Placement optimal d`un SVC dans un réseau d`énergie électrique

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE
«Mohamed Boudiaf »
ORAN
FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE
DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE
Ce mémoire intitulé :
Placement optimal d’un SVC dans un réseau
d’énergie électrique par un algorithme génétique
Présenté par : BLAL Abdelkarim
en vue de l'obtention du diplôme de : Magister
Mémoire soutenu le 27 Avril 2011 devant le jury composé de :
Président :
Maitre de conférences
USTO-MB
Maitre de conférences
USTO-MB
Mr Kotni L.
Maitre de conférences
USTO-MB
Mr Bouzeboudja H.
Maitre de conférences
USTO-MB
Mr Allali A.
Examinateurs : Mme Benzergua F.
Encadreur :
REMERCIEMENTS
J’aimerais remercier toutes les personnes qui ont contribué à la réalisation de
ce mémoire,
J’aimerais remercier ma famille pour leur collaboration faite d'amour et de
tendresse.
Mes remerciements et ma gratitude la plus profonde à mon encadreur Mr H.
Bouzeboudja pour sa disponibilité et sa patience, pour son amitié et
compréhension dans son travail d'encadrement et pour son aide précieuse dans
la révision de ce mémoire.
Je tiens à remercier :
Monsieur A. Allali, Maitre de conférences à USTO-MB pour m’avoir fait
l’honneur de présider le jury de ce mémoire.
Madame F Benzergua, Maitre de conférences à USTO-MB, et
Monsieur L. Kotni, Maitre de conférences à USTO-MB pour avoir accepté
d’être examinateurs de ce mémoire.
Finalement, j’aimerais remercier mon Professeur Mr Zeblah Abdelkader et
tous mes collègues qui on contribué de près ou de loin à la réalisation de ce
mémoire
À ma mère, à mes frères et sœurs
Et la famille Hadj Belkadi
Moustapha
TABLE DES MATIERES
Table des matières
.
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE I
INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE II
REPARTITION DES CHARGES
II-1 INTRODUCTION ............................................................................................................. 3
II-2 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D’UN RESEAU ELECTRIQUE ........................ 4
II-3 RELATION PARAMETRIQUE DU SYSTÈME ............................................................. 6
II-4 FORMULATION DES EQUATIONS D’ECOULEMENT DES CHARGES .................. 9
II-5 CARACTERISTIQUES DES EQUATIONS D’ECOULEMENT DES CHARGES ...... 13
II-6 METHODES NUMERIQUES DE SOLUTION DU SLFE ............................................ 14
II-6-1 méthodes de Gauss-Seidel ............................................................................................. 15
II-6-2 méthode de Newton-Raphson ...................................................................................... 17
II-7 CONCLUSION ............................................................................................................... 20
CHAPITRE III
METHODES D’OPTIMISATION
III-1 INTRODUCTION ........................................................................................................... 21
III-2 TECHNIQUES D’OPTIMISATION .............................................................................. 21
III-2-1 Variable du problème ................................................................................................... 22
III-2-2 Espace de recherche ..................................................................................................... 22
III-2-3 Fonction objective ....................................................................................................... 22
III-3 METHODES D’OPTIMISATION ................................................................................. 23
III-3-1 Méthodes énumératives .............................................................................................. 24
III-3-2 Méthodes stochastiques .............................................................................................. 24
III-3-2-1 Méthode du recuit simulé ......................................................................................... 24
III-3-2-2 Méthode de recherche Tabou ................................................................................... 26
III-3-2-3 Algorithmes évolutionnistes ..................................................................................... 27
III-3-3 Méthodes analytiques ................................................................................................... 27
III-3-3-1 Méthode du Gradient ............................................................................................... 28
III-3-3-2 Méthode du Gradient conjugue ................................................................................ 29
III-3-3-3 Méthode de Newton et Quasi-Newton ..................................................................... 30
III-4 LES METHODES DE PENALITE ................................................................................. 30
III-4-1 Principe générale des méthodes de pénalité ............................................................... 30
III-4-2 Méthodes de Fiacco et Mc Cormick ............................................................................ 30
I
Table des matières
.
III-4-3 Méthodes de pénalité extérieure ................................................................................. 31
III-4-4 Méthodes de pénalité intérieure .................................................................................. 31
III-4-5 Méthodes de pénalité mixte ........................................................................................ 32
III-5 CONCLUSIONS ............................................................................................................. 32
CHAPITRE IV
LES ALGORITHMES GENETIQUES
IV-1 INTRODUCTION .......................................................................................................... 33
IV-2 AVANTAGE DES ALGORITHMES GENETIQUES ................................................. 34
IV-3 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DES AG ........................................................... 35
IV-4 MISE EN ŒUVRE DE L’AG ........................................................................................ 37
a) Fonction objective ............................................................................................................... 37
b) Fonction de performance ..................................................................................................... 37
IV-4-1 Codage des variables ................................................................................................... 37
IV-4-1-1 Codage binaire .......................................................................................................... 38
IV-4-1-2 Codage réel ............................................................................................................... 38
IV-4-2 Population initiale ........................................................................................................ 39
IV-4-3 Évaluation .................................................................................................................... 39
IV-4-4 Les opérateurs génétiques ........................................................................................... 40
IV-4-4-1 La sélection ............................................................................................................... 40
a) Sélection par tournoi ........................................................................................................... 40
b) Sélection par roulette ........................................................................................................... 40
c) Sélection par classement ..................................................................................................... 41
IV-4-4-2 croisement ................................................................................................................ 41
a) Croisement binaire ............................................................................................................... 41
b) Croisement réel .................................................................................................................. 43
IV-4-4-3 Mutation ................................................................................................................... 43
IV-5 CRITERE D’ARRET ...................................................................................................... 44
IV-6 PARAMETRES DE CONTRÔLE DE L’AG ................................................................ 44
IV-7 CONCLUSION
.......................................................................................................... 45
CHAPITRE V
SYSTEMES DES DISPOSITIFS FACTS
V-1 INTRODUCTION ............................................................................................................ 46
V-2 DISPOSITIFS FACTS SHUNT ...................................................................................... 47
V-2-1 Compensation shunt ...................................................................................................... 47
II
Table des matières
.
V-2-2 Compensateurs shunt à base de thyristors ..................................................................... 48
V-2-3 Compensateur statique synchrone STATCOM ............................................................ 49
V-2-4 Générateur synchrone statique SSG ............................................................................. 51
V-3 DISPOSITIFS FACTS SERIES ...................................................................................... 52
V-3-1 Compensateurs séries ................................................................................................... 52
V-3-2 Compensateurs séries à thyristors ................................................................................ 52
V-3-2-1 Condensateur série commandé par thyristors TCSC ................................................ 52
V-3-2-2 Condensateur série commuté par thyristors TSSC ................................................... 53
V-3-2-3 TCSR (Thyristor Controlled Series Reactor) ............................................................ 54
V-3-2-4 Compensateurs statique série synchrone SSSC ........................................................ 54
V-4 REGULATEURS STATIQUE DE TENSIONET DE PHASE ...................................... 55
V-4-1 Régulateurs de tension contrôlée par thyristor TCVR ................................................. 56
V-4-2 Régulateur de phase ..................................................................................................... 56
V-5 DISPOSITIFS FACTS HYBRIDES ............................................................................... 57
V-5-1 Compensateurs hybrides à base de thyristors .............................................................. 57
V-5-1-1 TCPAR ( Thyristor Controlled Phase Angle Regulator) ........................................... 57
V-5-2 Compensateurs hybrides à base de GTO thyristors ..................................................... 58
V-5-2-1 Contrôleur de transit de puissance unifié UPFC ....................................................... 58
V-5-2-2 Contrôleur de transit de puissance entre ligne IPFC ................................................ 59
V-5-2-3 Régulateur de puissance Interphases IPC ................................................................. 60
V-6 COMPENSATEUR STATIQUE (SVC) ......................................................................... 61
V-6-1 Historique du SVC ........................................................................................................ 61
V-6-2 Définition du SVC ........................................................................................................ 62
V-6-3 Structure de principe ..................................................................................................... 63
V-6-4 Constitution du SVC ..................................................................................................... 65
V-6-4-1 Condensateur fixe (FC) .............................................................................................. 65
V-6-4-2 Réactance commandée par thyristors (TCR) ............................................................. 65
a) Principe de fonctionnement ................................................................................................. 65
V-6-4-3 Condensateur commuté par thyristors (TSC) ............................................................. 66
V-6-5 Les différents types et schémas ..................................................................................... 68
V-6-5-1 Dispositive type "TCR" ou "FC/TCR ........................................................................ 68
V-6-5-2 Dispositive type TCR/TSC ........................................................................................ 71
V-6-5-3 Dispositive type TSC/TSR ........................................................................................ 71
V-6-5-4 Dispositive mobile type TSC ..................................................................................... 72
III
Table des matières
.
V-6-5-5 Différents schémas ..................................................................................................... 72
V-6-6 Modélisation du dispositif SVC .................................................................................... 73
V-6-6-1 Modèle de compensateur statique de puissance réactive SVC ................................. 73
V-6-7 Régulation des paramètres de la ligne .......................................................................... 75
V-6-8 Emplacement optimale du SVC dans le réseau ............................................................ 76
V-6-8-1 Emplacement dans un nœud ...................................................................................... 76
V-6-8-2 Emplacement du SVC au milieu d’une ligne ........................................................... 77
V-7 CONCLUSION ................................................................................................................ 78
CHAPITRE VI
PLACEMENT OPTIMAL D’UN SVC
VI-1 INTRODUCTION .......................................................................................................... 79
VI-2 PRESENTATION DU PROBLEME ............................................................................ 79
VI-3 MISE EN ŒUVRE DE L’AG ....................................................................................... 80
VI-3-1 Création de la population initiale ............................................................................... 80
VI-3-2 Codage du problème .................................................................................................... 80
VI-3-3 Reproduction .............................................................................................................. 81
a). Sélection ............................................................................................................................ 81
b). Croisement ........................................................................................................................ 81
c). Mutation ............................................................................................................................ 81
VI-4 Organigramme .............................................................................................................. 82
VI-5 ILLUSTRATION ............................................................................................................ 84
VI-5-1 Réseau test IEEE 30-nœuds ......................................................................................... 84
VI-5-2 Réseau test IEEE 57-nœuds
...................................................................................... 89
VI-6 ANALYSE DES RESULTATS ...................................................................................... 96
VI-7 CONCLUSION .............................................................................................................. 96
CHAPITRE VII
CONCLUSION GENERALE
CONCLUSION GENERALE ................................................................................................. 97
ANNEXE. A ........................................................................................................................... 99
ANNEXE. B ......................................................................................................................... 109
BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................ 115
IV
CHAPITRE I
INTRODUCTION GENERALE
Chapitre I
Introduction Générale
CHAPITRE I
INTRODUCTION GENERALE
L'industrialisation et la croissance de la population sont les premiers facteurs pour
lesquels la consommation de l'énergie électrique augmente régulièrement. Ainsi, pour avoir
un équilibre entre la production et la consommation, il est à première vue nécessaire
d'augmenter le nombre de centrales électriques, de lignes, de transformateurs etc. D’autre part
des problèmes liés à des contraintes qui touchent différent aspects de la production, du
transport et de la distribution de l'énergie.
Les éléments FACTS (Flexible AC Transmission Systems) apportent des solutions
nouvelles pour faire face à ces contraintes. Ils permettent un meilleur contrôle et une
meilleure gestion de l'écoulement de puissance. Ils ont aussi comme objectif d'augmenter la
capacité de transmission de puissance des lignes [1]. Le développement récent des dispositifs
FACTS ouvre de nouvelles perspectives pour une exploitation plus efficace des réseaux par
action continue et rapide sur les différents paramètres du réseau (déphasage, tension,
impédance). Ainsi, les transits de puissance seront mieux contrôlés et les tensions mieux
tenues, ce qui permettra d'augmenter les marges de stabilité. Plusieurs types de FACTS
existent et le choix du dispositif approprié dépend des objectifs à atteindre.
Ce travail est consacré à l’application d’une méthode d’optimisation metaheuristique
qui est les algorithmes génétiques pour déterminer les emplacements et les paramètres
optimaux des dispositifs SVC dans un réseau d’énergie électrique.
Les algorithmes génétiques sont des méthodes d’optimisation metaheuristique qui
utilisent des règles de transition probabilistes intelligentes pour parcourir l’espace des
solutions. La particularité de ces algorithmes est le fait qu’ils font évoluer des populations
d’individus codés par une chaine binaire. Ils utilisent les opérations de mutation et de
recombinaisons.
1
Chapitre I
Introduction Générale
L’organisation générale de ce mémoire est articulée autour de six chapitres, dont le
premier est consacré à l’introduction générale.
Le deuxième chapitre est consacré au problème de l’écoulement statique des charges.
Le troisième chapitre présente une étude des différentes méthodes d’optimisation.
Le quatrième chapitre décrit les principes généraux des algorithmes génétiques, et leurs
capacités et leurs domaines d’applications.
Le cinquième chapitre portera sur la présentation des différents dispositifs d'électroniques de
puissance développés et connus sous l'appellation FACTS pour le contrôle du réseau
électrique, puis une étude sur le dispositif SVC.
Le sixième chapitre traitera des cas d’emplacement des dispositifs SVC dans deux réseaux
test IEEE-30 nœuds et IEEE-57 nœuds.
En fin nous clôturons ce mémoire par une conclusion générale.
2
CHAPITRE II
REPARTITION DES CHARGES
Chapitre II
Répartition des charges
CHAPITRE II
REPARTITION DES CHARGES
II-1 INTRODUCTION
L'un des états les plus importants d'un réseau électrique est son mode d'opération en
régime permanent. Afin d'obtenir des informations sur ces points d'opération et d'être en
mesure de les gérer pour des raisons de sécurité, de fiabilité ou d'économie, on introduit dans
ce chapitre le concept général de la modélisation des systèmes électriques en traitant
l'écoulement statique des charges ou de puissance.
Les calculs d'écoulement statique des charges fournissent les écoulements de
puissance et les profils de tensions (amplitude et phase) reliés aux conditions d'opération des
barres (nœuds) et des lignes du système en régime permanent. A chaque barre du réseau sont
associés quatre paramètres: puissances active et réactive, l'amplitude et la phase de tension.
Les considérations premières pour le développement d'un programme informatique sont :
1.
2.
la formulation d'une description mathématique du problème
l'utilisation d'une méthode numérique de solution.
La formulation mathématique (modélisation) résulte en un groupe d'équations non
linéaires reliant les variables aux éléments d'une matrice caractérisant la physique du système.
Ces équations sont établies en utilisant les relations de nœud ou de boucle. Leurs coefficients
dépendent de la sélection du courant ou de la tension comme variable de base, alors une
matrice d'admittances ou d'impédances est utilisée.
La solution du système d'équations décrivant le modèle est basée sur une méthode
numérique itérative à cause de leurs non linéarités. Différentes techniques de solution sont
développées afin de faire ressortir la particularité de la formulation. On peut citer [1]:
-
la méthode de Gauss
la méthode de Gauss-Seidel
la méthode de Newton-Raphson
la méthode des résidus.
3
Chapitre II
Répartition des charges
II-2 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D’UN RESEAU ELECTRIQUE
Le rôle essentiel d'un réseau électrique est de pourvoir les puissances actives et
réactives demandées par les équipements variés qui y sont connectés. Les points de
production et de consommation sont reliés entre eux par des lignes de transmission.
Pour mieux comprendre le principe de fonctionnement, considérons le système de
distribution à deux barres de la fig.II.1a. Les barres sont alimentées par des unités de
production qui génèrent respectivement les puissances SG1 et SG2 . Les demandes se
définissent à chaque barre comme étant SD1 et SD2 . Les deux barres sont connectées par une
ligne de transmission Fig. II.1 b. Celle-ci est représentée par son modèle en π caractérisé par
une impédance série, Z, et deux admittances shunt yshi . Les deux tensions de barres sont
symbolisées respectivement par V1 et V2 [4].
Dans la formulation du modèle, on combine les puissances générées et demandées à
chaque barre pour obtenir une puissance nette Si , définie comme la différence entre la
production et la consommation de puissance de la barre i en question. Cette puissance nette
est considérée comme injectée dans la barre par une "source de puissance de barre" dont le
symbole est introduit dans la Fig. II.1 c.
Pour le système à deux barres, ces puissances injectées sont [1]:
S1 = P1 + jQ1 = ∆PG1 − PD1 + j QG1 − QD1
(II. 1)
S2 = P2 + jQ2 = ∆PG2 − PD2 + j QG2 − QD2
(II. 2)
4
Chapitre II
Répartition des charges
Fig. II.1
Le système décrit fonctionne de la manière suivante:
En agissant sur le couple moteur, ce qui peut être accompli à l'aide des régulateurs de
chaque turbine, on établit un équilibre entre la puissance active générée, la puissance active
demandée plus les pertes actives de transmission. Le critère essentiel pour maintenir un tel
équilibre est une fréquence constante.
Par une manipulation du courant de champ de chaque rotor, ainsi que la force électromotrice
du stator, on établit un parfait équilibre entre la puissance réactive générée dont une portion
provient des lignes, la puissance réactive demandée plus les pertes réactives. La constance de
l'amplitude des tensions de barre est le critère essentiel pour maintenir un tel équilibre.
5
Chapitre II
Répartition des charges
Le rôle de la ligne de transmission est de fournir un chemin de transfert du surplus de
puissance d'une barre pour aller compenser la sur-demande de l'autre et ou de servir comme
branche de secours pour les circonstances critiques.
Le circuit de la fig.II.1c décrit un circuit électrique élémentaire très simplifié par rapport à un
réseau ordinaire.
Pour concevoir le modèle du système, on commence par établir une continuité entre le courant
équivalent au rapport de la puissance injectée et de la tension de nœud et celui entrant dans les
composants de la ligne de transmission. On obtient :
S ∗1
= V1 Ysh 1 +
V 1 −V 2
= V2 Ysh 2 +
V 2 −V 1
V ∗1
S ∗2
V ∗2
(II. 3)
Z ser
(II. 4)
Z ser
De la théorie des réseaux, Ysh et Zser , paramètres constants des lignes, peuvent être regroupés
à l'intérieur des matrices décrivant la constitution physique du système. C'est l'étape initiale de
la modélisation.
II-3 RELATION PARAMETRIQUE DU SYSTÈME
Les relations décrivant la topologie d'un système de distribution de puissance peuvent être
développées en utilisant les équations de continuité ou de courant de nœud pour obtenir [4]:
I
= Y
barre
barre
∗ V
(II. 5)
barre
Dans laquelle:
I
barre
= vecteur des courants de nœud
Y
barre
V
barre
= matrice des admittances de barres (nœuds).
= vecteur des tensions de barres.
On peut écrire que :
Z
barre
= Y
−1
barre
(II. 6)
Où
Z
barre
est la matrice des impédances de nœuds.
6
Chapitre II
Répartition des charges
Lorsqu'on fait usage des conditions de compatibilité ou relations de tension de boucle
(maille), l'équation paramétrique du système devient:
V
= Z
boucle
boucle
I
(II. 7)
boucle
Dans laquelle:
V
boucle
Z
boucle
I
boucle
= vecteur des tensions de boucle
= matrice des impédances de boucle
= vecteur des courants de boucle.
D’où :
Y
boucle
= Z
−1
boucle
(II. 8)
Où :
Y
boucle
: est la matrice des admittances de boucle.
Les matrices des admittances et des impédances du système peuvent être formulées en
incluant ou pas l'effet des éléments shunt telles les capacités statiques des réactances et les
capacités de charge des lignes par rapport à la terre. Dans chacune des situations, les
corrections qui s'imposent doivent être effectuées lors de l'écriture des équations de continuité
du système.
Soit le système de distribution d'énergie électrique de la page suivante composé de
trois nœuds (barres) et cinq lignes de transmission.
Fig.II.2
7
Chapitre II
Répartition des charges
Appliquons la relation (II.3) (II.4) à chacun des nœuds, on obtient:
I1 = V1 y1 + V1 − V2 y12 + V1 − V3 y13
I2 = V2 y2 + V2 − V1 y12 + V2 − V3 y23
(II. 9)
I3 = V3 y3 + V3 − V1 y13 + V3 − V2 y23
En réarrangeant les termes de (II.9), on a:
I1 = V1 y1 + y12 + y13 − V2 y12 − V3 y13
I2 = −V1 y12 + V2 y2 + y23 + y12 − V3 y23
(II. 10)
I3 = −V1 y13 − V2 y23 + V3 y3 + y13 + y23
Définissons Yij comme étant l'élément ij de la matrice des admittances de barre. On constate
que:
Y11 = y1 + y12 + y13 , Y12 = Y21 = −y12
Y22 = y2 + y23 + y12 , Y23 = Y32 = −y23
(II. 11)
Y33 = y3 + y13 + y23 , Y13 = Y31 = −y13
Y
D’où :
barre
Y11
= Y21
Y31
Y12
Y22
Y32
Y13
Y23
Y33
En résumé, les éléments diagonaux Yii sont obtenus en faisant la somme des
admittances connectées au nœud i, et ceux hors diagonale sont donnés par 1'admittance de la
ligne joignant le point i à j affectée du signe négatif.
En appliquant simplement la définition (II.6) à (II.11), on obtient les éléments de la matrice
des impédances de barres, soit:
Z
barre
= Y
−1
barre
Z11
Z
= 21
Z31
Z12
Z22
Z32
Z13
Z23
Z33
(II. 12)
8
Chapitre II
Répartition des charges
Ybarre ou Zbarre décrivent la physique du réseau, c'est-à-dire contiennent toutes les
caractéristiques statiques des lignes. Une bonne composition de leur élément est la base du
succès d'un modèle reflétant la topologie du système.
II-4 FORMULATION DES EQUATIONS D’ECOULEMENT DES CHARGES [2]
Dans le cas général, la relation d'injection de puissance de toute barre i d'un réseau
électrique de N nœuds s'écrit:
Si∗ = Pi − jQi = Vi∗ Ii
S∗
Ii = Vi∗ =
(II. 13)
P i −jQ i
i
(II. 14)
V ∗i
Dans lequel Ii sont positif lorsque qu’il est entrant dans le système.
Dans la formulation des équations du système, si les éléments shunt par rapport à la
terre sont inclus dans la matrice paramétrique, la relation (II.14) est le courant total de barre.
Dans le cas contraire, si les éléments shunt n'ont pas été inclus, le courant total de la barre i
s'obtient par:
Ii =
P i −jQ i
V ∗i
− yi Vi
(II. 15)
Dans lequel Yi est le total des admittances shunt connectées à la barre i et yi Vi est le
courant circulant de ce nœud vers la terre.
Le membre de gauche de la relation (II.14) peut être remplacé par l'expression (II.10)
écrite en fonction des éléments de la matrice des admittances de nœud. On obtient alors:
P i −jQ i
V ∗i
= V1 Yi1 + V2 Yi2 + ⋯ VN YiN
(II. 16)
On obtient ainsi:
Pi − jQi = Vi∗ V1 Yi1 + V2 Yi2 + ⋯ + VN YiN
(II. 17)
9
Chapitre II
Répartition des charges
La relation (II.17) peut être écrite sous forme de sommation mathématique compacte pour
obtenir:
N
Pi − jQi =
VI∗
Vj Yij
(II. 18)
j=1
qui dans la littérature est la forme courante de l'équation d'écoulement statique des charges
dans laquelle:
Pi = PGi − PDi
(II. 19)
Qi = QGi − QDi
(II. 20)
Connaissant le profil des tensions du système, le courant sortant de la barre i et
s'écoulant dans la ligne ij (de i vers j) à partir des composants du modèle en π, s'exprime par:
iij = Vi − Vj yij + Vi
y ′ij
(II. 21)
2
où yij = admittance série de la ligne ij
yij′ /2= admittance shunt de la ligne ij
Alors, l'écoulement de puissance active et réactive est:
Sij∗ = Pij − jQij = Vi∗ iij = Vi∗ Vi − Vj yij + Vi∗ Vi
y ′ij
2
(II. 22)
Où à partir de la barre i, Pij et Qij sont respectivement les puissances active et réactive
transmises dans la ligne ij.
Par similitude les écoulements de puissance de j à i sont:
Sji∗ = Pji − jQji = Vj∗ Vj − Vi yij + Vj∗ Vj
y ′ij
(II. 23)
2
La puissance complexe perdue dans la ligne ij due à la transmission est obtenue en
faisant la somme algébrique des écoulements de puissances déterminés par les équations
(II.22) et (II.23). Ce qui suit est le développement détaillé des équations (II.13) (II.23).
Considérons le nœud 1 comme la référence du réseau caractérisé par une tension de
module v1 et de phase θ1 = 0. L'expression de toute autre tension peut s'écrire:
Vi = vi ejθ i = vi cos θi + j sin θi = vi θi
(II. 24)
10
Chapitre II
Répartition des charges
On sait d'une part:
Vi∗ = vi −θi
(II. 25)
Vj = vj θj
Ainsi :
Vi∗ Vj = vi vj −θij = vi vj cos θij − j sin θij
(II. 26)
Où :
θij = θi − θj
(II. 27)
D'autre part, tout élément Yij de la matrice des admittances de barre peut être écrit en
fonction de sa partie réelle et imaginaire comme suit:
Yij = Gij − jBij
(II. 28)
D’où :
Vi∗ Vj Yij = vi vj cos θij − j sin θij
Gij − jBij
(II. 29)
En appliquant (II.29) à (II.18), on obtient:
N
Pi − jQi =
N
vi vj Gij cos θij + Bij sin θij
−j
j=1
vi vj Gij sin θij − Bij cos θij
(II. 30)
j=1
En comparant et en égalant la partie réelle des 2 membres, puis l'imaginaire des 2
membres des équations d'écoulement statique des charges « SLFE », on constate que la
puissance active injectée en tout nœud i du réseau est :
N
Pi = PGi − PDi = vi
vj Gij cos θij + Bij sin θij
(II. 31)
j=1
et la puissance réactive injectée au même nœud s'obtient par:
N
Qi = QGi − QDi = vi
vj Gij sin θij − Bij cos θij
(II. 32)
j=1
L'impédance Zser caractéristique de la ligne (fig. II.1a) peut être remplacée par ses
éléments constitutifs, soit: la résistance et la réactance en série. Donc par définition on a:
11
Chapitre II
Répartition des charges
Zser ≡ Zik = ∆R ik + jXik
L
yi = ∆
Yshj ≡ j
j=1
(II. 33)
1
XCi
(II. 34)
Alors on peut écrire la forme équivalente de Yij :
Yij = ∆Gij + jBij =
1
j
+
XCi
N
k=1
R ik − jXik
Zik 2
R ik − jXik
−
Zik 2
i=j
(II. 35)
i≠j=k
Soit PLi et QLi respectivement les pertes actives et réactives au nœud i, Pij
et
Qij respectivement les pertes actives et réactives liées à la transmission de l'énergie à travers la
ligne ij (écoulement positif de i+j) (II.31) et (II.32) peuvent être décomposées en:
N
Pi = PLi +
Pij
(II. 36)
Qij
(II. 37)
i≠j=1
N
Qi = QLi +
i≠j=1
En substituant Yij par la définition (II.35) dans (II.31) les termes de (II.36) deviennent :
−2
PLi = Zii
R ii vi
(II. 38)
R ij vi2 − R ij vi vj cos θij + Xij vi vj sin θij
(II. 39)
−2
Pij = Zij
La même démarche appliquée à (II.32) conduit aux termes de (II.37) qui sont:
QLi = − Zii
Qij = Zij
Xii vi2
(II. 40)
Xij vi2 − X ij vi vj cos θij − R ij vi vj sin θij
(II. 41)
−2
−2
Pour l'ensemble du réseau, les pertes globales de puissance active et réactive sont
données respectivement par:
N
PL =
N
Pi =
i=1
NL
PLi +
i=1
Pij
(II. 42)
i≠j=1
12
Chapitre II
Répartition des charges
N
QL =
N
Qi =
i=1
NL
QLi +
i=1
Qij
(II. 43)
i≠j=1
Finalement, après une manipulation mathématique de (II.39) on obtient les pertes
actives totales liées seulement à la transmission par:
NL
vi2 + vj2 − 2vi vj cos θij
PLT =
i≠j
R ij
Zij
(II. 44)
2
Les pertes réactives totales liées, seulement à la transmission sont données par:
NL
vi2 + vj2 − 2vi vj cos θij
QLT =
i≠j
Xij
Zij
(II. 45)
2
II-5 CARACTERISTIQUES DES EQUATIONS D’ECOULEMENT DES CHARGES
En observant la relation (II.18), forme originale ou ses deux termes constitutifs (II.31)
et (II.32), on constate que :
1. Les équations sont algébriques, car elles représentent un modèle statique de
système, ou un système opérant en régime permanent.
2. Les équations sont non linéaires, donc difficilement résolvables de façon
analytique, d'où la nécessité d'utiliser une méthode numérique de solution par
ordinateur.
3. Généralement, dans l'analyse des systèmes, les équations relient le courant et la
tension, ces équations relient la puissance et la tension.
4. Dans les équations (II.31) et (II.32) les angles de phases θi et θj apparaissent
sous forme de différences.
5. Pour chaque équation de barre (II.18), on peut écrire deux équations
simultanées (réelle, imaginaire), ce qui donne pour un réseau de N barres, 2 N
équations du type (II.31) et (II.32) contenant 6 N variables qui sont:
N - amplitudes de tension de barre vi .
N - phases de tension de barre θi .
N - puissances actives générées PGi .
N - puissances réactives générées QGi .
13
Chapitre II
Répartition des charges
N - puissances actives demandées PDi .
N - puissances réactives demandées QDi .
Par conséquent, il s'agit de réduire le nombre d'inconnues, de 6 N à 2N en spécifiant
4N variables afin d'égaler le nombre d'équations â celui des variables. En principe les 2N
variables restantes pourront être déterminées.
Les 6N variables du SLFE peuvent être regroupés en deux classes:
1. Les variables incontrôlables ou perturbation: ce sont les variables de demande PDi et
QDi qui sont complètement déterminées par le client.
2. Les variables d'état et de contrôle. Les 4 N variables vi , θi , PGi et QGi peuvent se
diviser en deux catégories: variables indépendantes et variables dépendantes qui dans
la théorie du contrôle portent respectivement les noms de variables de contrôle et
variables d'état. Parmi les premières, on inclut les variables dont en pratique, une
manipulation est utilisée pour contrôler les dernières. Ainsi, les sorties des génératrices
PGi et QGi sont les variables de contrôle, car elles affectent vi , θi ,
qui sont les
variables d'état du système.
II-6 METHODES NUMERIQUES DE SOLUTION DU SLFE [4]
Pour résoudre les équations d'écoulement statique des charges, un grand nombre de
techniques numériques ont déjà été utilisées (Gauss, Gauss Seidel, Newton-Raphson, ……).
Dans cette partie de l'étude, on passera en revue deux méthodes :
1. la méthode de Gauss-Siedel
2. la méthode de Newton-Raphson
Dans chacune des méthodes, on procède de la manière suivante:
1. une solution initiale des variables est supposée
2. cette solution est utilisée conjointement avec la relation (II.18) modifiée pour obtenir
une deuxième et meilleure solution
3. cette deuxième solution estimée est ensuite utilisée pour trouver une troisième, etc.
La procédure continue de façon répétitive jusqu'à l'obtention d'une convergence vers la
solution finale.
14
Chapitre II
Répartition des charges
II-6-1 méthodes de Gauss-Seidel [2], [4]
Dans cette partie, on doit résoudre le problème d’écoulement avec l’une des méthodes
itératives la plus utilisée, il s’agit de la méthode de Gauss-Seidel.
Alors on calcule les courants à l'aide de (II.13).
Ii =
P i −jQ i
v ∗i
i = 1,2 … . N et
i≠S
(II. 46)
Comme on est intéressé aux valeurs des tensions, le réarrangement de (II.18) donne N-l
équations de la forme:
1
Vi = Y
ii
Ii −
N
j=1≠i Yij Vj
i = 2….N
(II. 47)
Pour calculer Vi , on procède comme suit :
-
Vj est supposée à partir de l'initialisation
-
Ii est calculée connaissant Pi et Qi spécifiée partout dans le système sauf au nœud de
référence. Donc, en combinant (II.46) et (II.47), on obtient l'équation récurrente pour
chaque voltage de barre.
N
Vik+1
1 Pi − jQi
=
−
Yij Vjk
k ∗
Yii
Vi
j=1,j≠i
i = 1,2 … N,
i≠S
(II. 48)
dans laquelle k est l'indice d'itération.
L'équation de la tension de barre (II.48) peut être solutionnée aussi par la méthode de GaussSeidel. Dans cette méthode la nouvelle valeur de Vik+1 calculée remplace immédiatement Vik
et est utilisée dans les équations subséquentes.
Pour le système de distribution à trois barres, fig.II.2, l'application de ce principe donne:
V1 = spécifiée (barre de référence)
V2k+1 =
1 P2 − jQ2
− Y21 V1 − Y23 V3k
k ∗
Y22
V2
(II. 49)
15
Chapitre II
V3k+1 =
Répartition des charges
1 P3 − jQ3
− Y31 V1 − Y32 V2k+1
k ∗
Y33
V3
(II. 50)
La séquence des étapes de solution de cette méthode est montrée à Fig.II.3.
Fig.II.3 : méthode de Gauss-Seidel
16
Chapitre II
Répartition des charges
II-6-2 méthode de Newton-Raphson
La formulation générale du problème d'écoulement des charges (II-18) a été exprimée
en deux équations simultanées non linéaires (II.31) et (II.32) fonction de Vi et θi comme cidessous.
N
Pi = Vi
Vj Gij cos θi − θj + Bij sin θi − θj
(II. 51)
Vj Gij sin θi − θj + Bij cos θi − θj
(II. 52)
j=1
N
Qi = Vi
j=1
La méthode de Newton-Raphson nécessite de former un groupe d'équations linéaires
exprimant une relation entre les changements des puissances actives et réactives et les
composantes des tensions. Le développement doit donner 2(n-l) équations linéaires :
∆P2
∆PN
∆Q2
∆QN
∂P2
∂θ2
∂PN
∂θ2
=
∂Q2
∂θ2
∂QN
∂θ2
∂P2
∂θN
∂PN
∂θN
∂Q2
∂θN
∂QN
∂θN
∂P2
∂V2
∂PN
∂V2
∂Q2
∂V2
∂QN
∂V2
∂P2
∂VN
∆θ2
∂PN
∂VN
∆θN
∗
∆V2
∂Q2
∂VN
∆VN
∂QN
∂VN
(II. 53)
Sous forme matricielle, la notation devient:
∆P
J
= 1
J
∆Q
3
J2 ∆θ
∗
J4 ∆V
(II. 54)
Un réarrangement de l'équation précédente donne:
∆θ
∆P
= J −1
∆V
∆Q
(II. 55)
Où J −1 est l'inverse de J (Jacobien) dont les éléments sont composés des dérivées partielles
indiquées dans (II.53).
17
Chapitre II
Répartition des charges
Le processus de solution débute ainsi:
On suppose un profil de tension et des angles de phases. A l'aide de ces données, on
calcule les puissances actives et réactives injectées (II.31) et (II.32). L'écart de puissance
s'obtient par la différence entre les puissances injectées spécifiées et les puissances injectées
calculées.
∆Pik = Pi spec − Pikcal
∆Qki
= Qi spec −
Qki cal
i = 2,3 … N
i≠S=1
(II. 56)
A la suite de l'évaluation des éléments du jacobien, on calcule les valeurs des
corrections à porter sur les variables d'état grâce à la relation (II.55). Le nouveau profil de
tensions et les nouveaux angles sont donnés par:
vik+1 = vik − ∆vik
θk+1
= θki − ∆θki
i
i = 2,3 … N
i≠S=1
(II. 57)
La procédure est répétée jusqu'à ce que ∆Pik et ∆Qki pour toutes les barres soient à
l'intérieur des tolérances spécifiées. La démarche est résumée sur la Fig.II.4.
18
Chapitre II
Répartition des charges
Fig.II.4 : méthode de Newton-Raphson.
19
Chapitre II
Répartition des charges
II-7 CONCLUSION
Nous avons présenté dans ce chapitre le problème de l’écoulement statique des
charges, nécessaire pour le calcul des pertes totales dans le réseau. Nous avons opté pour la
méthode classique de Gauss Seidel. Ce choix n’été pas arbitraire mais basé surtout sur la
simplicité et l’efficacité de la méthode.
20
CHAPITRE III
METHODES D’OPTIMISATION
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
CHAPITRE III
METHODES D’OPTIMISATION
III-1 INTRODUCTION
Dans la vie courante, nous sommes fréquemment confrontés à des problèmes plus ou
moins complexes. Ces problèmes peuvent être exprimés sous la forme générale d'un
"problème d'optimisation". Optimiser c’est trouver le minimum ou le maximum d’une
fonction à plusieurs variables sur un certain domaine de définition ou bien utiliser pour
déterminer les points optimales de la marche d’un système, de l’étude de leur existence à leur
détermination, en général par la mise en œuvre d’un algorithme et par suite d’un programme.
La résolution d’un problème d’optimisation est un problème complexe car de nombreux
facteurs interviennent et interagissent entre eux. L’optimisation est donc une des branches les
plus importantes des mathématiques appliquées modernes, et de nombreuses recherches à la
fois pratiques et théoriques, lui sont consacrées.
Pratiquement, toutes les méthodes d’optimisations opèrent par itération successive, à
partir d’une estimation initiale xo qui est progressivement améliorée. La différence entre les
méthodes réside dans le choix de la procédure adoptée pour passer d’une estimation xk à la
nouvelle estimation xk+1. La complexité et la taille des problèmes d’optimisations posés ont
permis d’élaborer plusieurs méthodes, on peut citer les méthodes de programmations linéaire,
les méthodes de Lagrange, les méthodes de programmation quadratique successive…etc. le
développement rapide de l’outil informatique associé aux méthodes mathématiques a permis
d’améliorer les méthodes classique d’optimisation avec une orientation vers le développement
des méthodes stochastique tel que, le recuit simulé, le recherche tabou et les algorithme
génétique.
III-2 TECHNIQUES D’OPTIMISATION
La figure.III.1 présente les trois étapes du processus d’optimisation [8] : Analyse,
synthèse et évaluation. Tout d’abord, il convient d’analyser le problème et d’opérer un certain
nombre de choix préalable, il s’agit de : Variables de problème, espace de recherche, fonction
objective et méthode d’optimisation. Une fois effectuée ces différents choix, la méthode
21
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
choisie synthèse des solutions potentielles qui sont évaluées, puis éliminées jusqu'à
l’obtention d’une solution acceptable.
Fig.III.1 : Les étapes de processus d’optimisation.
III-2-1 Variable du problème
C’est à l’utilisateur de définir les variables du problème .Il peut avoir intérêt à faire
varier un grand nombre de paramètres pour augmenter les degrés de liberté de l’algorithme
afin de découvrir des solutions nouvelles .Ces variables peuvent être de nature divers.
III-2-2 Espace de recherche
Dans certaines méthodes d’optimisation, tel que les stratégies d’évolution, l’espace de
recherche est infini : seule la population initiale est confinée dans un espace fini .Mais dans le
cas des algorithmes de type Monte Carlo et génétique, il est généralement nécessaire de
définir un espace de recherche fini.
III-2-3 Fonction objective
Les grandeurs à optimiser peuvent être par exemple une consommation, un rendement,
un facteur de transmission, …etc. Un algorithme d’optimisation nécessite généralement la
définition d’une fonction rendant compte de la pertinence des solutions potentielles à partir
des grandeurs à optimiser. Cette fonction est nommée fonction d’adaptation. L’algorithme
convergera vers un optimum de cette fonction, quelle que soit sa définition. Une fois cette
fonction est définit, il s’agit de choisir une méthode adaptée au problème posé.
22
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
III-3 METHODES D’OPTIMISATION
La plus part des problèmes d’optimisation appartiennent à la classe des problèmes
difficiles et ne possèdent donc pas de solutions algorithmiques efficaces valables pour toutes
les données. Étant donnée l’importance de ces problèmes, de nombreuses méthodes de
résolution ont été développées. Ces méthodes peuvent être classées suivant la figure
(III.2) [18]:
Méthodes d’optimisation
Méthodes
stochastiques
Méthodes
énumératives
-Méthode du simplexe
-Programmation dynamique
Méthodes
analytiques
Méthode de
Monte-Carlo
Méthodes
directes
Recuit simulé
Méthodes
indirectes
Recherche
tabou
Stratégies
d’évolution
Algorithmes
évolutionnistes
-Méthodes du gradient
-Méthodes de Newton
-Méthodes de Quasi-Newton
Programmation
évolutive
Programmation
génétique
-Méthode de Hooke et Jeeves
-Méthode de Rosenborg
-Méthode du simplexe de
Nelder et Mead
Algorithmes
génétiques
Fig.III.2 : Principales méthodes d’optimisation
23
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
III-3-1 Méthodes énumératives
Dans un espace de recherche fini, ou infini mais discrétisé, un algorithme énumératif
évalue la valeur de la fonction à optimiser en chaque point de l'espace solution. L'utilisation
d'un tel algorithme est intéressante lorsque le nombre de points n'est pas très important. Mais
en pratique beaucoup d'espaces de recherche sont trop vastes pour que l'on puisse explorer
toutes les solutions une par une et tirer une information utilisable.
Ces méthodes présentent deux inconvénients majeurs :
 Elles sont inadaptées aux problèmes de grande dimension ;
 Elles ne sont pas guidées par un raisonnement ou un processus intelligent, qui conduit
la recherche vers des sous-espaces, susceptible de contenir une bonne solution, sans
balayer tout l'espace des solutions.
Parmi ces méthodes on peut citer : la méthode de simplexe, la programmation dynamique, …
etc [18].
III-3-2 Méthodes stochastiques
Ces méthodes ont connu un essor considérable lorsque la communauté scientifique a
mis en évidence les limitations des méthodes analytiques et énumératives. Contrairement aux
méthodes analytiques, elles sont basées sur un processus stochastique, utilisant un choix
aléatoire comme outil pour guider une exploration hautement intelligente dans l’espace de
recherche.
Ces méthodes sont semblables au niveau de leur utilisation des mécanismes de
recherche probabiliste, mais procèdent néo moins différemment. Elles ont une grande
probabilité pour localiser un optimum global d’une fonction objective.
Parmi les méthodes stochastiques, on distingue les techniques de recherche purement
aléatoires (souvent regroupées dans la classe des méthodes de type Monte-Carlo), la recherche
Tabou, le recuit simulé et les méthodes évolutionnistes.
III-3-2-1 Méthode du recuit simulé
Le recuit simulé est une technique d’optimisation de type Monte-Carlo généralisé à
laquelle, on introduit un paramètre de température qui sera ajusté pendant la recherche. Les
concepts fondamentaux de cette technique sont tirés de l’analogie entre l’optimisation et la
thermodynamique dans lequel les déplacements dans l’espace de recherche sont basés sur la
24
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
distribution de Boltzmann [18][19]. La probabilité de Boltzmann, notée  i mesure la
probabilité de trouver un système dans une configuration Ci d'énergie E(Ci), à une certaine
température T donnée, dans l'espace de configurations U et elle est définie par :
 E C i 
K .T


E C j 
i U
exp

K .T
jU
j
exp
(III.1)
Où : k est appelé la constante de Boltzmann
Dans cette expression, le facteur kT montre que lorsque la température est très élevée,
tous les états sont à peu près équiprobables, c'est-à-dire un grand nombre de configurations
sont accessibles. Au contraire quand la température est basse, les états à haute énergie
deviennent peu probables par rapport à ceux de faible énergie.
Pour appliquer ce principe au problème de minimisation de coût, le processus de
recherche peut être assimilé à un processus de recuit comme en métallurgie. Quand on chauffe
un métal à une température très élevée, le métal devient liquide et peut occuper toute
configuration. Quand la température décroît, le métal va se figer peu à peu dans une
configuration qu'il est de plus en plus difficile à déformer (on dit qu'il est refroidi). A moins
de le réchauffer (recuit), le métal peut être retravaillé de nouveau pour lui donner la forme
désirée. L'algorithme de Kirkpatrick simule ce processus en combinant dans l’algorithme les
mécanismes de refroidissement et de recuit Figure III.3.
Fig.III.3 : Parcours de l'espace de recherche avec le recuit simulé. Le principe de
"recuit" qui se traduit par une augmentation du niveau d'énergie, permet de sortir des minima
locaux.
25
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
Cependant, le concept de température d'un système physique n’a pas d'équivalent
direct avec le problème à optimiser. Le paramètre température T doit être simplement un
paramètre de contrôle, indiquant le contexte dans lequel se trouve le système (ex: stade de la
recherche). En fait, le paramètre T contrôle les déplacements vers les points voisins les moins
bons pour échapper aux optima locaux, sans pour autant trop s'écarter du chemin vers le vrai
minimum. L’équivalent de l'énergie sera la valeur de la fonction de coût f.
Ainsi, dans l’algorithme de recuit simulé, la probabilité de Boltzmann n’est pas
directement appliquée, mais le critère de Metropolis est utilisé. Le critère de Metropolis
permet de décider si une nouvelle configuration générée présente une variation de coût
acceptable. Il permet de décider aussi de sortir des minima locaux quand le critère d'arrêt n'est
pas encore atteint. Le principe de Metropolis est basé sur le calcul de la fonction coût, après
chaque passage d'une configuration u à une configuration v.
On calcule la variation de la fonction coût : f  f v   f u 
La transformation est acceptée selon la probabilité p(u,v) telle que:
pu, v   e
 f
T
(III.2)
Lorsque la variation ∆f ≤ 0 , l'exponentielle est supérieure ou égale à 1, la nouvelle
configuration doit être acceptée, on lui affecte alors la probabilité maximale de 1.
Si ∆f > 0 , on compare p(u,v) à un nombre aléatoire r  0, 1 :
Si r < p(u,v), la configuration v est acceptée.
Sinon, elle est rejetée et on essaie une autre configuration.
Les configurations ayant une forte augmentation en ∆f sont donc moins probables pour
une température donnée, d'autant moins que la température est faible. Au début de
l'algorithme, le facteur T est élevé, la probabilité p(u, v) est proche de 1 et presque toutes les
variations ∆g sont acceptables. Au contraire, quand T diminue, les remontées sont de plus en
plus difficiles et seules de très faibles variations peuvent être acceptées. Si une configuration
est rejetée, le système essaie d'en trouver une autre, sinon elle est acceptée et la recherche
continue avec celle-ci jusqu'à ce que le critère d'arrêt soit atteint.
III-3-2-2 Méthode de recherche Tabou
La recherche Tabou a été introduite par Glover [20] et a montré ses performances sur
de nombreux problèmes d’optimisation. C’est une technique d’exploration locale combinée
26
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
avec un certains nombre de règles et de mécanismes permettant à celle-ci de surmonter
l’obstacle des optima locaux, tout en évitant de cycler.
Le principe de l’algorithme est le suivant : à chaque itération, le voisinage (complet ou
sous-ensemble de voisinage) de la solution courante est examiné et la meilleure solution est
sélectionnée, même si elle est moins bonne que la solution courante. Afin d’éviter le
phénomène cyclique entre plusieurs solutions, la méthode interdit les mouvements aboutissant
à une solution récemment visitée. Pour cela, une liste taboue contenant les attributs des
dernières solutions visitées est tenue à jour. Chaque nouvelle solution considérée enlève de
cette liste la solution la plus anciennement visitée. Ainsi, la recherche de la solution suivante
se fait dans le voisinage de la solution courante sans considérer les solutions appartenant à la
liste taboue. Dans certains cas, on mémorise les mouvements réalisés plutôt que les solutions
complètes, essentiellement dans le but de mémoriser le moins d’informations possibles.
III-3-2-3 Algorithmes évolutionnistes
Les algorithmes évolutionnistes sont basés sur des principes simples. En effet, peu de
connaissances sur la manière de résoudre ces problèmes sont nécessaires, même si certaines
peuvent être exploitées afin de rendre plus efficace l’évolution. C’est pourquoi, dans de
nombreux domaines, les chercheurs ont été amenés à s’y intéresser. Les algorithmes
évolutionnistes sont une classe d’algorithmes d’optimisation par recherche probabiliste basés
sur le modèle de l’évolution naturelle. Ils modélisent une population d’individus par des
points dans un espace. Ils ont montré leur capacité à éviter la convergence des solutions vers
des optima locaux,
Plusieurs types d’évolution ont été développés, donnant naissance à quatre grandes
tendances: les stratégies d’évolution, la programmation évolutive, la programmation
génétique et les algorithmes génétiques, qui vont être décrits en détaille dans le chapitre
suivant.
III-3-3 Méthodes analytiques
Ces méthodes sont basées sur l'existence de dérivées, donc sur l'existence d'équations
ou de systèmes d'équations, linéaires ou non linéaires. Le principe général consiste à
rechercher un extremum hypothétique en déterminant les points de pente nulle dans toutes les
directions. La méthode du Gradient ou de Quasi-Newton consiste à se déplacer dans une
27
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
direction dépendant du gradient de la fonction objective. On trouve essentiellement deux
types de méthodes : les méthodes indirectes et les méthodes directes [21].
Les méthodes indirectes cherchent des optimums locaux en résolvant l’ensemble des
équations généralement non linéaires, résultant de l’annulation du gradient de la fonction
objective.
Les méthodes directes évaluent ce gradient en certains points de l’espace de recherche
et se déplacent dans une direction liée à la valeur locale du gradient. C’est la notion de
descente de gradient dans la direction de la plus forte pente.
Bien que ces deux méthodes aient été développées, améliorées et étudiées sous toutes
les formes, elles présentent des inconvénients. Elles s'appliquent localement. Les extremums
qu'elles atteignent sont optimaux au voisinage du point de départ et l'existence de dérivées
n'est pas systématique. Ces méthodes sont donc difficilement applicables telles quelles pour
l'optimisation d’une fonction multimodale comportant plusieurs optimums locaux. Parmi les
méthodes analytiques on peut citer : les méthodes du Gradient, Newton, quasi-Newton,…etc.
III-3-3-1 Méthode du Gradient
Cette méthode fait partie d’une grande classe de méthodes numériques appelées
méthodes de descente. Le principe de base de ces méthodes repose sur les démarches
suivantes [22] :
On part d’un point initial arbitraire x0 et on calcule le gradient f(x0) en x0 , comme f(x0)
indique la direction de plus grande augmentation de f , on se déplace d’une quantité 0 dans
la direction opposée au gradient, et on définit le point :
x1  x0 0
f(x0)
f(x0)
(III.3)
La procédure est répétée et engendre les points x0, x1,....xk suivant la relation :
xk 1  xk k
f(xk )
f(xk )
(III.4)
Où : k est le pas de déplacement ( k >0)
Cette méthode a pour avantage d’être très facile à mettre en œuvre, mais malheureusement,
les conditions de convergence sont assez lourdes.
28
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
III-3-3-2 Méthode du Gradient conjugue
On suppose que la fonction à minimiser est quadratique de la forme suivante [23] :
q(x) 1 xT Ax bT xc
2
(III.5)
Où:
A: une matrice n  n définie positive et symétrique ;
b: un vecteur de n éléments ;
c: une constante.
L’idée de la méthode est de construire progressivement les directions d 0 , d1 , ..., d k par
rapport à la matrice A. A chaque étape k la direction d k est obtenue par combinaison linéaire
du gradient q(xk ) en x k , et des directions précédentes d 0 , d1 , ..., d k 1 .
En notons gk q(xk ) le gradient de la fonction q en x k , l’algorithme de résolution de la
méthode prend la forme suivante :
Etape1
Soit x0 le point de départ, on calcul g0 q(x0) Ax 0 b
On pose d 0   g 0 , k  0
Etape2
A l’itération k, on est au point x k
Définir xk 1 xk k.dk
Avec k 
T
g
k
.dk
T
dk. .A.dk
Puis dk 1gk 1 k dk
Avec  k 
gk A.dk
T
dk .A.dk
Etape3 :
Test d’arrêt sinon aller à l’étape 2.
29
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
III-3-3-3 Méthodes de Newton et quasi-Newton
D’origine, cette méthode itérative est utilisée pour résoudre un système d’équations
non linéaires. Ensuite, elle a été utilisée pour rechercher un extremum d’une fonction
objective. Elle permet, à partir d’un point initial quelconque, d’approcher un optimum local
d’aussi près que nous le désirons. Cependant, il s’agit d’une méthode du second ordre, car
nous utilisons, pour déterminer la direction et le pas de déplacement, non seulement la valeur
du gradient, mais aussi celle du hessien de la fonction ( 2 f ( x k ) ). L’inconvénient majeur de
cette méthode qui appartient aussi aux méthodes de descente, est sa convergence locale [24].
Une autre difficulté peut apparaître lorsque le hessien n’est pas défini positive. Dans ce cas,
en effet, la direction de déplacement peut ne pas être une direction de descente et la
convergence n’est pas assurée.
III-4 METHODES DE PENALITE
III-4-1 Principe général des méthodes de pénalité
Le principe de base de cette méthode consiste à modifier le critère en lui ajoutant une
fonction de pénalisation P(x). C'est à dire, qu'on ramène le problème de programmation avec
contraintes en un problème de programmation sans contraintes.
Les méthodes de pénalité constituent une famille d'algorithmes particulièrement intéressants
du double point de vue de la simplicité de principe et de l'efficacité pratique.
Il existe plusieurs possibilités du choix de la fonction de pénalité :
III-4-2 Méthode de Fiacco et Mc Cormick
Cette méthode consiste à ramener le problème d’optimisation en la minimisation de la
fonction pénalisée suivante [24] :
n
f m ( x, rk )  f obj x   rk  g i2 ( x) 
i 1
1
rk
m
h
j 1
2
j
( x)
(III.6)
Où : rk est une constante de réglage de calcul (coefficient de pénalité). Elle est choisie de telle
sorte que :
rk > 0 et limite de rk = 0 quand k  
30
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
Avec :
rk 
rk 1
p
r0  1
et
Où : p est une constante choisie.
III-4-3 Méthode de pénalité extérieure
Dans cette méthode, on introduit les deux types de contraintes égalités et inégalités. La
fonction objective fm s’écrit sous la forme suivante [24] :
f m  f obj ( x)  E (rk , g , h)
(III.7)
Où : E (rk , g , h) est le terme de pénalisation extérieure.
E (rk , g , h) 
1
rk
n
D g
i
i 1
2
i
( x) 
1
rk
m
B h
j
j 1
2
j
( x)
(III.8)
On aura donc fm sous la forme suivante :
f m  f obj ( x) 
1
rk
n
 Di g i2 ( x) 
i 1
1
rk
m
B h
j 1
j
2
j
( x)
( I I I. 9 )
Avec
 Di  0, si g i ( x)  0

 Di  0, si g i ( x)  0
(III.10)
Et
 B j  0, si h j ( x)  0

 B j  0, si h j ( x)  0
(III.11)
Di et Bj sont des constantes.
III-4-4 Méthode de pénalité intérieure
*
Le principal inconvénient de la méthode de pénalité extérieure est que l’optimum x est
approché vers l’extérieur, ce qui a conduit de chercher une autre méthode de pénalité dans
laquelle l’optimum est approché vers l’intérieur (d’où le nom de pénalité intérieur) [23].
31
Méthodes d’optimisation
Chapitre III
La pénalisation intérieure peut être appliquée uniquement dans le cas, où on a des contraintes
de type inégalité.
La fonction objective f m s’écrit sous la forme suivante :
f m  f obj ( x)  I (rk , g )
(III.12)
Où :
I (rk , g ) : Le terme de pénalisation intérieur.
Le terme I (rk , g ) peut être donné par l’expression suivante :
n
I (rk , g )  rk 
i 1
Ai
g i ( x)
(III.13)
On aura donc f m sous la forme suivante :
n
f m  f obj ( x)  rk 
i 1
Ai
g i ( x)
(III.14)
Avec
 Ai  0, si g i ( x)  0

 Ai  0, si g i ( x)  0
(III.15)
Où :
Ai : est une constante.
III-4-5 Méthode de pénalité mixte
Cette méthode englobe les termes de pénalisation intérieure représentés par I (rk , g ) et
les termes de pénalisation extérieure représentés par E (rk , g , h) . La fonction pénalisée s’écrit
sous la forme suivante [24] :
n
A
1
f m  f obj ( x)  rk  i 
rk
i 1 g i ( x)
n
1
Di g ( x) 

rk
i 1
2
i
m
B h
j 1
j
2
j
( x)
(III.16)
III-5 CONCLUSIONS
Ce chapitre nous a permis d’avoir un aperçu global sur les différentes méthodes
d’optimisation. Dans notre travail nous avons opté pour une méthode stochastique dans la
famille des méthodes évolutionnistes, cette méthode est l’Algorithme Génétique. Le principe
de base de cette méthode est décrit en détail dans le chapitre IV.
32
CHAPITRE IV
LES ALGORITHMES
GENETIQUES
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
CHAPITRE IV
LES ALGORITHMES GENETIQUES
IV-1 INTRODUCTION
Les algorithmes génétiques reposent sur l’analogie entre la théorie de l’évolution
naturelle de Darwin et l’optimisation. Selon la théorie de Darwin, les individus d’une
population les mieux adaptés à leur environnement ont une plus grande probabilité de survivre
et de se reproduire, en donnant des descendants encore mieux adaptés. Comme dans les
mécanismes naturels de la reproduction, les principaux opérateurs qui affectent la constitution
d’un chromosome, qui code les caractéristiques des individus, sont le croisement et la
mutation.
Les AG ont été proposées par Holland en 1975, puis développés par d’autres
chercheurs tels que De Jong, Goldberg et Michalewicz. C’est actuellement une des méthodes
les plus diffusées et les plus utilisées dans la résolution de problèmes d’optimisation dans de
nombreux domaines d’application [9][21].
Généralement, nous pouvons dire qu’un algorithme génétique dans sa forme générale
nécessite de préciser les points suivants [10]:
-
le codage des solutions et la génération d’une population initiale.
-
la fonction de performance pour calculer l’adaptation de chaque individu de la
population.
-
le croisement des individus d’une population pour obtenir la population de la
génération suivante.
-
l’opération de mutation des individus d’une population afin d’éviter une convergence
prématurée.
-
les paramètres de réglage : taille de la population, probabilités de croisement et de
mutation, critère d’arrêt.
Les applications des AG sont multiples : intelligence artificielle, recherche
opérationnelle, optimisation combinatoire, optimisation des fonctions numériques difficiles
(discontinues, multimodales, …..), optimisation d’emploi du temps, contrôle de systèmes
industriels et apprentissage des réseaux de neurones. Ils sont peu employés en
33
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
électrotechnique comparativement avec d’autres domaines comme l’automatique, par
exemple.
IV-2 AVANTAGE DES ALGORITHMES GENETIQUES
Quatre différences essentielles séparent les algorithmes génétiques des techniques
d’optimisation plus conventionnelles [9]:
a)
La manipulation directe d’un codage des paramètres : Les algorithmes
génétiques utilisent le codage des paramètres, et non les paramètres eux même. Dans
les algorithmes génétiques, les chromosomes ont une représentation binaire, ce choix
le rend intuitivement applicable à tous les problèmes dont les solutions sont
transposables en binaire. Les chromosomes sont alors représentés par une chaîne de
bits, cette représentation est indépendante du problème posé et rend l’algorithme
génétique d’autant plus robuste.
b)
L’exploration au moyen d’une population, et non d’un point unique :
Les algorithmes génétiques travaillent sur une population de point au lieu d’un seul ;
dans beaucoup de méthodes d’optimisation, on se déplace avec précaution d’un point
unique à un autre dans l’espace de recherche en utilisant une règle de transition pour
déterminer le nouveau point .cette méthodes qui fonctionne point par point est
dangereuse parce qu’elle a une forte tendance à trouver de faux pics dans des espaces
de recherche multi pics .en revanche, les algorithmes génétiques utilisent
simultanément un ensemble de point (une population de chaînes) , escaladant plusieurs
pics en parallèle, ainsi , la probabilité de trouver un faux sommet est réduit par rapport
à d’autres méthodes qui explorent point par point.
c)
Les algorithmes génétiques n’utilisent que les valeurs de la fonction
étudiée et non ses dérivés, ou une autre connaissance auxiliaires : Les algorithmes
génétiques réalisent une optimisation efficace en ne tenant compte que des valeurs de
la fonction .Les autres méthodes utilisent beaucoup d’informations auxiliaires, si bien
que dans les problèmes pour les quels cette information n’est pas disponible ou
difficile à obtenir, ces techniques sont bloquées.
d)
Les algorithmes génétiques utilisent des règles de transition
probabilistes, et non déterministes : Contrairement à beaucoup de méthodes, les
algorithmes génétiques utilisent des règles de transition probabiliste afin de guider leur
exploration. Pour les personnes habituées aux méthodes déterministes, cela semble
34
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
bizarre, mais l’utilisation de probabilité ne signifie pas que cette méthode n’est q’une
exploration aléatoire, cela n’a rien à voir avec un simple tirage à pile ou face. Les
algorithmes génétiques utilisent des choix aléatoires comme des outils pour guider
l’exploration à travers les régions de l’espace de recherche, avec une amélioration
probable .par contre dans la majorité des autres méthodes d’optimisations, on se
déplace avec précaution d’un point a un autre dans l’espace de recherche en utilisant
une règle de transition pour déterminer le nouveau point et par conséquent elle a une
forte tendance à trouver de faux pics dans des espaces de recherches multi pics.
IV-3 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DES AG
Depuis une trentaine d’années l’intérêt pour les algorithmes génétiques va croissant en
raison de leurs nombreux avantages sur les autres techniques d’optimisation : ils sont
robustes, rapides, suffisamment généraux pour pouvoir s’adapter à un grand nombre de
situations et enfin ne demandent aucune connaissance précise sur le système à optimiser.
Les algorithmes génétiques ont été développés dans les années 70, ils sont
certainement la branche des AE la plus connue et la plus utilisée. La particularité de ces
algorithmes est le fait qu’ils font évoluer des populations d’individus codés par une chaîne
binaire. Ils utilisent les opérateurs de mutation binaire et de recombinaison de différents types.
Le but d’un algorithme génétique est d’optimiser une fonction donnée dans un espace
de recherche précis. Dans le cas général, un algorithme génétique a besoin de quatre
composants fondamentaux [8][21]:
Une fonction de codage qui transforme les données de l’espace de recherche en
données utilisables par un ordinateur : par exemple une séquence de bits ou bien un nombre
réel.
Un moyen de créer une population initiale à partir des solutions potentielles.
Une fonction qui permet d’évaluer l’adaptation d’un chromosome, ce qui offre la
possibilité de comparer des individus. Cette fonction sera en fait construite à partir du critère
que l’on désire optimiser. L’application de cette fonction à un élément de la population
donnera sa performance (évaluation). Des opérateurs qui altèrent les enfants après la
reproduction
On choisit une population initiale de taille n, c’est à dire que l’on tire au hasard le plus
uniformément possible un certain nombre d’éléments qui seront appelés chromosomes dans
l’espace des données. Afin de réaliser l’analogie avec la génétique, il faut disposer comme
35
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
nous l’avons vu d’opérateurs de sélection et de recombinaison qui va permettre à cette
population d’évoluer (on se reportera à la figure IV.1). L’utilisation de ces trois opérateurs
permet de conserver une population bien diversifiée (c’est à dire bien réparti dans l’espace) et
par conséquent d’accéder à tout l’espace de recherche.
Fig.IV.1 Principe d’un AG
36
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
IV-4 MISE EN ŒUVRE DE L’AG
a). Fonction objective
A l’inverse des méthodes déterministes d’optimisation, les algorithmes génétiques ne
requièrent pas d’hypothèse particulière sur la régularité de la fonction à optimiser (objectif).
Ainsi, les algorithmes génétiques n’utilisent pas les dérivées successives de la fonction
objective, ce qui rend leurs domaines d’application très vaste. Aucune hypothèse sur la
continuité n’est également requise. Le peu d’hypothèses requises permet de traiter des
problèmes très complexes. La fonction objective peut être le résultat d’une simulation ou d’un
modèle mathématique.
b). Fonction de performance
Chaque chromosome apporte une solution potentielle au problème à optimiser.
Néanmoins, ces solutions n’ont pas toutes le même degré de pertinence. C’est à la fonction de
performance (fitness) de mesurer cette efficacité pour permettre à l’AG de faire évoluer la
population dans un sens bénéfique en cherchant la solution meilleure. Autrement dit, la
fonction de performance, doit pouvoir attribuer à chaque individu un indicateur représentant
sa pertinence pour le problème que nous cherchons à résoudre. La performance sera donc
donnée par une fonction à valeurs positives réelles. La construction d’une fonction de
performance appropriée est très importante pour obtenir un bon fonctionnement de l’AG.
Dans le cas du codage binaire, la fonction de performance doit affecter une valeur positive au
codage binaire correspondant (phénotype) à chaque chaîne binaire (génotype). Ainsi, elle
permet de déterminer l’efficacité de la solution présentée par le génotype pour résoudre le
problème.
La fonction de performance est généralement dérivée de la fonction objective du problème.
La réalisation de l’algorithme génétique consiste à développer ces différentes phases [21]:
IV-4-1 Codage des variables
La première étape lors de l’application d’un AG à un problème est le choix du codage
des paramètres sous la forme de chaînes. La représentation choisie est primordiale car
l’efficacité d’un AG dépend principalement de la manière dont elle capte les régularités de
l’espace de recherche.
37
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
La méthode classique consiste à coder les paramètres du problème d’optimisation par
des chaînes de bits, ensuite les concaténer pour avoir un codage des individus. Ce codage luimême présente plusieurs choix. Prenons par exemple, le cas d’un espace de recherche à
éléments entiers. Un premier codage consiste à remplacer chaque élément par son expression
binaire. On peut même utiliser d’autres codages tels que le codage réel.
IV-4-1-1 Codage binaire
Son principe est de coder la solution selon une chaîne de bits (qui peuvent prendre les
valeurs 0 ou 1). Ce type de codage est certainement le plus utilisé car il présente plusieurs
avantages :
 Alphabet
 On
minimum.
peut ainsi facilement coder toutes sortes d’objets, réels, des entiers, des
valeurs booléennes, des chaînes de caractères.
Cela nécessite simplement l’usage de fonctions de codage et de décodage pour passer
d’une présentation à l’autre.
A chaque variable réelle x i tel que
0  g i  g max
ximin  xi  ximax on associe donc un entier g i :
i =1,2,……, n
(IV.1)
Avec :
g max  2 l  1
(IV.2)
Le codage des variables réelles xi en binaire est donné par l’équation suivante :
xi  ximin
g i  max max * g max
xi  xi
(IV.3)
Le décodage des valeurs binaires g i en valeurs réelles xi est donné par l’équation suivante :
xi  ximin  ( ximax  ximin ) *
gi
g max
(IV.4)
IV-4-1-2 Codage réel
Pour certain problèmes d’optimisation, il est plus pratique d’utiliser un codage réel des
chromosomes .Un gène est ainsi représenté par un nombre réel au lieu d’avoir à coder les
réels en binaire puis de les décoder pour les transformer en solutions effectives .Le codage
réel permet d’augmenter l’efficacité de l’algorithme génétique et d’éviter des opérations de
38
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
décodage supplémentaires. En effet, un chromosome codé en réel est plus court que celui
codé en binaire.
IV-4-2 Population initiale
Le choix de la population initiale d'individus conditionne fortement la rapidité et
l'efficacité de l'algorithme. Si la position de l'optimum dans l'espace d'état est totalement
inconnue, il est naturel de générer aléatoirement des individus en faisant des tirages uniformes
dans chacun des domaines associés aux composantes de l'espace d'état en veillant à ce que les
individus produits respectent les contraintes.
Si par contre, des informations a priori sur le problème sont disponibles, il parait bien
évidemment naturel de générer les individus dans un sous domaine particulier afin d'accélérer
la convergence.
Dans l’hypothèse ou cet objectif est trop difficile à atteindre ; on peut tenir compte des
contraintes en les incluant dans le critère sous forme de pénalités .Ainsi, un individu qui viole
une contrainte se verra attribuer une mauvaise adaptation et sera éliminé par le processus de
sélection.
IV-4-3 Évaluation
La fonction d'évaluation (fitness) est le seul lien direct entre l’AG et le problème à
résoudre. Elle permet de mesurer la qualité d’une solution et de guider la recherche vers des
régions performantes de l’espace des solutions. Son choix est primordial pour le bon
fonctionnement de l’algorithme. Lors de la sélection proportionnelle à la fonction
d’évaluation, un individu est reproduit un nombre de fois proportionnelles. La pression qu’il
exerce dans la population est d’autant plus grande que sa fonction d’évaluation est élevée.
Il faut distinguer entre la fonction objective et la fonction d’évaluation ou d’adaptation. Dans
cette la fonction objective, laquelle dépend de la nature du problème à résoudre. La solution
optimale du problème est obtenue à partir de la fonction d’évaluation. Dans le cas d’un
problème de minimisation, la solution est associée à la plus petite valeur trouvée de la
fonction d’adaptation calculée pour chaque individu de la population. Dans le cas d’une
maximisation, alors la valeur la plus grande de la fonction sera prise en compte.
39
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
IV-4-4 Les opérateurs génétiques
Les opérateurs génétiques jouent un rôle prépondérant dans la possible réussite d’un
AG. Ils définissent la manière dont les chaînes binaires se recombinant pendant la phase de
reproduction .ils permettent ainsi la création de nouvelles chaînes.
IV-4-4-1 La sélection
Une fois réalisée l’évaluation de la génération, on opère une sélection à partir de la
fonction d’adaptation. La sélection permet d'identifier statistiquement les meilleurs individus
d'une population et d'éliminer les mauvais. Seuls les individus passant l’épreuve de sélection
peuvent accéder à la génération intermédiaire et s’y reproduire.
En réalité, il existe plusieurs types de sélection, chacune étant adaptée à un type particulier de
problèmes. On en site les trois plus classiques qui sont :
a). Sélection par tournoi
Deux individus sont choisis au hasard et combattent (on compare leurs fonctions
d’adaptation) pour accéder à la génération intermédiaire. Le plus adapté l’emporte avec une
probabilité, que nous avons généralement prise égale à 1 (une valeur inférieure permet de
réduire la pression de sélection si nécessaire). Cette étape est répétée jusqu’à ce que la
génération intermédiaire soit remplie. Il est tout à fait possible que certains individus
participent à plusieurs tournois : s’ils gagnent plusieurs fois, ils auront donc droit d’être
copiés plusieurs fois dans la génération intermédiaire, ce qui favorisera la pérennité de leurs
gènes.
b). Sélection par roulette
Elle consiste à créer une roue de loterie pour laquelle chaque individu de la population
occupe une section de la roue proportionnelle à sa valeur d’évaluation. Ainsi même les
individus les plus faibles ont une chance de survivre (Fig.IV.2). Si la population des individus
est de la taille égale à N, alors la probabilité de sélection d’un individu (x) est :
p( xi ) 
F ( xi )
n
(IV-5)
 (F ( xk ))
k 1
40
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
Avec une telle sélection, un individu fort peut être choisi plusieurs fois. Par contre, un
individu faible à moins de chance d’être sélectionné.
Fig.IV.2 : Sélection par roulette.
c). Sélection par classement
Elle consiste à ranger les individus de la population dans un ordre croissant (ou
décroissant selon l’objectif) .Ainsi, seuls les individus les plus forts sont conservés.
IV-4-4-2 croisement
Le croisement a pour but d'enrichir la diversité de la population en manipulant la
structure des chromosomes. Classiquement, les croisements sont envisagés avec deux parents
et génèrent deux enfants. Il consiste à échanger les gènes des parents afin de donner des
enfants qui portent des propriétés combinées. Bien qu'il soit aléatoire, cet échange
d'informations offre aux algorithmes génétiques une part de leur puissance : quelque fois, de "
bons " gènes d'un parent viennent remplacer les " mauvais " gènes d'un autre et créent des fils
mieux adaptés aux parents.
Parmi les différents types de croisement ; on peut citer :
a). Croisement binaire
Ce croisement peut avoir recourt à plusieurs types en occurrence :
 Croisement en un point.
 Croisement en deus points.
 Croisement uniforme
41
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
Fig.IV.3 : Principe du croisement en un point
Fig.IV.4 : Principe du croisement en deux points
Le croisement uniforme est obtenu à partir d’un masque binaire initialisé
aléatoirement et possédant un nombre de bits égal au nombre de bits des individus de la
population. Le premier enfant est créé en prenant les gènes du premier parent lorsque les bits
correspondant dans le masque valent 1 et les gènes du deuxième parent si ces derniers valent
0. Le deuxième enfant s’obtient de la même manière en complémentant le masque.
Exemple :
Masque de croisement : 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
Fig.IV.5 : Principe du croisement uniforme
42
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
b). Croisement réel
Le croisement réel ne se différencie du croisement binaire que par la nature des
éléments qu'il altère: ceux ne sont plus des bits qui sont échangés à droite du point de
croisement, mais des variables réelles.
IV-4-4-3 Mutation
Cet opérateur est appliqué sur chaque chromosome issu de l’opération de croisement
ou appartenant à une population. L’action de l’opérateur de mutation consiste à changer ou à
permuter des valeurs des gènes du chromosome C avec une probabilité Pm. Cette probabilité
de mutation est assez faible en pratique. On peut observer à un moment du cycle de l’AG que
des individus générés n’évoluent plus. Pour les faire évoluer, l’opération de mutation peut
modifier les valeurs des gènes pour constituer des individus non similaires. Cet opérateur
permet une recherche de la solution au problème à optimiser dans un domaine très restreint.
L’utilité de cet opérateur est donc l’exploitation de l’espace de recherche des solutions. Ces
mutations ne créent généralement pas de meilleures solutions au problème mais elles évitent
l’établissement de populations uniformes incapables d’évoluer.
Ceci permet à l’AG de converger vers des solutions globales. A partir d’une
exploration de l’espace de recherche, la mutation permet de passer de l’exploration vers
l’exploitation et de trouver un ensemble de solutions. Cependant, plusieurs techniques de
mutation ont été développées dans la littérature.
Fig.IV.6 : représentation schématique d’une mutation dans un chromosome.
43
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
IV-5 CRITERE D’ARRET
Déterminer l’arrêt d’un processus génétique est l’une des difficultés majeures de
l’approche génétique. En effet, si l’on excepte le cas des problèmes artificiels ; on ne sait
jamais si l’on a trouvé l’optimum .dans la pratique, l’utilisateur déclare un nombre de
générations maximum.
La recherche peut également être stoppée lorsque tous les individus d’une même
population sont des copies d’une même population sont des copies d’un même individu. On
dit alors qu’il y a perte de diversité génétique.
Les critères d’arrêt se résument alors en :
 Arrêt après un nombre de générations fixées a priori.
 Arrêt lorsque la population cesse d’évoluer ou en présence d’une population
homogène.
IV-6 PARAMETRES DE CONTRÔLE DE L’AG
Les opérateurs de l’algorithme génétique sont guidés par un certain nombre de
paramètres fixés à l’avance. La valeur de ces paramètres influence la réussite ou non d’un
algorithme génétique. Ces paramètres sont les suivants :
 La taille de la population, N, et la longueur du codage de chaque individu l (dans le
cas du codage binaire). Si N est trop grand le temps de calcul de l’algorithme peut
s’avérer très important, et si N est trop petit, il peut converger trop rapidement vers
une mauvaise solution. Cette importance de la taille est essentiellement due à la
notion de parallélisme implicite qui implique que le nombre d’individus traité par
l’algorithme est au moins proportionnel au cube du nombre d’individus.
 Le nombre maximal de génération.
 La probabilité de croisement pc. Elle dépend de la forme de la fonction de fitness.
Son choix est en général heuristique. Plus elle est élevée, plus la population subit de
changements importants. Les valeurs généralement admises sont comprises entre 0:5
et 0:9.
 La probabilité de mutation pm. Ce taux est généralement faible puisqu’un taux élevé
risque de conduire à une solution sous-optimale. Plutôt que de réduire pm, une autre
44
Chapitre IV
Les Algorithmes Génétiques
façon d’éviter que les meilleurs individus soient altérés est d’utiliser la reconduite
explicite de l’élite dans une certaine proportion. Ainsi, bien souvent, les meilleurs
5%, par exemple, de la population sont directement reproduits à l’identique,
l’opérateur de reproduction ne jouant alors que sur les 95% restant. Cela est appelé
une stratégie élitiste.
Partant du constat que les valeurs des paramètres des différents opérateurs sont euxmêmes inconnus et ne peuvent être améliorés au fur et à mesure que de façon expérimentale.
IV-7 CONCLUSION
Les algorithmes génétiques sont des méthodes méta-heuristiques d’optimisation
globale basées sur des concepts de génétique et de sélection naturelle. Le composant principal
des AG est le gène qui se compose d’une chaîne de caractères (souvent binaire). Les gènes
s’enchaînent et forment les chromosomes. Ces derniers forment les individus dans l’espace de
recherche. Ainsi, les AG travaillent sur une population d’individus, où chacun de ces derniers
représente une solution possible pour le problème donné. Dans chaque itération de l’AG, la
performance de chaque individu de la population courante est calculée. Les opérateurs de
génétiques, sélection, croisement et mutation, sont appliqués successivement pour créer une
nouvelle population jusqu’à l’approche rigoureuse de la solution optimale.
45
CHAPITRE V
SYSTEMES DES DISPOSITIFS
FACTS
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
CHAPITRE V
SYSTEMES DES DISPOSITIFS FACTS
V-1 INTRODUCTION
L’industrie de l’énergie électrique est de plus en plus confrontée à des problèmes liés à
de nouvelles contraintes qui touchent différents aspects de la production, du transport et de la
distribution de l’énergie. On peut citer entre autres les restrictions sur la construction de
nouvelles lignes de transport et l’optimisation du transit dans les systèmes actuels. De plus le
synchronisme doit être maintenu, ou tout ou moins, en cas de perturbation, être rapidement
rétabli, pour éviter surtout une rupture du synchronisme et une défaillance du réseau.
Les éléments FACTs (Flexibles AC Transmission Systems) apportent des solutions
nouvelles pour faire face à ces contraintes. Ils permettent un meilleur contrôle et une
meilleure gestion de l’écoulement de puissance. Ils ont aussi comme objectif d’augmenter la
capacité de transmission de puissance des lignes en s’approchant des limites thermiques de
celle-ci. Enfin ils devraient permettre d’améliorer la stabilité du réseau que ce soit pour des
défaillances majeures dans le réseau ou pour éliminer l’effet d’oscillations parasites telles que
la résonance sous synchrone.
Avec leur aptitude à modifier l'impédance apparente des lignes, les dispositifs FACTs
peuvent être utilisés aussi bien pour le contrôle de la puissance active que pour celui de la
puissance réactive ou de la tension.
Depuis les premiers compensateurs, trois générations des dispositifs FACTS ont vu le
jour. Elles se distinguent par la technologie des semi-conducteurs et des éléments de
puissance utilisés [7]:
1- La première génération est basée sur les thyristors classiques. Ceux-ci sont
généralement utilisés pour enclencher ou déclencher les composants afin de fournir ou
absorber de la puissance réactive dans les transformateurs de réglage.
2- La deuxième génération, dite avancée, est née avec l'avènement des semi-conducteurs
de puissance commandable à la fermeture et à l'ouverture, comme le thyristor GTO.
46
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Ces éléments sont assemblés pour former les convertisseurs de tension ou de courant
afin d'injecter des tensions contrôlables dans le réseau.
3- Une troisième génération de FACTS utilisant des composants hybrides et qui est
adaptée à chaque cas. Contrairement aux deux premières générations, celle-ci n'utilise
pas de dispositifs auxiliaires encombrants tels que des transformateurs pour le
couplage avec le réseau.
Une autre classification des contrôleurs FATCS basée sur les cinq caractéristiques
indépendantes :
1. Selon le type de Raccordement sur le réseau (Connexion) ;
2. Selon le mode de Commutation ;
3. Selon la Fréquences de Commutation ;
4. Selon le mode de Stockage d'énergie ;
5. Selon le mode de Connexion au Port DC.
Selon ces critères, trois familles de dispositifs FACTS peuvent être mises en évidence [25]:
·
Les dispositifs shunt connectés en parallèle dans les postes du réseau.
·
Les dispositifs série insérés en série avec les lignes de transport.
·
Les dispositifs combinés série-parallèle qui recourent simultanément aux deux
couplages
V-2 DISPOSITIFS FACTS SHUNT [7, 11,12]
V-2-1 Compensation shunt
L'objectif principal de la compensation shunt est l'accroissement de la puissance
transmissible dans le réseau. Le principe consiste à fournir ou à absorber de la puissance
réactive de façon à modifier les caractéristiques naturelles des lignes pour la rendre plus
compatibles avec la charge.
47
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
En régime permanent, la compensation réactive est utilisée pour la sectionnalisation
des lignes ainsi que le maintien de la tension aux nœuds. En régime transitoire, les dispositifs
shunt permettent un contrôle dynamique de la tension pour l'amélioration de la stabilité
transitoire et l'amortissement des oscillations de puissance et réduction des oscillations de
tension.
V-2-2 Compensateurs shunt à base de thyristors
Il s'agit de [11, 12, 13]:
•
TCR (Thyristor Controlled Reactor ) :
Dans le TCR (ou RCT: Réactances Commandées par Thyristors), la valeur de l’inductance est
continuellement changée par l'amorçage des thyristors.
•
TSC (Thyristor Switched Capacitor) :
Dans le TSC (ou CCT : Condensateurs Commandés par Thyristor), les thyristors fonctionnent
en pleine conduction.
•
SVC (Static Var Compensator) :
L’association des dispositifs TCR, TSC, bancs de capacités fixes et filtres
d’harmoniques constitue le compensateur hybride, plus connu sous le nom de SVC
(compensateur statique d’énergie réactive)
Tous sont utilisés pour contrôler la tension (la puissance réactive).
•
TCBR (Thyristor Control Breaking Resistor):
Ce type de compensateur connecté en parallèle est utilisé pour améliorer la stabilité du réseau
pendent la présence des perturbations [26].
48
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Fig.V.1 : Schéma du SVC et TCBR
V-2-3 Compensateur statique synchrone STATCOM
Le compensateur statique synchrone STATCOM (Static Synchronous Compensator),
autrefois appelé compensateur statique de puissance réactive avancé, est également désigné
par les acronymes SSC et STATCON (Static Condenser). Le STATCOM est basé sur la
structure d'un convertisseur de tension triphasé. Il correspond à l'équivalent statique exact de
la machine synchrone classique fonctionnant en compensateur, mais sans inertie. Il est
principalement utilisé pour la compensation dynamique des réseaux, afin de faciliter la tenue
en tension, d'accroître la stabilité en régime transitoire et d'amortir les oscillations de
puissance.
Le convertisseur ne fournit ou n'absorbe que de la puissance réactive. Ceci est réalisé
en contrôlant les tensions de sortie de manière à ce que ces dernières soient en phase avec les
tensions du réseau. De ce fait, la puissance active fournie par la source de tension continue (le
condensateur chargé) doit être nulle. De plus, la puissance réactive étant par définition nulle
en régime continu (fréquence égale à zéro), le condensateur ne joue pas de rôle dans la
génération de puissance réactive. En d'autres mots, le convertisseur fait tout simplement
49
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
l'interconnexion entre les trois phases, de manière à ce que les courants de sortie réactifs
puissent circuler librement entre ces dernières. En pratique, les semi-conducteurs utilisés dans
les convertisseurs ne sont pas sans pertes. De ce fait, de l'énergie stockée dans le condensateur
sera consommée par les pertes internes des thyristors. La puissance réactive nécessaire pour
couvrir ces pertes peut être fournie par le réseau en sorte que les tensions à la sortie du
convertisseur soient légèrement déphasées par rapport aux tensions du réseau. Dans ce cas, le
convertisseur absorbe une faible quantité de puissance active.
Fig.V.2 : Schéma de base du STATCOM
L’échange d’énergie réactive se fait par le contrôle de la tension de sortie de
l’onduleur Vsh, laquelle est en phase avec la tension du réseau V (Fig.V.2). Le
fonctionnement peur être décrit de la façon suivante :
𝜋
Si la tension Vsh est inférieure à V, le courant circulant dans l’inductance est déphasé de − 2
par rapport à la tension V ce qui donne un courant inductif.
𝜋
Si la tension Vsh est supérieur à V, le courant circulant dans l’inductance est déphasé de + 2
par rapport à la tension V ce qui donne un courant capacitif.
50
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Si la tension Vsh est égale à V, le courant circulant dans l’inductance est nul et par
conséquent il n’y a pas d’échange d’énergie.
Le STATCOM est un circuit avec un seul port monté en parallèle avec le réseau, il
utilise la commutation forcée, la fréquence de commutation des interrupteurs est élevée, son
élément de stockage d'énergie est un condensateur et ceci implique un port DC.
Par rapport au compensateur statique de puissance réactive conventionnel de type
SVC, le STATCOM présente les avantages suivants:

l'espace nécessaire pour l'installation est réduit en raison de l'absence de bobines
d'inductance et de condensateur;

le recours à des filtres d'harmoniques n'est pas nécessaire;

les performances en régime dynamique sont meilleures.
L'avantage de ce dispositif est de pouvoir échanger de l'énergie de nature inductive ou
capacitive uniquement à l'aide d'une inductance. Contrairement au SVC, il n'y a pas d'élément
capacitif qui puisse provoquer des résonances avec des éléments inductifs du réseau.
V-2-4 Générateur synchrone statique SSG
Un générateur synchrone statique SSG (Static Synchronous Generator) est une
combinaison d'un STATCOM et d'une source d'énergie capable de fournir ou d'absorber de la
puissance. Cette source a pour rôle de maintenir la tension aux bornes du condensateur à la
valeur désirée. Le terme SSG inclut toutes les sources d'énergie telles que les batteries,
volants d'inertie, aimants supraconducteurs, etc. toutefois, deux dispositifs particuliers
peuvent être mis en évidence :
1. Le système de stockage par batterie BESS (Battery Energy Storage System) utilise une
source de nature chimique. Généralement, les unités BESS sont relativement petites
mais permettent un échange de puissance élevé. Leur capacité à ajuster rapidement la
quantité d'énergie à fournir ou à absorber est utilisée pour la stabilité transitoire.
Lorsqu'il ne fournit pas de la puissance active au système, le convertisseur est utilisé
pour changer la batterie de manière appropriée.
51
Chapitre V
2. Le
Systèmes des Dispositifs FACTS
système
de
stockage
d'énergie
par
aimant
supraconducteur
SMES
(Superconducting Magnetic Energy Storage) est un dispositif permettant d'injecter ou
d'absorber de la puissance active et réactive. Le SMES sert principalement au contrôle
dynamique des transits de puissance dans le réseau électrique.
V-3 DISPOSITIFS FACTS SERIES [11, 13, 26]
V-3-1 Compensateurs séries
La réactance des lignes est une des limitations principales de la transmission de
courant alternatif à travers les longues lignes. Pour remédier à ce problème, la compensation
série capacitive a été introduite il y a plusieurs dizaines d'années afin de réduire la partie
réactive de l'impédance de la ligne. Les dispositifs FACTS de compensation série sont des
évolutions des condensateurs série fixes. Ils agissent généralement en insérant une tension
capacitive sur la ligne de transport qui permet de compenser la chute de tension inductive. Ils
modifient ainsi la réactance effective de la ligne. La tension insérée est proportionnelle et
perpendiculaire au courant dans la ligne.
V-3-2 Compensateurs séries à thyristors
Il y a trois conceptions principales de compensateurs série à thyristors peuvent être
distinguées:

le condensateur série commandé par thyristors;

le condensateur série commuté par thyristors;

le condensateur série commandé par thyristors GTO.
En pratique, les compensateurs série à thyristors sont souvent des combinaisons de
branches contrôlées et 'éléments de valeurs fixes.
V-3-2-1 Condensateur série commandé par thyristors TCSC
Un condensateur série commandée par thyristors TCSC (Thyristor Controlled Series
Capacitor) est formé d'une inductance commandée par thyristors en parallèle avec un
condensateur. Ce montage permet un réglage continu sur une large gamme de la réactance
capacitive à la fréquence fondamentale. Les montages peuvent varier selon les fabricants. En
52
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
pratique, une varistance à oxyde métallique ou MOV (Metal Oxide Varistor) est insérée en
parallèle afin de protéger le condensateur contre les surtensions.
Trois régimes de fonctionnement peuvent être distingués :
a) Les thyristors sont bloqués; le courant de la ligne passe uniquement par le
condensateur. Le TCSC a alors une impédance fixe correspondant à celle du
condensateur.
b) Les thyristors sont en pleine conduction; l'impédance du TCSC est fixe et correspond
à l'impédance équivalente résultant de la mise en parallèle de la capacité et de
l'inductance.
c) Les thyristors sont commandés en conduction partielle. Un courant de boucle circule
dans le TCSC et la réactance apparente de ce dernier est supérieure à celle de la
capacité (ou de l'inductance) seule.
V-3-2-2 Condensateur série commuté par thyristors TSSC
Le schéma de base d'un condensateur série commutée par thyristors TSSC (Thyristor
Switched Series Capacitor) est constitué de plusieurs capacités montées en série, chacune
étant shuntée par une valve à thyristors montée en dérivation.
Le degré de compensation est contrôlé par paliers. Une capacité série est insérée dans
le circuit en bloquant les thyristors lui correspondant. L'extinction a lieu de manière spontanée
lors du passage par zéro du courant. Une fois la valve bloquée, la capacité se charge sur une
demi-période puis se décharge le demi-cycle de la polarité opposée. Pour minimiser les
transitoires, les thyristors sont enclenchés lorsque la tension aux bornes de la capacité est
nulle.
Fig.V.3 : Structure du TCSC (a) et TSSC (b)
53
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
V-3-2-3 TCSR (Thyristor Controlled Series Reactor)
TCSR est un compensateur inductif qui se compose d'une inductance en parallèle avec
une autre inductance commandée par thyristor afin de fournir une réactance inductive série
variable. Lorsque l'angle d'amorçage du réacteur commandé par thyristor est de 180 degrés, il
cesse de conduire, et la réactance non contrôlable X1 agit comme un limiteur de courant de
défaut. Pendant que l'angle d'amorçage diminue en dessous de 180 degrés, la réactance
équivalente diminue jusqu'à l'angle de 90 degrés, où elle est la combinaison parallèle de deux
réactances.
Fig.V.4 : Structure du TCSR
V-3-2-4 Compensateurs statique série synchrone SSSC
Le compensateur statique série synchrone SSSC (Static Synchronous Series
Compensator) est un dispositif FACTS de la deuxième génération. Il est formé d'un
convertisseur de tension inséré en série dans la ligne par l'intermédiaire d'un transformateur.
Le SSSC agit sur le courant de ligne en insérant une tension en quadrature avec ce dernier, la
tension pouvant être capacitive ou inductive. Un SSSC est capable d'augmenter ou diminuer
le flux de puissance dans une ligne, voir d'en inverser le sens. Le comportement d'un SSSC
peut être assimilé à celui d'un condensateur ou d'une inductance série réglable. La différence
principale réside dans le fait que la tension injectée n'est pas en relation avec le courant de
ligne. De ce fait, le SSSC présente l'avantage de pouvoir maintenir la valeur de la tension
insérée constante, indépendamment du courant. Il est donc efficace tant pour des petites
charges (faibles courants) que pour des grandes charges.
Un autre avantage du SSSC réside dans le fait que ce type de compensateur n'insère
pas de condensateur en série avec la ligne de transport. De ce fait, il ne peut pas provoquer de
résonance hypo-synchrone. De plus, sa taille est réduite en comparaison de celle d'un TCSC.
54
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Par contre, sa commande est plus complexe. Parmi les inconvénients, il y a également
le coût élevé du SSSC par rapport à celui des condensateurs série réglables. Il est en grande
partie dû au transformateur HT.
Fig.V.5 : Schéma de base du SSSC
Les applications pour lesquelles sont utilisées les SSSC sont identiques à celles où l'on
a recours à des condensateurs séries réglables. Ce sont plus particulièrement:

les commandes statiques et dynamiques des flux de puissances;

l'amélioration de la stabilité angulaire;

l'atténuation des oscillations électromécaniques.
V-4 REGULATEURS STATIQUE DE TENSIONET DE PHASE
Les dispositifs de réglage de tension et de phase présente une différence fondamentale
avec les autres FACTS. Ils ne sont en effet pas capables de produire ou d'absorber de la
puissance et ne permettent que de modifier les transits de puissances active et réactive. Tout
comme les transformateurs déphaseurs et de réglage classiques, ils agissent en insérant une
tension UT en série dans la ligne de manière à augmenter ou diminuer le courant y circulant.
55
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Le réglage en charge mécanique est toutefois remplacé par un transformateur de prises
de réglage à thyristors classiques ou GTO.
Il existe plusieurs types de régulateurs qui se différencient par l'architecture du
convertisseur et le couplage du transformateur auxiliaire en parallèle. Parmi ces dispositifs,
les deux familles suivantes peuvent être distinguées:
1- les régulateurs de tension dont la tension insérée est en phase avec la tension au noeud
et qui sont utilisés pour le contrôle de la puissance réactive.
2- les dispositifs déphaseurs dans lesquels la tension injectée modifie l'angle de transport
et qui agissent principalement sur les transits de puissance active.
V-4-1 Régulateurs de tension contrôlée par thyristor TCVR
Le régulateur de tension contrôlé par thyristor TCVR (Thyristor Controlled Voltage
Regulator) insère une tension UT qui est en phase avec la tension nodale Ui, de sorte à
augmenter ou diminuer son amplitude. Le contrôle de Uieff permet de modifier les transits de
puissance réactive dans les lignes.
V-4-2 Régulateur de phase
Plusieurs variantes de déphaseurs ont été développées. Elles permettent d'obtenir des
tensions injectées de phases différentes. Le principe du régulateur de phase consiste à
modifier l'angle de transport ä de la ligne dans laquelle il est placé en contrôlant la phase du
nœud i auquel il est connecté. De ce fait, il permet de contrôler les transits de puissance active
dans les lignes. Les dispositifs déphaseurs ont des effets bénéfiques pour les problèmes
dynamiques tels que l'amélioration de la stabilité transitoire et l'amortissement des oscillations
de puissance.
Les deux principaux types de déphaseurs sont le régulateur de phase contrôlé par
thyristor TCPAR (Thyristor Controlled Phase Angle Regulator) et le transformateur
déphaseur contrôlé par thyristors TCPST (Thyristor Controlled Phase Shifting Transformer).
D'autres dispositifs, basés sur des convertisseurs à thyristors GTO, peuvent remplir les
fonctions de déphaseur.
56
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
V-5 DISPOSITIFS FACTS HYBRIDES [13]
Par une combinaison des deux types de dispositifs (shunt et série), il est possible
d'obtenir des dispositifs hybrides capables de contrôler simultanément les différentes variables
précitées.
V-5-1 Compensateurs hybrides à base de thyristors
V-5-1-1 TCPAR ( Thyristor Controlled Phase Angle Regulator)
TCPAR (déphaseur statique) est un transformateur déphaseur à base de thyristors. Ce
dispositif a été créé pour remplacer les déphaseurs à transformateurs à régleur en charge
(LTC; Load Tap Changer) qui sont commandés mécaniquement. Il est constitué de deux
transformateurs, l’un est branché en série avec la ligne et l’autre en parallèle. Ce dernier
possède différents rapports de transformation (n1, n2, n3). Ces deux transformateurs sont
reliés par l’intermédiaire des thyristors. Son principe de fonctionnement est d’injecter, sur les
trois phases de la ligne de transmission, une tension en quadrature avec la tension à déphaser.
Ce type de compensateur n’est pas couramment utilisé. Il a l’avantage de ne pas générer
d’harmoniques car les thyristors sont commandés en interrupteurs en pleine conduction. Par
contre comme le déphasage n’a pas une variation continue, il est nécessaire d’y adjoindre un
compensateur shunt, ce qui entraîne des surcoûts d’installation.
L’amplitude de la tension injectée est une combinaison des secondaires du
transformateur parallèle dont les rapports de transformation sont n1, n2, n3. Cette
combinaison donne une tension à injecter dont l’amplitude peut prendre 27 valeurs
différentes.
57
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Fig.V.6 : Schéma du TCPAR
V-5-2 Compensateurs hybrides à base de GTO thyristors
V-5-2-1 Contrôleur de transit de puissance unifié UPFC
Le contrôleur de transit de puissance unifié UPFC (Unified Power Flow Controller) est
formé de deux convertisseurs de tension reliés par une liaison à courant continu formée par un
condensateur. Il s'agit en fait de la combinaison d'un STATCOM et d'un SSSC. Son schéma
est représenté à Fig.V.7.
Le principe de l'UPFC consiste à dériver une partie du courant circulant dans la ligne
pour le réinjecter avec une phase appropriée. Dans la fig.V.7, l’onduleur 1 est utilisé à travers
la liaison continue pour fournir la puissance active nécessaire à l’onduleur 2. Il réalise aussi la
fonction de compensation d’énergie réactive puisqu’il peut fournir ou absorber de la
puissance réactive, indépendamment de la puissance active, au réseau. L’onduleur 2 injecte la
tension Vb et fournit les puissances active et réactive nécessaires à la compensation série.
58
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Fig.V.7 : Schéma de base de l’UPFC
L'UPFC est capable de remplir toutes les fonctions des autres dispositifs FACTS. Il peut être
utilisé en particulier pour:

le réglage de la tension.

l'amélioration des flux de puissances active et réactive.

la limitation des courants de court-circuit.

l'amortissement des oscillations de puissance.
V-5-2-2 Contrôleur de transit de puissance entre ligne IPFC
Le contrôleur de transit de puissance entre ligne IPFC (Interline Power Flow
Controller) est utilisé dans le cas d'un système de lignes multiples reliées à un même poste.
Son principe est illustré à la figure V.8. L'IPFC est formé de plusieurs SSSC, chacun d'eux
fournissant une compensation série à une ligne différente. Du coté continu, tous les
convertisseurs sont reliés entre eux via des disjoncteurs.
59
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Fig.V.8 : Schéma de base de l’IPFC
L'IPFC permet de transférer de la puissance active entre les lignes compensées pour
égaliser les transits de puissances active et réactive sur les lignes ou pour décharger une ligne
surchargée vers une autre moins chargée. Les tensions injectées possèdent une composante en
quadrature et une composante en phase avec les courants respectifs des lignes. La composante
en quadrature permet une compensation série indépendante dans chaque ligne, alors que la
composante en phase définit le niveau de puissance active échangée avec les autres lignes. Sur
la liaison continue, le bilan est toujours nul.
V-5-2-3 Régulateur de puissance Interphases IPC
Le régulateur de puissance interphases IPC (Interphase Power Controller) a été
développé pour la gestion de la répartition des puissances. Il s'agit d'un dispositif de contrôle
qui est composé de deux impédances par phase: l'une inductive et l'autre capacitive, chacune
étant directement liée à une unité de déphasage. Les valeurs de ces impédances sont élevées
afin de limiter les courants en cas de court-circuit.
60
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Fig.V.9 : Schéma de base de l’IPC
D’une par sa conception, l'IPC a les aptitudes suivantes :

le contrôle des flux de puissance active;

la limitation des courants de court-circuit;

le découplage des tensions entre deux nœuds.
Il permet également d'obtenir un contrôle de la puissance réactive indépendant de la
puissance active. l'IPC est un moyen pour faire l'interconnexion des réseaux qui soit en
mesure d'empêcher la propagation des perturbations entre les réseaux interconnectés. Le
FACTs utilisé au cours de cette étude est un dispositif de type shunt à savoir le SVC (Static
Var Compensator).
V-6 COMPENSATEUR STATIQUE (SVC) [11, 12, 13, 17]
Dans la vie industrielle il y a beaucoup de possibilité à faire le contrôle de la tension et
de la puissance d’un réseau électrique en y branchant un condensateur ou une inductance
shunt pour générer ou absorber de la puissance réactive. Cette manœuvre peut se faire
automatiquement en utilisant un compensateur statique il s’appelle SVC (Static Var
Copensator).
V-6-1 Historique du SVC
Le compensateur statique de puissance réactive SVC (Static Var Compensator) est
apparu dans les années soixante-dix, le premier SVC est installé dans l'ouest de Nebraska, en
Amérique du Nord [11, 12, 13], pour répondre à des besoins de stabilisation de tension rendue
fortement variable du fait de charges industrielles très fluctuantes telles que les laminoirs ou
61
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
les fours à arc. Les SVCs sont des FACTS de la première génération. Ils utilisent des
thyristors classiques, commandables uniquement à l'amorçage.
Plusieurs conceptions différentes ont été proposées. Toutefois, la plupart des SVCs
sont construits à partir des mêmes éléments de base permettant de fournir ou d'absorber de la
puissance réactive.
Depuis 1970 plus de 300 SVC est installé autours du monde, plus de 90 installé au
Amérique du Nord. La figure (V.10) montre l’évolution d'installation du SVC dans le monde
jusqu'à l'année 2006 [11, 12, 13].
Fig.V.10 : Nombre approximatif d'installations du SVC de 1970 à 2006.
(Basé sur Liste compilée on 2006 par Groupe IEEE I4 travaillé sur SVC et autre données des fabricants )
V-6-2 Définition du SVC
Le SVC est un compensateur statique d'énergie réactive, et aussi c’est un dispositif
de l’électronique de puissance destiné à compenser la circulation de puissance réactive sur les
réseaux électriques ensuit contrôler la tension. Il fait partie du groupe des FACTs. Le SVC
règle la tension sur ses bornes en commandant la quantité de puissance réactive a injecté ou
absorbé dans un système d'alimentation. Quand la tension de système est basse, le SVC
62
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
développe la puissance réactive (SVC capacitif). Quand la tension de système est haute, il
absorbe la puissance réactive (SVC inductif).
Le contrôle de la tension sur le réseau, la répartition des flux de puissance est aussi lié
à la valeur de la tension en chaque nœud du réseau. La tenue de tension est réalisée avec
l'injection ou soutirage de puissance réactive dans les différents nœuds du réseau.
V-6-3 Structure de principe
La figure V.11 donne une représentation schématique monophasée d'un compensateur
statique shunt. Il est composé d'un condensateur de réactance "XC" dont la puissance réactive
fournie peut être complètement enclenchée ou complètement déclenchée et d'une bobine
d'induction de réactance inductive "XL" dont la puissance réactive absorbée est commandée
entre zéro et sa valeur maximale par des thyristors montés en tête-bêche pour assurer des
inversions très rapides du courant.
Fig.V.11 : Représentation schématique monophasée d’un
compensateur Statique
Pour fixer le signe de puissance réactive Qsvc, le compensateur est considéré comme
un commutateur. La puissance réactive Qsvc est positive lorsqu'elle est absorbée par le
compensateur (comportement inductif), le courant d'entrée I est un courant réactif, il est
supposé positif lorsqu'il est retardé de 90° par rapport à la tension Vsvc. Si par contre, le
63
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
compensateur fournit de la puissance réactive (comportement capacitif), cette dernière est
considérée comme étant négative, ainsi que le courant I. Ces relations sont prises en compte
sur la figure V.12. Par conséquent, la puissance réactive QL est positive alors que la puissance
réactive QC est négative [12, 13].
FigV.12 : Exigences posées à la puissance réactive.
La puissance réactive Qsvc varie entre une valeur inductive "Qind"et une valeur capacitive
"Qcap", avec:
Qcap =
V 2SVC
(V-1)
XC
On obtient alors la réactance capacitive Xc nécessaire pour le condensateur. De la relation
suivante, on peut déterminer la réactance XL de la bobine d'inductance
Qind =
V 2SVC
XL
−
V 2SVC
(V-2)
XC
Les relations (V-1) et (V-2) se rapportent à une phase du compensateur triphasé.
64
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
V-6-4 Constitution du SVC
Le compensateur statique SVC est composé de plusieurs éléments tel que le
condensateur fixe (FC), qui est commandé par des éléments mécaniques; d'une réactance
commandée par thyristors (TCR), et de condensateurs commutés par des thyristors (TSC), et
parfois de réactance commutée par thyristors (TSR), et des filtres d'harmoniques.
V-6-4-1 Condensateur fixe (FC)
Le condensateur fixe fournit à la barre une puissance réactive fixe, il est connecté au
réseau mécaniquement et comporte un contrôle pour l'ouverture du disjoncteur qui le relie à la
barre.
V-6-4-2 Réactance commandée par thyristors (TCR)
a) Principe de fonctionnement
La réactance commandée par thyristors TCR (Thyristor-Controlled Reactor) possède
une bobine d'inductance fixe L branchée en série avec une valve à thyristors bidirectionnelle
montré sur la figure V.13.a. La réactance contrôlée par thyristors permet un contrôle plus fin
de la puissance réactive car elle permet un contrôle continu du courant de compensation. Les
thyristors sont enclenchés avec un certain angle d'allumage α et conduisent alternativement
sur une demi-période. On définit l'angle d'allumage α à partir du passage par zéro dans le sens
positif de la tension aux bornes du thyristor à allumer. L'angle de conduction σ est l'angle
pendant lequel les thyristors conduisent. Un thyristor se met à conduire quand un signal de
gâchette lui est envoyé et la tension à ses bornes est positive. Il s'arrête de conduire lorsque le
courant qui le traverse s'annule. Les thyristors sont allumés de façon symétrique toutes les
demi-périodes. Le courant à fréquence fondamentale est réglé par la commande de phase de la
valve à thyristors. En pleine conduction (α = 90°), le courant est essentiellement réactif et
sinusoïdal, et lorsque α = 180°, on est en conduction nulle [15, 16].
La relation qui lie l’angle d'allumage et angle de conduction en régime permanent est :
σ=2 π−α
(V-3)
65
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Une conduction partielle des thyristors est accomplie avec un angle d'amorçage α compris
entre 90° et 180°, a pour effet de réduire la fondamentale du courant (FigV.13.b), et donc de
diminuer la susceptance apparente de l'inductance.
(a) Montage
(b) tension simulé et courant inductif résultant pour
un angle d’amorçage donné
FigV.13 : Réactance commandée par thyristors
Lorsque l'angle d'allumage (amorçage) est fixe, on parle d'inductance commutée par
thyristor TSR (Thyristor-Switched Reactor). Généralement α vaut 90°. Dans ce cas, les
thyristors sont en pleine conduction sur un nombre entier de demi-périodes et le TSR ne
génère pas de courants harmoniques. En revanche, la valeur de la susceptance effective n'est
pas modulable et il n'y a que deux cas de fonctionnement possibles. Lorsque les thyristors
sont enclenchés, le courant réactif IL absorbé par le TSR est proportionnel à la tension
appliquée V. il est nul lorsque la valve à thyristors reste ouverte. Les valeurs maximales
admissibles du courant et la de tension doivent être respectées. Le recours à plusieurs
branches TSR connectées en parallèles permet d'obtenir une admittance réactive contrôlable
par palier, tout en conservant un courant sinusoïdal [15].
V-6-4-3 Condensateur commuté par thyristors (TSC)
Le condensateur commuté par thyristors TSC (Thyristor-Switched Capacitor) est
composé d’un condensateur fixe
C
branché en série avec une valve à thyristors
bidirectionnelle et une bobine d’inductance d’atténuation Lℓ (FigV.14.a). Le commutateur a
pour rôle de d’enclencher et de déclencher le condensateur pour un nombre entier de demicycles de la tension appliquée. Le condensateur n’est ainsi pas commandé en phase, mais
66
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
simplement enclenché et déclenché. L’inductance d’atténuation sert à limiter le courant en cas
de fonctionnement anormal et à éviter la résonance avec le réseau à des fréquences
particulières [15, 16]. Pour avoir un minimum de perturbations transitoires, les instants de
commutation sont choisis de façon à ce que la tension aux bornes des thyristors soit minimale.
L’enclenchement est donc réalisé lorsque la tension résiduelle du condensateur est égale à la
tension instantanée du réseau (FigV.14.b).
a) montage
b) courant et tension dans la capacité
FigV.14 : Condensateur commuté par thyristors:
Le condensateur peut être commuté avec un minimum de transitoire si le thyristor est
allumé (état on), au l'instant quand la tension VC du condensateur et la tension V du réseau
ont la même valeur. La susceptance étant fixe, le courant dans le TSC varie linéairement avec
la tension V (qui explique l'absence des harmoniques sur le TSC). La zone de fonctionnement
est similaire à celle d'un TSR; elle est illustrée à la figure (V.15.a).
Généralement le SVC de type TSC contient n banc de TSC montés en parallèle. La
susceptance est ajusté par le contrôle du nombre de condensateurs parallèles en conduction.
Chaque condensateur conduit toujours pour un nombre intégrant de demi-cycle. La relation
qui relie le courant de compensation et le nombre de condensateurs en conductions est
montrée dans la figure (V.15.b).
67
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
a) zone de fonctionnement
b) relation entre courant et nombre
de condensateurs en conduction
FigV.15 : Principe du TSC
Plusieurs TSC de tailles différentes peuvent être mis en parallèle, de façon à former un
banc de condensateurs enclenchables et déclenchables par thyristors. Dans certaines
installations, les commutations sont parfois réalisables par disjoncteurs. Ce type de dispositif
porte le nom de condensateur commuté mécaniquement MSC (Mechanically-Switched
Capacitor). Les MSCs sont des dispositifs conçus pour n’être enclenchés et déclenchés que
quelques fois par jour. De ce fait, leur fonction principale est de fournir de la puissance
réactive en régime permanent.
V-6-5 Les différents types et schémas
Les différents types principaux du "SVC" utilisés aujourd'hui [7, 13, 16] sont:
V-6-5-1 Dispositive type "TCR" ou "FC/TCR":(Thyristor Controlled Reactor or Fixed
Capacitors/Thyristor - Controlled Reactor)
Ce dispositif est principalement constitué d'une batterie de condensateurs et d'un
absorbeur réactif (FigV.16). La batterie de condensateurs est dimensionnée pour fournir une
puissance réactive fixe Qc dont le rôle est de relever le facteur de puissance de l'installation à
la valeur désirée. L'absorbeur réactif comprend une inductance alimentée à travers un
68
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
gradateur constitué de deux thyristors montés en tête bêche, il prélève une puissance réactive
variable "QL" qui permet de compenser les perturbations causées par la charge "Qch".
Fig.V.16 : Schéma de principe d'un FC/TCR
Le courant qui circule dans l'inductance est réglé de façon continue par les thyristors.
Ce réglage s'effectue en jouant sur l'angle de retard à l'amorçage "α" qui est compris entre
90° (QLmax) et 180° (QLmin). La figure V.17 montre le courant traversant une inductance en
fonction de la tension à ses bornes et de la commande du thyristor en série.
Fig.V.17 : Forme du courant d'inductance.
69
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Avec a l'angle de retard à l'amorçage (angle entre le passage par zéro de la tension
composée et du courant de l'inductance) et 2β l'angle de conduction donnée par β=π-α
(0<β<90°).
L'inductance "L" est son interrupteur sont alors équivalents à une inductance classique
de valeur L(β) = [π.L/ (2β-Sin(2β))], en exprimant 2β en radians, on aura :
BL β =
Sin 2β−2β
(V-4)
πLω
Où : BL est la susceptance de l’inductance L.
Donc :
BL ∝ =
Sin 2π−2α − 2π−2α
(V-5)
πLω
D’où :
1
BLmax = Lω
pour β =
π
2
π
(α = 2 )
(V-6)
Et :
BLmin = 0
pour
α=0
(V-7)
La puissance réactive du banc d'inductance est:
QL β =
3V 2SVC
ωL β
=
2β−Sin 2β
π
(
3V 2SVC
Lω
)
(V-8)
Après calcul, on aura :
QL β = (
2β−Sin 2β
π
)QLmax
(V-9)
Fig.V.18 : variation de BL () en fonction de l'angle de conduction.
70
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
V-6-5-2 Dispositive type TCR/TSC: (Thyristor Controlled Reactor/ Thyristor Switched
Capacitor)
Ce dispositif est une association de réactance réglable et de condensateurs (FigV.19)
couplés par thyristors.
Fig.V.19 : Schéma de principe d'un TCR/TSC.
Ce dispositif est apparu pour répondre à des besoins de l'industrie, surtout pour la
stabilisation de la tension qui est fortement variable du fait des charges très fluctuantes telles
que les fours à arc. Le principe général consiste à compenser le plus exactement possible les
variations de puissance réactive de la charge par une puissance réactive variant dans un sens
opposé par une bobine d'inductance dont le courant est réglé par le gradateur. Un banc de
condensateurs complète le dispositif et permet d'ajuster le réactif absorbé par l'ensemble :
charge et compensateurs [13, 16].
V-6-5-3 Dispositive type TSC/TSR: (thyristor switched capacitor / thyristors switched
reactor).
C’est un système avec condensateur et inductance enclenchés par thyristors. Les
dispositifs avec condensateur enclenché par thyristor TSC servent normalement à bloquer
immédiatement le compensateur en cas d'apparition d'effondrement brusque de tension, leur
application dans les réseaux à haute tension exige un transformateur abaisseur pour
l'adaptation aux caractéristiques électriques optimisées des thyristors. Généralement
l’installation sur les réseaux de transport s'effectue par le biais de tertiaire d'un transformateur.
71
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
V-6-5-4 Dispositive mobile type TSC (thyristor switched capacitor)
On a retenu une exécution avec des condensateurs connectés par thyristors constituée
de modules transportables sur des véhicules routiers. La gamme de réglage dynamique totale
de compensateur s'étale de 0 à 60 MVAR, elle est fournie par trois bancs de condensateurs
commutés par thyristors. Bien que les condensateurs commutés par thyristors ne produisent
eux mêmes pas d'harmoniques, on a installé des réactances afin d'éviter l'amplification des
harmoniques existantes dans le réseau (FigV.16) [17].
Fig.V.20 : Schéma monofilaire d'un compensateur mobile
"TSC".
V-6-5-5 Différents schémas
La figure V.21.a, présente différentes configurations possibles de SVC. Lorsque le
dispositif comporte une anche de type TCR, un filtre permettant de réduire les harmoniques
est rajouté. La zone de fonctionnement équivalente du SVC est obtenue par la combinaison
des zones de toutes les branches. Un exemple est donné à la figure V.21.b.
72
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
a) schémas
b) zone de fonctionnement
Fig.V.21 : Compensateur statique de puissance réactive
V-6-6 Modélisation du dispositif SVC
Les dispositifs FACTS shunt modélisés sont des compensateurs statiques de
puissances réactives tels que le SVC et autres dérivés (TCR, TSC). Bien qu'ils présentent des
performances moins bonnes que le compensateur statiques synchrone, elles ne sont guère
importantes en régime permanent. De plus, les simulations sont réalisées pour des cas où les
tensions sont proches de la valeur nominale. Dans cette situation, le SVC et le STATCOM
présentent des caractéristiques semblables [15, 30].
V-6-6-1 Modèle de compensateur statique de puissance réactive SVC [27][30]
Le dispositif SVC est modélisé par une admittance shunt ysvc variable. Le SVC étant
supposé sans pertes, l'admittance est donc purement imaginaire (voir Fig.V.11).
73
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
La réactance du SVC est déterminée par la combinaison parallèle de XC et XTCR [27]:
La réactance du TCR est :
XTCR (α) = 2
πX L
(V-10)
π−α +sin 2α
Donc :
Xsvc (α) =
πX L
X
2 π−α +sin 2α−π L
(V-11)
XC
ysvc = j X
1
L XC
XL −
XC
2 π − α + sin2α
π
(V-12)
Et :
QSVC = −ySVC Vk2
(V-13)
Où : k : indique le nœud de contrôle.
Qsvc = − X
V 2k
L XC
XL −
XC
π
2 π − α + sin2α
(V-14)
On distingue trois modes de fonctionnement pour le compensateur statique SVC :
Le mode automatique, le mode manuel et le mode hors service.

Le mode automatique correspond au fonctionnement normal. Dans ce mode, le
régulateur de tension opère en boucle fermée.

Dans le mode manuel, la sortie du régulateur est imposée indépendamment de
la tension mesurée au primaire du transformateur.

Le mode hors service est obtenu lorsque les thyristors de TCR et des TSCs ne
sont jamais amorcés. Dans ce cas, le secondaire du transformateur est en
circuit ouvert, le réseau alimente le transformateur du compensateur statique à
vide.
Les installations FACTS sont généralement situées à des postes déjà existants.
Toutefois, les deux cas sont en considérations ; à savoir lorsque le SVC est placé en un nœud
et lorsqu’il est situé au milieu de la ligne.
74
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
V-6-7 Régulation des paramètres de la ligne
Le respect des contraintes de tension sur les réseaux de transport est impératif pour
maintenir la sûreté de fonctionnement du système électrique : une tension trop faible se traduit
par une augmentation des transits et des pertes sur les lignes, une diminution de la stabilité en
tension et un risque de perturbation du fonctionnement des protections. Une tension trop
élevée accroît le vieillissement des isolants, pouvant même aller jusqu’à leur destruction. Il
faut ajouter à ces conséquences l’augmentation du risque de perte de stabilité sur court-circuit
des générateurs qui absorbent de la puissance réactive pour réduire la tension.
La diversité des moyens de réglage de la tension, que ce soit en termes de capacité, de
dynamique ou de contrainte d’utilisation, a nécessité d’organiser et de hiérarchiser le réglage
de la tension en trois niveaux :
Le réglage primaire de tension est la dépendance de la tension du nœud de connexion
d’un générateur ou d’un FACTs à une valeur de consigne. Une augmentation (respectivement
réduction) de la production de puissance réactive, par l’augmentation (respectivement
diminution) du courant d’excitation de la machine, permet d’élever la tension du nœud de
connexion à son niveau de consigne. Cette régulation est réalisable tant que la capacité de
production du générateur n’est pas atteinte. Dans le cas contraire, le générateur peut continuer
à fournir sa capacité maximale de production, mais la tension à son nœud de connexion sera
flottante. Cette régulation est très rapide, de l’ordre de quelques secondes, car elle nécessite
uniquement une modification du courant d’excitation. Tandis son effet est très limité, car la
seule valeur régulée est la tension au nœud de connexion.
Le réglage secondaire de tension permet quant à lui de régler la tension sur une zone
plus étendue avec une constante de temps plus grande. Ce réglage secondaire à pour objectif
de maintenir une tension constante en un nœud caractéristique de la zone de réglage, appelé
nœud pilote. Les tensions de consignes des groupes de cette zone sont alors commandées de
telle sorte que la tension du nœud pilote soit maintenue constante.
La constante de temps de ce réglage est de l’ordre de quelques minutes. Une
amélioration a été portée au réglage secondaire par l’établissement d’un Réglage Secondaire
Coordonné de Tension. La coordination consiste à optimiser le réglage sur une région entière
du réseau, comprenant donc plusieurs zones, en tenant mieux compte des capacités
disponibles sur les groupes, et de l’influence de chacun des groupes sur le maintien de la
75
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
tension des nœuds pilotes. Cette influence, qui dépend de la topologie du réseau, est prise en
compte par l’intermédiaire de deux matrices de sensibilités. La première matrice relie les
variations de tensions des points pilotes aux variations des tensions de consigne des
régulateurs primaires. Quant à la seconde, elle lie les puissances réactives des groupes en
réglage aux tensions de consigne des groupes.
Le réglage tertiaire de tension consiste à assurer la disponibilité des capacités de
production de puissance réactive sur le réseau. Cette action manuelle s’effectue sur les
niveaux de consigne de tension des points pilotes et sur le démarrage de groupes.
V-6-8 Emplacement optimale du SVC dans le réseau [11, 30]
L’étude du compensateur statique d'énergie réactive (SVC) dans un réseau est
représentée par les changements dans les paramètres des lignes, la sensibilité à la modification
dans la matrice d’admittance, et ce par, variation du paramètre de contrôle des SVC et en
observant les changements sur les tensions des nœuds et la puissance transité dans les lignes.
V-6-8-1 Emplacement dans un nœud
Lorsqu'ils sont connectés aux nœuds du réseau, les SVC sont généralement placés aux
endroits où se trouvent des charges importants ou variant fortement. Ils peuvent également
être positionnés à des nœuds où le générateur n'arrive pas à fournir ou absorber suffisamment
de puissance réactive pour maintenir le niveau de tension désiré (Fig.V.22).
Fig.V.22 : SVC inséré dans un nœud.
Lorsqu'un SVC est présent au nœud i, seul l'élément Yii de la matrice d'admittance nodale est
modifié.
Yii′ = Yii + ySVC
(V-15)
76
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
La matrice d'admittance nodale est :
ligne
Ynew
Ymk + ym0 + ysvc
−ymk
=
(V-16)
−ymk
ymk + yk0
V-6-8-2 Emplacement du SVC au milieu d’une ligne
Dans ce cas le SVC est relié au nœud médian additionnel crée au milieu d’une ligne,
tel qu'illustré sur la figure V.23.
Fig.V.23 : SVC placé au milieu d'une ligne.
Afin de prendre en compte ce nouveau nœud, une ligne et une colonne
supplémentaires devraient être ajoutées à la matrice d'admittance nodale. Pour éviter à
changer le nombre de nœuds du réseau et donc la taille de la matrice d'admittance, une
transformation étoile-triangle permet de réduire le système en supprimant le nœud m et en
calculant les paramètres d'une ligne équivalente. La figure V.24, illustre les étapes pour
obtenir cette ligne équivalente [30].
Fig.V.24: Transformation étoile-triangle.
77
Chapitre V
Systèmes des Dispositifs FACTS
Les éléments de la matrice d'admittance représentée par le quadruplé (y1 , y2 , y3 ) illustrés sur
la figure V.24.
(V-17)
La matrice d'admittance nodale est :
ligne
Ynew =
Ymm
Ykm
Ymk
Ykk
(V-18)
(V-19)
V-7 CONCLUSION
Nous avons présenté dans ce chapitre, en premier lieu les techniques de compensation
conventionnelles (série, shunt et hybride), ainsi nous avons donné une définition ou une
initiation sur les dispositifs FACTs et particulièrement le SVC (Static Var Compensator) qui
va être placé de façon optimale dans un réseau d'énergie électrique à l’aide d’un Algorithme
Génétique.
78
CHAPITRE VI
PLACEMENT OPTIMAL D’UN
SVC
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
CHAPITRE VI
PLACEMENT OPTIMAL D’UN SVC
VI-1 INTRODUCTION
Dans cette partie nous présentons une simulation du problème de l’emplacement
optimal de dispositifs FACTS dans un réseau d’énergie électrique. Le critère choisi est la
minimisation des pertes actives totales sous contraintes spécifiés. Plusieurs méthodes on été
appliquées, les méthodes approchées semblent être les plus appropriées. Parmi ces dernières,
les métaheuristiques sont des méthodes d'optimisation générales qui utilisent des règles
intelligentes pour parcourir l'espace des solutions. Elles produisent des solutions de bonne
qualité. Nous allons appliquer un algorithme génétique simple avec un codage binaire des
paramètres. Une application sur deux réseaux standards, Un réseau test IEEE-30 nœuds et un
autre réseau test IEEE-57noeuds.
Dans un premier temps, nous présentons les résultats de l’écoulement statique des
charges par la méthode itérative de Gauss-Seidel sans dispositif SVC. Ensuite, à laide d’un
Algorithme génétique on détermine l’emplacement optimal du dispositif SVC. Enfin, nous
présenterons les résultats de l’écoulement statique des charges après insertion du dispositif
SVC dans le réseau.
VI-2 PRESENTATION DU PROBLEME
Le critère choisi est la minimisation des pertes actives totales sous contraintes
spécifiés. Le problème peut être posé de la manière suivante :
Minimiser
𝑁
𝑃𝐿 =
𝑃𝑖
(VI − 1)
𝑖=1
Sous les contraintes :
min
max
ySVC
 ySVC  ySVC
Vi min  Vi  Vi max
i=1,…N
79
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
Sachant que:
Où :
N
: est le nombre total des nœuds.
PL : est les pertes totales du réseau.
𝑚𝑎𝑥
𝑦𝑆𝑉𝐶
: La valeur maximale d’admittance du SVC.
𝑚𝑖𝑛
𝑦𝑆𝑉𝐶
: La valeur minimale d’admittance du SVC.
Vimax : La valeur maximale de tension du nœud i.
Vimin : La valeur minimale de tension du nœud i.
VI-3 MISE EN ŒUVRE DE L’AG
VI-3-1 Création de la population initiale
La population initiale X(0) est composée de Np=20 chaînes générées aléatoirement.
La procédure d’initialisation consiste en un tirage aléatoire de Np individus dans l’espace des
individus permis.
VI-3-2 Codage du problème
Le nombre de variables utilisé dans l’Algorithme Génétique varie selon le nombre des
SVC installées :
 Pour un seul SVC utilisé, nous avons deux variables (l’emplacement, ysvc),
l’emplacement du SVC peut prendre une valeur de 1 jusqu'à N (nombre total
des nœuds dans le réseau), le paramètre ysvc varie selon l'angle d’amorçage
c'est-à-dire α° ∈ [90° 180°].
Les paramètres du SVC utilisées donné dans le tableau VI.1.
Tableau VI.1 : Paramètres SVC
Xc (PU)
1.0700
αmin (°)
XL (PU)
0.2880
90
α max (°)
180
 Pour deux SVC utilisés, nous avons quatre variables, l’emplacement des deux
SVC avec leurs paramètres.
 Chaque variable (ou chromosome) est représenté par un nombre binaire de 12
bits.
80
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
A titre d’exemple, les figures VI.1 et VI.2 montre une configuration des deux
individus.
Position du SVC
Dimension (taille) du SVC)
Fig.VI.1 : Codage des variables pour un SVC
Unité 1
Unité 1
Unité 2
Unité 2
Position du SVC
Taille du SVC
Position du SVC
Taille du SVC
Fig.VI.2 : Codage des variables pour deux SVC
VI-3-3 Reproduction
a). Sélection
La sélection permet d'identifier statistiquement les meilleurs individus d'une
population et d'éliminer les mauvais. Notre programme va prendre x nb de chaque dernière
itération et utiliser la règle de reproduction (VI-2).
x n →x n +
P L nb −P L n
P L nb
x nb − x n
(VI-2)
n : 1 …Np
x : représente un individu.
Np : nombre maximal de population.
nb: le point correspondant à la valeur minimale de PL
b). Croisement
Le croisement est une technique utilisée pour réarranger l'information entre deux
individus différents et produits des nouveaux. Dans ce document nous utilisons un croisement
simple en un point avec une probabilité de croisement (Pc).
c). Mutation
Pour introduire une certaine diversification dans la population nous appliquons une
mutation binaire avec une probabilité (Pm).
81
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
VI-4 Organigramme
Les étapes de notre organigramme (figure (VI.3)) :
 Lecture des données caractéristiques du problème.
 Calcul de l’écoulement statique des charges, qui permet de déterminer, les tensions
nodales, les puissances injectées et les pertes totales du réseau.
 Génération
d’une
population
initiale
(Générer
aléatoirement
des
solutions
(chromosomes)).
 Modifier la matrice d’admittance a l'aide des solutions Générer aléatoirement.
 Calcul de l’écoulement statique des charges avec la nouvelle matrice d’admittance,
Trouver la valeur minimale des pertes (PLMin).
 Vérifier les contraintes de sécurité Vmin < V < Vmax
 Utilisez la règle de la sélection.
 Exécuter le croisement, la mutation et évaluer la fonction objective.
 Répétez ce processus jusqu'à ce que le nombre maximal de génération soient atteint.
Les paramètres de contrôle de l’Algorithme Génétique:
Taille de la population Np = 20
Nombre maximal de génération maxgen = 1500
Probabilité de croisement Pc = 0.9
Probabilité de mutation Pm = 0.01.
82
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
Start
Lecture les données du système
Calcule de l’écoulement des charges
Génération d’une population initiale
(Générer aléatoirement des solutions)
Modifier la matrice d’admittance a l'aide
des solutions Générer aléatoirement
Exécuter la répartition des puissances
avec la nouvelle matrice d’admittance
(Évaluation des pertes et les tensions)
Teste
Non
Sélection
Croisement
Mutation
Fig.VI.3 : Organigramme
83
Oui
Fin
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
VI-5 ILLUSTRATION
VI-5-1 Réseau test IEEE 30-nœuds
Le réseau test IEEE 30-nœuds représente une portion du réseau électrique américain
[35]. Ce réseau est constitué de 30 jeux de barres et 6 générateurs (aux jeux de barres n° 1, 2,
13, 22, 23 et 27). La tension de base pour chaque jeu de barres est de 135kv, la puissance
apparente de base est de 100MVA.
Limite des tensions nodales : Vmax (pu)=1.05 et Vmin (pu)=0.95
Les données des lignes de ce réseau, les limites opérationnelles et les valeurs planifiées sont
résumées dans l’annexe.
Nous avons effectué plusieurs expériences. Le choix de bons paramètres est une étape
essentielle dans les AG. D’après la littérature [21, 31], il n’existe pas un standard pour
déterminer ces paramètres. La détermination de ces derniers diffère d’un problème à un autre.
Il faudra simuler plusieurs expériences avec différentes valeurs des paramètres.
Nous présentons dans le tableau VI.2 les résultats des tensions nodales sans l’utilisation de
SVC.
Tableau VI.2 : Les tensions nodales sans SVC
N°
N°
N°
Nœuds
Tensions [pu]
Nœuds
Tensions [pu]
Nœuds
Tensions [pu]
1
1.0000
11
0.9777
21
0.9919
2
1.0000
12
0.9776
22
1.0000
3
0.9845
13
1.0000
23
1.0000
4
0.9812
14
0.9660
24
0.9877
5
0.9852
15
0.9689
25
0.9897
6
0.9757
16
0.9710
26
0.9717
7
0.9705
17
0.9712
27
1.0000
8
0.9636
18
0.9365
28
0.9777
9
0.9777
19
0.9417
29
0.9796
10
0.9788
20
0.9500
30
0.9679
84
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
Les résultats de l’écoulement des puissances par la méthode de Gauss- Seidel nous a permis
de déterminer les pertes totales actives PL= 2,879 MW.
Le tableau VI.2 montre que deux nœuds ont des tensions dont le module est inferieur à la
limite inferieur de la tension Vmin.
Nous présentons ensuite les résultats de l’Algorithme génétique après insertion d’un SVC. Le
choix optimal de l’emplacement du SVC donné par le programme d’optimisation est le nœud
N°18(α=132.1319° correspondant Qsvc= -17.7206 MVAR).
Les pertes actives totales PL=2,561 MW.
Le tableau VI.3 présente les résultats des tensions nodales avec une tolérance de tension
±5%.
Tableau VI.3 : Les tensions nodales avec un SVC
1
1.0000
11
0.9808
21
0.9928
2
1.0000
12
0.9831
22
1.0000
3
0.9856
13
1.0000
23
1.0000
4
0.9826
14
0.9746
24
0.9877
5
0.9859
15
0.9800
25
0.9897
6
0.9770
16
0.9758
26
0.9717
7
0.9716
17
0.9754
27
1.0000
8
0.9649
18
0.9721
28
0.9789
9
0.9808
19
0.9673
29
0.9796
10
0.9827
20
0.9701
30
0.9679
85
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
La figure (VI.4) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation.
Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation
1
0.99
Tension [pu]
0.98
0.97
0.96
0.95
0.94
avant compensation
après compensation
0.93
0
5
10
15
Nœud
20
25
30
Fig.VI.4 Évolution des tensions nodales avant et après compensation
Les résultats de l’Algorithme génétique après insertion de deux SVC. L’emplacement optimal
des SVC donné par le programme d’optimisation sont les nœuds N°06 et N°18
(α1=134.9451° et α2=131.6264° correspondant Qsvc1= -29.5922 MVAR et
Qsvc2= -15.6166 MVAR). Les pertes actives totales PL = 2,403 MW.
Le tableau VI.4 présente les résultats des tensions nodales.
Tableau VI.4 : Les tensions nodales avec deux SVC.
1
1.0000
11
0.9869
21
0.9933
2
1.0000
12
0.9851
22
1.0000
3
0.9930
13
1.0000
23
1.0000
4
0.9915
14
0.9759
24
0.9877
5
0.9927
15
0.9806
25
0.9897
6
0.9906
16
0.9780
26
0.9717
7
0.9826
17
0.9777
27
1.0000
8
0.9784
18
0.9702
28
0.9911
9
0.9869
19
0.9668
29
0.9796
10
0.9851
20
0.9703
30
0.9679
86
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
La figure (VI.5) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation.
Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation
1
0.99
Tension [pu]
0.98
0.97
0.96
0.95
0.94
avant compensation
après compensation
0.93
0
5
10
15
Nœud
20
25
30
Fig.VI.5 Évolution des tensions nodales avant et après compensation.
Les résultats de l’Algorithme génétique après insertion de trois SVC. L’emplacement optimal
des SVC donné par le programme d’optimisation sont les nœuds N°8, N°15 et N°19
(α1=132.9451° et α2= 129.7143° et α3= 132.1099° correspondant Qsvc1= -21.4128 MVAR et
Qsvc2= -7.868 MVAR et Qsvc3= -7.8261 MVAR). Les pertes actives totales PL = 2,398 MW.
Le tableau VI.5 présente les résultats des tensions nodales.
Tableau VI.5 : Les tensions nodales avec trois SVC.
1
1.0000
11
0.9870
21
0.9937
2
1.0000
12
0.9871
22
1.0000
3
0.9915
13
1.0000
23
1.0000
4
0.9898
14
0.9795
24
0.9877
5
0.9912
15
0.9854
25
0.9897
6
0.9876
16
0.9798
26
0.9717
7
0.9801
17
0.9794
27
1.0000
8
0.9830
18
0.9689
28
0.9900
9
0.9870
19
0.9828
29
0.9796
10
0.9867
20
0.9827
30
0.9679
87
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
La figure (VI.6) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation.
Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation
1
0.99
Tension [pu]
0.98
0.97
0.96
0.95
0.94
avant compensation
après compensation
0.93
0
5
10
15
Nœud
20
25
30
Fig.VI.6 Évolution des tensions nodales avant et après compensation.
Nous avons récapitulé dans le tableau VI.6 les résultats obtenus par l’Algorithme Génétique
Tableau VI.6 : Tableau récapitulatif
Nombre de
Pertes
Emplacement
SVC
PL [MW]
Optimal des
αSVC [°]
optimale
QSVC [Mvar]
optimale
18
132.1319
-17.7206
06
134.9451
-29.5922
18
131.6264
-15.6166
08
132.9451
-21.4128
15
129.7143
-7.8680
19
132.1099
-7.8261
SVC
1
2
3
2,561
2,403
2,398
88
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
VI-5-2 Réseau test IEEE 57-nœuds
Considérons un réseau test IEEE 57 nœuds [35], comportant 7 nœuds générateurs (aux jeux
de barres n° 1, 2, 3, 6, 8, 9 et 12), la puissance apparente de base est de 100MVA. La tension
de base pour chaque jeu de barres est de 135 kV. Les données des lignes de ce réseau, les
limites opérationnelles et les valeurs planifiées sont résumées dans les tableaux A.3 et A.4 de
l’annexe. Limite des tensions nodales : Vmax (pu)=1.06 et Vmin (pu)=0.94
Nous présentons dans le tableau VI.7 les résultats des tensions nodales sans l’utilisation de
SVC.
Tableau VI.7 : Les tensions nodales sans SVC
1
1.0400
20
0.9344
39
0.9281
2
1.0182
21
0.9451
40
0.9196
3
1.0086
22
0.9507
41
0.9703
4
1.0066
23
0.9490
42
0.9280
5
1.0096
24
0.9370
43
0.9984
6
1.0151
25
0.8301
44
0.9667
7
1.0193
26
0.9395
45
1.0026
8
1.0441
27
0.9716
46
0.9913
9
1.0210
28
0.9902
47
0.9692
10
1.0230
29
1.0058
48
0.9653
11
1.0112
30
0.8134
49
0.9735
12
1.0491
31
0.7985
50
0.9675
13
1.0157
32
0.8402
51
1.0112
14
1.0047
33
0.8375
52
0.9637
15
1.0127
34
0.8977
53
0.9478
16
1.0402
35
0.9082
54
0.9734
17
1.0330
36
0.9205
55
1.0083
18
0.9318
37
0.9295
56
0.9184
19
0.9254
38
0.9550
57
0.9090
89
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
Les résultats de l’écoulement des puissances par la méthode de Gauss- Seidel nous a permis
de déterminer les pertes totales actives PL= 27,887 MW.
Le tableau VI.7 montre que 19 nœuds ont des tensions dont le module est inferieur à la limite
inferieur de la tension Vmin.
Nous présentons ensuite les résultats de l’Algorithme génétique après insertion d’un SVC. Le
choix optimal de l’emplacement du SVC donné par le programme d’optimisation est le nœud
N°31 (α=131.9121° correspondant Qsvc = -18.0688 MVAR). Les pertes actives totales
PL=25,861 MW.
Tableau VI.8 : Les tensions nodales avec un SVC
1
1.0400
20
0.9647
39
0.9727
2
1.0201
21
0.9789
40
0.9693
3
1.0176
22
0.9842
41
0.9971
4
1.0169
23
0.9825
42
0.9597
5
1.0210
24
0.9768
43
1.0186
6
1.0276
25
0.9768
44
0.9938
7
1.0336
26
0.9767
45
1.0208
8
1.0593
27
0.9915
46
1.0112
9
1.0373
28
1.0080
47
0.9941
10
1.0383
29
1.0224
48
0.9921
11
1.0289
30
0.9785
49
0.9969
12
1.0615
31
1.0071
50
0.9883
13
1.0317
32
0.9710
51
1.0270
14
1.0212
33
0.9705
52
0.9810
15
1.0250
34
0.9620
53
0.9667
16
1.0495
35
0.9654
54
0.9907
17
1.0379
36
0.9715
55
1.0253
18
0.9496
37
0.9750
56
0.9538
19
0.9511
38
0.9865
57
0.9455
90
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
La figure (VI.7) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation.
Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation
1.15
avant compensation
après compensation
1.1
1.05
Tension [pu]
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0
10
20
30
Nœud
40
50
60
Fig.VI.7 Évolution des tensions nodales avant et après compensation.
Les résultats de l’Algorithme génétique après insertion de deux SVC. L’emplacement optimal
des SVC donné par le programme d’optimisation sont les nœuds N°25 et N°15
(α1=131.2967° et α2=124.2637° correspondant Qsvc1=-15,77MVAR et
Qsvc2=19,43MVAR). Les pertes actives totales PL = 25,485MW.
Le tableau VI.9 présente les résultats des tensions nodales.
91
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
Tableau VI.9 : Les tensions nodales avec deux SVC
1
1.0400
20
0.9633
39
0.9716
2
1.0192
21
0.9784
40
0.9684
3
1.0140
22
0.9838
41
0.9946
4
1.0139
23
0.9823
42
0.9577
5
1.0189
24
0.9822
43
1.0157
6
1.0257
25
1.0199
44
0.9913
7
1.0325
26
0.9813
45
1.0162
8
1.0575
27
0.9935
46
1.0077
9
1.0349
28
1.0088
47
0.9916
10
1.0358
29
1.0222
48
0.9899
11
1.0259
30
0.9945
49
0.9943
12
1.0590
31
0.9541
50
0.9856
13
1.0280
32
0.9484
51
1.0244
14
1.0167
33
0.9465
52
0.9807
15
1.0189
34
0.9612
53
0.9659
16
1.0477
35
0.9648
54
0.9892
17
1.0370
36
0.9707
55
1.0230
18
0.9470
37
0.9740
56
0.9521
19
0.9492
38
0.9850
57
0.9440
92
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
La figure (VI.8) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation.
Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation
1.15
avant compensation
après compensation
1.1
1.05
Tension [pu]
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0
10
20
30
Nœud
40
50
60
Fig.VI.8 Évolution des tensions nodales avant et après compensation
Les résultats de l’Algorithme génétique après insertion de trois SVC. L’emplacement optimal
des SVC donné par le programme d’optimisation sont les nœuds N°16, N°14 et N°25
(α1=126.6154°,
α2= 126.3077° et α3= 131.2308° correspondant Qsvc1= 07,26 MVAR,
Qsvc2=08,49 MVAR et Qsvc3=-15,39 MVAR). Les pertes actives totales PL = 25,35MW.
Le tableau VI.10 présente les résultats des tensions nodales.
93
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
Tableau VI.10 : Les tensions nodales avec trois SVC
1
1.0400
20
0.9641
39
0.9717
2
1.0197
21
0.9788
40
0.9684
3
1.0162
22
0.9841
41
0.9946
4
1.0157
23
0.9827
42
0.9577
5
1.0201
24
0.9823
43
1.0157
6
1.0267
25
1.0172
44
0.9924
7
1.0330
26
0.9814
45
1.0187
8
1.0578
27
0.9938
46
1.0077
9
1.0349
28
1.0091
47
0.9917
10
1.0351
29
1.0226
48
0.9901
11
1.0259
30
0.9920
49
0.9945
12
1.0575
31
0.9522
50
0.9856
13
1.0281
32
0.9475
51
1.0238
14
1.0165
33
0.9456
52
0.9808
15
1.0225
34
0.9610
53
0.9661
16
1.0425
35
0.9647
54
0.9893
17
1.0364
36
0.9707
55
1.0230
18
0.9485
37
0.9741
56
0.9522
19
0.9502
38
0.9854
57
0.9440
94
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
La figure (VI.9) illustre l’évolution des tensions nodales avant et après compensation.
Evolution des tensions nodales [pu] avant et après compensation
1.15
avant compensation
après compensation
1.1
1.05
Tension [pu]
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0
10
20
30
Nœud
40
50
60
Fig.VI.9 Évolution des tensions nodales avant et après compensation
Nous avons récapitulé dans le tableau VI.11 les résultats obtenus par l’algorithme génétique
Tableau VI.11 : Tableau récapitulatif
Emplacement
Nombre de
Pertes
SVC
PL [MW]
αSVC [°]
optimale
QSVC [Mvar]
optimale
31
131.9121
-18,0688
25
131.2967
-15.7722
15
124.2637
19.4337
16
126.6154
07.2565
14
126.3077
08.4858
25
131.2308
-15.3900
Optimal des
SVC
1
2
3
25.86
25.485
25.355
95
Placement optimal d’un SVC
Chapitre VI
VI-6 ANALYSE DES RESULTATS
Le placement du SVC comprend simultanément la rechercher de l’emplacement
optimale et la dimension du SVC. L’AG est adaptée pour résoudre ce problème
d’optimisation.
Les tableaux VI.2 et VI.7 présentent les tensions nodales des deux réseaux sans SVC
après le calcule de l’écoulement statique des charges. On remarque qu’il y a des tensions hors
limites admissibles. Ces violations présentent un problème pour le producteur et les
consommateurs.
Les tableaux VI.3 et VI.8 montrent l’évolution des tensions nodales dans le cas où
nous avons un seul SVC installé dans chaque réseau. Pour le réseau de 30 nœuds nous avons
des améliorations des tensions nodales qui sont dans limites admissibles. Pour le réseau de 57
nœuds, malgré l’installation d’un SVC, il y a des nœuds où les tensions sont encore hors
limites admissibles.
Les autres cas étudiés pour deux et trois SVC, les tensions nodales sont dans les
limites admissibles avec une tolérance de tension (±05% pour le réseau 30 nœuds et ±6%
pour le réseau 57 nœuds). Les tableaux VI.4, VI.5, VI.9 et VI.10 montrent l'influence du
nombre de SVC inséré sur les tensions nodales.
Les tableaux récapitulatifs VI-6 et VI-11 montrent les variations des pertes actives
totales selon le nombre des SVC.
Les résultats obtenus, montrent bien l’importance de l’emplacement des SVC dans les
réseaux électriques et leurs influences sur l’évolution des tensions des nœuds et les pertes
actives dans les réseaux.
VI-7 CONCLUSION
Nous avons traité le problème de l’emplacement optimal d’un SVC avec le contrôle
des tensions des nœuds du réseau d’énergie électrique. Les dispositifs SVC permettent
d’améliorer l’exploitation du réseau électrique, contrôler le transit de puissance et augmenter
la capacité de transport tout en maintien les tensions des nœuds du réseau d’énergie électrique
dans les limites admissible.
96
CHAPITRE VII
CONCLUSION GENERALE
Chapitre VII
Conclusion Générale
CONCLUSION GENERALE
Les réseaux électriques ont un rôle très important dans les sociétés modernes. Les
chutes de tensions sont des phénomènes catastrophiques dans les réseaux électriques. Ils
découlent de la perte de stabilité du réseau et causent des dégâts immenses au niveau
économique et social. Bien que les réseaux électriques soient pourvus de systèmes de
protection ainsi que pour éviter les instabilités du système.
Le travail présenté dans ce mémoire concerne l’application d’une méthode
métaheuristique qui est l’Algorithme génétique pour l’emplacement optimal d’un dispositif
FACTS (SVC). Ce dispositif est capable de contrôler la puissance réactive, les tensions
nodales, pour améliorer les performances du réseau électrique et sa stabilité.
Une première phase de ce travail a consisté au calcul de l’écoulement statique des
charges par la méthode itérative de Gauss-Seidel, afin de déterminer les tensions nodales et
les pertes actives totales du réseau. Un premier choix a été fixé sur la méthode classique de
Gauss-Seidel pour le calcul de l’écoulement des puissances. Ce choix n’étant pas arbitraire
mais basé surtout sur la simplicité et l’efficacité de la méthode. Les résultats de l’écoulement
statique des charges sans dispositifs SVC présente dans certains nœuds du réseau des
dépassements des limites de tension.
Ensuite, nous avons présenté différentes méthodes d’optimisation, en se basant sur les
algorithmes génétiques avec un codage binaire des paramètres comme méthode
métaheuristique pour résoudre notre problème.
Nous avons fait une description des différents systèmes permettant d’améliorer
l’exploitation du réseau d’énergie électrique et qui sont rangés sous l’appellation système
FACTS. Les dispositifs FACTS peuvent être classés en trois catégories : les compensateurs
parallèles, les compensateurs séries et les compensateurs hybrides (parallèle-série). Nous
avons choisi le SVC pour notre étude,
97
Chapitre VII
Conclusion Générale
Pour montrer l’importance de l’installation des dispositifs SVC dans le réseau
électrique, des simulations ont été exécutées successivement pour un nombre croissant des
SVC sur deux réseaux test IEEE-30 et IEEE-57 nœuds.
Les résultats de simulation sont satisfaisants et montrent que l’emplacement optimal
des dispositifs SVC et la valeur optimale de la puissance réactive injectée permettent
d’accroitre la capacité de transit et de réduire les pertes tout en maintien les niveaux de
tensions dans les limites admissibles.
Enfin l’optimisation simultanée des paramètres et de leur emplacement avec un
nombre acceptable des SVC constitue une solution efficace et robuste. En conséquence un
meilleur contrôle, une meilleure gestion de l’écoulement de puissance et une augmentation de
la capacité de transmission de puissance des lignes. Ainsi, les transits de puissance seront
mieux contrôlés et les tensions mieux tenues, ce qui permettra d’augmenter les marges de
stabilité.
98
ANNEXE
ANNEXE
.
ANNEXE. A
DONNÉES DU SYSTÈME DE LA TRANSMISSION
1. DONNEES DU RESEAU DE 30 NŒUDS (6 générateurs et 30 nœuds)
1.1. Données des nœuds du réseau
Tableau A.1 : Données des nœuds du réseau
N. Nœuds
V
α
Pg
Qg
Pl
Ql
1
1.00
0.00
--
--
0.0
0.00
2
1.00
0.00
60.97
0.00
21.7
12.7
3
1.00
0.00
0.00
0.00
2.4
1.2
4
1.00
0.00
0.00
0.00
7.6
1.6
5
1.00
0.00
0.00
0.00
0.0
0.00
6
1.00
0.00
0.00
0.00
0.0
0.00
7
1.00
0.00
0.00
0.00
22.8
10.9
8
1.00
0.00
0.00
0.00
30.0
30.0
9
1.00
0.00
0.00
0.00
0.0
0.00
10
1.00
0.00
0.00
0.00
5.8
2.0
11
1.00
0.00
0.00
0.00
0.0
0.00
12
1.00
0.00
0.00
0.00
11.2
7.5
13
1.00
0.00
37.0
0.00
0.0
0.00
14
1.00
0.00
0.00
0.00
6.2
1.6
15
1.00
0.00
0.00
0.00
8.2
2.5
16
1.00
0.00
0.00
0.00
3.5
1.8
17
1.00
0.00
0.00
0.00
9
5.8
18
1.00
0.00
0.00
0.00
13.2
10.9
19
1.00
0.00
0.00
0.00
9.5
3.4
20
1.00
0.00
0.00
0.00
2.2
0.7
21
1.00
0.00
0.00
0.00
17.5
11.2
99
ANNEXE
.
22
1.00
0.00
21.59
0.00
0.0
0.00
23
1.00
0.00
19.2
0.00
3.2
1.6
24
1.00
0.00
0.00
0.00
8.7
6.7
25
1.00
0.00
0.00
0.00
0.0
0.00
26
1.00
0.00
0.00
0.00
3.5
2.3
27
1.00
0.00
26.91
0.00
0.0
0.00
28
1.00
0.00
0.00
0.00
0.0
0.00
29
1.00
0.00
0.00
0.00
2.4
0.9
30
1.00
0.00
0.00
0.00
10.6
1.9
1.2. Données des lignes du réseau
Tableau A.2 : Données des lignes du réseau.
Du nœud
Au nœud
R (pu)
X (pu)
y’/2 (pu)
01
02
0.02
0.06
0.03
01
03
0.05
0.19
0.02
02
04
0.06
0.17
0.02
03
04
0.01
0.04
0.00
02
05
0.05
0.2
0.02
02
06
0.06
0.18
0.02
04
06
0.01
0.04
0.00
05
07
0.05
0.12
0.01
06
07
0.03
0.08
0.01
06
08
0.01
0.04
0.00
06
09
0.00
0.21
0.00
06
10
0.00
0.56
0.00
09
11
0.00
0.21
0.00
09
10
0.00
0.11
0.00
04
12
0.00
0.26
0.00
12
13
0.00
0.14
0.00
12
14
0.12
0.26
0.00
100
ANNEXE
.
12
15
0.07
0.13
0.00
12
16
0.09
0.2
0.00
14
15
0.22
0.2
0.00
16
17
0.08
0.19
0.00
15
18
0.11
0.22
0.00
18
19
0.06
0.13
0.00
19
20
0.03
0.07
0.00
10
20
0.09
0.21
0.00
10
17
0.03
0.08
0.00
10
21
0.03
0.07
0.00
10
22
0.07
0.15
0.00
21
22
0.01
0.02
0.00
15
23
0.10
0.2
0.00
22
24
0.12
0.18
0.00
23
24
0.13
0.27
0.00
24
25
0.19
0.33
0.00
25
26
0.25
0.38
0.00
25
27
0.11
0.21
0.00
27
28
0.00
0.4
0.00
27
29
0.22
0.42
0.00
27
30
0.32
0.6
0.00
29
30
0.24
0.45
0.00
08
28
0.06
0.2
0.02
06
28
0.02
0.06
0.01
Puissance demandée totale est 189.2 MW.
101
ANNEXE
.
Fig.A.1 : schéma de réseau IEEE à 30 nœuds.
102
ANNEXE
.
2. DONNEES DU RESEAU DE 57 NŒUDS (7 générateurs et 57 nœuds).
2.1. Données des nœuds du réseau
Tableau A.3 : Données des nœuds du réseau
N.
Nœuds
V
α
Pg
Qg
Pl
Ql
1
1.0400
0
--
--
55.00
17
2
1.0100
-1.1800
0.00
-0.8
03.00
88
3
0.9850
-5.9728
40
-1.0
41.00
21
4
0.9810
-7.3206
0.00
0.00
0.00
0.00
5
0.9760
-8.5203
0.00
0.00
13.00
04.00
6
0.9799
-8.6510
0.00
0.8
75.00
02.00
7
0.9840
-7.5800
0.00
0.00
0.00
0.00
8
1.0050
-4.4512
450
62.10
150.00
22.00
9
0.9800
-9.5623
0.00
2.2
121.00
26.00
10
0.9860
-11.4307
0.00
0.00
05.00
02.00
11
0.9740
-10.1712
0.00
0.00
0.00
0.00
12
1.0150
-10.4619
310
128.5
377.0
24.00
13
0.9790
-9.7924
0.00
0.00
18.00
02.30
14
0.9700
-9.3264
0.00
0.00
10.50
05.30
15
0.9880
-7.1804
0.00
0.00
22.00
05.00
16
1.0130
-8.8532
0.00
0.00
43.00
03.00
17
1.0170
-5.3939
0.00
0.00
42.00
08.00
18
1.0010
-11.7118
0.00
0.00
27.20
09.80
19
0.9700
-13.1996
0.00
0.00
03.30
00.60
20
0.9640
-13.4063
0.00
0.00
02.30
1.00
21
1.0080
-12.8919
0.00
0.00
0.00
0.00
22
1.0100
-12.8432
0.00
0.00
0.00
0.00
23
1.0080
-12.9098
0.00
0.00
06.30
02.10
103
ANNEXE
.
24
0.9990
-13.2517
0.00
0.00
0.00
0.00
25
0.9820
-18.1250
0.00
0.00
06.30
03.20
26
0.9590
-12.9494
0.00
0.00
0.00
0.00
27
0.9820
-11.4839
0.00
0.00
09.30
0.50
28
0.9970
-10.4477
0.00
0.00
04.60
2.30
29
1.0100
-9.7533
0.00
0.00
17.00
2.60
30
0.9620
-18.6798
0.00
0.00
03.60
1.80
31
0.9360
-19.3351
0.00
0.00
05.80
2.90
32
0.9490
-18.4598
0.00
0.00
01.60
0.80
33
0.9470
-18.5000
0.00
0.00
03.80
1.90
34
0.9590
-14.0986
0.00
0.00
0.00
0.00
35
0.9660
-13.8593
0.00
0.00
06.00
3.00
36
0.9760
-13.5878
0.00
0.00
0.00
0.00
37
0.9850
-13.4070
0.00
0.00
0.00
0.00
38
1.0130
-12.7055
0.00
0.00
14.00
7.00
39
0.9830
-13.4595
0.00
0.00
0.00
0.00
40
0.9730
-13.6192
0.00
0.00
0.00
0.00
41
0.9960
-14.0502
0.00
0.00
06.30
3.00
42
0.9660
-15.4965
0.00
0.00
07.10
4.40
43
1.0100
-11.3288
0.00
0.00
02.00
1.00
44
1.0170
-11.8591
0.00
0.00
12.00
1.80
45
1.0360
-9.2487
0.00
0.00
0.00
0.00
46
1.0500
-11.8878
0.00
0.00
0.00
0.00
47
1.0330
-12.4891
0.00
0.00
29.70
11.60
48
1.0270
-12.5869
0.00
0.00
0.00
0.00
49
1.0360
-12.9175
0.00
0.00
18.00
8.50
104
ANNEXE
.
50
1.0230
-13.3896
0.00
0.00
21.00
10.50
51
1.0520
-12.5170
0.00
0.00
18.00
5.30
52
0.9800
-11.4716
0.00
0.00
04.90
2.20
53
0.9710
-12.2299
0.00
0.00
20.00
10.00
54
0.9960
-11.6901
0.00
0.00
04.10
1.40
55
1.0310
-10.7781
0.00
0.00
06.80
3.40
56
0.9680
-16.0421
0.00
0.00
07.60
2.20
57
0.9650
-16.5571
0.00
0.00
06.70
2.00
2.2. Données des lignes du réseau
Tableau A.4 : Données des lignes du réseau.
Du
Au nœud
R (pu)
X (pu)
y’/2 (pu)
1
02
0.0083
0.0280
0.12900
1
15
0.0178
0.0910
0.09880
1
16
0.0454
0.2060
0.05460
1
17
0.0238
0.1080
0.02860
2
03
0.0298
0.08500
0.08180
3
04
0.0112
0.0366
0.03800
3
15
0.0162
0.0530
0.05440
4
05
0.0625
0.1320
0.02580
4
06
0.0430
0.1480
0.03480
4
18
0.0000
0.5550
0.0000
5
06
0.0302
0.0641
0.01240
6
07
0.0200
0.1020
0.02760
6
08
0.0339
0.1730
0.04700
7
08
0.0139
0.0712
0.01940
7
29
0.0000
0.0648
0.0000
8
09
0.0099
0.0505
0.05480
9
10
0.0369
0.1679
0.04400
9
11
0.0258
0.0848
0.02180
nœud
105
ANNEXE
.
9
12
0.0648
0.2950
0.07720
9
13
0.0481
0.1580
0.04060
9
55
0.0000
0.1205
0.0000
10
12
0.0277
0.1262
0.03280
10
51
0.0000
0.0712
0.0000
11
13
0.0223
0.0732
0.01880
11
41
0.0000
0.7490
0.0000
11
43
0.0000
0.1530
0.0000
12
13
0.0178
0.0580
0.06040
12
16
0.0180
0.0813
0.02160
12
17
0.0397
0.1790
0.04760
13
14
0.0132
0.0434
0.01100
13
15
0.0269
0.0869
0.02300
13
49
0.0000
0.1910
0.0000
14
15
0.0171
0.0547
0.01480
14
46
0.0000
0.0735
0.00
15
45
0.0000
0.1042
0.00
18
19
0.4610
0.6850
0.00
19
20
0.2830
0.4340
0.00
21
20
0.0000
0.7767
0.00
21
22
0.0736
0.1170
0.00
22
23
0.0099
0.0152
0.00
22
38
0.0192
0.0295
0.00
23
24
0.1660
0.2560
0.00840
24
25
0.0000
1.1820
0.00
24
26
0.0000
0.04730
0.00
25
30
0.1350
0.2020
0.00
26
27
0.1650
0.2540
0.00
27
28
0.0618
0.0954
0.00
28
29
0.0418
0.0587
0.00
29
52
0.1442
0.1870
0.00
30
31
0.3260
0.4970
0.00
31
32
0.5070
0.7550
0.00
106
ANNEXE
.
32
33
0.0392
0.0360
0.00
34
32
0.0000
0.9530
0.00
34
35
0.0520
0.0780
0.00320
35
36
0.0430
0.0537
0.00160
36
37
0.0290
0.0366
0.00
36
40
0.0300
0.0466
0.00
37
38
0.0651
0.1009
0.00200
37
39
0.0239
0.0379
0.00
38
44
0.0289
0.0585
0.00200
38
49
0.1150
0.1770
0.00000
38
48
0.0312
0.0482
0.00600
39
57
0.0000
1.3550
0.00
40
56
0.0000
1.1950
0.00
41
42
0.2070
0.3520
0.00
41
43
0.0000
0.4120
0.00
44
45
0.0624
0.1242
0.0040
46
47
0.0230
0.0680
0.00320
47
48
0.0182
0.0233
0.00000
48
49
0.0834
0.1290
0.00480
49
50
0.0801
0.1280
0.00000
50
51
0.1386
0.2200
0.00000
52
53
0.0762
0.09840
0.00000
53
54
0.1878
0.2320
0.00000
54
55
0.1732
0.2265
0.00000
56
42
0.2125
0.3540
0.00000
56
41
0.5530
0.5490
0.00000
57
56
0.1740
0.2600
0.00000
Puissance demandée totale est 1250.8 MW.
107
ANNEXE
.
Fig.A.2 : schéma de réseau IEEE à 57 nœuds.
108
ANNEXE
.
ANNEXE. B
RÉSULTATS DE LA SIMULATION
Tableau B.1
109
ANNEXE
.
Tableau B.2
110
ANNEXE
.
Tableau B.3
111
ANNEXE
.
Tableau B.4
112
ANNEXE
.
Tableau B.5
113
ANNEXE
.
Tableau B.6
114
BIBLIOGRAPHIE
Bibliographie
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