TD6 : Champs d`induction magnétique - impmc
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UPMC – Sorbonne Université LP203 TD6 : Champs d’induction magnétique Exercice 1 : champ d’une portion rectiligne de conducteur 1. Calculer le champ magnétique B créé par une portion de fil conducteur rectiligne parcourue par un courant I, en un point M repéré par les angles α et β (cf. figure 1, gauche). Retrouver le champ créé par un courant rectiligne illimité. € ρ fig. 1 2. En déduire le champ créé par un courant angulaire infiniment long de demi-­‐angle α, à la distance x du sommet sur la bissectrice (cf. figure 1, droite). Retrouver le champ créé par un courant rectiligne illimité. Exercice 2 : champ sur l’axe d’enroulements circulaires 1. Une spire circulaire de rayon a est parcourue par un courant d’intensité I. Calculer le champ B en un point M situé sur l’axe de symétrie de la spire à une distance x du centre de la spire (on exprimera dans un premier temps le champ en fonction du demi-­‐angle α du cône de sommet M s’appuyant sur la spire : voir figure 2-­a). € fig 2-a fig 2-b 1 UPMC – Sorbonne Université LP203 2. On considère N spires jointives d’axe commun, bobinées selon un cylindre de rayon R et parcourues par un courant continu I. L’ensemble constitue un solénoïde de longueur L (voir figure 2-­b). Déterminer l’expression du champ B à l’intérieur du solénoïde en un point situé sur l’axe à la distance x1 du plan d’entrée et à la distance x2 du plan de sortie du solénoïde. Envisager le cas du solénoïde infini comportant n spires par unité de longueur € d’axe. Exercice 3 : champ d’un bobinage hémisphérique au centre de la sphère Un fil est bobiné sur une sphère isolante, de rayon a, de sorte que les spires soient parallèles et jointives, formant une couche de N spires recouvrant uniformément la moitié de la sphère. Déterminer le champ d’induction magnétique B au centre de la sphère lorsque le fil est parcouru par un courant. € Exercice 4 : bobines de Helmholtz Deux bobines plates de même axe et comportant chacune N spires de rayon a sont distantes de 2b. Elles sont parcourues par un courant de même sens et de même intensité I. 1. En utilisant les résultats de l’exercice 2-­1, déterminer le champ en un point P de l’axe, à la distance x du point central O. 2. Donner un développement de ce champ au second ordre en x et en déduire la relation qui doit exister entre a et b pour que les termes x2 en s’annulent. B(0)) − B( a /2) 3. Calculer numériquement lorsque cette condition est réalisée. B(0) On donne : (5 /4 ) −3 / 2 = 0,716 et 2 −3 / 2 = 0,354 € € € 2 UPMC – Sorbonne Université LP203 Exercice 5 : champ d’un conducteur en spirale Un fil conducteur parcouru par un courant I est enroulé régulièrement en spirale, à spires jointives, entre deux cercles concentriques de rayons a et b. Calculer le champ d’induction magnétique au centre sachant qu'il y a N enroulements. Exercice 6 : champ d’un conducteur en gouttière Une feuille métallique très fine en forme de demi-­‐ cylindre illimité de rayon R est parcourue par un courant I uniformément réparti. Calculer le champ d’induction magnétique sur l'axe. 3 UPMC – Sorbonne Université LP203 4 UPMC – Sorbonne Université LP203 TD7 : Théorème d’Ampère Exercice 1 : fil conducteur On considère un fil conducteur cylindrique, de rayon R et de longueur infinie, parcouru par un courant d’intensité I et de densité de courant uniforme. 1. En analysant les symétries du problème, déterminer la direction de l’induction magnétique en tout point de l’espace. De quelle variable dépend le module de l’induction magnétique ? Que vaut l’induction magnétique en chaque point de l’axe du cylindre ? 2. En utilisant l’expression locale du théorème d’Ampère, calculer l’induction magnétique à l’intérieur du fil. 3. En admettant que l’induction magnétique doit être continue et en utilisant l’expression locale du théorème d’Ampère, calculer l’induction magnétique à l’extérieur du fil. Exercice 2 : câble coaxial On considère un câble coaxial infiniment long. Le conducteur central, de rayon R1 est parcouru par un courant de densité uniforme et d’intensité I. Le retour de ce courant est assuré par le « tube » cylindrique de rayon intérieur R2 et de rayon extérieur R3 (R1< R2< R3). Dans le « tube », la densité de courant est aussi uniforme. Calculer l’induction magnétique en tout point de l’espace. Exercice 3 : champ toroïdal Un tokamak peut prendre la géométrie d’un tore d’axe z dont les sections par des plans contenant l’axe des z sont des cercles de rayon r centrés sur un cercle de rayon R (R>r). N spires « géantes » (plusieurs mètres de diamètres) entourent le tore et sont traversées par un courant I. Il se créé ainsi une induction magnétique dite « toroïdale ». 1. Quelle est la direction de cette induction toroïdale (en général, on parle plutôt de « champ toroïdal ») ? 2. Calculer l’induction magnétique créée par ce solénoïde torique en tout point de l’espace. 5 UPMC – Sorbonne Université LP203 Figures : à gauche, schéma de principe d’un tokamak (www.euronuclear.org). À droite, schéma du futur tokamak ITER (www.iter.org). Deutons, tritons et électrons vont être portés à des centaines de millions de kelvins pour fusionner. L’induction magnétique sert à confiner ces particules. 3. (A.N.) Dans le tokamak ITER, le grand rayon R mesure 6,2 m et le champ toroïdal doit être porté à 5,3 T. Quel doit être l’intensité IT =NI dans les spires pour obtenir un tel champ toroïdal sur le cercle de rayon R sur lequel sont centrés les cercles de rayon r ? Exercice 4 : circulation de l’induction magnétique On rappelle que l’induction magnétique créée par une spire circulaire de rayon R et de centre O parcourue par une intensité I vaut, en un point de son axe situé à la côte z : µI 1 B= 0 3 ez 2R ⎛ ⎛ ⎞ 2 ⎞ 2 z ⎜⎜1+ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ R ⎠ ⎠ Calculer la circulation de cette induction le long de l’axe des z. Commenter le résultat obtenu. R2 z On donne une primitive de la fonction : . 3 2 € z + R2 z 2 + R2 2 ( ) € 6 UPMC – Sorbonne Université LP203 TD8 : Forces magnétiques Exercice 1 : mouvement d’une particule soumise à des champs croisés Dans une région où règne un champ électrostatique E et un champ magnétique B uniformes et orthogonaux, une particule (charge q, masse m) entre à l’instant t=0 en un point O avec une vitesse v 0 suivant E . On définit ainsi un repère orthonormal direct O, ex , ey , ez : €E = E e v =v e B = B e€ ( 0 0 y y ) z 1. Écrire les équation différentielles vérifiées par les coordonnées v x ,v y ,v z de la vitesse et € € montrer que la trajectoire de la particule est dans €le plan perpendiculaire en O à B . € € € 2. Etablir l’équation différentielle satisfaire par v˜ = ( v x − E /B)€+ iv y , où i désigne le symbole des € imaginaires. Intégrer cette équation et en déduire les équations paramétriques de la trajectoire de la particule. Vérifier que cette trajectoire est circulaire si l’on annule le champ € électrique. 3. On suppose : v 0 = 0 . Quelle est la trajectoire de la particule dans un référentiel en translation rectiligne uniforme à la vitesse V = ( E /B)ex ? Que peut-­‐on en conclure sur les champs électrique et magnétique dans ce référentiel ? € € Exercice 2 : circuit triangulaire Un circuit a la forme d’un triangle rectangle isocèle dont les cotés de l’angle droit ont une longueur a. Il est parcouru par un courant d’intensité I et placé dans un champ magnétique extérieur uniforme B parallèle à l’hypoténuse. Déterminer l’ensemble des actions agissant sur ce circuit. Exercice € 3 : cyclotron Un cyclotron comporte deux boîtes métalliques hémicylindriques creuses (appelées dees) séparées par un intervalle et entre lesquelles on établit une tension sinusoïdale de fréquence convenable f et d'amplitude € U = 200 kV . Les dees sont situés dans l'entrefer d'un électroaimant qui fournit un champ B uniforme parallèle aux génératrices des dees. On injecte des protons (masse m = 1,67 × 10 −27 kg , charge e) dans une direction perpendiculaire à B avec une € v négligeable. On donne B = 1,5 T . vitesse initiale 0 € € 7 € € UPMC – Sorbonne Université LP203 1. Quel est le temps de passage d'un proton dans un dee ? 2. Comment faut-­‐il choisir la fréquence f pour que le proton soit accéléré à chaque passage entre les dees ? 3. En supposant que l'on s'arrange pour que la tension soit maximale à chaque passage entre les dees, Calculer la vitesse, l'énergie cinétique, le nombre de tours effectués pour un proton à la sortie des dees si leur diamètre est d = 90 cm . Exercice 4 : spectromètre de masse € Dans le spectromètre de masse de la figure ci-­‐ dessous, des atomes de lithium, possédant des masses de 6 et 7 uma, sont ionisés (dépouillés d’un électron) puis accélérés par une différence de potentiel de 900 V à partir d’une vitesse quasi nulle. Ils entrent ensuite dans un champ magnétique uniforme B = 0,04 T . Après avoir parcouru un demi-­‐cercle, ils arrivent sur un film photographique et y produisent deux taches distantes de x. € Calculer la valeur de x. On donne: 1 uma = 1,66 × 10 −27 kg (EPFL Lausanne). Exercice 5 : effet Hall € Un ruban métallique de section rectangulaire d’épaisseur a et de largeur b est parcouru par un courant continu d’intensité I. On considérera par la suite le trièdre direct O, ex , ey , ez ( ) € 1. Les électrons de conduction (charge -­e) sont animés d’une vitesse de dérive v de sens opposé à ex . a. Sachant qu’il y a n électrons de conduction par unité de volume, exprimer la densité de courant j et l’intensité I. € € b. Exprimer la norme de la vitesse v en fonction de I, n, e, a et b. € € 8 UPMC – Sorbonne Université LP203 2. Le ruban est maintenant plongé dans un champ magnétique B = B ez . a. Donner l’expression de la force magnétique Fm à laquelle est soumis un électron ; représenter cette force sur un dessin. € b. Par suite de l’existence d’une force magnétique il se produit un régime transitoire € pendant lequel des électrons viennent s’accumuler sur l’une des faces du ruban que l’on appellera [1]. Représenter cette face [1] sur le dessin. À l’accumulation des électrons sur la face [1] correspond un déficit d’électrons sur la face opposée (face [2]) qui devient chargée positivement. Cette situation crée un champ électrique E H (champ de Hall). c. Donner la direction et le sens de E H . Représenter E H sur un dessin. € 3. Le régime transitoire cesse rapidemment et il s’établit un régime stationnaire où la force magnétique est exactement é€quilibrée par la f€ orce électrostatique due à E H . a. Exprimer le champ E H en fonction de I, B et n. b. Calculer la différence de potentiel V H entre les faces [1] et [2]. € c. La mesure de la différence de potentiel V H permet de déterminer expérimentalement la valeur de € B. Exprimer B en fonction de V H . −6 A.N. : V H = 5,2 10 V ; n = 6 10 28€ m−3 ; e = 1,6 10 −19 C ; I = 5 A ; a = 0,1 mm. Calculer B. € € € € € aiguille aimantée € € Exercice 6 : Oscillation d’une Une aiguille aimantée, que l’on peut considérer comme un moment magnétique m dirigé selon l’aiguille, peut tourner sans frottement dans un plan horizontal autour d’un axe vertical ; on appellera J son moment d’inertie par rapport à l’axe. Elle est placée dans une région de l’espace B où règne un champ magnétique horizontal uniforme . On rappelle €que l’aiguille est alors soumise à un couple de moment Μ = m × B . 1. Calculer le travail élémentaire des forces magnétiques lorsque l’aiguille tourne d’un angle dϕ € possède une énergie potentielle d’interaction autour l’axe vertical. En déduire que l’aiguille € magnétique dont l’expression est ε p = − m . B . 2. Quelle est la position d’équilibre stable de l’aiguille dans le champ magnétique ? € Calculer la période T des petites oscillations autour de cette position d’équilibre. €circuit parcouru par un courant continu d’intensité I. Montrer que le 3. Le champ est créé par un graphe de la fonction y = f (x), où y = lnT et x = ln I , est une droite dont on calculera la pente. € € 9 UPMC – Sorbonne Université LP203 Exercice 7 : principe d’un moteur à courant continu Une roue à rayons en cuivre de longueur a peut tourner autour de son axe, qui est horizontal, et est en contact avec un bain de mercure. Un courant d'intensité I arrive par le mercure et repart par le moyeu O. Calculer le moment du couple exercé sur le disque lorsqu'on applique un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au plan du disque. € 10 UPMC – Sorbonne Université LP203 TD9 : Phénomènes d’induction Exercice 1 (cf TP n°2) 1. Calculer le champ magnétique B1 sur l’axe d’une bobine parcourue par un courant I(t) sinusoïdal (l’axe d’une bobine est la droite normale au plan de la bobine et passant par son centre). On suppose la bobine de €rayon R et comprenant N spires. 2. En déduire le champ magnétique B créé par des bobines de Helmholtz parcourues par un courant I(t) sinusoïdal au centre de symétrie O du système (la distance entre les bobines est donc égale à leur rayon R ; chaque bobine comprend N spires). 3. Calculer le flux du champ €B à travers une boucle de courant de rayon r et faisant un angle θ avec les bobines. On supposera r assez petit pour qu’on puisse prendre B uniforme sur toute la boucle. € de la force électromotrice dans cette boucle de courant. 4. En déduire la valeur € Exercice 2 Une spire carrée de côté a (10 cm) de résistance R (0,1Ω) est placée dans un champ magnétique uniforme dont la norme varie avec le temps comme l’indique la figure ci-­‐contre. Enoncer la loi de Lentz et déterminer le sens et l’intensité du courant induit. On négligera le flux créé par le courant induit à travers son propre circuit. Exercice 3 : circuit mobile dans un champ magnétique 1. Donner l’expression de la force électromotrice induite e( t ) pour une spire rectangulaire de côtés a et b tournant à la vitesse angulaire Ω constante autour d’un axe Oz. Cet axe est parallèle au côté de longueur b et passe par le milieu des côtés de longueur a. La spire est plongée dans € un champ magnétique constant B = B0ex perpendiculaire à l’axe de rotation. 2. Comparer avec le cas où la spire précédente est immobilisée mais le champ (toujours perpendiculaire à l’axe Oz devient variable : B = B0 cosωt ex + B0 sin ωt ey . € 3. Calculer la force électromotrice dans un circuit en U (constitué de 2 rails parallèles à ex et un rail parallèle à ey ) fermé par un barreau conducteur de longueur l, également parallèle à ey (cf. € paragraphe 8.1.1 du cours). Le barreau est mobile, animé d’une vitesse v = v ex et reste en contact avec les rails. Il est plongé dans un champ magnétique constant B = B0€ ez . € € 11 € € UPMC – Sorbonne Université LP203 Exercice 4 Un fil rectiligne infini est parcouru par un courant I. Il définit ainsi un axe orienté z′Oz, avec z croissant dans le sens de I. 1. Rappeler l’expression du champ magnétique créé par ce fil en un point de l’espace. Un cadre rectangulaire de sommets A, B, C et D, de largeur AB=DC=l et de hauteur AD=BC=L est placé dans un plan contenant le fil. Les coordonnées des sommets A, B, C et D sont respectivement en coordonnées cylindriques ( ρ0 , ϕ , L ) , ( ρ0 + l, ϕ , L ) , ( ρ0 + l, ϕ ,− L ) et ( ρ0 , ϕ ,− L ) . 2 2 2 2 2. Calculer le flux traversant un élément de surface intérieur au cadre et limité par des segments situés à la distance ρ et ρ + dρ de l’axe z’Oz. On précisera l’orientation choisie pour ce calcul. € € 3. En déduire le flux total à travers le €cadre. € 4. La résistance du cadre étant égale à R, quel courant traverse le cadre si I = I0 sin ωt entre les € π = 0 et t = dans le fil ? On précisera en particulier son sens. instants t € ω € Exercice 5 € € Une surface torique de section carrée est engendrée par un carré de côté de 2a tournant autour d’un axe z’Oz parallèle à deux de ses côtés. On note ρ 0 la distance du centre d’un carré à l’axe z’Oz. On suppose qu’il y a N spires régulièrement distribuées parcourues par un courant d’intensité I et € que ρ 0 > a . 1. Calculer le champ magnétique à l’intérieur du tore. 2. Calculer le flux de ce champ à travers une des spires du tore. € φ En déduire le flux total φ auto-­‐induit dans le tore puis la valeur de L = . I 3. Le tore a une résistance R et est relié à un générateur de force électromotrice E à l’instant t = 0 . Aucun courant n’est encore présent à ce moment à l’intérieur du tore. Donner l’équation € € différentielle caractérisant l’évolution de l’intensité du courant à partir de t = 0 dans le tore. € Intégrer cette équation. € 12
