `a l’´equilibre,
le r´egime permanent ´etant atteint. On exprimera αen fonction de m,g,h,Dm,vet l.
c. Plus pr´ecis´ement, on suppose que le jet, apr`es avoir frapp´e la plaque, se s´epare en deux jets filiformes
longeant la plaque, dans le plan vertical du jet incident, l’un vers le bas et l’autre vers le haut. D´eterminer
les d´ebits massiques D1et D2de ces deux jets, en fonction du d´ebit incident Dmet de l’angle α.
II Force exerc´ee sur un coude de canalisation
On consid`ere un ´ecoulement permanent et de d´ebit de masse D`a l’int´erieur d’une conduite horizontale
courb´ee. La vitesse est suppos´ee uniforme dans chaque section droite de la conduite. D´eterminer les
composantes Rxet Ryde la force exerc´ee par le fluide sur la canalisation entre les sections S1et S2
(caract´eris´ees par les pressions P1et P2) et les vitesses ~v1“v1~exet ~v2“v2cos α~ex`v2sin α~ey).
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III ´ Eolienne/h´elice
Dans un fluide parfait, homog`ene et incompressible de masse volumique ρ(air ou eau), est immerg´ee
une h´elice. On se place dans le r´ef´erentiel R, suppos´e galil´een, o`u l’h´elice est anim´ee d’un mouvement de
rotation autour de son axe x1x, fixe, `a vitesse angulaire constante. Nous ferons les hypoth`eses suivantes :
– Le mouvement du fluide autour de l’h´elice est suppos´e stationnaire, dans R, et `a sym´etrie de
r´evolution autour de x1x.
– La figure repr´esente un tube de courant dans R, dans l’hypoth`ese o`u SAąSB. Loin de l’h´elice,
hormis dans la veine `a l’aval de la section SB, la vitesse du fluide est uniforme et vaut ~vA“vA~ex
dans R; dans la veine aval, elle vaut ~vB“vB~ex, toujours `a grande distance de l’h´elice.
– La pression, `a grande distance de l’h´elice, et dans toutes les directions, est uniforme et vaut P0
(c’est vrai en particulier sur SAet sur SB).
– Les sections Σ1et Σ2du tube, tr`es voisines de l’h´elice, ont leurs aires pratiquement ´egales, de valeur
S; les pressions du fluide y sont suppos´ees uniformes et de valeurs respectives P1et P2.
– La vitesse du fluide, dans R, au voisinage de l’h´elice, est suppos´ee uniforme, de valeur ~v “v~ex
(l’inclinaison des pales par rapport au plan perpendiculaire `a l’axe x1xpermet le glissement du
fluide en satisfaisant `a la continuit´e de la vitesse normale sur les pales ; ce glissement est suppos´e
ne s’accompagner d’aucune dissipation d’´energie m´ecanique par frottement).
– Les effets de la pesanteur sur le fluide sont n´egligeables.
Σ1Σ2
x1x
SA
SB
~vA
~vA~vA
~vB
~v ~v
P0
P0
a. ´ Ecrire deux relations entre SA,vA,SB,vB,Set v.
b. ´ Evaluer les pressions P1et P2en fonction de P0,ρ,vA,vBet v. En d´eduire la r´esultante ÝÑ Fdes efforts
exerc´es par l’h´elice sur le fluide, en fonction de ρ,S,vAet vB. Discuter le sens de ÝÑ F.
c. ´ Evaluer ÝÑ Fpar ailleurs `a partir d’un bilan de quantit´e de mouvement. En d´eduire la relation donnant
ven fonction de vAet vB.
d. ´ Evaluer la puissance Pf( mesur´ee dans R) fournie par l’h´elice au fluide :
– `a partir de la valeur de ÝÑ F;
– En appliquant le premier principe de la thermodynamique `a un syst`eme convenable. On exprimera
Pfen fonction de vA,vBet du d´ebit massique Dmcirculant dans le tube de courant repr´esent´e sur
la figure.
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III.1 Application `a la propulsion d’un vaisseau (bateau ou avion)
Le vaisseau a, par rapport `a la Terre o`u le fluide est immobile `a grande distance de l’h´elice, une vitesse
constante ~u “ ´u~ex, u ą0 . Le fluide est ´eject´e vers l’arri`ere de l’h´elice `a une vitesse ~ve“ve~ex, `a grande
distance de celle-ci, ~ve´etant mesur´ee par rapport `a la Terre.
e. ´ Evaluer le rendement ´energ´etique η“Pu{Pmde la propulsion ; Puest la puissance fournie `a la coque
du vaisseau, mesur´ee dans le r´ef´erentiel terrestre, et Pmest la puissance fournie par le moteur actionnant
l’h´elice. On exprimera ηen fonction de uet veseulement.
f. Dans quelles conditions ηserait-il maximal ? Qu’en penser ?
g. Application num´erique : Calculer le rapport ve{upour η“0,85 (avion) et pour η“0,60 (bateau).
III.2 Application `a une ´eolienne
Dans ce cas, Rest le r´ef´erentiel terrestre et vBăvA.
h. Quelle est alors la forme du tube de courant ?
i. Soit Pla puissance obtenue sur l’arbre de l’´eolienne. On pose x“vB{vAp0ăxă1q;Set vA´etant
donn´es, pour quelle valeur de x,Pest-elle maximale ?
j. Le rendement ´energ´etique rest d´efini comme le rapport de Pau d´ebit d’´energie cin´etique de l’air `a
travers la section SAdu tube de courant. Exprimer ren fonction de x. Que vaut rlorsque Pest maximale ?
k. Application num´erique : Calculer la puissance maximale avec ρ“1,3kg ¨m´3;vA“8m¨s´1; le
diam`etre de l’h´elice est 10 m.
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