Simulation numérique de l`agglomération des - GDR AMC2
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Simulation numérique de l'agglomération des colloïdes : du nanomètre au micromètre Mikaël Mohaupt, Jean-Pierre Minier et Anne Tanière 13 Décembre 2010 – GDR Colloïdes Annecy 11/02/11 LEMTA – UMR 7563 CNRS, ESSTIN Université Henri Poincaré Nancy I EDF R&D [email protected] ::1:: Plan général • Introduction et problématique • Équations du mouvement et schéma d'intégration numérique • Théorie de l'agglomération • Algorithme de collision – cas balistique • Algorithme de collision – cas diffusif • Conclusions et perspectives 11/02/11 ::2:: Objectifs • Idée principale : simuler la formation d'agglomérats de particules dans le temps à partir des forces d'interactions élémentaires • But : Tester les méthodes d'agglomération et développer de nouveaux modèles 11/02/11 Applications en médecine, alimentaire, ingénierie industrielle et nucléaire, ... ::3:: Cadre de l'étude • Formation d'agglomérats à partir de particules colloïdales placées dans un écoulement fluide – Multi-échelle : du nanomètre au micromètre • Turbulence, mouvement brownien, (gravité) – Théorie : noyaux d'agglomérations – Phénomène d'agglomération • Outil numérique : la DNS (Direct Numerical Simulation) – Résolution de la phase fluide par DNS – Suivi lagrangien des particules • Besoins et motivations de l'étude – Traitement numérique des interactions entre particules 11/02/11 Recherche d'un unique outil de simulation pour ces interactions sur une gamme de diamètres étendue : du nanomètre au micromètre. ::4:: Plan général • Introduction et problématique • Équations du mouvement et schéma d'intégration numérique – Hypothèses – Intégration numérique • • • • Théorie de l'agglomération Algorithme de collision – cas balistique Algorithme de collision – cas diffusif Conclusions et perspectives 11/02/11 ::5:: Établissement des équations pour la simulation dynamique • • Hypothèses : particule isolée, one-way, espace infini Processus stochastique (E) sur la vitesse : – Colloïdes => forces de trainée + Brownien • • La position : La physique de la particule brownienne décrivant la thermalisation d'une particule dans un fluide au repos à l'équilibre thermique correspond à : 11/02/11 ::6:: Suivi lagrangien d'une particule Intégration (Peirano et al. 2006) Système d'équations intégrées, non contraint par 11/02/11 ::7:: Plan général • Introduction et problématique • Équations du mouvement et schéma d'intégration numérique • Théorie de l'agglomération – Noyaux Browniens – Cadre de notre étude • Algorithme de collision – cas balistique • Algorithme de collision – cas diffusif • Conclusion et perspectives 11/02/11 ::8:: Théorie de l'agglomération sous influence brownienne • • Smoluchowski (1917) : agglomération probabiliste (kernel) Équation de bilan de population : • Mouvement brownien => deux régimes, en fonction du nombre de Knudsen : • Régime « moléculaire libre » : • Régime « continu » : • Relation en les noyaux d'agglomérations ( collisions ( ) : 11/02/11 ) et les noyaux de ::9:: Noyaux de collisions brownien • Dans le cas d'une distribution polydispersée : • Dans le cas d'une distribution monodispersée : 11/02/11 Smoluchowski (1917) ::10:: Estimation du noyau dans une simulation numérique à partir du nombre de collisions • Le nombre de collisions théorique à l'instant t : • Noyau de collisions estimé dans une simulation déterministe : 11/02/11 La première phase de l'agglomération réside dans l'estimation du nombre de collisions ::11:: Plan général • • • • Introduction et problématique Équations du mouvement et schéma d'intégration numérique Théorie de l'agglomération Algorithme de collision – cas balistique – Bibliographie – Cas test brownien pur – Analyse et conclusion • Algorithme de collision – cas diffusif • Étude de la complexité numérique • Conclusion et perspectives 11/02/11 ::12:: Bibliographie – les algorithmes de collisions déterministes • Algorithmes type “recouvrement” – Yeung & Pope (1988), Sundaram & Collins (1996) • Étude sur la mise en œuvre numérique – Chen & Mac Lauglin (1998) • Application : DNS canal plan, écoulement turbulent – Wunsch, Fede & Simonin (2006) • Libre parcours moyen sur inférieur à • Algorithme type “Dynamique moléculaire” – Sigurgeirson, Stuart & Wan (2001) • Complexité croissante (one-way, two-way) 11/02/11 Respect du régime balistique (trajectoire rectiligne) sur un pas de temps ::13:: Analyse • Algorithme de type “recouvrement” – Fraction volumique élevée – Libre parcours moyen faible des particules sur un pas de temps Très couteux lorsque devient petit • Algorithme de type “dynamique moléculaire” (MD) – Fraction volumique faible – Libre parcours moyen élevé des particules sur un pas de temps Très couteux lorsque • coût exhorbitant pour les colloïdes : 11/02/11 devient grand Choix d'algorithme : type MD dit “time driven” ::14:: Algorithme de collision élaboré – Vue générale - Distribution uniforme des positions de particules - Monodispersée, sans recouvrement - Vitesse du fluide nulle et particulaire à l'eq. thermique - temps de latence avant l'activation des collisions - adaptées au traitement des collisions sur les bords du volume de contrôle 11/02/11 ::15:: Algorithme de collision – « time driven » • Collisions sur critères géométriques – type MD • Pas de temps de la simulation variable : – traitement d'une unique collision binaire Avantage : – Simplicité Inconvénient : – Coût numérique élevé si élevé 11/02/11 ::16:: Simulations de collisions browniennes Mouvement brownien pur, fluide au repos (air) Simulation numérique dans le régime balistique (déplacement rectiligne sur un pas de temps) Régime continu : Collisions uniquement, distribution monodispersée Fraction volumique constante : Comparaisons à la théorie ::17:: Collisions browniennes – Analyse de l'algorithme “time-driven” Time in s Time in s ::18:: Time in s Analyse : collision brownienne • Coût numérique total Bon comportement par rapport à la théorie, mais très petits pas de temps impliquant des coûts numériques élevés Tests on Intel Xeon 2.33 GHz • Ordre de grandeur utilisé dans les simulations – Exemple : dans l'air – correspond à des coûts numériques élevés • Comment dépasser cette limitation en accord avec le schéma d'intégration choisi ? ::19:: Analyse : collision brownienne • Utilisation directe de l'algorithme • Où est le problème ? Mohaupt et al. - ICMF 2010 • Qu'est-ce qui reste valable de l'algorithme élaboré ? – Rien. L'hypothèse de base est le déplacement rectiligne sur un pas de temps. • Connaissances et besoins – La position et la vitesse de la particule aux instants et – Une particule considérée rencontre-t-elle une autre particule sur • Déterministe ET probabiliste ? ::20:: Plan général • • • • • Introduction et problématique Équations du mouvement et schéma d'intégration numérique Théorie de l'agglomération Algorithme de collision – cas balistique Algorithme de collision – cas diffusif – – – – Idée de base Mise en oeuvre Description de l'algorithme élaboré Premiers résultats • Conclusions et perspectives 11/02/11 ::21:: Vers un algorithme de collision adapté aux colloïdes • Une paire de particules ayant un comportement diffusif : Quelle est la probabilité pour qu'une paire de particules ayant un comportement diffusif sur un pas de temps, connaissant les positions initiales et finales, se rencontrent ? 11/02/11 Peut-on donner la probabilité pour ce mouvement brownien relatif à la paire de particule, d'atteindre le minimum ? ::22:: Travaux mathématiques de référence • Karatzas & Shreve (1991) – Sur un pas de temps , la probabilité pour un mouvement brownien 1D ( ) que son minimum atteigne le niveau connaissant et est donnée par : 11/02/11 ::23:: Comment utiliser cette idée dans nos travaux ? • Pour un mouvement brownien de variance quelconque : • Mouvement relatif de deux particules : – – Probabilité de collision si • Brownien 3D : – Norme du mouvement relatif à deux particules • Collision : soit un nombre aléatoire (tirage uniformément réparti sur [0;1]) 11/02/11 ::24:: Norme d'un processus brownien : le processus de Bessel • Définition Si est un processus brownien, alors est un processus de Bessel de dimension 3 • Application On construit le processus de Bessel représentant la norme du vecteur position relative de deux particules Avec l'aide de C. Profeta (IECN), on arrive à donner : 11/02/11 ::25:: Mise en pratique • • • tests à fraction volumique constante : 11/02/11 ::26:: Résultats 11/02/11 ::27:: Résultats 11/02/11 ::28:: Résultats 11/02/11 ::29:: Conclusion • Sur la piste d'un traitement probabiliste des collisions de colloïdes basé sur la théorie des processus de diffusion • Méthodologie et premiers résultats très encourageants En bonne voie dans l'élaboration d'un outil unique permettant de simuler les collisions de particules, sous un comportement diffusif et/ou balistique sur un pas de temps. Cet outil peut permettre l'étude de nombreux cas appliqués d'écoulements fluides-particules à des échelles de tailles très différentes. 11/02/11 ::30:: En vous remerciant pour votre attention. Des remarques, des questions ? 11/02/11 ::31::
