Étude de la phase de Berry dans le cadre de la mécanique

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITÉ MOULOUD MAMMERI TIZI-OUZOU
FACULTÉ DES SCIENCES
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
THÈSE DE DOCTORAT
SPECIALITÉ : Physique
OPTION : Physique Des Matériaux
Présentée par :
BOUMRAR Hocine
Sujet : Étude de la phase de Berry dans le cadre de la mécanique
quantique non-commutative
Devant le Jury d’examen composé de:
Omar LAMROUS Professeur UMMTO Président
Ferhat MENAS Professeur UMMTO et ENPEI Rapporteur
Alain BERARD Professeur Université de Lorraine-Metz Co-Rapporteur
Abdelhamid ZIANE Professeur UMMTO Examinateur
Yves GRANDATI Maitre de Conférences HDR Université de Lorraine-Metz Examinateur
Yazid KASRI Maitre de Conférences A Université A. MIRA Béjaia Examinateur
Soutenue le 17 /12/2015

REMERCIEMENTS
Ce travail de thèse a été réalisé dans le cadre d’une collaboration entre
l’université Mouloud Mammeri de Tizi-Ouzou (Algérie) et l’université de
Lorraine (France), sous la direction conjointe du professeur Ferhat Menas du
Laboratoire de Physique et Chimie Quantique (LPCQ) de l’université Mouloud
Mammeri de Tizi-Ouzou et le professeur Alain Bérard Institut de Chimie,
Physique et des Matériaux, Université de Lorraine, France.
Je tiens, avant tout, à exprimer ma profonde gratitude au Directeur de thèse
Ferhat Menas, professeur à l’université de Tizi-Ouzou et à l'Ecole Nationale
Préparatoire aux études d'Ingéniorat de Rouiba, pour ses conseils précieux, ses
encouragements, son suivi permanent ainsi que la confiance et l’aide qu’il m’a
accordé tout au long de mes années de thèse.
Je tiens particulièrement à remercier mon co-directeur de thèse le professeur
Alain Bérard de l’université de Lorraine pour avoir accepté de m’accueillir dans
son équipe et pour les moyens nécessaires mis à ma disposition. Par sa grande
compétence, ses conseils et sa disposition, il a joué un rôle déterminant dans le
développement de mes recherches.
Je remercie les membres de jury qui ont accepté de juger ce travail et d’y
apporter leur caution :
Monsieur Omar LAMROUS, professeur à l’université de Tizi-Ouzou, qui
me fait le grand honneur d’accepter la présidence du jury.
Messieurs, Abdelhamid Ziane, Yves GRANDATI et Yazid KASRI, pour
l’honneur qu’ils me font en acceptant de participer à ce jury.
J’adresse mes vifs remerciements à tous les chercheurs, membres du LPCQ.

Table des matières
Introduction 3
1 Phase de Berry 7
1.1 Transport parallèle et la notion d’holonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 PhasedeBerry ................................. 13
1.2.1 Evolution adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Evolution cyclique et phase de Berry . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Courbure de Berry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4 Anticipation et généralisation de la phase de Berry . . . . . . . . . 24
1.3 E¤et de la phase de Berry dans un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1 La phase de Berry et les bandes de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 Polarisation électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.3 Magnétisation orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.4 L’e¤et Hall anormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.5 E¤et Hall quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 La mécanique quantique non-commutative 46
2.1 Introduction................................... 46
2.2 L’électromagnétisme selon Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.1 Les propositions de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.2 Les résultats de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.3 Démonstration des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 L’algèbre du groupe SO(3) et le moment de Poincaré . . . . . . . . . . . . 56
2.3.1 Le monopôle magnétique de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2 L’algèbre du groupe SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1

2.4 Mécanique quantique non-commutative (MQNC) . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.1 Mise en évidence expérimentale du monopôle magnétique en impulsion 60
2.4.2 L’algèbre SO(3) et la MQNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Lien entre la phase de Berry et la MQNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5.1 Représentation de Foldy-Wouthuysen . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5.2 Hamiltonien pour une particule massive . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5.3 Opérateur de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.4 Courbure de Berry non abélienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.5 Particule non massive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.6 Applications physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 La phase de Berry et les électrons de Bloch 79
3.1 Introduction................................... 79
3.2 Modèle semi-classique des électrons de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Formulation lagrangienne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 La méthode de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.1 Laformulation ............................. 91
3.4.2 L’approximation semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.3 Application 1 : l’électron de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4.4 Application 2 : électron de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5 La substitution de Peierls géneralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5.1 La substitution de Peierls classique (1933) . . . . . . . . . . . . . . 103
3.5.2 La substitution de Peierls généralisée et les équations du mouvement105
3.5.3 Les variables canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.6 Quanti…cation de Bohr-Sommerfeld : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Conclusion 123
Bibliographie 126
2

Introduction
En 1984, Michael Berry a écrit un article qui a suscité un immense intérêt dans dif-
férents domaines de la physique [1]. Ceci porte sur le rôle des phases dans les systèmes
faisant intervenir deux échelles de temps di¤érentes en mettant en évidence une lacune
dans la formulation traditionnelle du théorème adiabatique : quand un vecteur propre d’un
hamiltonien Hest transporté le long d’un circuit fermé en faisant varier lentement les pa-
ramètres de l’environnement extérieur Rdont dépend H, il peut acquérir, contrairement
à ce qu’on avait cru jusqu’alors, un facteur de phase géométrique dépendant du circuit
parcouru, en plus du facteur de phase dynamique habituel. Cette phase géométrique qui
a été négligée pendant plus d’un demi-siècle est maintenant devenue un concept central
d’uni…cation dans la mécanique quantique, avec des applications dans plusieurs domaines
de la physique et implique divers e¤ets observables, particulièrement en physique de la
matière condensée [2].
L’introduction de concept de la phase de Berry dans les solides cristallins a été intro-
duite par Zak [3] qui a montré que la courbure de Berry est une propriété intrinsèque de
la structure de bande. Ceci a apporté un grand succès pour l’étude des matériaux diélec-
triques et ferroélectriques. En e¤et, la vision traditionnelle de la polarisation électrique et
l’aimantation orbitale basées sur l’image des charges et des densités des courants restent
mal exprimées jusqu’à 1992 où une formulation générale de la polarisation électrique a été
développée [4,5] en la reliant au phénomène de transport de charge adiabatique et l’expri-
mer en termes de phase de Berry à travers la zone de Brillouin. Par contre L’aimantation
orbitale est développée récemment par Thonhauser [6] en se basant sur une dérivation de
la représentation du Wannier, montrant qu’elle ne consiste pas seulement à dé…nir des
moments orbitaux des quasi-particules, mais contient également une contribution due à
la courbure du Berry d’origine topologique.
3