DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE

Q Dipôle magnétostatique (36-107) Page 1 sur 6 JN Beury
z
O
M
r
u
G
u
θ
Gu
ϕ
G
θ
r
M
G
DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE
I. DIPÔLE MAGNÉTIQUE
I.1 Moment magnétique d’une distribution de courant
Le moment magnétique
M
G d’une distribution de courant est défini de la manière suivante :
• Dans le cas d’un circuit filiforme fermé plan de surface S, en appelant n
G
le vecteur normal au plan du
circuit correspondant au sens positif de l’intensité dans le circuit, on a :
On peut utiliser la règle de la main droite pour
trouver rapidement le vecteur normal n
G
M
ISn IS==
G
G
G
M
G est dirigé de la face Sud vers la face Nord.
• Dans le cas d’un enroulement de fil, le moment magnétique est la somme des moments magnétiques
des spires :
s
pire spire
spires
M
IS n=
∑
GG
En particulier, le moment magnétique d’une bobine comportant N spires identiques de surface S est :
M
NISn NIS==
G
GG
• L’expression du moment magnétique d’une distribution quelconque ne figure pas au programme.
Remarques :
¾ Le moment magnétique ne dépend pas du sens conventionnel choisi pour l’intensité : si l’on change le sens positif
du courant, on inverse aussi le vecteur normal.
¾ Le moment magnétique dépend de l’orientation de l’espace (choix d’un trièdre direct et règle de la main droite),
c’est donc un pseudo-vecteur (ou vecteur axial).
I.2 Définition d’un dipôle magnétique
On appelle dipôle magnétique une distribution de courant de moment magnétique
M
G non nul dont la
taille caractéristique a est infiniment petite devant les autres longueurs du problème.
La notion abstraite de dipôle magnétique est applicable :
• pour modéliser le champ magnétique d’une distribution de courant réelle de taille caractéristique a à
distance très grande devant a, on parle de dipôle actif ;
• pour calculer l’action d’un champ magnétique extérieur sur une distribution de courant réelle de taille a
lorsque la distance caractéristique de variation du champ extérieur est très grande devant a, on parle de
dipôle passif. Le champ extérieur doit être uniforme ou quasi-uniforme.
II. CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE CRÉÉ PAR UN DIPÔLE
On utilise les coordonnées sphériques :

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On a vu que pour dipôle électrostatique : 22
00
cos
44
r
pu p
Vrr
θ
πε πε
⋅
==
G
G
et
3
0
3
0
2cos
4
1sin
grad 4
10
sin
p
V
r
r
Vp
EV
rr
V
r
θ
πε
θ
θπε
θϕ
∂
∂
∂
=− =− =
∂
∂
∂
JJJJG
G
On admet qu’il suffit d’utiliser l’analogie déjà rencontrée pour en déduire le champ créé par le dipôle
magnétostatique :
L’analogie est :
0
0
1
44
µ
π
επ
→ ; pM→
G
G
; EB→
G
G ;
Ne pas oublier de remplacer la multiplication par un produit vectoriel.
Le champ magnétostatique créé par le dipôle magnétostatique à grande distance vaut :
0
3
0
3
2cos
4
sin
4
0
M
r
M
Br
µ
θ
π
µ
θ
π
=
G

Q Dipôle magnétostatique (36-107) Page 3 sur 6 JN Beury
III. APLLICATIONS AUX DISTRIBUTIONS ÉTUDIÉES PRÉCÉDEMMENT
¾ Si on étudie le champ créé par une spire à grande distance, on a la même structure que le champ créé
par un dipôle.
¾ Si on étudie le champ créé par les bobines de Helmholtz à grande distance, on a la même structure que
le champ créé par un dipôle. Le moment magnétique vaut : 22 2
2
z
zz
M
IRu IRu IRu ππ π =+=
G
G
GG
.
¾ Si on étudie le champ créé par les bobines de Helmholtz à grande distance, on n’a pas la même
structure que le champ créé par un dipôle car le moment magnétique résultant vaut
22
0
zz
MIRuIRu ππ =−=
G
GGG
. Dans ce cas, la distribution est équivalente à un quadripôle.

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A
B
D
C
I
O
H
1
H
2
z
O
H
2
H
1
b
a
B
G
vue de dessus
CD
F
G
A
B
F
G
z
u
G
α
n
G
M
G
α
IV. ACTION D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE EXTÉRIEUR SUR UN DIPÔLE
MAGNÉTIQUE
On s’intéresse à l’action de Laplace subie par un dipôle magnétique placé dans un champ magnétique
extérieur ext
B
G uniforme ou quasi uniforme.
IV.1 Couple exercé par un champ magnétique extérieur sur un dipôle magnétique
a) Cadre rectangulaire dans un champ magnétique uniforme
Le cadre est compris dans un plan vertical. Le moment magnétique du cadre est :
M
ISn IS==
G
GG. Le
vecteur normal n
G est orienté avec la règle de la main droite.
• Résultante des forces de Laplace :
(
)
^^^^ ^0
L ext ext ext ext ext
FIABBIBCBICDBIDAB IABBCCDDAB=+++=+++=
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG G
GG G G G G
.
La résultante des forces de Laplace est nulle.
L’action mécanique de Laplace est donc un couple de forces.
• Nous allons calculer le moment de l’action mécanique de Laplace. Ce moment étant indépendant du
point, nous le calculons au centre O du cadre.
Le champ magnétique étant uniforme, ces forces sont réparties uniformément sur AB ; le point
d’application de la résultante
A
B
F
G est donc le milieu1 H1 de AB.
¾ ,1
^
OAB AB
OH FΓ=
J
JJJG G
G. La force de Laplace
A
B
F
G
est orthogonale à
A
B
J
JJG et à B
G. (voir vue de
dessus).
A
Bext
F
IaB=
G. ,OAB
Γ
G est orthogonal à
A
B
F
G
et à 1
OH
J
JJJG . ,OAB
Γ
G
est donc colinéaire à
z
u
G
.
On a donc :
()
111
sin , cos cos
2
A
BAB ABzABzextz
b
OH F OH F u OH F u IaB u
α
α Γ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
JJJJG
GG G
G
G
GG
¾ De même, on a cos
2
CD ext z
b
I
aB u
α
Γ=
G
G
.
¾ Les autres contributions sont nulles.
Le moment du couple est donc cos
ext z
I
abB u
α
Γ=
G
G
.
On peut l’exprimer en fonction de
M
ISn Iabn==
G
G
G. On a alors ^ext
M
BΓ=
G
G
G
b) Généralisation
On admet la généralisation du résultat précédent :
Un dipôle magnétique de moment magnétique
M
G
plongé dans un champ magnétique extérieur ext B
G
est soumis à un couple de moment :
^ext
M
BΓ=
G
G
G
Ce couple tend à aligner le moment magnétique sur le champ magnétique. Il s’annule lorsque
M
G
est
parallèle à ext
B
G. L’expression ^ext
M
BΓ=
GG
G est aussi valable pour un champ uniforme ou quasi uniforme
ainsi que pour un champ magnétique variant dans le temps.
IV.2 Énergie potentielle d’interaction entre un dipôle rigide et un champ magnétique permanent
1 On peut vérifier facilement sur un schéma que le moment résultat des forces de Laplace sur AB est nul en H.

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O
z
u
G
ext
B
G
M
G
θ
O
M
G
ext
B
G
z
u
G
O
M
G
ext
B
G
z
u
G
On appelle dipôle magnétique rigide un dipôle dont
M
cte=
G
. Cela revient à considérer un circuit
indéformable.
On admet que pour un dipôle magnétique rigide, il existe une énergie potentielle d’interaction entre ce
dipôle et le champ magnétique ext
B
G lorsqu’il est stationnaire :
p
ext
EMB=− ⋅
G
G pour un dipôle rigide
Cette énergie potentielle est minimale lorsque le moment magnétique est aligné sur le champ
magnétique, (c’est donc un équilibre stable) et maximale lorsque le moment magnétique est
antiparallèle au champ (équilibre instable). Ces conclusions sont cohérentes avec le paragraphe
précédent.
IV.3 Exercice important – Équilibre et stabilité d’un équilibre pour un dipôle magnétique en rotation
autour d’un axe fixe placé dans un champ extérieur
Nous considérons un dipôle magnétique rigide en rotation autour d’un axe fixe Oz placé dans un champ
extérieur ext
B
G.
Exemple de dipôle : cadre rectangulaire étudié dans le paragraphe IV.1, boussole…
a) Étude de l’équilibre
Il y a deux méthodes pour étudier l’équilibre :
¾ Utilisation du moment des forces.
Le moment des forces est ^sin
ext ext z
M
BMB u
θ
Γ= =−
G
G
G
G
. À l’équilibre, 0Γ=
G
G.
Il y a deux positions d’équilibre : 0
θ
=
et
θ
π
=
, c'est-à-dire
M
G
et ext B
G colinéaires.
¾ Utilisation de l’énergie potentielle.
L’énergie potentielle du dipôle est : cos
pextext
EMB MB
θ
=− ⋅ =−
G
G.
L’énergie potentielle est extrêmale à l’équilibre : Il y a deux positions d’équilibre : 0
θ
=
et
θ
π =.
b) Stabilité de l’équilibre
L’équilibre est stable si en écartant le système de sa position d’équilibre, les actions mécaniques ont
tendance à le ramener vers sa position d’équilibre.
L’équilibre est instable si en écartant le système de sa position d’équilibre, les actions mécaniques ont
tendance à l’écarter de sa position d’équilibre.
¾ Utilisation du moment des forces.
On écarte le dipôle de la position d’équilibre 0
θ
=
.
0
z
Γ< , le couple a tendance à le faire tourner dans le sens horaire
(Règle de la main droite).
La position 0
θ
= est donc un équilibre stable.
On écarte le dipôle de la position d’équilibre
θ
π
=
.
0
z
Γ< , le couple a tendance à le faire tourner dans le sens trigonométrique
(Règle de la main droite).
La position
θ
π = est donc un équilibre instable.
¾ Utilisation de l’énergie potentielle.
cos
pext
EMB
θ
=− .
L’équilibre est stable si l’énergie potentielle est minimale.
L’équilibre est instable si l’énergie potentielle est maximale.
On retrouve donc les résultats obtenus avec la première méthode.
c) Obtention de l’équation différentielle
¾ Utilisation du théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe.