TD6 : Champs d`induction magnétique - impmc

UPMC – Sorbonne Université LP203
1
TD6 : Champs d’induction magnétique
Exercice 1 : champ d’une portion rectiligne de conducteur
1. #Calculer# le# champ# magnétique#
€
B
#créé# par# une# portion# de# fil# conducteur# rectiligne#
parcourue# par# un# courant#I,# en# un# point#M#repéré# par# les# angles# α#et#β#(cf.#figure#1,#
gauche).#Retrouver#le#champ#créé#par#un#courant#rectiligne#illimité.#
fig. 1
2.#En#déduire#le#champ#créé#par#un#courant#angulaire#infiniment#long#de#demi@angle#α,#à#la#
distance#x#du#sommet#sur#la#bissectrice#(cf.#figure#1,#droite).#Retrouver#le#champ#créé#par#
un#courant#rectiligne#illimité.#
Exercice 2 : champ sur l’axe d’enroulements circulaires
1.# Une# spire# circulaire# de# rayon#a#est# parcourue# par# un# courant# d’intensité#I.# Calculer# le##
champ#
€
B
#en#un#point#M#situé#sur#l’axe#de#symétrie#de#la#spire#à#une#distance#x#du#centre#de#
la#spire#(on#exprimera#dans#un#premier#temps#le#champ#en#fonction#du#demi@angle#α#du#
cône#de#sommet#M#s’appuyant#sur#la#spire#:#voir#figure#2&a).#
#
fig 2-a fig 2-b
#
ρ

UPMC – Sorbonne Université LP203
2
#
2. On#considère#N#spires#jointives#d’axe#commun,#bobinées#selon#un#cylindre#de#rayon#R#et#
parcourues# par# un# courant# continu#I.# L’ensemble# constitue# un# solénoïde# de# longueur# L#
(voir# figure# 2&b). Déterminer# l’expression# du# champ#
€
B
#à#l’intérieur# du# solénoïde# en# un#
point#situé#sur#l’axe#à#la#distance#x1#du#plan#d’entrée#et#à#la#distance#x2#du#plan#de#sortie#du#
solénoïde.#Envisager#le#cas#du#solénoïde#infini#comportant#n#spires#par#unité#de#longueur#
d’axe.#
Exercice 3 : champ d’un bobinage hémisphérique au centre de la sphère
Un#fil#est#bobiné#sur#une#sphère#isolante,#de#rayon#a,#
de# sorte# que# les# spires# soient# parallèles# et# jointives,#
formant# une# couche# de# N#spires# recouvrant#
uniformément# la# moitié# de# la# sphère.# Déterminer# le#
champ# d’induction# magnétique#
€
B
#au# centre# de# la#
sphère#lorsque#le#fil#est#parcouru#par#un#courant.#
Exercice 4 : bobines de Helmholtz
Deux# bobines# plates# de# même# axe# et# comportant#
chacune#N#spires#de#rayon#a#sont#distantes#de#2b.#Elles#
sont#parcourues#par#un# courant#de#même#sens# et#de#
même#intensité#I.#
1.# En# utilisant# les# résultats# de# l’exercice#2&1,#
déterminer# le# champ# en# un# point# P# de# l’axe,# à# la#
distance-x#du#point#central#O.#
#
2.#Donner#un#développement#de#ce#champ#au#second#ordre#en#x#et#en#déduire#la#relation#qui#doit#
exister#entre#a#et#b#pour#que#les#termes#x2#en#s’annulent.#
3.#Calculer#numériquement#
€
B0
( )
)−B a /2
( )
B0
( )
#lorsque#cette#condition#est#réalisée.#
On#donne#:#
€
5 /4
( )
−3 / 2 =0,716
#et#
€
2−3 / 2 =0,354
#

UPMC – Sorbonne Université LP203
3
Exercice 5 : champ d’un conducteur en spirale
Un# fil# conducteur# parcouru# par# un# courant# I# est# enroulé#
régulièrement# en# spirale,# à# spires# jointives,# entre# deux# cercles#
concentriques# de# rayons# a# et# b.# Calculer# le# champ# d’induction#
magnétique#au#centre#sachant#qu'il#y#a#N#enroulements.##
Exercice 6 : champ d’un conducteur en gouttière
Une#feuille#métallique#très#fine#en#forme#de#demi@
cylindre# illimité# de# rayon# R- est# parcourue# par# un#
courant#I-uniformément#réparti.#Calculer#le#champ#
d’induction#magnétique#sur#l'axe.##

UPMC – Sorbonne Université LP203
4

UPMC – Sorbonne Université LP203
5
TD7 : Théorème d’Ampère
Exercice 1 : fil conducteur
On#considère!un#fil#conducteur#cylindrique,#de#rayon#R#et#de#longueur#infinie,#parcouru#par#un#
courant#d’intensité#I#et#de#densité#de#courant#uniforme.#
#
1.#En#analysant#les#symétries#du#problème,#déterminer#la#direction#de#l’induction#magnétique#en#
tout#point#de#l’espace.#De#quelle#variable#dépend#le#module#de#l’induction#magnétique#?#Que#
vaut#l’induction#magnétique#en#chaque#point#de#l’axe#du#cylindre#?#
2.#En# utilisant# l’expression# locale# du# théorème# d’Ampère,# calculer# l’induction# magnétique# à#
l’intérieur#du#fil.#
3.#En#admettant#que#l’induction#magnétique#doit#être#continue#et#en#utilisant#l’expression#locale#
du#théorème#d’Ampère,#calculer#l’induction#magnétique#à#l’extérieur#du#fil.#
Exercice 2 : câble coaxial
On#considère#un#câble#coaxial#infiniment#long.#Le#conducteur#central,#de#rayon#R1#est#parcouru#
par#un#courant#de#densité#uniforme#et#d’intensité#I.#Le#retour#de#ce#courant#est#assuré#par#le#«#
tube#»#cylindrique#de#rayon#intérieur#R2#et#de#rayon#extérieur#R3#(R1<#R2<#R3).#Dans#le#«#tube#»,#la#
densité#de#courant#est#aussi#uniforme.#
Calculer#l’induction#magnétique#en#tout#point#de#l’espace.#
Exercice 3 : champ toroïdal
Un#tokamak#peut#prendre#la#géométrie#d’un#tore#d’axe#z#dont#les#sections#par#des#plans#contenant#
l’axe#des#z#sont#des#cercles#de#rayon#r#centrés#sur#un#cercle#de#rayon#R#(R>r).#N#spires#«#géantes#»#
(plusieurs#mètres#de#diamètres)#entourent#le#tore#et#sont#traversées#par#un#courant#I.#Il#se#créé#
ainsi#une#induction#magnétique#dite#«#toroïdale#».#
#
1.#Quelle#est#la#direction#de#cette#induction#toroïdale#(en#général,#on#parle#plutôt#de#«#champ##
toroïdal#»)#?#
2.#Calculer#l’induction#magnétique#créée#par#ce#solénoïde#torique#en#tout#point#de#l’espace.#