chap4

Optique Ondulatoire
Plan du cours
[1] Aspect ondulatoire de la lumière
[2] Interférences à deux ondes
[3] Division du front d’onde
[4] Division d’amplitude
[5] Polarisation
[6] Diffraction
[7] Interférences à ondes multiples
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
1 – Introduction
Nous avons déjà abordé très sommairement la notion de cohérence temporelle, qui
concerne la largeur spectrale des sources. Pour obtenir des interférences visibles, les
sources doivent également obéir à des contraintes de cohérence spatiale.
i) Source ponctuelle
Quel que soit le type d'interféromètre (division du front d'onde ou d'amplitude), les
interférences sont non-localisées.
ii) Source étendue
- Cas des interféromètres à division du front d'onde : les franges restent nonlocalisées, mais la visibilité baisse en tout point du champ d'interférence.
- Cas des interféromètres à division d'amplitude : la visibilité baisse en tout point du
champ d'interférence sauf sur une surface appelée surface de localisation : les
interférences y sont localisées et bien visibles.
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
2 – Lame à faces planes et parallèles
2.1) Coefficients de FRESNEL
Coefficients de réflexion et transmission en champ
E0
ρ12 E 0
- Réflexion en champ :
n1
n2
- Transmission en champ :
τ12 E 0
Remarque : ces expressions ne sont valables en toute rigueur qu’en
incidence normale.
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Lorsque l’onde vient d’un milieu d’indice faible et va vers un milieu
d’indice fort :
Le coefficient de réflexion en amplitude ou en champ est négatif :
Lorsque l’onde vient d’un milieu d’indice faible et va vers un milieu
d’indice fort :
Le coefficient de réflexion en amplitude ou en champ est positif :
Dans tous les cas le coefficient de transmission est positif
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Coefficients de réflexion et transmission en intensité
I0
R12 × I 0
- Réflexion en intensité :
n1
n2
T12 × I 0
- Transmission en intensité :
Relation entre la réflexion et la transmission
en intensité :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Conséquences :
1/ Cas : n1<n2
La réflexion s’accompagne d’une différence de marche de –λ0/2
2/ Quelques propriétés :
3/ Cas du verre :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
2.2) Présentation de l’interféromètre
Lame constituée d’un matériau homogène et transparent d’indice n, dont les
deux faces sont planes et parallèles
Voie 1
I inc
Faisceau
incident
Voie 2
et
L
i
i' = i
i
i
Au point J :
I
K
r
n
Au point I :
r
r
e
Au point K :
r' = r
J
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Les rayons de la voie 1 et de la voie 2 sont donc parallèles et se coupent à
l’infini, on dit que les interférences sont localisées à l’infini.
2.3) Calcul de la différence de marche
Le faisceau incident est séparé au point I et se recombine à l'infini. La
différence de marche est la différence de chemin optique entre I et l'infini
selon que l'onde a pris la voie 1 ou la voie 2. On note cela abusivement :
Les points L et K appartiennent au même plan d'onde et donc au même plan
équiphase. A partir de ces points la propagation s'effectuant dans l'air pour
les deux voies, on a :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
On décompose alors δ :
Et donc :
Ce qui s'écrit en tenant compte du déphasage supplémentaire dû à la
réflexion au niveau du dioptre air/verre sur la voie 1 :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Voie 1
I inc
Faisceau
incident
Voie 2
L
Chemin optique :
i i' = i
i
i
K
I
r
n
r
r
r' = r
e
Chemin optique :
J
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Finalement :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
2.4) Figure d’interférence
Rappel : coefficients de réflexion et transmission au niveau d’une interface
air/verre ou verre/air :
Intensité sur la voie 1 (1 réflexion) :
Intensité sur la voie 2 (2 réflexions et une transmission) :
Les deux voies de l’interféromètre sont équilibrées :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Comme l’interféromètre est équilibré :
avec
Approximation de GAUSS :
Soit :
Ainsi :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Ordre d’interférence :
Ordre au centre (incidence normale) :
Relation entre i, p et p0 :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Finalement :
avec :
et :
- Première frange claire : p = K d’où
- Seconde frange claire : p = K-1 d’où
- Troisième frange claire : p = K-2 d’où
-…
- mième frange : p = K-m+1 d’où
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
On obtient d'autant plus de franges que K est grand. C'est à dire que le
nombre de franges dépend directement de l'épaisseur e de la lame.
Le système possède une symétrie de révolution autour de la normale à
la lame : on obtient des anneaux d'égale inclinaison localisés à l'infini.
Ces anneaux étant localisés à l'infini ils sont caractérisés par leur
diamètre angulaire. On peut les observer de deux manières :
- A l‘œil sans accommoder
- Dans le plan focal d'une lentille, par projection.
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
2.5) Observation des anneaux d’égale inclinaison
F′
Dans le plan focal
d’une lentille (L)
lm
im
(L )
O
S
×
im
Rayon des anneaux :
e
n
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Observation des anneaux :
λ = 633nm
f ′ = 1m
n = 1.5
l2
12cm
l1
12cm
l3
12cm
e = 2mm

K = 9479
l 1 = 0.91cm

l 2 = 2.36cm

l 3 = 3.21cm
l 4 = 3.88cm
12cm
e = 0.55mm

K = 2507
l 1 = 1.53cm

l 2 = 4.43cm
l = 6.07cm
 3
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
3 – Lame quasi-parallèle : cas du coin de verre
3.1) Présentation de l’interféromètre
Considérons un rayon issu de la source S. Une partie (4%) est réfléchie ce qui constitue la
voie 1. Le reste est réfracté et se réfléchi sur la face intérieure. Ce rayon est ensuite
réfracté ce qui constitue la voie 2.
Voie 1
S
×
Voie 2
Ces deux rayons se coupent au
voisinage de la lame. Les
interférences sont localisées sur
un plan passant par l'arrête du
coin situé en son voisinage.
α
n
Surface de localisation Sloc
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
3.2) Calcul de la différence de marche
L’angle α et l’angle d’incidence i étant faibles, tout se passe comme si «
localement » on avait une lame parallèle d’épaisseur e(x) :
i
i ≈ nr
La différence de marche δ est
alors donnée par :
x
O
α
e( x )
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
3.3) Figure d’interférence
L’ordre d’interférence est donné par :
p ne dépend que de la coordonnée x, par conséquent, comme pour
l'interféromètre de YOUNG, les franges sont rectilignes et parallèles à l'axe du
coin.
- La mième frange claire est donnée par :
Soit :
- La (m+1)ième frange claire est donnée par :
Soit :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
L’interfrange est alors donné par :
Exemple :
α = 1′
n = 1.5


λ = 633nm
d = 0.73mm
y
α
x
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
y
4mm
x
x=0
5mm
On obtient alors des franges d ’égale épaisseur rectilignes parallèles à
l’arrête du coin de verre séparée d’un interfrange :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
4 – Interféromètre de MICHELSON
4.1) Lame séparatrice
Définition : Une lame séparatrice (50%/50%) est une lame de verre dont une face est
métallisée afin que la réflexion et la transmission en intensité soient égales. Une onde
d'intensité I0 incidente est séparée en deux autres ondes d'intensités I0/2.
I0 2
I0
I0 2
Dans tous nos schémas, nous remplacerons donc la lame épaisse par une lame effective
d'épaisseur négligeable. Cette lame sera dite compensée et n'induira simplement qu'une
différence de marche supplémentaire de –λ0/2.
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
4.2) Présentation de l’interféromètre
Miroir
M2
M 1′
l2
Image de M1 par la lame
séparatrice
S
Lumière
incidente
Miroir mobile
M1
45°
Lame
séparatrice
l1
α
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
L’interféromètre de MICHELSON permet de simuler tous les types de lames à
faces planes :
i) Lame à faces parallèles d’ épaisseur : e = l2 - l1
ii) Coin d’air d’angle α, correspondant à l’angle entre le miroir M2 et l’image
M’1 du miroir M1 par rapport à la lame séparatrice
Avantages/Intérêts de l’interféromètre de MICHELSON :
i) L’interféromètre de MICHELSON permet d’étudier rigoureusement les
interférences à deux ondes
ii) Les deux voies sont bien équilibrées et l’intensité sur chaque voie est de
l’ordre de 25% de l’intensité incidente (à comparer aux 4% de la lame de
verre)
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
4.3) Calcul de la différence de marche
Lame à face planes et parallèles
M 1′
M2
l1
l2
M1
S
×
i
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Coin d’air
×
M2
l1 = l 2
M 1′
α
x
M1
S
×
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
5 – Eclairage polychromatique
Interféromètre de Michelson en lame à faces planes et parallèles
- Source ponctuelle à l’infini (onde plane en incidence normale sur les miroirs)
- Source polychromatique
M2
Spectre de la source :
l2
M1
45°
l1
avec :
Détecteur
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Pour la composante spectrale de fréquence f, l’ordre d’interférence s’écrit :
Retard du champ empruntant la voie 2 (par rapport à celui de la voie 1) :
Soit :
On déduit l’intensité lumineuse élémentaire dI(f) due à la recombinaison des
deux champs :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Spectre centré en zéro : B’(f)
Hypothèse : B’(f) est paire
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
Expression de la Visibilité V : [On rappelle que V=(Imax-Imin)/(Imax+Imin)]
ainsi :
Exemple : Spectre rectangulaire
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
2.0
1.0
f0=30∆f
I0=1
1.5
0.8
V(τ)
I(τ)
0.6
1.0
0.4
0.5
0.2
0.0
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
τ∆f
Pour τ=τ0 : la visibilité s’annule
-3
-2
-1
0
1
2
3
τ∆f
les franges d’interférence disparaissent
On peut montrer que τ0=τc : temps de cohérence de la source (voir chapitre 2)
Relation entre la longueur de cohérence de la source et sa largeur spectrale :
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Chapitre 4 – Division d’amplitude
5 – Applications
En ce qui concerne les interférences localisées au voisinage de la lame, cellesci permettent de faire du contrôle de planéité de surfaces. D'un autre côté
l'interféromètre de MICHELSON est très utilisé en spectrométrie
(spectroscopie à transformée de FOURIER) avec des applications en chimie
et en biologie, ou en physique fondamentale (détection d'ondes
gravitationnelles par exemple). L'interféromètre de MACH-ZEHNDER, dérivé
de la lame à faces planes et parallèles, est très utilisé dans le domaine des
capteurs ou des télécommunications.
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