DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE

DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE
I. DIPÔLE MAGNÉTIQUE
I.1 Moment magnétique d’une distribution de courant
G
Le moment magnétique M d’une distribution de courant est défini de la manière suivante :
G
• Dans le cas d’un circuit filiforme fermé plan de surface S, en appelant n le vecteur normal au plan du
circuit correspondant au sens positif de l’intensité dans le circuit, on a :
On peut utiliser la règle de la main droite pour
G
trouver rapidement le vecteur normal n
G
G
G
M =ISn=IS
•
G
M est dirigé de la face Sud vers la face Nord.
Dans le cas d’un enroulement de fil, le moment magnétique est la somme des moments magnétiques
G
G
des spires : M = ∑ I S spire nspire
spires
En particulier, le moment magnétique d’une bobine comportant N spires identiques de surface S est :
G
G
G
M = NISn = NIS
•
L’expression du moment magnétique d’une distribution quelconque ne figure pas au programme.
Remarques :
¾ Le moment magnétique ne dépend pas du sens conventionnel choisi pour l’intensité : si l’on change le sens positif
du courant, on inverse aussi le vecteur normal.
¾ Le moment magnétique dépend de l’orientation de l’espace (choix d’un trièdre direct et règle de la main droite),
c’est donc un pseudo-vecteur (ou vecteur axial).
I.2 Définition d’un dipôle magnétique
G
On appelle dipôle magnétique une distribution de courant de moment magnétique M non nul dont la
taille caractéristique a est infiniment petite devant les autres longueurs du problème.
La notion abstraite de dipôle magnétique est applicable :
• pour modéliser le champ magnétique d’une distribution de courant réelle de taille caractéristique a à
distance très grande devant a, on parle de dipôle actif ;
• pour calculer l’action d’un champ magnétique extérieur sur une distribution de courant réelle de taille a
lorsque la distance caractéristique de variation du champ extérieur est très grande devant a, on parle de
dipôle passif. Le champ extérieur doit être uniforme ou quasi-uniforme.
II. CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE CRÉÉ PAR UN DIPÔLE
On utilise les coordonnées sphériques :
G
ur
z
M
θ
G
M
G
uθ
G
uϕ
r
O
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2 p cos θ
∂V
4πε 0 r 3
∂r
G G
JJJJG
G
p ⋅ ur
1 ∂V
p cos θ
p sin θ
=
=
On a vu que pour dipôle électrostatique : V =
et E = −grad V = −
2
2
4πε 0 r 3
r ∂θ
4πε 0 r
4πε 0 r
1 ∂V 0
r sin θ ∂ϕ
On admet qu’il suffit d’utiliser l’analogie déjà rencontrée pour en déduire le champ créé par le dipôle
magnétostatique :
L’analogie est :
G G
G
µ
G
1
→ 0 ; p→M ; E→B ;
4πε 0
4π
Ne pas oublier de remplacer la multiplication par un produit vectoriel.
Le champ magnétostatique créé par le dipôle magnétostatique à grande distance vaut :
µ0 2M cos θ
4π
r3
G µ0 M sin θ
B=
4π
r3
0
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III. APLLICATIONS AUX DISTRIBUTIONS ÉTUDIÉES PRÉCÉDEMMENT
¾
Si on étudie le champ créé par une spire à grande distance, on a la même structure que le champ créé
par un dipôle.
¾
Si on étudie le champ créé par les bobines de Helmholtz à grande distance, on a la même structure que
G
G
G
G
le champ créé par un dipôle. Le moment magnétique vaut : M = I π R 2 u z + I π R 2 u z = 2 I π R 2 u z .
¾
Si on étudie le champ créé par les bobines de Helmholtz à grande distance, on n’a pas la même
structure que le champ créé par un dipôle car le moment magnétique résultant vaut
G
G
G G
M = I π R 2 u z − I π R 2 u z = 0 . Dans ce cas, la distribution est équivalente à un quadripôle.
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IV. ACTION D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE EXTÉRIEUR SUR UN DIPÔLE
MAGNÉTIQUE
On s’intéresse à l’action de Laplace subie par un dipôle magnétique placé dans un champ magnétique
G
extérieur Bext uniforme ou quasi uniforme.
IV.1 Couple exercé par un champ magnétique extérieur sur un dipôle magnétique
a) Cadre rectangulaire dans un champ magnétique uniforme
z
I
vue de dessus
G
uz
D
A
G
FCD
α
H2
α
G
FAB
O
a
O
H1
H1
H2
G
n
G
B
G
M
C
B
b
G
G
G
Le cadre est compris dans un plan vertical. Le moment magnétique du cadre est : M = I S n = I S . Le
G
vecteur normal n est orienté avec la règle de la main droite.
•
Résultante des forces de Laplace :
JJJG G
JJJG G
JJJG G
JJJG G
JJJG JJJG JJJG JJJG G
G
G
FL = I AB ^ Bext + I BC ^ Bext + I CD ^ Bext + I DA ^ Bext = I AB + BC + CD + DA ^ Bext = 0 .
(
•
)
La résultante des forces de Laplace est nulle.
L’action mécanique de Laplace est donc un couple de forces.
Nous allons calculer le moment de l’action mécanique de Laplace. Ce moment étant indépendant du
point, nous le calculons au centre O du cadre.
Le champ magnétique étant uniforme, ces forces sont réparties uniformément sur AB ; le point
G
d’application de la résultante FAB est donc le milieu1 H1 de AB.
JJJJG G
JJJG
G
G
G
¾ Γ O , AB = OH1 ^ FAB . La force de Laplace FAB est orthogonale à AB et à B . (voir vue de
JJJJG G
G
G
G
G
dessus). FAB = IaBext . Γ O , AB est orthogonal à FAB et à OH1 . Γ O , AB est donc colinéaire à u z .
On a donc :
JJJJG G G
G
G
G
G b
G
Γ AB = OH1 ⋅ FAB ⋅ sin OH1 , FAB u z = OH1 ⋅ FAB ⋅ cos α u z = IaBext cos α u z
2
G
G
b
¾ De même, on a Γ CD = IaBext cos α u z .
2
¾ Les autres contributions sont nulles.
G
G
Le moment du couple est donc Γ = IabBext cos α u z .
G
G G
G
G
G
On peut l’exprimer en fonction de M = I S n = Iab n . On a alors Γ = M ^ Bext
(
)
b) Généralisation
On admet la généralisation du résultat précédent :
G
G
Un dipôle magnétique de moment magnétique M plongé dans un champ magnétique extérieur Bext
est soumis à un couple de moment :
G G
G
Γ = M ^ Bext
G
Ce couple tend à aligner le moment magnétique sur le champ magnétique. Il s’annule lorsque M est
G
G G
G
parallèle à Bext . L’expression Γ = M ^ Bext est aussi valable pour un champ uniforme ou quasi uniforme
ainsi que pour un champ magnétique variant dans le temps.
IV.2 Énergie potentielle d’interaction entre un dipôle rigide et un champ magnétique permanent
1
On peut vérifier facilement sur un schéma que le moment résultat des forces de Laplace sur AB est nul en H.
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G
M = cte . Cela revient à considérer un circuit
On appelle dipôle magnétique rigide un dipôle dont
indéformable.
On admet que pour un dipôle magnétique rigide, il existe une énergie potentielle d’interaction entre ce
G
dipôle et le champ magnétique Bext lorsqu’il est stationnaire :
G G
E p = − M ⋅ Bext pour un dipôle rigide
Cette énergie potentielle est minimale lorsque le moment magnétique est aligné sur le champ
magnétique, (c’est donc un équilibre stable) et maximale lorsque le moment magnétique est
antiparallèle au champ (équilibre instable). Ces conclusions sont cohérentes avec le paragraphe
précédent.
IV.3 Exercice important – Équilibre et stabilité d’un équilibre pour un dipôle magnétique en rotation
autour d’un axe fixe placé dans un champ extérieur
Nous considérons un dipôle magnétique rigide en rotation autour d’un axe fixe Oz placé dans un champ
G
extérieur Bext .
Exemple de dipôle : cadre rectangulaire étudié dans le paragraphe IV.1, boussole…
G
M
G
uz
θ
O
G
Bext
a) Étude de l’équilibre
Il y a deux méthodes pour étudier l’équilibre :
¾ Utilisation du moment des forces.
G G
G
G G
G
Le moment des forces est Γ = M ^ Bext = − MBext sin θ u z . À l’équilibre, Γ = 0 .
G
G
Il y a deux positions d’équilibre : θ = 0 et θ = π , c'est-à-dire M et Bext colinéaires.
¾ Utilisation de l’énergie potentielle.
G G
L’énergie potentielle du dipôle est : E p = − M ⋅ Bext = − MBext cos θ .
L’énergie potentielle est extrêmale à l’équilibre : Il y a deux positions d’équilibre : θ = 0 et
θ =π .
b) Stabilité de l’équilibre
L’équilibre est stable si en écartant le système de sa position d’équilibre, les actions mécaniques ont
tendance à le ramener vers sa position d’équilibre.
L’équilibre est instable si en écartant le système de sa position d’équilibre, les actions mécaniques ont
tendance à l’écarter de sa position d’équilibre.
G
M
¾ Utilisation du moment des forces.
G
uz
G
On écarte le dipôle de la position d’équilibre θ = 0 .
O
Bext
Γ z < 0 , le couple a tendance à le faire tourner dans le sens horaire
(Règle de la main droite).
La position θ = 0 est donc un équilibre stable.
G
M
¾
G
On écarte le dipôle de la position d’équilibre θ = π .
uz
Γ z < 0 , le couple a tendance à le faire tourner dans le sens trigonométrique
(Règle de la main droite).
La position θ = π est donc un équilibre instable.
Utilisation de l’énergie potentielle.
E p = − MBext cos θ .
G
Bext
O
L’équilibre est stable si l’énergie potentielle est minimale.
L’équilibre est instable si l’énergie potentielle est maximale.
On retrouve donc les résultats obtenus avec la première méthode.
c) Obtention de l’équation différentielle
¾ Utilisation du théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe.
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On appelle J le moment d’inertie du dipôle magnétique. Dans un référentiel galiléen, on a :
dω
d 2θ
d 2θ MBext
J
= J 2 = Γ z = − MBext sin θ . On en déduit : 2 +
sin θ = 0 .
dt
dt
dt
J
Dans le cas de petites oscillations autour de la position d’équilibre θ = 0 , on peut effectuer un
d 2θ MBext
θ = 0 . C’est
développement limité de sin θ au premier ordre. On a alors :
+
dt 2
J
MBext
. La solution est :
l’équation d’un oscillateur harmonique. On pose : ω02 =
J
θ = θ m cos (ω0 t + ϕ ) ou de la forme A cos (ω0 t ) + B sin (ω0 t ) . La deuxième forme est plus
¾
pratique à utiliser avec les conditions initiales.
Utilisation de l’énergie potentielle.
Le système est conservatif. L’énergie mécanique est constante.
1
Em = Ec + E p = J ω 2 − MBext cos θ .
2
La méthode pour obtenir l’équation différentielle est d’écrire :
dEm
=0
dt
dEm
1 2
+ MB θ sin θ . En simplifiant par θ ,
J θ − MBext cos θ . On en déduit :
= 0 = J θθ
ext
2
dt
MBext
sin θ = 0 .
on en déduit : θ +
J
Em =
d) Exemple de la boussole
Une boussole est un petit aimant allongé libre de ses rotations autour d’un axe. Elle est équivalente à un
G
G
aimant de moment magnétique M .
M
Nord
Sud
Si on place la boussole dans un champ magnétique extérieur, elle s’oriente dans la même direction et le
même sens que le champ magnétique.
G
M
Sud
Nord
G
Bext
Remarques : À propos de la boussole et de la Terre, le pôle Nord de la Terre correspond au pôle Sud du
dipôle magnétique qui modélise le comportement magnétique de la planète. En effet, on a historiquement
appelé pôle Nord, le pôle vers lequel se dirige le pôle Nord de la boussole. Ce dernier étant attiré par un
pôle Sud, le pôle Nord de la Terre est un pôle Sud pour l’aimant correspondant.
IV.4 Un soupçon de géophysique et un zeste de géomagnétisme
http://www-lgit.obs.ujf-grenoble.fr/recherche/geodynamo/Inauguration.pdf
Q Dipôle magnétostatique (36-107)
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