Mécanique des fluides TD7 TSI 2015-2016

Mécanique des fluides TD7 TSI 2015-2016
Exercice 1 : Quelques éléments de dynamique
On considère un écoulement stationnaire, homogène
(incompressible de masse volumique  et de viscosité )
unidirectionnel et tel que  dans une
canalisation « idéale » délimitée par deux plans infinis
et parallèles à . L’étude est faite dans le
référentiel lié à la conduite supposé Galiléen.
1) Dessiner quelques lignes de courant et justifier la
nullité de l’accélération du centre de masse des
particules de fluides.
2) A l’aide de la relation fondamentale de la
dynamique, comparer les pressions en  et . On
note  le champ de pesanteur terrestre supposé
uniforme. Commenter dans le cas d’une canalisation
dont l’épaisseur est de l’ordre du centimètre.
Les lignes de courants sont des droites parallèles à .
Sur une ligne de courant, donc sur la trajectoire d’une
particule de fluide, la vitesse du centre de masse est
uniforme car  : donc le centre de masse de la
particule est animée d’un mouvement rectiligne
uniforme.
Avec la RFD : 
Donc, on retrouve la loi de la statique en ce qui
concerne l’évolution de la pression verticale :
 soit  et donc donc,
nous pourrons parler de la pression d’une tranche de
conduite : 
Il est intéressant de constater que pour un écoulement
parfait aucune source motrice n’est nécessaire pour
entretenir l’écoulement. En revanche, pour un fluide
réel, on observe une variation de pression dans le sens
de l’écoulement : c’est la perte de charge (et le rôle des
châteaux d’eau est combler cette perte de pression)
Exercice 2 : Débitmètre de venturi
Un écoulement parfait, stationnaire, incompressible de
masse volumique  et irrotationnel s’établit dans une
conduite horizontale de section variable ( en amont et
 en aval) percé de deux cheminées latérales.
Exprimer le débit volumique en fonction de  et .
Les différentes hypothèses de l’écoulement permettent
d’utiliser la relation de Bernoulli « par tranche de
fluide » entre l’amont et l’aval :
On a aussi, par l’incompressibilité de l’écoulement, la
conservation de du débit volumique : 
La loi de la statique des fluides est valable pour
caractériser la loi donnant l’évolution verticale de la
pression : 
Donc : 
D’où 
A noter qu’en l’absence d’écoulement  et on
retrouve le principe des vases communiquant.

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Exercice 3 : Tube de Pitot à prise frontale
Le tube de Pitot est utilisé comme instrument de vol
pour la mesure de la vitesse de l’avion. Il est placé sur
fuselage :
Cette sonde cylindrique baigne dans un écoulement d’air
stationnaire, parfait, de masse volumique  et de
vitesse  parallèle à son axe.
La sonde est munie d’une prise frontale (entrée F, point
d’arrêt de vitesse nul) et d’une prise latérale (entrée L)
contenant du mercure de masse volumique  (qui se
stabilise avec une dénivellation ). Montrer par un calcul
approché et en utilisant la relation de Bernoulli (sur des
lignes de courant judicieusement choisies), que la norme
 de la vitesse s’exprime simplement en fonction de 
et  .
AN : Que vaut  pour 
En appliquant Bernoulli pour les lignes de courant
arrivant en F et L, on a :
Donc et alors 
Il s’agit d’un ordre de grandeur d’un avion au décollage
ou à l’atterrissage. L’hypothèse d’un gaz incompressible
est à remettre en cause pour des vitesses
supersoniques.
Exercice 4 : Puissance hydraulique
Chaque seconde, le barrage des Trois Gorges sur le
Yang Tze fournit 23 GWh par an. C'est le plus grand
barrage hydroélectrique du monde. Nous allons le
modéliser l’un de ses 26 générateurs par le modèle ci-
dessous :
Une canalisation de section 1m
2
située sur une colline
permet l’acheminement d’un écoulement stationnaire,
parfait et irrotationnel d’eau jusqu’à une turbine. Le
fluide est à pression atmosphérique en haut de la colline
et après la turbine.
Estimer la puissance maximale récupérable si le débit
volumique est  et si . Comparer
On peut estimer l’énergie massique à l’entrée de la
turbine :
Il s’agit de la relation de la statique des fluides (ce
n’était pas évident !)
Il s’agit ensuite d’un écoulement non conservatif pour
lequel la relation de Bernoulli donne :
Si l’on absorbe toute l’énergie cinétique alors :
Donc pour les 26 turbines on trouve  soit une
énergie annuelle de 42GWh. Nous n’avons pas tenu
compte des rendements électriques, des pertes de
charges….

Mécanique des fluides
Exercice 5 : Puissance fournie à une
petite
Pour les
bricoleurs souhaitant fabriquer eux même leur
turbine, un
constructeur propose le dispositif suivant
http://www.jlakit.com/fr/jlakit-la-
petite
hydraulique-accessible-a-tous
Il s’agit d’une turbine à eau et l
’eau circule dans une
turbine de  vers 
; les diamètres d’entrée et de
sortie sont   et 
. Le débit volumique
est  (l’écoulement
est
irrotationnel) et la dénivellation est
pressions du liquide en  et 
par rapport à la pression
atmosphérique sont 
.
Evaluer numériquement chacun des trois termes qui
contribue à la puiss
ance fournie par l’eau à la turbine en
considérant que l’écoulement est parfait (et
incompressible).
Et :
donc :  et 
Donc 
TD7
petite
turbine
bricoleurs souhaitant fabriquer eux même leur
constructeur propose le dispositif suivant
.
petite
-turbine-
’eau circule dans une
; les diamètres d’entrée et de
. Le débit volumique
est
stationnaire et
. Les
par rapport à la pression
et 
Evaluer numériquement chacun des trois termes qui
ance fournie par l’eau à la turbine en
considérant que l’écoulement est parfait (et
le fluide
Exercice 6 : Ordre de
grandeur d’une puissance
indiquée
Une pompe immergée à
10m sous terre doit permettre
de remonter de l’eau dans une installation située à la
surface. La pression du liquide au niveau du captage est
voisine de la pression atmosphérique et on désire un
débit volumique égale à 
l’installati
on, une pression supérieure à la pression
atmosphérique de 2,5 bar. Les sections des conduites
sont identiques et on se place en régime stationnaire.
Donner une estimation grossière, visant à dégager un
ordre de grandeur de la puissance indiquée
pompe.
Il s’agit ensuite
d’un écoulement non conservatif pour
lequel la relation de Bernoulli donne
Avec 
TSI 2015-2016
grandeur d’une puissance
10m sous terre doit permettre
de remonter de l’eau dans une installation située à la
surface. La pression du liquide au niveau du captage est
voisine de la pression atmosphérique et on désire un
avec, dans
on, une pression supérieure à la pression
atmosphérique de 2,5 bar. Les sections des conduites
sont identiques et on se place en régime stationnaire.
Donner une estimation grossière, visant à dégager un
ordre de grandeur de la puissance indiquée
de la
d’un écoulement non conservatif pour
lequel la relation de Bernoulli donne
:

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Exercice 7 : Pertes de charge
Un fluide incompressible de masse volumique , de
viscosité  s’écoule de manière stationnaire (donc
laminaire) dans une conduite cylindrique, horizontale
d’axe  et de rayon . On suppose l’écoulement à
symétrie axiale par rapport à l’axe  et
unidirectionnel :   en repérage cylindrique. On
donne l’opérateur divergent en cylindrique :
1) Justifier que  .
Dans ces conditions le Laplacien en coordonnées
cylindriques se réduit à :
2) Que dire de l’accélération des particules de
fluide de cet écoulement ?
3) On néglige le poids, montrer que 
 où 
4) Calculer le débit volumique  en fonction de
et .
5) En déduire que 
où  est une constante que l’on
cherchera à exprimer en fonctions des
données et de la côte 
6) Le résultat précédent permet de faire une
analogie forte avec une autre loi de la
physique. Laquelle ?
7) Afin de vérifier cette loi vous avez à
disposition :
- Chronomètre
- Balance
- Une conduite horizontale percée de 4
prises verticales
a) Expliquer pourquoi les prises verticales permettent
de faire une lecture de la pression en différents
points de l’écoulement horizontal.
b) Proposer un protocole permettant de connaître le
débit massique (puis le débit volumique) de
l’écoulement.
c) Vérifier la loi de Poiseuille en analysant
expérimentalement la relation 
Prenons les conséquences des hypothèses :
L’écoulement est à symétrie axial, donc :
Il est stationnaire
Le fluide est aussi incompressible, donc  soit
.
Donc les lignes de champ sont des droites sur lesquelles
la particule de fluide n’accélère pas.
La force de viscosité est la conséquence des forces de
viscosité surfacique (de cisaillement).
En négligeant le poids, le mouvement rectiligne uniforme
donne alors :
Il s’agit en fait de deux fonctions de variable
différente et l’égalité n’est passible que si elles sont
des constantes : 
Rq : La puissance de la force de pression est
nécessairement positive pour assurer l’écoulement donc
sa puissance implique 
 donc 

Mécanique des fluides TD7 TSI 2015-2016
Donc
 et 
Et : 
Ce champ doit être définit au centre donc  .
 et 
Et : 
Rq : on peut obtenir une expression plus fine de la force
de viscosité surfacique sur la conduite : 
. Il s’agit de la force de
frottement fluide dont la forme est couramment
utilisée en mécanique des fluides…
On peut maintenant calculer le débit :
Ainsi la constante  peut s’exprimer en fonction débit :
Or  donc 
On trouve donc la résistance hydraulique (analogue à la
résistance thermique ou électrique) pour  mètres de
tuyau : 
Expérimentalement : On obtient une régression
linaire tout à fait justifiée (résidu de l’ordre de l’unité
en prenant 10% d’incertitude sur la lecture de la
pression) en analysant la perte de charge entre deux
points de la canalisation pour différents débits.
Avec Python :
Avec Labview :
Exercice 8 : Problème de physique
Pour un même gradient de pression donné, par quel
tuyau horizontal doit-on remplacer un tuyau de rayon 
pour obtenir un débit volumique 10 fois plus
important d’un fluide incompressible ?
D’après la formule de perte de charge précédente :
Donc pour un rapport 10 des débits : ce qui
conduit à un rapport de 1,8 entre les rayons
On note ici l’influence notable d’une faible variation du
rayon de la canalisation.
Exercice 9: Association de résistances hydrauliques
On considère un écoulement stationnaire d’un fluide
réel incompressible.
1) Donner la loi d’association série de deux
résistances hydrauliques
2) Donner la loi d’association parallèle de deux
résistances hydrauliques
3) Le dispositif ci-dessous associe plusieurs
résistances hydrauliques (en parallèles ou en
séries) en maintenant un débit constant :